高中數(shù)學人教版選修4-5數(shù)學教案

選修4--5不等式選講一、課程目標解讀

選修系列4-5專題不等式選講，內(nèi)容包括：不等式的基本性質(zhì)、含有絕對值的不等式、不等式的證明、幾個著名的不等式、利用不等式求最大（?。┲?、數(shù)學歸納法與不等式。通過本專題的教學，使學生理解在自然界中存在著大量的不等量關系和等量關系，不等關系和相等關系都是基本的數(shù)學關系，它們在數(shù)學研究和數(shù)學應用中起著重要的作用；使學生了解不等式及其證明的幾何意義與背景，以加深對這些不等式的數(shù)學本質(zhì)的理解，提高學生的邏輯思維能力和分析問題解決問題的能力。二、教材內(nèi)容分析作為一個選修專題，雖然學生已經(jīng)學習了高中必修課程的5個模塊和三個選修模塊，教材內(nèi)容仍以初中知識為起點，在內(nèi)容的呈現(xiàn)上保持了相對的完整性．整個專題內(nèi)容分為四講，結構如下圖所示：第一講是“不等式和絕對值不等式”，為了保持專題內(nèi)容的完整性，教材回顧了已學過的不等式6個基本性質(zhì)，從“數(shù)與運算”的思想出發(fā)，強調(diào)了比較大小的基本方法?；仡櫫硕静坏仁剑怀鰩缀伪尘昂蛯嶋H應用，同時推廣到n個正數(shù)的情形，但教學中只要求理解掌握并會應用二個和三個正數(shù)的均值不等式。對于絕對值不等式，借助幾何意義，從“運算”角度，探究歸納了絕對值三角不等式，并用代數(shù)方法給出證明。通過討論兩種特殊類型不等式的解法，學習解含有絕對值不等式的一般思想和方法，而不是系統(tǒng)研究。第二講是“證明不等式的基本方法”，教材通過一些簡單問題，回顧介紹了證明不等式的比較法、綜合法、分析法，反證法、放縮法。其中，用反證法和放縮法證明不等式是新的課程標準才引入到中學數(shù)學教學中的內(nèi)容。這些方法大多在選修2-2“推理與證明”已經(jīng)學過，此處再現(xiàn)也是為了專題的完整性，對于新增的放縮法，應通過實際實際例子，使學生明確不等式放縮的幾個簡單途徑和方法，比如舍掉或加進一些項，在分式中放大或縮小分子或分母，應用基本不等式進行放縮等（見分節(jié)教學設計）。本講內(nèi)容也是本專題的一個基礎內(nèi)容。第三講是“柯西不等式和排序不等式”。這兩個不等式也是本專題實質(zhì)上的新增內(nèi)容，教材主要介紹柯西不等式的幾種形式、幾何背景和實際應用。其中柯西不等式及其在證明不等式和求某些特殊類型函數(shù)極值中的應用是教材編寫和我們教學的重點。事實上，柯西不等式和均值不等式在求最值方面的簡單應用，二者同樣重要，在某些問題中，異曲同工。比如課本P41頁，習題3.2

第四題。排序不等式只作了解，建議在老師指導下由學生閱讀自學，了解教材中展示的“探究——猜想——證明——應用”的研究過程，初步認識排序不等式的有關知識。第四講是“數(shù)學歸納法證明不等式”．數(shù)學歸納法在選修2-2中也學過，建議放在第二講，結合放縮法的教學，進一步理解“歸納遞推”的證明。同時了解貝努利不等式及其在數(shù)學估算方面的初步運用。三、教學目標要求1．不等式的基本性質(zhì)掌握不等式的基本性質(zhì)，會應用基本性質(zhì)進行簡單的不等式變形。2．含有絕對值的不等式理解絕對值的幾何意義，理解絕對值三角不等式，會解絕對值不等式。3．不等式的證明通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、數(shù)學歸納法4．幾個著名的不等式(1)認識柯西不等式的幾種不同形式，理解它們的幾何意義，會用二維三維柯西不等式進行簡單的證明與求最值。(2)理解掌握兩個或三個正數(shù)的算術—幾何平均不等式并應用。(3)了解n個正數(shù)的均值不等式，n維柯西不等式，排序不等式，貝努利不等式5．利用不等式求最大（?。┲禃脙蓚€或三個正數(shù)的算術—幾何平均不等式、柯西不等式求一些特定函數(shù)的最值。6．數(shù)學歸納法與不等式了解數(shù)學歸納法的原理及其使用范圍；會用數(shù)學歸納法證明簡單的不等式。會用數(shù)學歸納法證明貝努利不等式。四、教學重點難點1、本專題的教學重點：不等式基本性質(zhì)、均值不等式及其應用、絕對值不等式的解法及其應用；用比較法、分析法、綜合法證明不等式；柯西不等式及其應用、排序不等式；2、本專題的教學難點：三個正數(shù)的算術-幾何平均不等式及其應用、絕對值不等式解法；用反證法，放縮法證明不等式；運用柯西不等式和排序不等式證明不等式以及求最值等。五、教學總體建議1、回顧并重視學生已學知識學習本專題，學生已掌握的知識有：第一、初中課標要求的不等式與不等式組(1)根據(jù)具體問題中的大小關系了解不等式的意義，并探索不等式的基本性質(zhì)。(2)解簡單的一元一次不等式，并能在數(shù)軸上表示出解集。解由兩個一元一次不等式組成的不等式組，并會用數(shù)軸確定解集。(3)根據(jù)具體問題中的數(shù)量關系，列出一元一次不等式和一元一次不等式組，解決簡單的問題第二、高中必修5不等式內(nèi)容：(1)不等關系。通過具體情境，感受在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關系，了解不等式（組）的實際背景。(2)一元二次不等式。(3)二元一次不等式組與簡單線性規(guī)劃問題。(4)基本不等式及其應用（求最值）。第三、高中選修2-2推理與證明中的比較法、綜合法、分析法、反證法、數(shù)學歸納法等內(nèi)容?；仡櫜⒅匾晫W生在學習本課程時已掌握的相關知識，可適當指導學生閱讀自學，設置梯度恰當?shù)牧曨}，采用題組教學的形式，達到復習鞏固系統(tǒng)化的效果，類似于高考第二輪的專題復習，構建知識體系。2、控制難度不拓展在解絕對值不等式的教學中，要控制難度：含未知數(shù)的絕對值不超過兩個；絕對值內(nèi)的關于未知數(shù)的函數(shù)主要限于一次函數(shù)。