高等數(shù)學(xué)一所學(xué)內(nèi)容-知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(包含自考真題)

高等數(shù)學(xué)一所學(xué)內(nèi)容-知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

第一章函數(shù)

第二章極限與連續(xù)

第三章導(dǎo)數(shù)與微分

第五章一元函數(shù)積分學(xué)

第六章多元函數(shù)微積分

第一章函數(shù)

1.1.1初等代數(shù)的幾個(gè)問題

1.一元二次方程

關(guān)于X的方程ax2+/?x+c=0(3芋0),稱為一元二次方程，八=產(chǎn)_板稱為此方程的判別式.

(1)求根公式：

_-占土”2-Aac

當(dāng)△>()時(shí)，方程有兩個(gè)不同的實(shí)根：2a

—b

再2=--

當(dāng)△=()時(shí)，方程有一個(gè)二重實(shí)根：2a

-b+i\4-ac-b2

當(dāng)時(shí)，方程有一對(duì)共樂?復(fù)根：2a

(2)根與系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定理):

bc

K[+32=---，演巧=一

aa

(3)一元二次函數(shù)(拋物線)：y=ax+bx+c(a豐0),

當(dāng)a>0時(shí)，開口向上，當(dāng)aVO時(shí)，開口向下.

對(duì)稱軸

b

x=------

2a

b4ac-b2

頂點(diǎn)坐標(biāo)「赤’鉆

例1.若f+x2+ax+6能被x?—3x+2整除，則入。是多少？

結(jié)論：多項(xiàng)式大(x),g(x).若大(x)能被g(x)整除，則g(x)=0的根均為f(x)

=0的根.

a+b+2=0

解：令x?—3x+2=0,解得x=1或2,代入被除式得2a+b+12=0

卜=-10

V=8

解得

2.二元一次方程組

「呼+”二q

兩個(gè)未知量x,y滿足的形如1中+3二與的方程組稱為二元一次方程組.

曳H旦

當(dāng)時(shí)與與，方程組有唯一解;

良-包工之

當(dāng)時(shí)與EQ,方程組無(wú)解；

曳_殳一旦

當(dāng)時(shí)若一丁己，方程組有無(wú)窮多解.

fx+2j=4

例2.已知方程組i2工+少=2。

(1)若方程組有無(wú)窮多解，求a的值；

(2)當(dāng)a=6時(shí)，求方程組的解.

124

解：(1)因?yàn)榉匠探M有無(wú)窮多組解，所以廠片方，

解得3=4.

x+27-4

{2X+67-12,

fx-0

解得d2

3.不等式

(1)一元二次不等式

考慮不等式ax+bx+c>Q,如果記一元二次方程ax+bx+o=0的兩個(gè)不同實(shí)根分別為

Xi,X2,且MV*2,根據(jù)一元二次函數(shù)的圖形可知：

當(dāng)a>0時(shí)，這個(gè)不等式的解集是{x|x<x\或x>x2};

當(dāng)aVO時(shí)，它的解集是{x|MVXVXJ.

用類似的方法可以求解不等式ax+6x+c20,aV+bx+cVO和ax?+bx+cWO.

例3.解不等式X2-5X+6^0.

解：令V—5x+6=0,

(x—2)(x—3)=0,

得x=2或A=3,

?,.解集為(-8,2]U[3,+8).

例4.解不等式/+(1一a)x—aV0.

解：令x?+(1—a)%—a=0,

(x—s)(x+1)=0,

得x=a或x=—1,

①若aV—1,解集為(a,-1),

②如a=-1,解集為①,

③若a〉—1,解集為(一1,3).

(2)絕對(duì)值不等式

不等式If(x)|>^>0等價(jià)于f(X)>3或f(x)V—3；

不等式If(x)IVa等價(jià)于一aVf(x)<a.

例5.解下列含有絕對(duì)值符號(hào)的不等式：

(1)|2x—3|W5(2)|3x—1|27

解：(1)原不等式等價(jià)于一5W2x—3W5

解得：-1WxW4.

所以解集為[-1,4],

(2)原不等式等價(jià)于3x—1W—7或3x-127,

3X—1W—7的解集為xW—2,

8

3m的解集為x》，,

8

所以解集為(一°°,-2]U[3,+°°).

例6.解不等式|x—2x—5|V3.

解：原不等式等價(jià)于

fr-2x-5>-3

1r-2x-5<3

V—2x-5>-3的解集為(-8,1_^]u[i+75,+℃),

*2-2x-5<3的解集為(-2,4),

所以原不等式的解集為(-2,i-W]U[i+W,+4).

4.數(shù)列

(1)等差數(shù)列：相鄰兩項(xiàng)的差為定值，即ae-a〃=d,d稱為公差.

通項(xiàng)公式：a?=ay+(n—1)d

前"項(xiàng)和公式：

*2叫1

當(dāng)m+n—k+/時(shí)，a.+a?=ak+a：

a_*+*

特別地有"2

例7.設(shè)｛4｝是一個(gè)等差數(shù)列，且32+23+40+a”=64,求仇+毋和S2.

