高中數學第二章平面向量及其應用測評課后習題含解析

第二章測評

(時間:120分鐘滿分:150分)

一、單項選擇題(本題共8小題,每小題5分，共40分)

1.已知在。ABCC中，而=(2,8),通=(-3,4),則前=)

C.(l,-12)D.(l,12)

醒畫因為四邊形ABC。是平行四邊形，所以前=而+而=(-1,12).

彝B

2.如果a,b是兩個單位向量，那么下列四個結論中正確的是()

A.a=bB.ab=l

C.a=-bD.|a|=|b|

隆而|兩個單位向量的方向不一定相同或相反，所以選項A,C不正確;由于兩個單位向量的夾角不確定,

則ab=l不成立，所以選項B不正確;|a|=|b|=l,則選項D正確.

奉D

3.如圖,a-b等于()

A.2ei-4e2B.-4ei-2e2

C.ei-3e2D.3ei-e2

解析a-b=ei-3e2.

C

4.如圖，正方形ABC。中，點分別是0cBe的中點，那么前=()

A.2-AB2+-AD

B.--AB--AD

22

C.-2-A2B+-AD

D.-AB--AD

22

|解析［前==^(AB-AD).

gSD

5.已知4船在燈塔C北偏東70°方向2km處,8船在燈塔C北偏西50°方向3km處，則A,B兩船的

距離為()

A.-719km

B.V7km

C.(V6+l)km

D.(V6-1)km

據題意，在平面直角坐標系中作示意圖，如圖所示，

易知在△ABC中,BC=3,AC=2,NBC4=120°,故由余弦定理可得482=Ac2+BC2-2ACBC?cosN

BCA,

解得A82=19,則AB=g.故選A.

量A

6.已知a,b,c是共起點的向量,a,b不共線，且存在使c=〃?a+"b成立，若a,b,c的終點共線，則必

有（）

A.zn+n=O

C.m+n=\D.m+n=-\

|解析|設瓦?=a,05=b,OC=c,

因為a、b、c的終點共線，

所以設彳？=2荏，即0?-OA=X(OB-0A1

所以小=(11)次+2赤，即c=(l-2)a+Nb.

又c=ma+〃b,所以—m,

U=n,

所以tn+n=\.

gg]c

7.在100m高的山頂上，測得山下一塔頂與塔底的俯角分別為30。和60°,則塔高是（）

A400「400V3

A.——mB.-----m

33

c200V3c200

C.----mD.——m

33

畫如

E_D

衛(wèi)

圖所示，山高為AB=100m,塔高為CD,

根據題意可知NBC4=60°,

NCBD=30：

在RtMBC中，

ccAB100200V3

f-tf—_____________—______

sinZ-BCA-逅-3'

2

在4BCD中,NCBD=NBCD=3Q°,ZBDC=120°,

1200V3

由正弦定理得一咚=BCC￡）=F^=竺9.故選D.

sin30°sinl200在3

2

^a]p

8.已知|萬?|=|礪1=1瓦|=1,。為BC的中點，且|就|=百,則而?瓦的最大值為（）

B.-C.V3D.2

2

為|初|=|而|=|反|=1,所以A,8,C在以O為圓心半徑為1的圓上.

以。為原點,0。所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，

因為|瓦匚百麗匚1,0為BC的中點，所以|。。|三，

則"冬。C（日』,￡>（0』,設4（不歷,則而=（.,-"尻=（百,0）,所以荷?近=-岳,因為-

IWXWI,當A與E重合，即x=-l時，亞?前的最大值為百.故選C.

ggc

二、多項選擇題（本題共4小題,每小題5分，共20分）

9.已知A48C的面積為|,且Z?=2,c=g,則A=（）

A.30°B.60°C.150°D.1200

|解析|因為S=”csirt4=|,

所以Lx2xV^sinA=2,

22

所以疝偌=今因為0°<A<180",

所以A=60°或120°.

故選BD.

答案|BD

10.下列命題中，正確的是（）

A.對于任意向量a,b方|a+b|W|a|+|b|

B.若a?b=O,則a=0或b=0

C.對于任意向量a,b,有|a?b|W|a||b|

D.若a,b共線，則a-b=±|a||b|

|解析|由向量加法的三角形法則可知A正確；

當a±b時,a-b=O,故B錯誤；

因為|a?b|=|a||b||cos。區(qū)|a||b|,故C正確；

當a,b共線同向時,ab=|a||b|cosO°=|a||b|,

當a,b共線反向時聲,b=|a||b|cosl800二-|a||b|,故D正確.故選ACD.

藜］ACD

11.(2020福建寧化第一中學高一月考)在△A3C中，根據下列條件解三角形，其中恰有一解的是()

A.Z?=7,c=3,C=-

6

B.Z?=5,c=6,C=-

4

C.a=6,h=3y/3,B=^

D.a=20,b=\5,B=-

______6

解析A選項，因為為銳角，。=3〈加inC=：,所以三角形無解；

B選項，因為C#為銳角,c=6>b=5,所以三角形有一解；

4

C選項，因為3=三,為銳角力=3g=nsinB=3V5,所以三南形有一解；

D選項，因為B=：為銳角力=15>asinB=10,所以三角形有兩解.故選BC.