解含有絕對值的不等式的最基本和有效的方法是分區(qū)間來加以討論，把含有絕對值的不等式轉化為不含絕對值的不等式；不等式證明的教學，主要使學生掌握比較法、綜合法、分析法，其它方法如反證法、放縮法、數(shù)學歸納法，應用柯西不等式和排序不等式的證明，只要求了解。代數(shù)恒等變換以及放縮法常常使用一些技巧。這些技巧是極為重要的，但對大多數(shù)學生來說，往往很難掌握這些技巧，教學中要盡力使學生理解這些不等式以及證明的數(shù)學思想，對一些技巧不做更多的要求，不要把不等式的教學陷在過于形式化的和復雜的技巧之中。3、重視不等式的應用不等式應用的教學，主要是引導學生解決涉及大小比較、解不等式和最值問題，其中最值問題主要是用二個或三個正數(shù)平均不等式、二維或三維柯西不等式求解。對于超過3個正數(shù)的均值不等式和柯西不等式；排序不等式；貝努里不等式的應用不作要求。4、重視展現(xiàn)著名不等式的背景幾個重要不等式大都有明確的幾何背景。教師應當引導學生了解重要不等式的數(shù)學意義和幾何背景，使學生在學習中把握這些幾何背景，力求直觀理解這些不等式的實質(zhì)。特別是對于n元柯西不等式、排序不等式、貝努利不等式等內(nèi)容，可指導學生閱讀了解相關背景知識。第一講不等式和絕對值不等式課題：第01課時不等式的基本性質(zhì)教學目標：理解用兩個實數(shù)差的符號來規(guī)定兩個實數(shù)大小的意義，建立不等式研究的基礎。掌握不等式的基本性質(zhì)，并能加以證明；會用不等式的基本性質(zhì)判斷不等關系和用比較法，反證法證明簡單的不等式。教學重點：應用不等式的基本性質(zhì)推理判斷命題的真假；代數(shù)證明，特別是反證法。教學難點：靈活應用不等式的基本性質(zhì)。教學過程：一、引入：不等關系是自然界中存在著的基本數(shù)學關系?！读凶?湯問》中膾炙人口的“兩小兒辯日”：“遠者小而近者大”、“近者熱而遠者涼”，就從側面表明了現(xiàn)實世界中不等關系的廣泛存在；日常生活中息息相關的問題，如“自來水管的直截面為什么做成圓的，而不做成方的呢?”、“電燈掛在寫字臺上方怎樣的高度最亮？”、“用一塊正方形白鐵皮，在它的四個角各剪去一個小正方形，制成一個無蓋的盒子。要使制成的盒子的容積最大，應當剪去多大的小正方形？”等，都屬于不等關系的問題，需要借助不等式的相關知識才能得到解決。而且，不等式在數(shù)學研究中也起著相當重要的作用。本專題將介紹一些重要的不等式（含有絕對值的不等式、柯西不等式、貝努利不等式、排序不等式等）和它們的證明，數(shù)學歸納法和它的簡單應用等。人與人的年齡大小、高矮胖瘦，物與物的形狀結構，事與事成因與結果的不同等等都表現(xiàn)出不等的關系，這表明現(xiàn)實世界中的量，不等是普遍的、絕對的，而相等則是局部的、相對的。還可從引言中實際問題出發(fā)，說明本章知識的地位和作用。生活中為什么糖水加糖甜更甜呢?轉化為數(shù)學問題：a克糖水中含有b克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，則糖水更甜了，為什么?分析：起初的糖水濃度為，加入m克糖后的糖水濃度為，只要證>即可。怎么證呢?二、不等式的基本性質(zhì)：1、實數(shù)的運算性質(zhì)與大小順序的關系：數(shù)軸上右邊的點表示的數(shù)總大于左邊的點所表示的數(shù)，從實數(shù)的減法在數(shù)軸上的表示可知：得出結論：要比較兩個實數(shù)的大小，只要考察它們的差的符號即可。2、不等式的基本性質(zhì)：①、如果a>b，那么b<a，如果b<a，那么a>b。(對稱性)②、如果a>b，且b>c，那么a>c，即a>b，b>ca>c。③、如果a>b，那么a+c>b+c，即a>ba+c>b+c。推論：如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d．即a>b，c>da+c>b+d．④、如果a>b，且c>0，那么ac>bc；如果a>b，且c<0，那么ac<bc．⑤、如果a>b>0，那么(nN，且n>1)⑥、如果a>b>0，那么(nN，且n>1)。三、典型例題：例1、比較和的大小。分析：通過考察它們的差與0的大小關系，得出這兩個多項式的大小關系。例2、已知，求證：．例3、已知a>b>0，c>d>0，求證：。四、課堂練習：1：已知，比較與的大小。2：已知a>b>0，c<d<0,求證：。五、課后作業(yè)：課本第1、2、3、4題六、教學后記：課題：第02課時基本不等式教學目標：1.學會推導并掌握均值不等式定理；2.能夠簡單應用定理證明不等式并解決一些簡單的實際問題。教學重點：均值不等式定理的證明及應用。教學難點：等號成立的條件及解題中的轉化技巧。教學過程：一、知識學習：定理1：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab（當且僅當a＝b時取“＝”號）證明：a2＋b2－2ab＝（a－b）2當a≠b時，（a－b）2＞0，當a＝b時，（a－b）2＝0所以，（a－b）2≥0即a2＋b2≥2ab由上面的結論，我們又可得到定理2（基本不等式）：如果a，b是正數(shù)，那么eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)（當且僅當a＝b時取“＝”號）證明：∵（eq\r(a)）2＋（eq\r(b)）2≥2eq\r(ab)∴a＋b≥2eq\r(ab)，即eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)顯然，當且僅當a＝b時，eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)說明：1）我們稱eq\f(a＋b,2)為a，b的算術平均數(shù)，稱eq\r(ab)為a，b的幾何平均數(shù)，因而，此定理又可敘述為：兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).2）a2＋b2≥2ab和eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)成立的條件是不同的：前者只要求a，b都是實數(shù)，而后者要求a，b都是正數(shù).3）“當且僅當”的含義是充要條件.4）幾何意義.