江蘇專版2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第三章圓錐曲線的方程測評新人教A版選擇性必修第一冊

第三章測評（時間：120分鐘滿分：150分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知拋物線的焦點在直線上,則實數(shù)的值為()A.8 B. C. D.2.若雙曲線的漸近線與圓相切，則()A. B. C. D.3.[2024江蘇徐州月考]已知點，，動點滿意，則點的軌跡為()A.橢圓 B.線段 C.橢圓或線段 D.不存在4.過拋物線的焦點作一條直線與拋物線交于,兩點，它們的橫坐標之和等于2，則這樣的直線()A.有且只有一條 B.有且只有兩條 C.有且只有三條 D.有且只有四條5.在中,點,,點在雙曲線上,則()A. B. C. D.6.已知是拋物線上的一點,是拋物線的焦點,若以為始邊（即以為起點，軸正半軸為始邊方向）,為終邊的角,則等于()A.2 B. C. D.47.[2024北京朝陽期末]在實際生活中，經(jīng)常要用到如圖1所示的“直角彎管”.它的制作方法如下：如圖2，用一個與圓柱底面所成角為的平面截圓柱，將圓柱截成兩段，再將這兩段重新拼接就可以得到“直角彎管”.在制作“直角彎管”時截得的截口是一個橢圓，若將圓柱被截開的一段（如圖3）的側(cè)面沿著圓柱的一條母線剪開，并綻開成平面圖形，則截口綻開形成的圖形恰好是某正弦型函數(shù)的部分圖象（如圖4）.記該正弦型函數(shù)的最小正周期為，截口橢圓的離心率為.若圓柱的底面直徑為2，則()A.， B.，C.， D.，8.如圖,橢圓的離心率為,是的右焦點,點是上第一象限內(nèi)隨意一點，且,,.若,則離心率的取值范圍是()A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.以直線與坐標軸的交點為焦點的拋物線的標準方程可以為()A. B. C. D.10.已知橢圓的對稱中心為坐標原點,焦點在坐標軸上,若橢圓的長軸長為6,短軸長為4,則橢圓的標準方程可能為()A. B. C. D.11.已知是雙曲線的右焦點,是雙曲線上隨意一點,則的大小可能是()A. B. C. D.12.某同學(xué)在探討一問題“設(shè)點,,直線,相交于點,且它們的斜率之積為,求點的軌跡方程”時,將其中已知條件“斜率之積為”拓展為“斜率之積為常數(shù)”之后,進行了探究.則下列結(jié)論正確的有()A.當(dāng)時，點的軌跡為橢圓（不含與軸的交點）B.當(dāng)時，點的軌跡為焦點在軸上的橢圓（不含與軸的交點）C.當(dāng)時，點的軌跡為焦點在軸上的橢圓（不含與軸的交點）D.當(dāng)時，點的軌跡為焦點在軸上的雙曲線（不含與軸的交點）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在中，，，，雙曲線以，為焦點，且經(jīng)過點，則該雙曲線的離心率為.14.已知雙曲線的左焦點為，點，是雙曲線右支上的動點，則的最小值等于.15.設(shè)橢圓上的一點到橢圓兩焦點的距離的乘積為,則當(dāng)取得最大值時,點的坐標是.16.如圖所示，已知拋物線的焦點為，準線與軸的交點為，點在拋物線上，且在軸的上方，過點作于，，則的面積為.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.[2024浙江杭州檢測]（10分）求滿意下列條件的曲線的標準方程：（1）兩焦點分別為，，且經(jīng)過點的橢圓；（2）與雙曲線有相同漸近線，且焦距為的雙曲線.18.（12分）已知雙曲線的實軸長為8，離心率.（1）求雙曲線的方程；（2）直線與雙曲線相交于，兩點，弦的中點為，求直線的方程.19.（12分）如圖，已知橢圓的一個焦點為，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過點作斜率為的直線交橢圓于，兩點，的中點為.設(shè)為原點，射線交橢圓于點.當(dāng)與的面積相等時，求的值.20.（12分）如圖,把半橢圓與圓弧合成的曲線稱作“曲圓”,其中為的右焦點,如圖所示,,,,分別是“曲圓”與軸、軸的交點,已知,過點且傾斜角為的直線交“曲圓”于,兩點（點在軸上方）.（1）求半橢圓和圓弧的方程；（2）當(dāng)點,分別在第一、第三象限時,求的周長的取值范圍.21.（12分）如圖,直線與圓相切于點,與拋物線相交于不同的兩點,,與軸相交于點.（1）若是拋物線的焦點,求直線的方程；（2）若,求的值.22.