概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（慕課版第2版）課件 第3章 第2講 邊緣分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性（新編）

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（慕課版）第2講邊緣分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性第3章多維隨機(jī)變量及其分布01邊緣分布02隨機(jī)變量的獨(dú)立性本講內(nèi)容我們就可以討論隨機(jī)變量X

和Y之間3邊緣分布聯(lián)合分布描述的是二維隨機(jī)變量(X,Y)的整體特性,除此之外還需要考慮隨機(jī)變量X、Y

各自的分布,即

—邊緣分布.利用邊緣分布,例如獨(dú)立性.的某種關(guān)系,01

邊緣分布??注邊緣分布也稱為邊沿分布或邊際分布xyxxyy4邊緣分布函數(shù)01

邊緣分布??注由聯(lián)合分布函數(shù)邊緣分布函數(shù),反之不然.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為5（1）求X和Y

的邊緣分布函數(shù)；（2）求??例101

邊緣分布6(1)01

邊緣分布(2)701

邊緣分布二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律??結(jié)論由聯(lián)合分布律可確定邊緣分布律1x1xi

pi?p1?pi?p?jp?1p?jyjy1XY801

邊緣分布聯(lián)合分布律及邊緣分布律1001000.200.200.150200250設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布為0.100.050.30求邊緣分布律901

邊緣分布??例2??注X--車險(xiǎn)的免賠額，Y--財(cái)險(xiǎn)的免賠額11001000.200.200.1502002500.100.050.300.500.500.500.250.25X100250P0.50.5Y0100200P0.250.250.51001

邊緣分布求邊緣分布律:解1101

邊緣分布解設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的可能取值為(0,0),(-1,1),??例3試求X和Y的各自的邊緣分布律.(-1,2),(1,0),且取這些值的概率依次為1/6,1/3,1/12,5/12,由題設(shè)條件，(X,Y)聯(lián)合分布列為

Y

X012

1/31/1201/615/121201

邊緣分布由上面的表格，可得X和Y邊緣分布律

X01

p

5/121/65/12Y012p7/121/31/121301

邊緣分布解把兩封信隨機(jī)地投入已經(jīng)編好號(hào)的3個(gè)郵筒內(nèi),設(shè)??例4律和邊緣分布律.X,Y分別表示投入第1,2個(gè)郵筒內(nèi)信的數(shù)目，求(X,Y)分布X,Y各自可能取值為0,1,2.由題設(shè)可知(X,Y)取(1,2),(1,2),(2,1),(2,2)均不可能，因此它們的概率均為0.1401

邊緣分布因此，X和Y邊緣分布律

X012p

4/94/91/9

Y012

p

4/94/91/91501

邊緣分布二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分布??結(jié)論已知聯(lián)合密度可以求得邊緣密度1601

邊緣分布解設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為

??例5試求邊緣密度函數(shù)pX(x)和pY(y).因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有故X的邊緣密度函數(shù)為1701

邊緣分布解設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為

??例5試求邊緣密度函數(shù)pX(x)和pY(y).又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有故Y的邊緣密度函數(shù)為1801

邊緣分布解設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為

??例6試求邊緣密度函數(shù)pX(x)和pY(y).因?yàn)榈姆橇銋^(qū)域如圖陰影部分，y1x-1Oy=xy=-x11901

邊緣分布故X的邊緣密度函數(shù)為所以，當(dāng)時(shí)，有當(dāng)時(shí)，有2001

邊緣分布故Y的邊緣密度函數(shù)為當(dāng)時(shí)，有設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)服從區(qū)域G上的均勻分布.2101

邊緣分布??例7解其他其中G由x–y=0,x+y=2,y=0圍成，求邊緣密度11o2xy

2201

邊緣分布1102xy

設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)在區(qū)域2301

邊緣分布??例8解(X,Y)的概率密度

y=xoyx則y=x22401

邊緣分布??例9解

試求??及??的邊緣密度函數(shù)．(??，??)的聯(lián)合密度函數(shù)為2501

邊緣分布2601

邊緣分布??結(jié)論1二維正態(tài)分布的邊緣分布是一維正態(tài)分布??結(jié)論2上述的兩個(gè)邊緣分布中的參數(shù)與二維正態(tài)分布中的常數(shù)??無關(guān)