二、例題講解：例1已知x，y都是正數(shù)，求證：（1）如果積xy是定值P，那么當x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值2eq\r(P)；（2）如果和x＋y是定值S，那么當x＝y(tǒng)時，積xy有最大值eq\f(1,4)S2證明：因為x，y都是正數(shù)，所以eq\f(x＋y,2)≥eq\r(xy)（1）積xy為定值P時，有eq\f(x＋y,2)≥eq\r(P)∴x＋y≥2eq\r(P)上式當x＝y(tǒng)時，取“＝”號，因此，當x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值2eq\r(P).（2）和x＋y為定值S時，有eq\r(xy)≤eq\f(S,2)∴xy≤eq\f(1,4)S2上式當x=y時取“＝”號，因此，當x=y時，積xy有最大值eq\f(1,4)S2.說明：此例題反映的是利用均值定理求最值的方法，但應注意三個條件：?。┖瘮?shù)式中各項必須都是正數(shù);ⅱ)函數(shù)式中含變數(shù)的各項的和或積必須是常數(shù)；ⅲ）等號成立條件必須存在。例2：已知a、b、c、d都是正數(shù)，求證：（ab＋cd）（ac＋bd）≥4abcd分析：此題要求學生注意與均值不等式定理的“形”上發(fā)生聯(lián)系，從而正確運用，同時加強對均值不等式定理的條件的認識.證明：由a、b、c、d都是正數(shù)，得eq\f(ab＋cd,2)≥eq\r(ab·cd)＞0，eq\f(ac＋bd,2)≥eq\r(ac·bd)＞0，∴eq\f(（ab＋cd）（ac＋bd）,4)≥abcd即（ab＋cd）（ac＋bd）≥4abcd例3某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為4800m3，深為3m，如果池底每1m2的造價為150元，池壁每1m2的造價為120元，問怎樣設計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？分析：此題首先需要由實際問題向數(shù)學問題轉化，即建立函數(shù)關系式，然后求函數(shù)的最值，其中用到了均值不等式定理.解：設水池底面一邊的長度為xm，水池的總造價為l元，根據(jù)題意，得l＝240000＋720（x＋eq\f(1600,x)）≥240000＋720×2eq\r(x·eq\f(1600,x))＝240000＋720×2×40＝297600當x＝eq\f(1600,x)，即x＝40時，l有最小值297600因此，當水池的底面是邊長為40m的正方形時，水池的總造價最低，最低總造價是297600元.評述：此題既是不等式性質(zhì)在實際中的應用，應注意數(shù)學語言的應用即函數(shù)解析式的建立，又是不等式性質(zhì)在求最值中的應用，應注意不等式性質(zhì)的適用條件.三、課堂練習：課本P91練習1，2，3，4.四、課堂小結：通過本節(jié)學習，要求大家掌握兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會應用它證明一些不等式及求函數(shù)的最值，，但是在應用時，應注意定理的適用條件。五、課后作業(yè)課本P10習題1.1第5，6，7題六、教學后記：課題：第03課時三個正數(shù)的算術-幾何平均不等式教學目標：1．能利用三個正數(shù)的算術-幾何平均不等式證明一些簡單的不等式，解決最值問題；2．了解基本不等式的推廣形式。教學重點：三個正數(shù)的算術-幾何平均不等式教學難點：利用三個正數(shù)的算術-幾何平均不等式證明一些簡單的不等式，解決最值問題教學過程：一、知識學習：定理3：如果，那么。當且僅當時，等號成立。推廣：≥。當且僅當時，等號成立。語言表述：n個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。思考：類比基本不等式，是否存在：如果，那么（當且僅當時，等號成立）呢？試證明。二、例題分析：例1：求函數(shù)的最小值。解一：∴解二：當即時∴上述兩種做法哪種是錯的？錯誤的原因是什么？變式訓練1的最小值。由此題，你覺得在利用不等式解決這類題目時關鍵是要_____________________例2：如下圖，把一塊邊長是a的正方形鐵片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的邊沿名著虛線折轉成一個無蓋方底的盒子，問切去的正方形邊長是多少時，才能使盒子的容積最大？變式訓練2已知：長方體的全面積為定值Ｓ，試問這個長方體的長、寬、高各是多少時，它的體積最大，求出這個最大值．由例題，我們應該更牢記一____二_____三________，三者缺一不可。另外，由不等號的方向也可以知道：積定____________，和定______________.三、鞏固練習1.函數(shù)的最小值是()A.6B.C.9D.122.函數(shù)的最小值是____________3．函數(shù)的最大值是（）A.0B.1C.D.4.(2009浙江自選)已知正數(shù)滿足，求的最小值。5（2008，江蘇，21）設為正實數(shù)，求證：四、課堂小結：通過本節(jié)學習，要求大家掌握三個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會應用它證明一些不等式及求函數(shù)的最值，，但是在應用時，應注意定理的適用條件。五、課后作業(yè)P10習題1.1第11，12，13題六、教學后記：課題：第04課時絕對值三角不等式教學目標：1：了解絕對值三角不等式的含義，理解絕對值三角不等式公式及推導方法，會進行簡單的應用。