解：因?yàn)?+11=3+10=13

所以52+511=33+aio=32,

又因?yàn)?+7=13,所以a+田=32,

Si2=(ai+a12)X124-2=6(a+配)=6X32=192.

(2)等比數(shù)列：相鄰兩項(xiàng)的商為定值，即督q稱為公比.

通項(xiàng)公式：

前〃項(xiàng)和公式：i—q

當(dāng)m+n=k+/時(shí)，aman=akai

特別地有1%卜4％-&+火

例8.設(shè)｛劣｝是一個(gè)等比數(shù)列，且a=12,全=48,求a,40和/我的值.

丁=』=竺=4

解：為12

所以q=±2

%12.

%=—="=—=3

/4

金。=備?%=48X(±2)'=±1536

因?yàn)?+6=3+5=8

所以ai,占6=a?況=12X48=576.

1.1.2集合與邏輯符號(hào)

1.集合的概念

集合是指由一些特定的對(duì)象匯集的全體，其中每個(gè)對(duì)象叫做集合的元素.

數(shù)集分類：

N——自然數(shù)集Z——整數(shù)集

Q——有理數(shù)集R——實(shí)數(shù)集

C——復(fù)數(shù)集合

2.元素與集合的關(guān)系

元素a在集合4中，就說a屬于4記為aC4；否則就說a不屬于4,記為

3.集合與集合的關(guān)系

集合4中的任何一個(gè)元素都是集合8中的元素，稱為4包含于氏或8包含4也說/是8

的子集，記為/4?8或者僅4

若力?氏且例4就稱集合力與8相等，記作4=8

例9.4={1,2],G={x|/—3*+2=0},則4和C是什么關(guān)系？

解：解方程f—3x+2=0,得x=1或x=2.

所以0={1,2},從而A=C.

4.空集

不含任何元素的集合稱為空集(記作。).規(guī)定空集為任何集合的子集.

例10.[x|xGR,x2+1=0)=0

5.集合的表示方法：列舉法，描述法

一般的，有限集用列舉法，無(wú)限集用描述法

閉區(qū)間：[a,6]={x|aWxWb,xCR};

開區(qū)間：(a,6)={x|a<x<b,xER)；

半開半閉區(qū)間：

左開右閉區(qū)間：(a,b\={x\a<x^b,xGR},

左閉右開區(qū)間：[a,6)={x|a^x<b,xGR);

(—0°,6]={x|xW6,xER},[a,+°°]={x\x^a,xGR};

點(diǎn)a的鄰域：〃(a,￡)=(a—￡,a+￡),￡>0,即〃(a,￡)是一個(gè)以a為中心的

開區(qū)間.在不強(qiáng)調(diào)鄰域的大小時(shí)，點(diǎn)a的鄰域也用〃表示；

點(diǎn)a的去心鄰域：N(a,￡)=(a—￡,a)U(a,a+f),￡>0.點(diǎn)a的去心鄰域也可

以表示為M

6.集合之間的運(yùn)算

(1)并：由48中所有元素組成的集合稱為4和8的并集，記為《U8

/4U—{x|xW力或4U6=8U4

例11.已知：A={1,2,3,4),8={2,4,6,8,10,12},求：4U8

解：4U8={1,2,3,4,6,8,10,12).

例12.已知：A=[x|1<x<5),8={x[—3<xW2},求：AUB.

解：AUB^{x|-3<x<5}.

(2)交：由既屬于4又屬于8的元素組成的集合稱為4和8的交集，記為ADS.

力ClQ{x|且A^B^B^A

例13.已知：A={1,2,3,4),8={2、4、6、8、10、12},

求：408.

解：4n8={2,4}.

例14.已知：A={x\1<x<4},4{x|-3VxW3},求：ACyB.

解：408={x|1VxW3}.

(3)余集(差集)：由4中不屬于8的元素組成的集合稱為4與8的差集，記為A-8.

A—A{x|xG/但Xiffi.

例15.已知：A={\,2,3,4},8={2,4,6,8,10,12},求：A-B.

解：4-8={1,3}.

7.一些邏輯符號(hào)

P能推出q,記為p=q,此時(shí)稱p是q的充分條件，q是p的必要條件.

如果p=q,q=p同時(shí)成立，就成p與q等價(jià)，或者說p與q互為充分必要條件(充要條

件)，記作p=q.

1.2函數(shù)的概念與圖形

1.2.1函數(shù)的概念

1.定義

設(shè)。是一個(gè)非空數(shù)集，尸是定義在。上的一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，如果對(duì)于任意的實(shí)數(shù)xe。，都有

唯一的實(shí)數(shù)y通過式與之對(duì)應(yīng)，則稱/'是定義在。上的一個(gè)函數(shù)，記作y=f(x),x*D.

也稱y是x的函數(shù)，其中x稱為自變量，y稱為因變量.當(dāng)xoG。時(shí)，稱尸(用)為函數(shù)在點(diǎn)

xo處的函數(shù)值.數(shù)集。叫做這個(gè)函數(shù)的定義域，函數(shù)值全體組成的數(shù)勺{y|y=f(x),

稱為函數(shù)的值域.

例1.已知：,

求：y的定義域、值域.

