遼寧省沈陽(yáng)市新民市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試

Page14時(shí)間：120分鐘滿(mǎn)分：150分第Ⅰ卷（選擇題共60分）球體的表面積公式：，體積公式V=其中為球的半徑一．選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)符合要求）1.函數(shù)的定義域?yàn)锳. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】由題意得，解得，即．

2.設(shè)R，則“＞1”是“＞1”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【詳解】試題分析：由可得成立，反之不成立，所以“”是“”的充分不必要條件考點(diǎn)：充分條件與必要條件3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】取特別值，解除ABC；對(duì)于D，利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行證明.【詳解】由，不妨取.對(duì)于A：，故不成立；對(duì)于B：，故不成立；對(duì)于C：，故不成立；對(duì)于D：因?yàn)?，所以，所以，?故選：D4.若命題，則A. B.C. D.【答案】B【解析】【詳解】分析：依據(jù)特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題推斷即可.詳解：該命題是特稱(chēng)命題，則命題的否定是，故選B.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)特稱(chēng)命題的否定問(wèn)題，在求解的時(shí)候，只要明確特稱(chēng)命題的否定形式即可得結(jié)果.5.已知、是不同的直線，、是不同的平面，下列命題中真命題為（）A.若∥，則∥ B.若∥，∥，則∥C.若∥，，則∥ D.若∥，∥，則∥【答案】C【解析】【分析】依據(jù)空間直線、平面的位置關(guān)系，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一推斷即可.【詳解】對(duì)于A：若∥，則∥或、異面.故A錯(cuò)誤；等于B：若∥，∥，則∥或、相交.故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)椤危?，所以∥（面面平行的性質(zhì)定理）.故C正確；對(duì)于D：若∥，∥，則∥或.故D錯(cuò)誤.故選：C6.函數(shù)與在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖像可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)平移以及對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像干脆推斷即可.【詳解】函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù),過(guò)且單調(diào)遞增.又為往左平移1個(gè)單位所得.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了指對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與變換,屬于基礎(chǔ)題.7.冪函數(shù)在上是減函數(shù)．則實(shí)數(shù)的值為A.2或 B. C.2 D.或1【答案】B【解析】【分析】由題意利用冪函數(shù)的定義和性質(zhì)可得，由此解得的值．【詳解】解：由于冪函數(shù)在時(shí)是減函數(shù)，故有，解得，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查冪函數(shù)的定義和性質(zhì)應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．8.下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)奇偶性的定義可推斷BCD，取特值可推斷A.【詳解】記，則，明顯，故為非奇非偶函數(shù)；由奇偶性定義易知為奇函數(shù)，和為偶函數(shù).故選：A9.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先求出函數(shù)的定義域，再依據(jù)對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】令，由，解得，或，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，則單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：A.10.下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)且時(shí), B.當(dāng)時(shí),C.當(dāng)時(shí),的最小值是2 D.當(dāng)時(shí),無(wú)最大值【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性即可得出．【詳解】解：A．當(dāng)1＞x＞0時(shí)，lgx＜0，lgx2不成立；B．當(dāng)時(shí),，正確；C．當(dāng)x≥2時(shí)，x2，不成立；D．當(dāng)0＜x≤2時(shí)，函數(shù)y＝x單調(diào)遞增，當(dāng)x＝2時(shí)，有最大值2，不正確．故選B．考點(diǎn)：基本不等式.11.如圖，在正方體中，線段上隨意一點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則肯定有（）A.與異面 B.與相交C.與平面平行 D.與平面相交【答案】C【解析】【分析】連接、、、，證明出四邊形為平行四邊形，并結(jié)合面面平行的性質(zhì)可推斷各選項(xiàng)能否肯定成立.【詳解】連接、，因?yàn)榍?，所以，四邊形為平行四邊形，?dāng)為、的交點(diǎn)時(shí)，與相交，當(dāng)不為、的交點(diǎn)時(shí)，與異面，AB選項(xiàng)都不肯定成立；連接、，因?yàn)榍?，故四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面，同理可證平面，因，、平面，平面平面，平面，平面，C選項(xiàng)肯定滿(mǎn)意，D選項(xiàng)肯定不滿(mǎn)意.故選：C.12.若函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，且在為增函數(shù)，又，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】分析出函數(shù)在上的單調(diào)性，可得出，分、兩種狀況解原不等式，即可得出原不等式的解集.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為定義在上的奇函數(shù)，且在為增函數(shù)，則該函數(shù)在上也為增函數(shù)，且，由可得.當(dāng)時(shí)，則，解得；當(dāng)時(shí)，則，解得.綜上所述，不等式的解集為.故選：A.其次卷（非選擇題，共90分）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.過(guò)球的一條半徑的中點(diǎn)，作垂直于該半徑的平面，則所得截面的面積是球的表面積的______________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)截面圓的性質(zhì)求出對(duì)應(yīng)的半徑進(jìn)行求解即可．【詳解】解：如圖所示的過(guò)球心的截面圖，設(shè)球的半徑為，截面圓的半徑為，則，所以；故答案為：．14.已知函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則________．【答案】2【解析】【分析】先求出，即可代入求解.