2：充分運用觀察、類比、猜想、分析證明的數(shù)學思維方法，體會轉化和數(shù)形結合的數(shù)學思想，并能運用絕對值三角不等式公式進行推理和證明。教學重點：絕對值三角不等式的含義，絕對值三角不等式的理解和運用。教學難點：絕對值三角不等式的發(fā)現(xiàn)和推導、取等條件。教學過程：一、復習引入：關于含有絕對值的不等式的問題，主要包括兩類：一類是解不等式，另一類是證明不等式。本節(jié)課探討不等式證明這類問題。1．請同學們回憶一下絕對值的意義。。幾何意義：在數(shù)軸上，一個點到原點的距離稱為這個點所表示的數(shù)的絕對值。2．證明一個含有絕對值的不等式成立，除了要應用一般不等式的基本性質(zhì)之外，經(jīng)常還要用到關于絕對值的和、差、積、商的性質(zhì)：（1），當且僅當時等號成立，當且僅當時等號成立。（2），（3），（4）那么二、講解新課：結論：（當且僅當時，等號成立.）已知是實數(shù)，試證明：（當且僅當時，等號成立.）方法一：證明:10.當ab≥0時,20.當ab<0時,綜合10,20知定理成立.方法二：分析法，兩邊平方（略）定理1如果是實數(shù)，則（當且僅當時，等號成立.）（1）若把換為向量情形又怎樣呢？根據(jù)定理1，有，就是，。所以，。定理（絕對值三角形不等式）如果是實數(shù)，則注：當為復數(shù)或向量時結論也成立.推論1：推論2：如果是實數(shù),那么,當且僅當時,等號成立.思考：如何利用數(shù)軸給出推論2的幾何解釋？（設A，B，C為數(shù)軸上的3個點，分別表示數(shù)a，b，c，則線段當且僅當C在A，B之間時，等號成立。這就是上面的例3。特別的，取c＝0（即C為原點），就得到例2的后半部分。）三、典型例題：例1、已知，求證證明（1），∴（2）由（1），（2）得：例2、已知求證：。證明，∴，由例1及上式，。注意：在推理比較簡單時，我們常常將幾個不等式連在一起寫。但這種寫法，只能用于不等號方向相同的不等式。例3兩個施工隊分別被安排在公路沿線的兩個地點施工,這兩個地點分別位于公路路碑的第10公里和第20公里處.現(xiàn)要在公路沿線建兩個施工隊的共同臨時生活區(qū),每個施工隊每天在生活區(qū)和施工地點之間往返一次,要使兩個施工隊每天往返的路程之和最小,生活區(qū)應該建于何處?解：如果生活區(qū)建于公路路碑的第xkm處，兩施工隊每天往返的路程之和為S(x)km那么S(x)=2(|x-10|+|x-20|)四、課堂練習：1.(課本習題1.2第1題)求證:⑴;⑵2.(課本P19習題1.2第3題)求證:⑴;⑵3．（1）、已知求證：。（2）、已知求證：。五、課堂小結：1．實數(shù)的絕對值的意義:⑴;（定義）⑵的幾何意義:2．定理（絕對值三角形不等式）如果是實數(shù)，則注意取等的條件。六、課后作業(yè)：課本P19第2，4，5題七．教學后記：課題：第05課時絕對值不等式的解法教學目標：1：理解并掌握和型不等式的解法。2：充分運用觀察、類比、猜想、分析證明的數(shù)學思維方法，體會轉化和數(shù)形結合的數(shù)學思想，并能運用絕對值三角不等式公式進行推理和證明。教學重點：絕對值三角不等式的含義，絕對值三角不等式的理解和運用。教學難點：絕對值三角不等式的發(fā)現(xiàn)和推導、取等條件。教學過程：一、復習引入：在初中課程的學習中，我們已經(jīng)對不等式和絕對值的一些基本知識有了一定的了解。請同學們回憶一下絕對值的意義。在數(shù)軸上，一個點到原點的距離稱為這個點所表示的數(shù)的絕對值。即。在此基礎上，本節(jié)討論含有絕對值的不等式。二、新課學習：關于含有絕對值的不等式的問題，主要包括兩類：一類是解不等式，另一類是證明不等式。下面分別就這兩類問題展開探討。1、解在絕對值符號內(nèi)含有未知數(shù)的不等式（也稱絕對值不等式），關鍵在于去掉絕對值符號，化成普通的不等式。主要的依據(jù)是絕對值的幾何意義.2、含有絕對值的不等式有兩種基本的類型。第一種類型：設a為正數(shù)。根據(jù)絕對值的意義，不等式的解集是，它的幾何意義就是數(shù)軸上到原點的距離小于a的點的集合是開區(qū)間（－a，a），如圖所示。圖1-1如果給定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的結果來解。第二種類型：設a為正數(shù)。根據(jù)絕對值的意義，不等式的解集是{或}，它的幾何意義就是數(shù)軸上到原點的距離大于a的點的集合是兩個開區(qū)間的并集。如圖1-2所示。–圖1-2同樣，如果給定的不等式符合這種類型，就可以直接利用它的結果來解。3、和型不等式的解法。4、和型不等式的解法。（三種思路）三、典型例題：例1、解不等式。例2、解不等式。方法1：分類討論。方法2：依題意，原不等式等價于或，然后去解。例3、解不等式。例4、解不等式。解：本題可以按照例3的方法解，但更簡單的解法是利用幾何意義。原不等式即數(shù)軸上的點x到1，2的距離的和大于等于5。因為1，2的距離為1，所以x在2的右邊，與2的距離大于等于2（＝（5－1）；或者x在1的左邊，與1的距離大于等于2。這就是說，或例5、不等式>，對一切實數(shù)都成立，求實數(shù)的取值范圍。四、課堂練習：解下列不等式：1、2、3、.4、.5、6、.7、8、9、10、五、課后作業(yè)：課本20第6、7、8、9題。六、教學后記：第二講證明不等式的基本方法課題：第01課時不等式的證明方法之一：比較法教學目標：能熟練地運用作差、作商比較法證明不等式。教學重、難點：能熟練地運用作差、作商比較法證明不等式。教學過程：一、新課學習：要比較兩個實數(shù)的大小，只要考察它們的差的符號即可，即利用不等式的性質(zhì)：二、典型例題：例1、設都是正數(shù)，且，求證：。例2、若實數(shù)，求證：證明：采用差值比較法：====∴∴討論：若題設中去掉這一限制條件，要求證的結論如何變換？例3、已知求證本題可以嘗試使用差值比較和商值比較兩種方法進行。