解：令1一V20,解得：

所以定義域?yàn)椋?1,1］.

因?yàn)?/1一/《1,所以0WNW1,

所以值域?yàn)椋?,1］.

］

例2.已知：>5”,

求：y的定義域、值域.

fl-xJ>0

解：根據(jù)題意，得

解得一1VxV1,所以定義域?yàn)?一1,1),

因?yàn)?cg?W1,從而求尹力，

所以值域?yàn)椋?,+8).

2.函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)法則、值域.

約定：定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值.在具體問題中定義域會(huì)根據(jù)實(shí)

際需要而有所變化.

例3.判斷下列兩個(gè)函數(shù)是否相等，

(1)y=x+3；(2)

例4,求函數(shù)+g-x)的定義域

x-2￡0

x-3?0

解：根據(jù)題意，得LT〉。

解得：2Wx<3或3Vx<5,

所以定義域?yàn)椋?,3)U(3,5).

3.函數(shù)的表示法：表達(dá)式法(解析法)、圖形法、數(shù)表法.

1.2.2函數(shù)的圖形

1.函數(shù)圖形的概念

函數(shù)y=f（x）,xC。的圖形是指在x勿平面上的點(diǎn)集｛（x,y）|y=f（x）,xG。｝.

常見的幾個(gè)賽函數(shù)的圖形：

2.函數(shù)的性質(zhì)

（I）■■的南界住設(shè)函教人工）的定義域?yàn)镈,數(shù)集XUD,如果存在數(shù)

K..ftW

/（xXK,

財(cái)任一#WXM立.、林通Ik/G）在X上有上星,而K,稱為函敷人工）在

X上的一個(gè)上IMP果存在StK,.使得

/（x?K,

對(duì)任一*ex■?立.*除語(yǔ)數(shù)八］）在x上有正夏,而K,稱為函數(shù)〃工）在

xjt的一個(gè)下界.■果存在正數(shù)M.使得

l/（x）KM

時(shí)任一lWX9成立.則稱函數(shù)/G）在X上數(shù)卜如果這樣的M不存在，就梆

X上圓人這帆是說,如果對(duì)于W帚正數(shù)M.總存在x,€X.tt

l/（x,）l>M.*±Aft八*）在X上無(wú)界.

■■數(shù)/（*）=??工在（-8.+8）內(nèi)來說,數(shù)|是它的一個(gè)上界.敗

一1是它的一個(gè)下界（當(dāng)他.大于1的任何數(shù)也是它的上界,小于-1的任何我也

是它的下界）.又

lainxKl

時(shí)任一實(shí)效工?成立.微函數(shù)〃1>=而1在（-8,*8）內(nèi)是有界的.這里

M=l（畜禽也可取大于I的任何敗作為M而使時(shí)任一實(shí)效工部

成立）.

又tn?敷/（］）=:在開區(qū)間（0,1）內(nèi)沒有上界,但有下界,例如?就是它的

一個(gè)下界.■效/（*）=；在開區(qū)間（0.1）內(nèi)是無(wú)界的.因?yàn)椴淮嬖谶@樣的正數(shù)

M.便于（0.1）內(nèi)的一切上春成立u摟近于。時(shí)，不存在*定的正

FTKL*JCK,成立，但是在區(qū)間（1.2）內(nèi)是有界的，例如可敢M

=i而使對(duì)于一切都成立.

容明.藻效/（，）在X上在界的充分必要條件是它在X上*有上界又

有下界.

（2）國(guó)It的單間性設(shè)函數(shù)/（1）的定義域?yàn)镈,國(guó)間KZD.M果財(cái)于區(qū)間

/上任意西點(diǎn)勺及孫.當(dāng)了,＜小時(shí).恒有

/（x1）＜/（x,）.

則稱函數(shù)八，）在區(qū)間1上是幽里趣的（圖1-9）;如果對(duì)于區(qū)mI上任意用

點(diǎn)及JT,.當(dāng)T,＜八時(shí)，悒孫

/（*,）＞/（△）,

則稱函數(shù)/（1）在區(qū)間/上是圖圖經(jīng)的（圖170）.摯謁增加加?■”少的函

數(shù)統(tǒng)稱為單■函效

例如.由數(shù)人工）?/在區(qū)間［0.+8）上是單■地加的,在區(qū)向（-8.0）上

是學(xué)IX少的I在區(qū)阿（?8,*B）內(nèi)南數(shù)八*）=/不是**的（IB1-11）.

又例如，焉敏/□）?/在區(qū)間（-8.+8）內(nèi)是?■*施的（圖

II

(3)語(yǔ)依的今偶性&函數(shù)，(上)的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.如果對(duì)于任

-x€D.

~X)=/(X)

便成立.則稱，(上)為復(fù)陋.如果對(duì)于任一jrWD.

/(-x)=~/(x)

?；蛄?剜你/(l)為電單效.

例如./(i)?*'是故，因?yàn)?(-*)=(-*>=]'=/(*).又例如.

/<*》?*'*奇函數(shù).因?yàn)?-1)=(

偈函數(shù)的出彩關(guān)于y”是對(duì)稱的因?yàn)槿?(x)ftWlfitt.M/(-x)?