（12分）已知橢圓的左、右焦點分別為,,過點的直線交橢圓于,兩點,交軸于點.（1）若,求的值.（2）若點在第一象限,滿意,求的值.（3）在平面內(nèi)是否存在定點,使得是一個確定的常數(shù)？若存在,求出點的坐標；若不存在,說明理由.第三章測評一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.D[解析]因為拋物線的焦點在直線上,所以,即.2.A[解析]雙曲線的漸近線方程為,即.因為雙曲線的漸近線與圓相切，所以,解得.3.C[解析],當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立,當(dāng)時，點的軌跡為線段；當(dāng)時，由橢圓的定義得，點的軌跡為橢圓.故選.4.B[解析]設(shè)該拋物線的焦點為,,的橫坐標分別為,,則.所以符合條件的直線有且只有兩條.5.C[解析]由雙曲線的方程可得,,所以,即焦點坐標恰好為點,的坐標,所以,,由正弦定理知.6.D[解析]如圖所示,由題意得焦點,準線方程為,設(shè)點的坐標為,,,,整理得,解得（負值舍去）.又,.7.B[解析]由圓柱的底面直徑為2，得圓柱的底面周長為，則該正弦型函數(shù)的最小正周期.由已知可得截口橢圓的短軸長，截口橢圓的長軸長,即，，則，即截口橢圓的離心率.故選.8.B[解析]因為點是上第一象限內(nèi)隨意一點,所以為銳角.又,所以.設(shè)直線的斜率為,則.由可得故點,所以點.因為,所以,所以,解得.因為對隨意的恒成立,所以,整理得到對隨意的恒成立,所以,即,所以.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.AC[解析]直線與軸的交點坐標是，，拋物線的焦點坐標可以是，，此時拋物線的標準方程是.直線與軸的交點坐標是，拋物線的焦點坐標可以是，此時拋物線的標準方程是.10.AC[解析]由題可得,,則,,故橢圓的標準方程可能為或.11.AD[解析]雙曲線的漸近線方程為,雙曲線的漸近線與軸的夾角為.是雙曲線的右焦點,為坐標原點,是雙曲線上隨意一點,或.的大小可能是,.故選.12.BCD[解析]設(shè)點,,則,,由題意可得,故.若,則方程化為,點的軌跡為以原點為圓心,5為半徑的圓（不含與軸的交點）；若,則方程化為,點的軌跡為焦點在軸的橢圓（不含與軸的交點）；若,則方程化為,點的軌跡為焦點在軸的橢圓（不含與軸的交點）；若,則方程化為,點的軌跡為焦點在軸的雙曲線（不含與軸的交點）.綜上可知,,,正確.故選.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.[解析]因為在中，，，，所以，即.在雙曲線中，，，所以離心率.14.6[解析]結(jié)合題意，繪制圖象如圖所示.設(shè)為雙曲線的右焦點，依據(jù)雙曲線的性質(zhì)可知，得到，所以.而點，，所以，所以的最小值為6.15.或[解析]設(shè)橢圓的焦點為,,由橢圓定義可得,則,當(dāng)且僅當(dāng),即點或時,取得最大值25.16.8[解析]由題意知拋物線的焦點為，準線的方程為，點.設(shè)點，過點作于點，點，，，，，即點，的面積為.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（1）解設(shè)所求橢圓的標準方程為,兩焦點分別為,,.又橢圓過點,.又，，，橢圓的標準方程為.（2）設(shè)與雙曲線有相同漸近線的雙曲線方程為，焦距為,,，,雙曲線的標準方程為或.18.（1）解實軸長為8，離心率,，.又，，，,故雙曲線的方程為.（2）設(shè)點，的坐標分別為，，線段的中點為，，.,,,整理得,即直線的斜率為,直線的方程為,即.19.（1）解由題意得，又，則，，橢圓的方程為.（2）由（1）得橢圓的方程為，由題意得直線的方程為，即，由整理得.設(shè)點，，則，.與的面積相等，點和點到直線的距離相等.又的中點為，為線段的中點，即四邊形是平行四邊形.設(shè)點，則，即，,.又，，解得.20.（1）解由題意可得,,則,,則半橢圓的方程為,圓弧的方程為.（2）由題意得,在等腰三角形中,,若點,分別在第一、第三象限,則的取值范圍為,的周長.,.21.（1）解是拋物線的焦點,.設(shè)直線的方程為,由直線與圓相切,得,即,直線的方程為.（2）由題意可設(shè)直線的方程為,點,,,由得.則,,.由直線與圓相切,得,即.由,,得,.又點在拋物線下方，.又,解得.由題意知,.由直線與相互垂直,得,.當(dāng)時，.的值為.