證明：1)差值比較法：注意到要證的不等式關于對稱，不妨設，從而原不等式得證。2）商值比較法：設故原不等式得證。例4、甲、乙兩人同時同地沿同一路線走到同一地點。甲有一半時間以速度行走，另一半時間以速度行走；乙有一半路程以速度行走，另一半路程以速度行走。如果，問甲、乙兩人誰先到達指定地點。分析：設從出發(fā)地點至指定地點的路程是，甲、乙兩人走完這段路程所用的時間分別為。要回答題目中的問題，只要比較的大小就可以了。解：設從出發(fā)地點至指定地點的路程是，甲、乙兩人走完這段路程所用的時間分別為，根據(jù)題意有，，可得，，從而，其中都是正數(shù)，且。于是，即。從而知甲比乙首先到達指定地點。討論：如果，甲、乙兩人誰先到達指定地點？三、課堂練習：1．比較下面各題中兩個代數(shù)式值的大小：（1）與；（2）與.2．已知求證：（1）（2）3．若，求證四、課時小結：比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法。用比較法證明不等式的步驟是：作差（或作商）、變形、判斷符號?！白冃巍笔墙忸}的關鍵，是最重一步。因式分解、配方、湊成若干個平方和等是“變形”的常用方法。五、課后作業(yè)：課本23頁第1、2、3、4題。六、教學后記：課題：第02課時不等式的證明方法之二：綜合法與分析法教學目標：結合已經(jīng)學過的數(shù)學實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法。了解分析法和綜合法的思考過程。教學重點：會用綜合法證明問題；了解綜合法的思考過程。教學難點：根據(jù)問題的特點，結合綜合法的思考過程、特點，選擇適當?shù)淖C明方法。教學過程：一、引入：綜合法和分析法是數(shù)學中常用的兩種直接證明方法，也是不等式證明中的基本方法。由于兩者在證明思路上存在著明顯的互逆性，這里將其放在一起加以認識、學習，以便于對比研究兩種思路方法的特點。所謂綜合法，即從已知條件出發(fā)，根據(jù)不等式的性質(zhì)或已知的不等式，逐步推導出要證的不等式。而分析法，則是由結果開始，倒過來尋找原因，直至原因成為明顯的或者在已知中。前一種是“由因及果”，后一種是“執(zhí)果索因”。打一個比方：張三在山里迷了路，救援人員從駐地出發(fā)，逐步尋找，直至找到他，這是“綜合法”；而張三自己找路，直至回到駐地，這是“分析法”。二、典型例題：例1、已知，且不全相等。求證：分析：用綜合法。例2、設，求證證法一分析法要證成立.只需證成立，又因，只需證成立，又需證成立，即需證成立.而顯然成立.由此命題得證。證法二綜合法 注意到，即，由上式即得，從而成立。議一議：根據(jù)上面的例證，你能指出綜合法和分析法的主要特點嗎？例3、已知a，b，m都是正數(shù)，并且求證：（1）證法一要證（1），只需證（2）要證（2），只需證（3）要證（3），只需證 （4）已知（4）成立，所以（1）成立。上面的證明用的是分析法。下面的證法二采用綜合法。證法二因為是正數(shù)，所以兩邊同時加上得兩邊同時除以正數(shù)得（1）。例4、證明：通過水管放水，當流速相同時，如果水管橫截面的周長相等，那么橫截面是圓的水管比橫截面是正方形的水管流量大。分析：當水的流速相同時，水管的流量取決于水管橫截面面積的大小。設截面的周長為，則周長為的圓的半徑為，截面積為；周長為的正方形為，截面積為。所以本題只需證明。證明：設截面的周長為，則截面是圓的水管的截面面積為，截面是正方形的水管的截面面積為。只需證明：。為了證明上式成立，只需證明。兩邊同乘以正數(shù)，得：。因此，只需證明。上式顯然成立，所以。這就證明了：通過水管放水，當流速相同時，如果水管橫截面的周長相等，那么橫截面是圓的水管比橫截面是正方形的水管流量大。例5、證明：。證法一：因為（2）（3）（4）所以三式相加得（5）兩邊同時除以2即得（1）。證法二：所以（1）成立。例6、證明：（1）證明（1）（2） （3） （4） （5）（5）顯然成立。因此（1）成立。例7、已知都是正數(shù)，求證并指出等號在什么時候成立？分析：本題可以考慮利用因式分解公式著手。證明：==由于都是正數(shù)，所以而，可知即（等號在時成立）探究：如果將不等式中的分別用來代替，并在兩邊同除以3，會得到怎樣的不等式？并利用得到的結果證明不等式：，其中是互不相等的正數(shù)，且.三、課堂小結：解不等式時，在不等式的兩邊分別作恒等變形，在不等式的兩邊同時加上（或減去）一個數(shù)或代數(shù)式，移項，在不等式的兩邊同時乘以（或除以）一個正數(shù)或一個正的代數(shù)式，得到的不等式都和原來的不等式等價。這些方法，也是利用綜合法和分析法證明不等式時常常用到的技巧。四、課堂練習：1、已知求證：2、已知求證3、已知求證4、已知求證：（1）（2）5、已知都是正數(shù)。求證：（1）（2）6、已知都是互不相等的正數(shù)，求證五、課后作業(yè)：課本25頁第1、2、3、4題。六、教學后記：課題：第03課時不等式的證明方法之三：反證法教學目標：通過實例，體會反證法的含義、過程與方法，了解反證法的基本步驟，會用反證法證明簡單的命題。教學重點：體會反證法證明命題的思路方法，會用反證法證明簡單的命題。教學難點：會用反證法證明簡單的命題。教學過程:一、引入：前面所講的幾種方法，屬于不等式的直接證法。也就是說，直接從題設出發(fā)，經(jīng)過一系列的邏輯推理，證明不等式成立。但對于一些較復雜的不等式，有時很難直接入手求證，這時可考慮采用間接證明的方法。所謂間接證明即是指不直接從正面確定論題的真實性，而是證明它的反論題為假，或轉而證明它的等價命題為真，以間接地達到目的。其中，反證法是間接證明的一種基本方法。反證法在于表明：若肯定命題的條件而否定其結論，就會導致矛盾。具體地說，反證法不直接證明命題“若p則q”，而是先肯定命題的條件p，并否定命題的結論q，然后通過合理的邏輯推理，而得到矛盾，從而斷定原來的結論是正確的。