〃了).所以如果A(_r./G))是圖彩上的點(diǎn).剜與它關(guān)于y■對(duì)芯的點(diǎn)AY-i.

1-13).

音函數(shù)的圖電關(guān)于霰自是對(duì)稱的.因?yàn)槿?(了)是奇函數(shù).則/(-*)?

所以如果A(工./(I))是圖影上的點(diǎn).剜與它關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)

A-(-x.-/(x))*aBB±(Bfl1-14).

曲fty=*njr是奇函數(shù).函數(shù)y=coax是假函數(shù).函數(shù)y=?in*+cosx既

拿奇曲般,也非■函數(shù).

(4)西數(shù)的性設(shè)函數(shù)，(了)的定義域?yàn)镈.如果存在一個(gè)正數(shù)/.使

H師于任一wWD*(JT*CWD.H

稱為〃工》的縣叢.通常我n說網(wǎng)期語(yǔ)ct的周

刪是指■小正周期，

都是以2■為屬期的周麗木收；函敗tan工?以?為

?*的Um函數(shù)

B1-IS/承網(wǎng)M為/的一個(gè)斶副■敷在每個(gè)長(zhǎng)度為/的區(qū)間t.?故陽(yáng)

?布棚用的形狀

并非每個(gè)周期函數(shù)都有最小正周期.下面的函數(shù)就屬于這種情形.

例10狄利克雷(Dirichlet)函數(shù)

_.、J1.J"CQ,

D(H)=〈-_,.

(0,HCQ，.

容易驗(yàn)證這是一個(gè)周期函數(shù)，任何正有理數(shù)r都是它的周期.因?yàn)椴淮嬖?/p>

最小的正有理數(shù)，所以它沒有最小正周期.

1.3三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)

在初等數(shù)學(xué)中已經(jīng)講過下面幾類函數(shù):

制函數(shù)：y=是常數(shù)），

指數(shù)函數(shù)：y=/（a>0且aKl）,

對(duì)數(shù)函數(shù)：y=k>g》（。>0且aKl,特別當(dāng)a=e①時(shí)，記為y=ln_r）,

三角函數(shù)：如,v—sin.r,y=cos1…=tqn>??等，

反三角函數(shù)：如y=arcsin.t,y=arccosJ.y=arctanx等.

以上這五類函數(shù)統(tǒng)稱為鞋迎爸典婺.

由常數(shù)和基本初等函數(shù)晶若贏而四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所

構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù).例如

y=1/1-a2,.V=sin"J",y=Jcot.

等都是初等函數(shù).在本課程中所討論的函數(shù)絕大多數(shù)都是初等函數(shù).

1.3.1三角函數(shù)

1。角度和弧度的關(guān)系360°=2”，1=—,10=-

n180

2?；∈瞎絃=|a|R扇形面積S=1LR=1|R2

22

3oSiner=—,cos?=—,tan?=—,cota=—,seca=￡_,csca=一

rryyxy

n

4O當(dāng)0<a<時(shí)，有sinava,sin?<tan?

當(dāng)0<a<一時(shí)，有sin。<cos^

4

n

當(dāng)0<。<一時(shí)，sin?>cos?

2

5O第一象限角的集合：12k乃vav2k”+5.kwz}

2

n

第二象限角的集合：{a|2k”+—vav2k乃+4，kwz}

2

37r

第三象限角的集合：（a|2k/r+萬(wàn)vav2k乃+一，kez}

2

n

第四象限角的集合：{a|2k"?一vav2k^,kez}

2

同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系式：

?平方關(guān)系：

sinA2(a)+cosA2(a)=1;tanA2(a)+1=secA2(a);cotA2(a)+1=cscA2(a)

?商的關(guān)系：

tana=sina/cosacota=cosa/sina

?倒數(shù)關(guān)系：

tanacota=1;sinacsca=1;cosaseca=1

三角函數(shù)恒等變形公式：

?兩角和與差的三角函數(shù)：

cos(a+p)=cosacosp-sinasinp

cos(a-p)=cosacosp+sinasinp

sin(a±p)=sinacosp±cosa-sinp

tan(a+p)=(tana+tanp)/(1-tanatanp)

tan(a-p)=(tana-tanp)/(1+tanatanp)

倍角公式：

sin(2a)=2sinacosa

cos(2a)=cosA2(a)-sinA2(a)=2cosA2(a)-1=1-2sinA2(a)

tan(2a)=2tana/[1-tanA2(a)]

?半角公式：

sinA2(a/2)=(1-cosa)/2

cosA2(a/2)=(1-?-cosa)/2

tanA2(a/2)=(1-cosa)/(1+cosa)

tan(a/2)=sina/(1+cosa)=(1-cosa)/sina

?萬(wàn)能公式：

sina=2tan(a/2)/[1+tanA2(a/2)]

cosa=[1-tanA2(a/2)]/[1+tanA2(a/2)]

tana=2tan(a/2)/[1-tanA2(a/2)]