27第一章介紹了兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念,由此可以引出兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立的概念.有了邊緣分布,我們就可以很方便的判斷隨機(jī)變量X和Y

之間的獨(dú)立性.第2講

隨機(jī)變量的獨(dú)立性01邊緣分布02隨機(jī)變量的獨(dú)立性本講內(nèi)容如何判斷兩個(gè)隨機(jī)變量獨(dú)立的定義設(shè)X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量,若對(duì)任意的x,y,有則稱X,Y相互獨(dú)立.??兩事件A,B獨(dú)立定義若P(AB)=P(A)P(B)則稱事件A,B獨(dú)立.2902隨機(jī)變量的獨(dú)立性??結(jié)論用分布函數(shù)表示,即設(shè)X,Y

是兩個(gè)隨機(jī)變量,則稱X,Y

相互獨(dú)立.若對(duì)任意的x,y,有它表明,兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立時(shí),兩聯(lián)合分布函數(shù)等于兩個(gè)邊緣分布函數(shù)的乘積.3002隨機(jī)變量的獨(dú)立性即離散型X與Y獨(dú)立對(duì)一切i,j

有3102隨機(jī)變量的獨(dú)立性連續(xù)型X與Y獨(dú)立對(duì)一切x,y

有二維隨機(jī)變量(X,Y)相互獨(dú)立,定聯(lián)合分布.則邊緣分布完全確3202隨機(jī)變量的獨(dú)立性判斷應(yīng)用隨機(jī)變量的獨(dú)立性3302隨機(jī)變量的獨(dú)立性判斷??前面例1討論X,Y

是否獨(dú)立？故X,Y相互獨(dú)立3402隨機(jī)變量的獨(dú)立性0.500.30不獨(dú)立判斷??前面例211001000.200.200.1502002500.100.050.500.500.250.2535(X,Y)的聯(lián)合與邊緣分布律02隨機(jī)變量的獨(dú)立性討論X,Y是否獨(dú)立？故X,Y不獨(dú)立1102xy判斷36??前面例7設(shè)隨機(jī)變量(X，Y)?服從區(qū)域G上的均勻分布．其他其他其他02隨機(jī)變量的獨(dú)立性應(yīng)用??例1037設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X，Y)的聯(lián)合分布律為02隨機(jī)變量的獨(dú)立性試確定常數(shù)

，使得隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立．38解由表，可得隨機(jī)變量X與Y的邊緣分布律為如果隨機(jī)變量X與

Y

相互獨(dú)立，則有02隨機(jī)變量的獨(dú)立性39由此得由此得??結(jié)論因此當(dāng)

,

時(shí),X與Y相互獨(dú)立.02隨機(jī)變量的獨(dú)立性因此當(dāng),時(shí),X與Y相互獨(dú)立.40??例11設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立,且分別服從參數(shù)為1與參數(shù)為4的指數(shù)分布,求解其他02隨機(jī)變量的獨(dú)立性證對(duì)任何x,y有取相互獨(dú)立41??命題1必要性02隨機(jī)變量的獨(dú)立性故將代入即得42充分性02隨機(jī)變量的獨(dú)立性設(shè)二維隨機(jī)變量服從正態(tài)分布求43??例12解X~N(1,1),Y~N(0,1)且獨(dú)立02隨機(jī)變量的獨(dú)立性在左轉(zhuǎn)車道上，每個(gè)信號(hào)周期內(nèi)的私家車數(shù)量記為X，44

X

Y

0120123450.0250.0150.0100.0500.0300.0200.1250.0750.0500.1500.0900.0600.1000.0600.0400.0500.0300.020問隨機(jī)變量X和Y是否相互獨(dú)立？公交車數(shù)量??例13且(X,Y)的聯(lián)合分布見下表：記為Y

，X與Y都是隨機(jī)變量，02隨機(jī)變量的獨(dú)立性Y的分布律為：45故隨機(jī)變量X和Y是相互獨(dú)立的.Y012P0.5000.3000.200可以驗(yàn)證，隨機(jī)變量(X,Y)的任意一點(diǎn)都滿足由邊緣分布律的定義可得X的分布律為：X012345P0.0500.1000.250