利用反證法證明不等式，一般有下面幾個步驟：第一步分清欲證不等式所涉及到的條件和結論；第二步作出與所證不等式相反的假定；第三步從條件和假定出發(fā)，應用證確的推理方法，推出矛盾結果；第四步斷定產(chǎn)生矛盾結果的原因，在于開始所作的假定不正確，于是原證不等式成立。二、典型例題：例1、已知，求證：（且）例1、設，求證證明：假設，則有，從而因為，所以，這與題設條件矛盾，所以，原不等式成立。例2、設二次函數(shù)，求證：中至少有一個不小于.證明：假設都小于，則（1）另一方面，由絕對值不等式的性質(zhì)，有（2）（1）、（2）兩式的結果矛盾，所以假設不成立，原來的結論正確。注意：諸如本例中的問題，當要證明幾個代數(shù)式中，至少有一個滿足某個不等式時，通常采用反證法進行。議一議：一般來說，利用反證法證明不等式的第三步所稱的矛盾結果，通常是指所推出的結果與已知公理、定義、定理或已知條件、已證不等式，以及與臨時假定矛盾等各種情況。試根據(jù)上述兩例，討論尋找矛盾的手段、方法有什么特點？例3、設0<a,b,c<1，求證：(1a)b,(1b)c,(1c)a,不可能同時大于證：設(1a)b>,(1b)c>,(1c)a>,則三式相乘：ab<(1a)b?(1b)c?(1c)a<①又∵0<a,b,c<1∴同理：,以上三式相乘：(1a)a?(1b)b?(1c)c≤與①矛盾∴原式成立例4、已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求證：a,b,c>0證：設a<0,∵abc>0,∴bc<0又由a+b+c>0,則b+c=a>0∴ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0與題設矛盾又：若a=0，則與abc>0矛盾，∴必有a>0同理可證：b>0,c>0三、課堂練習：1、利用反證法證明：若已知a，b，m都是正數(shù)，并且，則2、設0<a,b,c<2，求證：(2a)c,(2b)a,(2c)b,不可能同時大于13、若x,y>0，且x+y>2，則和中至少有一個小于2。提示：反設≥2，≥2∵x,y>0，可得x+y≤2與x+y>2矛盾。四、課時小結：利用反證法證明不等式，一般有下面幾個步驟：第一步分清欲證不等式所涉及到的條件和結論；第二步作出與所證不等式相反的假定；第三步從條件和假定出發(fā)，應用證確的推理方法，推出矛盾結果；第四步斷定產(chǎn)生矛盾結果的原因，在于開始所作的假定不正確，于是原證不等式成立。五、課后作業(yè)：課本29頁第1、4題。六、教學后記：

課題：第04課時不等式的證明方法之四：放縮法教學目標：1．感受在什么情況下，需要用放縮法證明不等式。2．探索用放縮法證明不等式的理論依據(jù)和技巧。教學重、難點：1．掌握證明不等式的兩種放縮技巧。2．體會用放縮法證明不等式時放大或縮小的“度”。教學過程：一、引入：所謂放縮法，即是把要證的不等式一邊適當?shù)胤糯螅ɑ蚩s?。怪贸雒黠@的不等量關系后，再應用不等量大、小的傳遞性，從而使不等式得到證明的方法。這種方法是證明不等式中的常用方法，尤其在今后學習高等數(shù)學時用處更為廣泛。下面我們通過一些簡單例證體會這種方法的基本思想。二、典型例題：例1、若是自然數(shù)，求證證明：==注意：實際上，我們在證明的過程中，已經(jīng)得到一個更強的結論，這恰恰在一定程度上體現(xiàn)了放縮法的基本思想。例2、求證：證明：由（是大于2的自然數(shù)）得例3、若a,b,c,dR+，求證：證：記m=∵a,b,c,dR+∴∴1<m<2即原式成立。例4、當n>2時，求證：證：∵n>2∴∴∴n>2時,三、課堂練習：1、設為大于1的自然數(shù)，求證2、設為自然數(shù)，求證四、課時小結：常用的兩種放縮技巧：對于分子分母均取正值的分式，（Ⅰ）如果分子不變，分母縮?。ǚ帜溉詾檎龜?shù)），則分式的值放大；（Ⅱ）如果分子不變，分母放大，則分式的值縮小。五、課后作業(yè)：課本29頁第2、3題。第三講柯西不等式與排序不等式課題：第01課時二維形式的柯西不等式（一）教學目標：認識二維柯西不等式的幾種形式，理解它們的幾何意義，并會證明二維柯西不等式及向量形式.教學重點：會證明二維柯西不等式及三角不等式.教學難點：理解幾何意義.教學過程：一、復習準備：1.提問：二元均值不等式有哪幾種形式？答案：及幾種變式.2.練習：已知a、b、c、d為實數(shù)，求證證法：（比較法）=….=二、講授新課：1.柯西不等式：①提出定理1：若a、b、c、d為實數(shù)，則.→即二維形式的柯西不等式→什么時候取等號？②討論：二維形式的柯西不等式的其它證明方法？證法二：（綜合法）.（要點：展開→配方）證法三：（向量法）設向量，，則，.∵，且，則.∴…..證法四：（函數(shù)法）設，則≥0恒成立.∴≤0，即…..③討論：二維形式的柯西不等式的一些變式？變式：或或.④提出定理2：設是兩個向量，則.即柯西不等式的向量形式（由向量法提出）→討論：上面時候等號成立？（是零向量，或者共線）⑤練習：已知a、b、c、d為實數(shù)，求證.證法：（分析法）平方→應用柯西不等式→討論：其幾何意義？（構造三角形）2.教學三角不等式：出示定理3：設，則.分析其幾何意義→如何利用柯西不等式證明→變式：若，則結合以上幾何意義，可得到怎樣的三角不等式？三、應用舉例：例1：已知a,b為實數(shù)，求證說明：在證明不等式時，聯(lián)系經(jīng)典不等式，既可以啟發(fā)證明思路，又可以簡化運算。所以，經(jīng)典不等式是數(shù)學研究的有力工具。例題2：求函數(shù)的最大值。分析：利用不等式解決最值問題，通常設法在不等式的一邊得到一個常數(shù)，并尋找不等式取等號的條件。這個函數(shù)的解析式是兩部分的和，若能化為ac+bd的形式就能用柯西不等式求其最大值。（）解：函數(shù)的定義域為【1，5】，且y>0當且僅當時，等號成立，即時，函數(shù)取最大值課堂練習：1.證明:(x2+y4)(a4+b2)≥(a2x+by2)22.求函數(shù)的最大值.例3.設a,b是正實數(shù)，a+b=1，求證分析：注意到，有了就可以用柯西不等式了。