?積化和差公式：

sinacosp=(1/2)[sin(a+p)+sin(a-p)]

cosasinp=(1/2)[sin(a+p)-sin(a-P)]

cosacosp=(1/2)[cos(a+p)+cos(a-p)]

sinasinp=-(1/2)[cos(a+p)-cos(a-p)]

?和差化積公式：

sina+sinp=2sin[(a+p)/2]cos[(a-p)/2]

sina-sinp=2cos[(a+p)/2]sin[(a-P)/2]

cosa+cosP=2cos[(a+p)/2]cos[(a-P)/2]

cosa-cosp=-2sin[(a+p)/2]sin[(a-p)/2]

1.3.2指數(shù)/對(duì)數(shù)函數(shù)

(1)定義

指數(shù)函數(shù)，y=ax(a>0,且a#=1),注意與幕函數(shù)的區(qū)別.

對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a=#1).

指數(shù)函數(shù)y二ax與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax互為反函數(shù).

(2)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a#=1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a=#1)的圖象和性質(zhì)如表

1-2.

表1-2

y=ax(a>。且a*1)y=logaoc(a>0.且a壬1)

a>10<1<1a>10<a<1

JJ

圖

象x

J11K

1*1i^

xeR

義x>0

域

值域y>0yeR

在(_8,+OO)在(_8,4-00)在(0>+8)在但>+8)

單上是增函數(shù).上是減函數(shù).上是增函數(shù).上是減函數(shù).

調(diào)x>0時(shí).y>1K>0時(shí)，0<y<1x>1時(shí)，y>0x>1時(shí)，y<。

性《<0時(shí).。<y<1x<0時(shí).y>1]<x<1時(shí)，y<00<x<1時(shí).y>0

x=0時(shí),y=1x=1時(shí).y=D

⑶指數(shù)方程和對(duì)數(shù)方程

指數(shù)方程和對(duì)數(shù)方程屬于超越方程，在中學(xué)階段只要求會(huì)解一些簡(jiǎn)單的特殊類型指數(shù)方程

和對(duì)數(shù)方程，基本思想是將它們化成代數(shù)方程來解.其基本類型和解法見表1-3.

表1-3

方程解法備注

x

指a=c(a>0Ja1Jc>0)x=logac

數(shù)af(x)=a4>(x)RX)=4)(X)a>0,且a*1

方a2x+ax+q=0設(shè)ax=y,則y2+pjHxi=Oa>。且a力1

程

對(duì)lo&kcx=aca>。且aK1

數(shù)logaf(x)=loga4>(x)氏x)=(Mx)驗(yàn)根，Kx)>0

設(shè)則尸+

方(log^xF+ptlo5ax)+q=。logax=y>p■y+q=Oa>。且aW1

程

1.4函數(shù)運(yùn)算

1.4.1函數(shù)的四則運(yùn)算

定義1.10設(shè)函數(shù)f(x),g(x)都在D上有定義，kGR,則對(duì)它們進(jìn)行四則運(yùn)算的結(jié)果還

是一個(gè)函數(shù)，它們的定義域不變(除法運(yùn)算時(shí)除數(shù)為0的點(diǎn)除外)，而函數(shù)值的對(duì)應(yīng)定義如

下：

(1)加法運(yùn)算(f+g)(x)=f(x)+g(x),xGD.

(2)數(shù)乘運(yùn)算(kf)(x)=kf(x),xGD.

(3)乘法運(yùn)算(fg)(x)=f(x)g(x),xGD.

八力一」⑶

(4)除法運(yùn)算sgoo.g(x)#=0,xGD.

其中等號(hào)左端括號(hào)表示對(duì)兩個(gè)函數(shù)f,g進(jìn)行運(yùn)算后所得的函數(shù)，它在x處的值等于右端

的值.

例1.已知f(x)=ln(1+x),g(x)=1—cosx,求gCO.

解因?yàn)楹瘮?shù)千(x)=ln(1+x)的定義域?yàn)?―1,+8),函數(shù)g(x)=1—cosx的定義域

為(-8,+8),且當(dāng)x=2kn(k為整數(shù))時(shí)，g(x)=0,所以，

/(x)_ln(Ux)

gCO1-cosxfx￡(—1,+°°)\{2kn}(k為整數(shù))

1.4.2復(fù)合函數(shù)

如有函數(shù)f(x)和g(x),它們的定義域分別為〃和伉，值域分別是乙和乙.當(dāng)心〃

時(shí)，對(duì)于任意*￡%都有唯一的g(x)RZ血,從而有唯一的大(g(x))e乙與xG比對(duì)

應(yīng)，這樣就確定了一個(gè)從2到乙的函數(shù)，此函數(shù)稱為5和g的復(fù)合函數(shù)，記作

(/o?Xx)-/(g(X)).

重點(diǎn)是學(xué)會(huì)函數(shù)的分解與復(fù)合。

例2.分解下列復(fù)合函數(shù)

y=arcsina"

(1)1?(2)>=仙%(/+,o

解：(1)*arcsinq,*丫=石.

