【人教B版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)】組合與組合數(shù)（2）-課件

組合與組合數(shù)（2）

高二年級(jí)數(shù)學(xué)排列組合定義從n個(gè)不同對(duì)象中，任取m（m≤n）個(gè)對(duì)象，按照一定順序排成一列.從n個(gè)不同對(duì)象中，取出m（m≤n）個(gè)對(duì)象，并成一組.相同點(diǎn)從n個(gè)不同對(duì)象中，任取m（m≤n）個(gè)對(duì)象不同點(diǎn)與對(duì)象的順序有關(guān)（先選后排）與對(duì)象的順序無(wú)關(guān)（只選不排）【復(fù)習(xí)回顧】【復(fù)習(xí)回顧】組合數(shù)的公式和性質(zhì)公式：性質(zhì)1：（對(duì)稱性）；性質(zhì)2：（合二為一）.主要用于化簡(jiǎn)變換，和簡(jiǎn)化計(jì)算.例1.計(jì)算：.靈活運(yùn)用組合數(shù)的性質(zhì)，可以達(dá)到化簡(jiǎn)算式，簡(jiǎn)化計(jì)算的效果例2.辨析下列問題是排列問題，還是組合問題.你能否對(duì)題目稍作改動(dòng)，將問題的類型改變？（1）a，b，c，d四支足球隊(duì)爭(zhēng)奪冠亞軍，有多少種不同的結(jié)果？4支球隊(duì)中有2支球隊(duì)，一個(gè)是冠軍，另一個(gè)是亞軍.

（對(duì)2支球隊(duì)有順序要求）問題等同于“從4個(gè)對(duì)象中任取2個(gè)按先后順序排成一列”，是“排列”問題，有種結(jié)果.（如何改編？）改編：a，b，c，d四支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，共需賽多少場(chǎng)？單循環(huán)比賽要求每?jī)芍蜿?duì)之間只打一場(chǎng)比賽.

與選取的順序無(wú)關(guān)等同于“從4個(gè)不同對(duì)象中任取2個(gè)并成一組”

變成了“組合”問題，需打場(chǎng).（2）北京地鐵四號(hào)線是南北走向的雙向地鐵，線路南起公益西橋站，北至安河橋北站，全線共設(shè)24座車站，若某人在“公益西橋站開往安河橋北站”方向的列車上，從一個(gè)站上車，另一個(gè)站下車，求有多少種不同的上下車的可能？公益西橋……安河橋北確定了地鐵的行駛方向，是“組合”問題，共有種方法.(如何改編?)改編：北京地鐵四號(hào)線是南北走向的雙向地鐵，線路南起公益西橋站，北至安河橋北站，全線共設(shè)24座車站，若某人從一個(gè)站上車，從另一個(gè)站下車，求有多少種不同的上下車的可能？公益西橋……安河橋北地鐵四號(hào)線是雙向行駛，需確定兩站之間上下車的順序，變成了“排列”問題，共有種方法.在研究排列組合問題時(shí)：（1）通常先將具體問題抽象轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，（2）注意辨析是“排列問題”還是“組合問題”.既：看取出對(duì)象后是否考慮順序.例3.現(xiàn)有30件分別標(biāo)有不同編號(hào)的產(chǎn)品，且除了2件次品外，其余都是合格品，從中取出3件.（1）一共有多少種不同的取法？只是取出3件，它們之間無(wú)需考慮順序等同于“從30個(gè)不同對(duì)象中任取3個(gè)并成一組”，是“組合”問題.共種取法.（2）若3件產(chǎn)品中恰有1件次品，則不同的取法共有多少種？第一步，取出1件次品，有種取法；

（注意，雖已滿足限制要求，但事件還沒有完成）第二步，取出2件合格品，無(wú)需考慮順序，有種取法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有種.3件產(chǎn)品中：1件次品，2件合格品取出兩類不同對(duì)象，可分成兩步完成：（3）若3件產(chǎn)品中至少要有1件次品，則不同的取法共有多少種？3件產(chǎn)品中：有1件次品，2件合格品；或者：有2件次品，1件合格品；所以，可以按照取出次品的件數(shù)分成兩類計(jì)算.法1.按取出次品的件數(shù)分成兩類進(jìn)行：第一類，取出3件產(chǎn)品中有1件次品，有種取法；第二類，取出3件產(chǎn)品中有2件次品：第一步，取出2件次品，無(wú)順序要求，有種取法；第二步，再取出1件合格品，有種取法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，有種取法.由分類加法計(jì)數(shù)原理，共有種.（3）若3件產(chǎn)品中至少要有1件次品，則不同的取法共有多少種？法2.排除法，反面：沒有次品.即：3件全是合格品.“任取3件”-“3件都是合格品”=“3件中至少有1件次品”

即：種取法.顯然用排除法解決這個(gè)問題，分類情況更少，研究更簡(jiǎn)便.可能會(huì)出現(xiàn)的解法：取出的3件產(chǎn)品中至少要有1件次品，所以分成兩步完成：第一步，先取出1件次品，有種方法；第二步，再?gòu)氖Ｓ?9件產(chǎn)品中隨意取出2件，有種方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，有種取法.思考：到底是哪里出現(xiàn)了問題？不妨設(shè)2件次品為和，28件合格品為、、…、.若3件產(chǎn)品中，有2件次品和1件合格品，可能會(huì)出現(xiàn)下面的情況：建議：研究有關(guān)“至多”或“至少”這樣的計(jì)數(shù)問題時(shí)，要么直接分類研究，或運(yùn)用“排除法”計(jì)數(shù).在分析時(shí)，可以先對(duì)比兩種方法，看看哪種方法分類的情況較少，計(jì)算更為簡(jiǎn)便，再選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q.先后和先后，選取產(chǎn)品應(yīng)是無(wú)序.這里選2個(gè)次品時(shí)考慮了先后順序.應(yīng)將有序取出2件次品產(chǎn)生的重復(fù)次數(shù)去掉.例4.要把9本不同的課外書分給甲、乙、丙3名同學(xué)：（1）如果甲得4本，乙得3本，丙得2本，則共有多少種不同的分法？（注：每本書是不同的，每人分配到多少本是確定的）“定向分配問題”，可以分成三步完成：第一步，先選4本書給甲，無(wú)順序要求，有種方法；第二步，再選3本書給乙，有種方法；第三步，最后2本書都給丙，有種方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有：種方法.邊選書，邊分配：分步分配（2）如果要求一人得4本，一人得3本，一人得2本，則共