四、鞏固練習：1.練習：試寫出三維形式的柯西不等式和三角不等式2.已知x+2y=1,求x2+y2的最小值.五、課堂小結：二維柯西不等式的代數(shù)形式、向量形式；三角不等式的兩種形式（兩點、三點）六、布置作業(yè)：P37頁，4，5，7，8，9七、教學后記：課題：第02課時二維形式的柯西不等式（二）教學目標：會利用二維柯西不等式及三角不等式解決問題，體會運用經(jīng)典不等式的一般方法——發(fā)現(xiàn)具體問題與經(jīng)典不等式之間的關系，經(jīng)過適當變形，依據(jù)經(jīng)典不等式得到不等關系.教學重點：利用二維柯西不等式解決問題.教學難點：如何變形，套用已知不等式的形式.教學過程：一、復習引入：1.提問：二維形式的柯西不等式、三角不等式？幾何意義？答案：；2.討論：如何將二維形式的柯西不等式、三角不等式，拓廣到三維、四維？3.如何利用二維柯西不等式求函數(shù)的最大值?要點：利用變式.二、講授新課：1.最大（?。┲担孩俪鍪纠?：求函數(shù)的最大值？分析：如何變形？→構造柯西不等式的形式→板演→變式：→推廣：②練習：已知，求的最小值.解答要點：（湊配法）.討論：其它方法（數(shù)形結合法）2.不等式的證明：①出示例2：若，，求證：.分析：如何變形后利用柯西不等式？（注意對比→構造）要點：…討論：其它證法（利用基本不等式）②練習：已知、，求證：.三、應用舉例：例1已知a1,a2,…,an都是實數(shù)，求證：分析：用n乘要證的式子兩邊，能使式子變成明顯符合柯西不等式的形式。例2已知a，b，c，d是不全相等的實數(shù)，證明：a2+b2+c2+d2>ab+bc+cd+da分析：上式兩邊都是由a,b,c,d這四個數(shù)組成的式子，特別是右邊式子的字母排列順序啟發(fā)我們，可以用柯西不等式進行證明。分析：由形式，聯(lián)系柯西不等式，可以通過構造（12+22+32）作為一個因式而解決問題。四、鞏固練習：1.練習：教材P378、9題練習：1．設x，y，z為正實數(shù)，且x+y+z=1，求的最小值。2．已知a+b+c+d=1，求a2+b2+c2+d2的最小值。3．已知a，b，c為正實數(shù)，且a+2b+3c=9，求的最大值。選做：4．已知a，b，c為正實數(shù)，且a2+2b2+3c2=6，求a+b+c的最小值。（08廣一模）5．已知a，b，c為正實數(shù)，且a+2b+c=1，求的最小值。（08東莞二模）6．已知x+y+z=，則m=x2+2y2+z2的最小值是____________.(08惠州調(diào)研)五、布置作業(yè)：教材P371、6、7題①已知，且，則的最小值.要點：….→其它證法②若，且，求的最小值.（要點：利用三維柯西不等式）變式：若，且，求的最大值.六、課堂小結：比較柯西不等式的形式，將目標式進行變形，注意湊配、構造等技巧.七、教學后記：課題：第03課時一般形式的柯西不等式教學目標：1.認識柯西不等式的幾種不同形式，理解其幾何意義；2.通過運用這種不等式分析解決一些問題，體會運用經(jīng)典不等式的一般方法教學重點：一般形式柯西不等式的證明思路，運用這個不等式證明不等式。教學難點：應用一般形式柯西不等式證明不等式。教學過程：一、復習引入：定理1：（柯西不等式的代數(shù)形式）設均為實數(shù)，則，其中等號當且僅當時成立。定理2：（柯西不等式的向量形式）設，為平面上的兩個向量，則，其中等號當且僅當兩個向量方向相同或相反（即兩個向量共線）時成立。定理3：（三角形不等式）設為任意實數(shù)，則：二、講授新課：類似的，從空間向量的幾何背景業(yè)能得到|α.β|≤|α||β|.將空間向量的坐標代入，可得到這就是三維形式的柯西不等式.對比二維形式和三維形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式嗎？定理4：（一般形式的柯西不等式）：設為大于1的自然數(shù)，（1，2，…，）為任意實數(shù)，則：即，其中等號當且僅當時成立（當時，約定，1，2，…，）。證明：構造二次函數(shù)：即構造了一個二次函數(shù)：由于對任意實數(shù)，恒成立，則其，即：，即：，等號當且僅當，即等號當且僅當時成立（當時，約定，1，2，…，）。如果（）全為0，結論顯然成立。三、應用舉例：例3已知a1,a2,…,an都是實數(shù)，求證：分析：用n乘要證的式子兩邊，能使式子變成明顯符合柯西不等式的形式。例4已知a，b，c，d是不全相等的實數(shù)，證明：a2+b2+c2+d2>ab+bc+cd+da分析：上式兩邊都是由a,b,c,d這四個數(shù)組成的式子，特別是右邊式子的字母排列順序啟發(fā)我們，可以用柯西不等式進行證明。分析：由形式，聯(lián)系柯西不等式，可以通過構造（12+22+32）作為一個因式而解決問題。四、鞏固練習：練習：1．設x，y，z為正實數(shù)，且x+y+z=1，求的最小值。2．已知a+b+c+d=1，求a2+b2+c2+d2的最小值。3．已知a，b，c為正實數(shù)，且a+2b+3c=9，求的最大值。選做：4．已知a，b，c為正實數(shù)，且a2+2b2+3c2=6，求a+b+c的最小值。（08廣一模）5．已知a，b，c為正實數(shù)，且a+2b+c=1，求的最小值。（08東莞二模）6．已知x+y+z=，則m=x2+2y2+z2的最小值是____________.(08惠州調(diào)研)五、課堂小結：重點掌握三維柯西不等式的運用。六、布置作業(yè)：P41習題3.22，3，4，5七、教學后記：課題：第04課時排序不等式教學目標：1.了解排序不等式的基本形式，會運用排序不等式分析解決一些簡單問題;2.體會運用經(jīng)典不等式的一般思想方法教學重點：應用排序不等式證明不等式教學難點：排序不等式的證明思路教學過程一、復習準備：1.提問：前面所學習的一些經(jīng)典不等式？（柯西不等式、三角不等式）2.舉例：說說兩類經(jīng)典不等式的應用實例.二、講授新課：1.教學排序不等式：①看書：P41~P44.