(2)看sin",￡/=lniz,Qx'+1

例3.求下列復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式和定義域

(1)f(x)=lgx,g(x)=2X

(2)f(x)=arcsinx,雙外=、附

解：(1)F(g(x))=Ig2=xlg2,定義域?yàn)镽,

(2)/(g(^))=arcsjnV^-i,

1-14行

令"[x-1>0'

解得：1WxW2,

所以定義域?yàn)閇1,2].

例4.求下列復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式

(1)設(shè)a-1)=31,求/(>。

解：令X—1”,則產(chǎn)什1,

則f(t)=(t+1)3-1=t3+3t2+3t,

所以fQx)-x+3x+3x.

g(x+1)=卜

(2)設(shè)[2x,]<x^2,求g(x)0

解：=則1,

當(dāng)即1WtW2時(shí)，(t)=(t-1)2=t2-2/+1,

當(dāng)1<IW2,即2<tW3時(shí),g(t)=2(t-1)=2t-2,

心-Y-2X+1,1MXM2

所以，g(”\-2.2<xM3

⑶/W=ll-x,x<0,則有()

(A)f(f(公)="(x))2(B)f(f(公):f(x)

(C)f(f(x))>f(x)(D)f(f(x))>f(x)

答案：B

解析：令f(x)>0,得xGR,

所以f(f(x))-f(x).

(4)已知加f=叱與若尸(gJ))=|nx,則g(x)二().

x-lx+1

(A)市(B)百

1-x1+x

(C)1+x(D)1-x

答案：B

解析：令X—1二窘則產(chǎn)什1,

所以“…爵H%

x+1

g(*)+ix=g(x)

所以g(x)Tx-1

1.4.3初等函數(shù)

1.基本初等函數(shù)

常見的六類函數(shù)，即常數(shù)函數(shù)、幕■函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)，

稱為基本初等函數(shù)

2.初等函數(shù)

由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和有限次的復(fù)合運(yùn)算得到的函數(shù)，稱為初等函數(shù)。

1.5經(jīng)濟(jì)學(xué)中的常用函數(shù)

1.5.1需求函數(shù)與供給函數(shù)

1.需求函數(shù)

商品需求量。與其價(jià)格。之間的函數(shù)關(guān)系Q=Q(0稱為需求函數(shù).一般地，需求函數(shù)是一

個(gè)單調(diào)遞減函數(shù).

常見的幾種需求函數(shù)模型如下：

(1)線性需求函數(shù)：ga-bP,其中a,6是非負(fù)常數(shù).

(2)二次曲線需求函數(shù)：Q=a-bP—cP,其中a,6,c是非負(fù)常數(shù).

(3)指數(shù)需求函數(shù)：Q^Ae-bp,其中A6是非負(fù)常數(shù).

2.供給函數(shù)

商品供給量S與其價(jià)格戶之間的函數(shù)關(guān)系S=S(0稱為供給函數(shù).一般地，供給函數(shù)是一

個(gè)單調(diào)遞增函數(shù).

常見的幾種供給函數(shù)模型如下：

(1)線性供給函數(shù)：S=a+bP,其中a,6是非負(fù)常數(shù).

(2)二次曲線供給函數(shù)：S=a+￡P(guān)+c4,其中a,b,c是非負(fù)常數(shù).

(3)指數(shù)供給函數(shù)：S=AR其中46是非負(fù)常數(shù).

當(dāng)供給量與需求量相等，即S歷時(shí)，這時(shí)的價(jià)格A稱為均衡價(jià)格：這時(shí)的商品數(shù)量心。

稱為均衡數(shù)量.

例1.已知某種商品的需求量。和供給量S與其價(jià)格P滿足的關(guān)系式分別為〃一20。一戶+99

=0和30+0-123=0,求該商品的市場(chǎng)均衡價(jià)格和均衡數(shù)量.

解：令Q=S,由200一夕+99=0與30+P—123=0,得^+^=35

由3C+P—123=0與%+*=35,解得$=一1(舍去)和$=6.

當(dāng)5=6時(shí)，解得415.故均衡價(jià)格為15,均衡數(shù)量為6.

1.5.2成本函數(shù)

一般地，總成本C可分為兩部分，分別是固定成本C和可變成本QG是一個(gè)與產(chǎn)品數(shù)量

無(wú)關(guān)的常數(shù)，6與產(chǎn)品的數(shù)量q有關(guān)，是q的函數(shù)，記作G(q).所以，

總成本C(g)=固定成本+可變成本=6+&(<7).

平均成本指的是總成本與產(chǎn)品數(shù)量之比丁’記作5。).

常見的成本函數(shù)模型是：

(1)線性成本函數(shù)：C(Q)=G+cg,其中c是單位產(chǎn)品的可變成本.

(2)二次成本函數(shù)：C(q)=C\+bp+cq.

例2.已知某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為困”加°+?求生產(chǎn)50件該產(chǎn)品時(shí)的總成本與平均成本.

解：所求總成本為

503

C(50)=1000+—=1312.5;

8

平均成本為

刎)=逐=嗎=2625;

5050

1.5.3收益函數(shù)與利洞函數(shù)

1.收益函數(shù)

收益指的是出售商品得到的總收入，等于出售單價(jià)與售出總量的乘積，即

總收益函數(shù)R=R(q)=qP(q),

其中R表示收益，g表示售出的商品總量，P(Q)是商品的單價(jià)與售出量的關(guān)系，是該商

品的價(jià)格函數(shù).