6

答案|BC

12.在AABC中，下列結論正確的是()

A.AB-AC=BC

C.若(布+配).(施-元)=0,則"BC為等腰三角形

D.若前?而>0,則"BC為銳角三角形

遜質-AC=而，故A錯誤；

設。為向量而與后？的夾角，因為希?證=|希卜|近|?cos仇而cosdcl,故亞?前<|荏H阮I,故B

正確；

(AB+AC)-(AB-AC)-AB2-AC2=0,it\AB\=\AC\,

所以4ABC為等腰三角形，故C正確；

取A=8=*C=4，

滿足前-AB=\AC\\AB|cosA>0,但△ABC為鈍角三角形，故D錯誤.故選BC.

答案|BC

三、填空題(本題共4小題,每小題5分，共20分)

13.己知向量2=(2,-1)用=(-1,a)<=(-1,2),若但+1))〃<:,則m=,|b+c|=.

|解析|因為a=(2,-l),b=(-l,w),

所以a+b=(l,An-l).

因為(a+b)//c,c=(-l,2),

所以2-(-1)-(772-1)=0.

所以機=-1.則b+c=(-2,l),

則|b+c|=J(-2)2+I2=V5.

國嵬-1V5

14.在“8C中，若B=60°,2b="+c,則"8C的形狀是.

|解析|根據余弦定理得h2=a2+c2-2accosB.

因為8=60°,2b=a+c,

2

所以(等)=a2+c2-2?ccos60°,

整理得(a-c)2=0,故a=c.

又8=60°，所以A4BC是等邊三角形.

餐嵬等邊三角形

15.(2019北京牛欄山一中高三期中)如圖是以C為圓心的一個圓,其中弦AB的長為2,則前?

而=.

?

廨前如圖，作C￡)J_AB交48于點D,

則尼=AD+DC=^AB+DC,

則對屜(逆+方).荏

W麗2=2.

g32

16.在“8C中,A=30°,AB=2b,4WBC2W12,則“8C面積的范圍是.

|解析[因為在AABC中,A=30°工8=2百,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2ABACcos300=12+AC2-

6AC,

又因為4<BC2wi2,4W12+AC2_6ACWl2,

解得0cAeW2,或4WACW6,

而S“8c=lBAC.sin30°=yAC,

所以(XSAABCW遍或26WSAABCW3V5,

故AABC面積的范圍是(0,b]U[2V3.3V3].

gg(0,V3]U[2V3,3V3]

四、解答題(本題共6小題，共70分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.(10分)已知a=(l,0),b=(2,l).

⑴當上為何值時,Aa-b與a+2b共線？

(2)若而=2a+3b,^=a+mb且A,B,C三點共線，求m的值.

解⑴布?b=歐1,0)?(2,1)=&2,-1),

a+2b=(l,0)+2(2,l)=(5,2).

因為ka-b與a+2b共線，

所以2(h2)-(-l)x5=0,解得A=-1.

(2)因為4,8,C三點共線,a與b不共線，

所以存在實數尢使得南=2而QWR),

即2a+3b=A(a4-mb),

整理得(8,3)=(2+2成，加I),

所以2照=8,解/

(mA=3,2

18.(12分)已知O,A,B是平面上不共線的三點，直線AB上有一點C,滿足2元+荏=0,

⑴用而，而表示而；

(2)若點。是08的中點，證明四邊形OCAO是梯形.

⑴解因為2前+而=0,

所以2(OC-OA)+(OB-元)=0,

2OC-2OA+OF-OC=0,

所以沆=26？一礪.

(2臨明如圖,

04=DO+OA=--~OB+0A

2

=|(2O4-OB).

故a=3瓶即DA//OC,JLDA^OC.

故四邊形OCAD為梯形.

19.(12分)(2020山東高一月考)已知長方形AOCD中,OA=3,OC=2,E為OC中點,P為AO上一點，利用

向量知識判斷當點P在什么位置時,NPE￡)=45°.

網如圖，建立平面直角坐標系，則0(0,0),C(2,0),Q(2,3),E(1,0).

設P(0,y),則前=(1,3),麗=(-l,y),

所以|前|="U,|而|=Jy2+1,前?屏=3y-1

代入_EDEP

cos45°~\ED\\EP\'

解得y=2(y=1舍去).

所以當點P在靠近點A的AB的三等分處時，/尸￡?=45°.

20.(12分)在AABC中,AB=3,AC=l,N4=60°.

⑴求sinZACB;

(2)若。為BC的中點，求A。的長度.

網(1)因為在中,AB=34C=l,/A=60°.

所以由余弦定理可得

BC=AB2+AC2-2ABAC-cosA

=j32+l2-2x3xlx|=V7,

所以由正弦定理缶=急，可得

/ABsinA3X3VH

sinZACB=———T

V714

⑵因為。為BC的中點，所以CD=[BC=].

AC2+BC2-4B21+7-9_V7

又因為cosC=

2ACBC2xlxV7-14’

所以在△ACO中，由余弦定理可得

AD=J>1C2+CD2-2ACCDcosC

4+Z.2X1X^X(^)=^

21.(12分)為了測量兩山頂MN之間的距離，飛機沿水平方向在A8兩點進行測量AB,在同一個

鉛垂平面內(如示意圖).飛機能夠測量的數據有俯角和48間的距離，請設計一個方案,包括:◎旨出需

要測量的數據(用字母表示，并在圖中標出);②用文字和公式寫出計算M,N間的距離的步驟.

B

網方要測量的數據有:A點到M,N點的俯角內,小;8點到M,W點的俯角ct2/2；A,B間的距離點如圖

所示）.

②第一步:計算AM

dsina

由正弦定理得AM=2

sin(ai+a2)

第二步:計算AM