如如圖，設，自點沿邊依次取個點，邊依次取取個點，在邊取某個點與邊某個點連接，得到，這樣一一搭配，一共可得到個三角形。顯然，不同的搭配方法，得到的不同，問：邊上的點與邊上的點如何搭配，才能使個三角形的面積和最大（或最?。吭O，由已知條件，得因為的面積是，而是常數(shù)，于是，上面的幾何問題就可以歸結為代數(shù)問題：則何時取最大（或最?。┲?？我們把叫做數(shù)組與的亂序和.其中,稱為序和.稱為序和.這樣的三個和大小關系如何?設有兩個有序?qū)崝?shù)組:···;···，···是，···的任一排列,則有···+(同序和)+···+(亂序和)+···+(反序和)當且僅當···=或···=時，反序和等于同序和.（要點：理解其思想，記住其形式）三、應用舉例：例1：設是n個互不相同的正整數(shù)，求證：.分析：如何構造有序排列？如何運用套用排序不等式？證明過程：設是的一個排列，且，則.又，由排序不等式，得…小結：分析目標，構造有序排列.四、鞏固練習：1.練習：教材P451題2.已知為正數(shù)，求證：.解答要點：由對稱性，假設，則，于是，，兩式相加即得.五、課堂小結：排序不等式的基本形式.六、布置作業(yè)：教材P453、4題七、教學后記：第四講數(shù)學歸納法證明不等式課題：第01課時數(shù)學歸納法（一）教學目標：1.了解數(shù)學歸納法的原理，能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的與正整數(shù)有關的數(shù)學命題；2.進一步發(fā)展猜想歸納能力和創(chuàng)新能力，經(jīng)歷知識的構建過程,體會類比的數(shù)學思想。教學重點：數(shù)學歸納法產(chǎn)生過程的分析和對數(shù)學歸納法的證題步驟的掌握。教學難點：數(shù)學歸納法中遞推思想的理解。教學過程：一、創(chuàng)設情境，引出課題（1）不完全歸納法：今天早上，我曾疑惑，怎么一中（永昌一中）只招男生嗎？因為清晨我在學校門口看到第一個進校園的是男同學，第二個進校園的也是男同學，第三個進校園的還是男同學。于是得出結論：學校里全部都是男同學，同學們說我的結論對嗎？（這顯然是一個錯誤的結論，說明不完全歸納的結論是不可靠的，進而引出第二個問題）（2）完全歸納法：一個火柴盒，里面共有五根火柴，抽出一根是紅色的，抽出第二根也是紅色的，請問怎樣驗證五根火柴都是紅色的呢？（將火柴盒打開，取出剩下的火柴，逐一進行驗證。）注：對于以上二例的結果是非常明顯的，教學中主要用以上二題引出數(shù)學歸納法。結論：不完全歸納法→結論不可靠；完全歸納法→結論可靠。問題：以上問題都是與正整數(shù)有關的問題，從上例可以看出，要想正確的解決一個與此有關的問題，就可靠性而言，應該選用第幾種方法？（完全歸納法）情境一：（播放多米諾骨牌視頻）問：怎樣才能讓多米諾骨牌全部倒下？二、講授新課：探究一：讓所有的多米諾骨牌全部倒下，必須具備什么條件？條件一：第一張骨牌倒下；條件二：任意相鄰的兩張骨牌，前一張倒下一定導致后一張倒下。探究二：同學們在看完多米諾骨牌視頻后，是否對怎樣證明有些啟發(fā)？得出結論：證明的兩個步驟：（1）證明當時，命題成立；（2）假設當時命題成立，證明當時命題也成立。一般地，證明一個與正整數(shù)有關的命題，可按下列步驟進行：（1）（歸納奠基）證明當取第一個值時命題成立；（2）（歸納遞推）假設時命題成立，證明當時，命題也成立。只要完成以上兩個步驟，就可以判定命題對從開始的所有正整數(shù)都成立。上述方法叫做數(shù)學歸納法。三、應用舉例：例1用數(shù)學歸納法證明：證明：（1）當時，左邊，右邊，等式成立；（2）假設當（k≥1,kN*）時，，那么：，則當時也成立。根據(jù)（1）和（2），可知等式對任何都成立。注：①對例1，首先說明在利用數(shù)學歸納法證題時，當時的證明必須利用的歸納假設，例2：用數(shù)學歸納法證明求證：能被6整除.[證明]：.當時，13+5×1=6能被6整除，命題正確；.假設時命題正確，即能被6整除，∴當時，，∵兩個連續(xù)的整數(shù)的乘積是偶數(shù)，能被6整除，能被6整除，即當時命題也正確，由知命題時都正確.即：當時，等式成立。根據(jù)（1）和（2），可知等式對任何都成立。注：上例可讓學生獨立完成，教師板書寫現(xiàn)完整過程，以突出數(shù)學歸納法證題的一般步驟。四、鞏固練習：P50練習題第1、2題五、課堂小結：問：今天我們學習了一種很重要的數(shù)學證明方法，通過本節(jié)課的學習，你有哪些收獲？（學生總結，教師整理）1、數(shù)學來源于生活，生活中有許多形如“數(shù)學歸納法”這樣的方法等著我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)。2、數(shù)學歸納法中蘊含著一種很重要的數(shù)學思想：遞推思想；3、數(shù)學歸納法一般步驟：驗證時命題成立驗證時命題成立若時命題成立，證明當時命題也成立歸納奠基歸納遞推命題對從命題對從開始所有的正整數(shù)都成立4、應用數(shù)學歸納法要注意以下幾點：第一步是基礎，沒有第一步，只有第二步就如空中樓閣，是不可靠的；第二步是證明傳遞性，只有第一步，沒有第二步，只能是不完全歸納法；n0是使命題成立的最小正整數(shù)，n0不一定取1，也可取其它一些正整數(shù)；第二步的證明必須利用歸納假設，否則不能稱作數(shù)學歸納法。六、布置作業(yè)：P50練習題第1、2、3題七、教學后記：課題：第02課時數(shù)學歸納法（二）教學目標：掌握數(shù)學歸納法的證明步驟，熟練表達數(shù)學歸納法證明過程.對數(shù)學歸納法的認識不斷深化.掌握數(shù)學歸納法的應用：教學重點：解數(shù)學歸納法的實質(zhì)意義，掌握數(shù)學歸納法的證題步驟教學難點：數(shù)學歸納法證題有效性的理解教學過程：一、復習回顧：數(shù)學歸納法兩大步：（i）歸納奠基：證明當n取第一個值n0時命題成立；（