平均收益函數(shù)為"限救

2.利潤(rùn)函數(shù)

在供需平衡時(shí)，某種產(chǎn)品獲得的總利海等于出售該產(chǎn)品獲得的總收益與生產(chǎn)該產(chǎn)品付出的

總成本之差，即

總利潤(rùn)函數(shù)=/.=/.(Q)=R(q)—c(q),

其中，￡表示總利泗，q表示產(chǎn)品數(shù)量.

平均利泗函數(shù)為2=%)=等

當(dāng)L=L(q)=R(q)—G(g)>0時(shí)，是有盈余生產(chǎn);

當(dāng)/.=/.(g)=R(q)—C(g)<0時(shí)，是虧損生產(chǎn)；

當(dāng)L—L(q)=R(q)-C(q)=0時(shí)，是無(wú)盈余生產(chǎn)，無(wú)盈余生產(chǎn)時(shí)的產(chǎn)量qo稱為無(wú)盈

虧點(diǎn).

例3.已知生產(chǎn)某商品的總成本為C(q)=20+2q+/(萬(wàn)元).若每售出一件該商品的

收入是20萬(wàn)元，求生產(chǎn)20件該商品時(shí)的總利潤(rùn)和平均利潤(rùn).

解：總利潤(rùn)為

11

L9=R(<7)-G(q)=20q-(20+2q+5/)=18Q-2，-20,

所求總利潤(rùn)為2(20)=140(萬(wàn)元)：平均利潤(rùn)為為/九萬(wàn)元)

第二章極限與連續(xù)

一、極限

數(shù)列極限limx”

*?->?

函數(shù)極限lim/(x).limf(x),limf(x)

limf(x),limf(x),limf(x)

x->xoX->X'X->Af*

求極限(主要方法):

(1)limS"'=1,lim(l+—)r=e,

lim(l4-x)1=e

x->0xx->0xj->0

(2)等價(jià)無(wú)窮小替換(P76)。當(dāng)加x)10時(shí)，

sin(p(x)?(p(x).tan(p(x)?(p(x)、arcsin(p(x)?(p(x),arctan(p(x)?(p(x),

l-cos^(x)?ln(l+/(x))?(p(x),一1?(p(x),

-1?3(x)ln>0),(1+e(x))"?a@(x)(a*0)

代換時(shí)要注意.只有乘積因子?才可以代換。

(3)洛必達(dá)法則(2巴,0-8.8-8,0°,r,8°),只有2方可以直接用羅比達(dá)法則。

000000

v(x,,imv,xl,nM,x)

哥指函數(shù)求極限：limWU)=e;

或，令y=.兩邊取對(duì)數(shù)Iny=p(x)ln〃(x)，若limy(x)ln〃(x)=a,則

lim”(x)s>=e"。

結(jié)合變上限函數(shù)求極限“

極限的求法:

l.limC=C(C是常值函數(shù))

2.若|/(x)|wA/(即/(x)是有界量)Jima=0(即a是無(wú)窮小量).=lim/(.v)a=0,

特別：f(x)=C=>limC.a=0

3.若|/住)卜A/(即/(x)是有界量)=>limZ(D=0,

QO

特別：/(X)=C(CHO)=lim—=0

oo

C>0

4.lim—=4

0I—ooC<0

5.未定式

⑴牌

4分子，分母含有相同的零因式，消去零因式

6.等價(jià)無(wú)窮小替換(常用sinx?x,e*-1?xjn(x+l)-x)

C.洛必達(dá)法則：要求/(T),存在，且lim4?存在，此時(shí),lim與斗=lim

g(x)g(x)g(X)

(2琮型

4忽略掉分子，分母中可以忽略抻的較低階的無(wú)窮大，保留最高階的無(wú)窮大.再化筒計(jì)算

氏分子.分母同除以最高階無(wú)窮人后，再化簡(jiǎn)計(jì)算.

C.洛必達(dá)法則.

（3）8-OO型

通過分式通分或楝函數(shù)有理化，轉(zhuǎn)化為右型或,箕型

0000

T00

（4）0oo轉(zhuǎn)化q；0

T=o

00

（5）0°型產(chǎn)*.>。8

（6）8理芋普.>0.8

（7）1，型通過lini（l+x）：=e或求對(duì)數(shù)來計(jì)算

二、連續(xù)

定義設(shè)函數(shù)y=/（H）在點(diǎn)八的某一鄰域內(nèi)有定義，如果

limAy=lim[/（x+Ax）-/（T）]=0,

Ar-*0d*?（>00

那么就稱函整？=/（￡）至受圣一淮孥.

為了后甬前蔽二V靛菌標(biāo)>=/（工）在點(diǎn)內(nèi)連續(xù)的定義用不同的方

式來敘述.