有多少種不同的分法？注意這個(gè)問題與上一問的區(qū)別：“不定向分配問題”，如何解決？相比問題（1），可以先分組，后分配，分兩步完成：第一步，將9本書按照4本、3本、2本分為三組：第二步，將三組書分配給3個(gè)人，即三組書全排列：由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共種方法.（3）如果每個(gè)人都得3本，則共有多少種不同的分法？每人都得3本，等同于“甲3本，乙3本，丙3本”.每個(gè)人分配到多少本書是確定的，屬于“定向分配問題”，可以通過(guò)“分步分配”完成：第一步，先選3本書給甲，有種方法；第二步，再選3本書給乙，有種方法；第三步，最后3本書都給丙，有種方法.共有：種方法.（無(wú)需3組書全排列）關(guān)于“分配”的問題：也是計(jì)數(shù)問題中的一個(gè)重要模型.

像問題1和問題3，每個(gè)人分配到多少本書是確定的：

“定向分配”問題，可以通過(guò)“分步分配”完成.像問題2，每個(gè)人分配到多少本書是不確定的：

“不定向分配”問題，可以“先分組，再分配”將研究的問題進(jìn)行調(diào)整：如果要把9本不同的課外書分成三組：（1）如果一組4本，一組3本，一組2本，有多少不同的分法？（2）如果每組都是3本，有多少不同的分法？

這里只是把不同的對(duì)象分成了若干組，沒有了分配環(huán)節(jié).這種問題在計(jì)數(shù)過(guò)程中，與之前的“分配”問題有什么區(qū)別呢？這個(gè)問題作為思考題，留給同學(xué)們課后探究.例5.現(xiàn)要從A,B,C,D,E,F這6人中選出4人安排在甲、乙、丙、丁4個(gè)崗位上，如果A不能安排在甲崗位上，那么一共有多少種不同的安排方法？限制條件：A不能安排在甲崗位上特殊元素特殊位置排除法法1.從特殊元素“A”入手，注意“可選人數(shù)”多于“崗位數(shù)”，可按照4個(gè)崗位中是否含A，分成兩類：甲乙丙丁第一類，4個(gè)崗位中含A，分成兩步完成：A的位置：由分步乘法計(jì)數(shù)原理，含A的方法共有.再確定其他崗位人選，共種方法.第二類，4個(gè)崗位中不含A：

從剩余5人中選4人排到4個(gè)崗位中，有種方法.綜上，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有種方法.甲乙丙丁法2.從特殊位置“甲”入手，分成兩步完成：甲乙丙丁非A：根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有：種方法.可以看到，由于崗位數(shù)少于人數(shù)，因此甲崗位上必須有人，無(wú)需分類.所以相比從特殊元素“A”入手，從特殊位置“甲”入手更為簡(jiǎn)單.法3：排除法先忽略題目中的限制要求：先“從6人中任意選4人安排到這4個(gè)崗位”，再?gòu)闹腥サ簟癆在甲崗位上”，剩余的就是“A不在甲崗位上”.

共：種方法.不難看出，這個(gè)問題從反面思考，分類情況也很少，因此用排除法解決也非常方便.解決“含限制條件”的問題時(shí)，之前的3種方法都是常用的解題策略.但是對(duì)于不同的具體問題，3種方法在運(yùn)用過(guò)程中的復(fù)雜程度并不一致，建議同學(xué)們學(xué)會(huì)具體問題具體分析，養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣，先動(dòng)腦再動(dòng)手，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問題.【課堂小結(jié)】本節(jié)課我們綜合運(yùn)用了排列與組合的知識(shí)解決了一些具體問題：

1.在含限制條件的計(jì)數(shù)問題中，如果是關(guān)于“至少”或“至多”的問題，建議同學(xué)們先分析對(duì)比“直接分類法”和“排除法”，選擇分類更少、計(jì)算更簡(jiǎn)便的方法.【課堂小結(jié)】2.“分配問題”的研究方法：課上所講的是將不同的對(duì)象進(jìn)行分配的問題：（1）定向分配：分步分配；（2）不定向分配：先分組，后分配.事實(shí)上，還有“相同對(duì)象的分配問題”，有興趣的同學(xué)可以學(xué)習(xí)B版教材，選擇性必修第二冊(cè)，P21-P22的“拓展閱讀”，體會(huì)二者之間的區(qū)別.【課堂小結(jié)】3.綜合計(jì)數(shù)問題通過(guò)前面課程的學(xué)習(xí)，我們接觸了很多典型的計(jì)數(shù)模型以及研究計(jì)數(shù)問題的方法.在處理具體問題時(shí)，注意要辨析：是否為排列組合問題；對(duì)于綜合問題一般會(huì)采用“先分類，后分步”的解題策略，注意結(jié)合具體問題背景，選擇合適的方法研究，不斷提升優(yōu)化解題的能力.【作業(yè)】B