設(shè)H=工0+△?!?,則△工-0就是X->JT0.又由于

Ay=/（x0+Ax）-/（x0）=/（x）-/（a0）

即/（X）=/（x0）+△>,

可見Ay-0就是/（工）一/（了。），因此（1）式與

lim/（J）=/（x0）

L*"

相當(dāng).所以，函數(shù)y=〃Z）在點(diǎn)x0連續(xù)的定義又可敘述如下：

設(shè)函數(shù)y=〃a）在點(diǎn)工。的某一鄰域內(nèi)有定義，如果

lim/（a）=/（.r0）,（2）

?*-，

那么就稱函數(shù)f（工）在點(diǎn)八連續(xù).?

如果lim/（工）=果工；）存在且等于八人），即

L，；

/（Xo）=f（工0）,

就說函數(shù)/（工）在點(diǎn)工?？谶B”.如果limJ（H）=/（K）存在且等于/（工0）,即

,一,;

/（-Xo）=/（x0）.

就說函數(shù)f（H）在點(diǎn)了。右連續(xù).

在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)，叫做用燙困可上的連線墮篡,或者說明婺卷

該區(qū)間上連續(xù).如果區(qū)間包括端點(diǎn)，那么函藏商章贏策捻語(yǔ)左連續(xù)，備違

點(diǎn)連續(xù)是指右連續(xù).

第三章導(dǎo)數(shù)與微分

第一節(jié)導(dǎo)數(shù)

一、導(dǎo)數(shù)的定義

1.由數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)語(yǔ)數(shù)

從上面所討論的兩個(gè)問題看出.非勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度和切線的斜率都?xì)w

結(jié)為如下的極限：，⑺一〃H.）

⑶

工一工0

這里和八工）一/（工.）分別是函數(shù)y=/（工）的自變髭的增址Ar和函數(shù)

的增量△￥：

△x=Jr—x0,

△^=/（x）-/（xo）=/（xa+Zkr）-/（Jo）.

因工一工。相當(dāng)于△工-*0■故（3）式也可寫成

..f../（JTo+Ax）-/（Xe）

hm-r-^-或Jim------------x-----------------.

Ax-*oZxra—AH

在自然科學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域內(nèi).還有許多被念，例如電流強(qiáng)度、角速度、線密度等

等，都可歸結(jié)為形如（3）式的數(shù)學(xué)形式.我們報(bào)開這些量的具體意義，抓住它們?cè)?/p>

數(shù)量關(guān)系上的共性,就得出函數(shù)的導(dǎo)致概念.

定義設(shè)函數(shù)y=/（工）在點(diǎn)工。的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義.當(dāng)自變通工在工。處

取得增量AH（點(diǎn)H0+AT仍在該鄰域內(nèi)）時(shí).相應(yīng)的函數(shù)取得增量△、=〃工。+

△工）一/（工。九如果與Ar之比當(dāng)-0時(shí)的極限存在.則稱函數(shù)>=

/（工）在點(diǎn)x.處強(qiáng).并稱這個(gè)極限為函數(shù)y=八工）在點(diǎn)x.處的號(hào)里，記為

f（Q即

Cm黑=lin>八壬+乎一」"（4）

ATAYAX

也可記作y'l”“.字|或崢.

函數(shù)f（工）在點(diǎn)x.處可導(dǎo)有時(shí)也說成〃工）在點(diǎn)工。具有導(dǎo)數(shù)或?qū)е麓嬖?

導(dǎo)數(shù)的定義式（4）也可取不同的形式,常見的有

、一r/（x+A）-/（J-.）

一0（5）

，（工。）=四--------h---

和

，（工。）=lim八咒）一八±）.（6）

x-x.

（5）式中的人即自變盤的增依&T.

在實(shí)際中.褥要討論各種具有不同意義的變量的變化“快慢”問題,在數(shù)學(xué)上

就是所謂函復(fù)的變化里問題,導(dǎo)數(shù)微念就是函數(shù)變化率這一柢念的精確描述.它

撥開了自￡i莉而獲［麻表的幾何或物理等方面的特殊意義,純粹從敷st方

面來刻畫變化率的本質(zhì)：因變量增盤與自變量增量之比”是因變髭y在以心

和工?+△］為蠲點(diǎn)的區(qū)間上的平均變化率，而導(dǎo)致，（小）則是因變址.V在點(diǎn)勺

處的變化率.它反映了因變址的自變Q的變化而變化的快慢程度.

如果極限（4）不存在.就說函數(shù)y=/（x）在點(diǎn)工。處不可導(dǎo).如果不可導(dǎo)的

原因是由于△￡?*（）時(shí)，比式加-8.為了方便起見，也往往說函數(shù)y=/（N）在

點(diǎn)八處的導(dǎo)致為無(wú)窮大.

上面講的是函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo).如果函數(shù)y=/G）在開區(qū)間I內(nèi)的每點(diǎn)處

都可導(dǎo)，就稱函數(shù)/G）在開區(qū)間I內(nèi)可導(dǎo).這時(shí)，對(duì)于任一x€I.都對(duì)應(yīng)著

/G）的一個(gè)瓏定的導(dǎo)數(shù)值.這樣就構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)叫做原來函

數(shù)y=/（Z）的曼劇此記作（工）窯或喑

在（4）式或（5）式中把火