【詳解】因?yàn)橐阎瘮?shù)的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，所以與互為反函數(shù)，所以.所以.故答案為：215.一個(gè)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為6，側(cè)棱長(zhǎng)為4，那么這個(gè)正三棱錐的高是______________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)所給條件畫(huà)出圖形，再依據(jù)正三棱錐的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】解：如圖正三棱錐中，為的中點(diǎn)，則，設(shè)為三角形的重心，則底面，又，所以，即這個(gè)正三棱錐的高是；故答案為：16.空間四個(gè)點(diǎn)P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=PB=PC=a，那么這個(gè)球的體積是_______________.【答案】【解析】【分析】先分析出過(guò)空間四個(gè)點(diǎn)P、A、B、C的球面即為棱長(zhǎng)為a的正方體的外接球,即可求解.【詳解】空間四個(gè)點(diǎn)P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=PB=PC=a，則PA、PB、PC可看作是正方體的一個(gè)頂點(diǎn)發(fā)出的三條棱,所以過(guò)空間四個(gè)點(diǎn)P、A、B、C的球面即為棱長(zhǎng)為a的正方體的外接球,球的直徑即是正方體的對(duì)角線,長(zhǎng)為所以這個(gè)球面的面積.故答案為:三．解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟）17.已知集合，.（1）求；（2）已知，若，求實(shí)數(shù)的取值集合.【答案】（1）或（2）或【解析】【分析】（1）依據(jù)交集、補(bǔ)集的定義計(jì)算可得；（2）分和兩種狀況探討，分別求出參數(shù)的取值范圍，即可得解.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?，，所以，所以或；【小?wèn)2詳解】解：因?yàn)椋遥佼?dāng)時(shí)，即，解得時(shí)，符合題意；②當(dāng)時(shí)，則，解得，綜上，所求的集合是或.18.如圖，已知梯形中，，，，，，在平面內(nèi)，過(guò)作，以為軸將梯形旋轉(zhuǎn)一周，求所得旋轉(zhuǎn)體的表面積及體積.【答案】表面積為，體積為【解析】【分析】作出幾何體的直觀圖，分析可知該幾何體是在一個(gè)圓柱中挖去一個(gè)圓錐而成的組合體，利用圓柱、圓錐的體積和表面積公式可求得該幾何體的表面積和體積.【詳解】解：在直角梯形中，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，如下圖所示：因?yàn)椋?，，故四邊形為矩形，故，則，又因?yàn)?，，，作出幾何體的直觀圖如下圖所示：由圖可知，該幾何體是在一個(gè)圓柱中挖去一個(gè)圓錐而成的組合體，且圓柱的底面半徑為，高為，圓錐的底面半徑為，高為，所以，該幾何體的體積為，表面積為.19.已知函數(shù)，的對(duì)稱(chēng)軸為且．（1）求、的值；（2）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；（3）若不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），（2）（3）或【解析】【分析】（1）利用二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可求得的值，由可求得的值；（2）利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍；（3）由可得出關(guān)于的不等式，解之即可.【小問(wèn)1詳解】解：二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸方程為，可得，且.因此，，.【小問(wèn)2詳解】解：由（1）可知，當(dāng)時(shí)，.【小問(wèn)3詳解】解：由，可得，可得或，解得或.20.如圖，已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，M?N分別是AB?PC中點(diǎn)（1）求證：MN平面PAD；（2）在PB上確定一個(gè)點(diǎn)Q，使平面MNQ平面PAD.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）當(dāng)在的中點(diǎn)時(shí)，平面平面.【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，利用面面平行的判定定理證明平面平面，即可證明平面；（2）假設(shè)第一問(wèn)的即為所求，再利用面面平行進(jìn)行證明.【詳解】（1）證明：取中點(diǎn)，連接，分別是的中點(diǎn)，.，又面，面，∴面.同理可證：面.又面，面，,平面平面，平面，平面（2）解：假設(shè)第一問(wèn)的即為所求在的中點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)且則平面平面且所以平面平面.所以第一問(wèn)點(diǎn)即為所求，當(dāng)在的中點(diǎn)時(shí)，平面平面.【點(diǎn)睛】（1）立體幾何中位置關(guān)系的證明一般用判定定理；（2）存在性問(wèn)題的證明：先假設(shè)存在，在進(jìn)行證明.假如存在，可以證明；假如推出沖突，則不存在.21.某公司生產(chǎn)某種電子產(chǎn)品的固定成本為2萬(wàn)元，每生產(chǎn)一臺(tái)該產(chǎn)品需增加投入100元，已知總收入R（單位：元）關(guān)于月產(chǎn)量x（單位：臺(tái)）滿(mǎn)意函數(shù)：（1）將利潤(rùn)（單位：元）表示成月產(chǎn)量x的函數(shù)（2）當(dāng)月產(chǎn)量x為何值時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？（利潤(rùn)+總成本=總收入）【答案】（1）（2）當(dāng)月產(chǎn)量為300臺(tái)時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是25000【解析】【分析】（1）依據(jù)題意建立函數(shù)關(guān)系式，寫(xiě)出分段函數(shù)形式；（2）分別求各段的最大值，即可求出公司利潤(rùn)最大值及取最大值時(shí)的產(chǎn)量.【小問(wèn)1詳解】由題意可得：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，即最大值為25000；當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，故.即當(dāng)月產(chǎn)量為300臺(tái)時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是25000.【點(diǎn)睛】數(shù)學(xué)建模是中學(xué)數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，在中學(xué)數(shù)學(xué)中，應(yīng)用題是常見(jiàn)考查形式：（1）求解應(yīng)用性問(wèn)題時(shí)，首先要弄清題意，分清條件和結(jié)論，抓住關(guān)鍵詞和量，理順數(shù)量關(guān)系，然后將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；（2）求解應(yīng)用性問(wèn)題時(shí)，不僅要考慮函數(shù)本身的定義域，還要結(jié)合實(shí)際問(wèn)題理解自變量的取值范圍.22.已知函數(shù)f(x)＝ex－e－x(x∈R且e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))．（1）推斷函數(shù)f(x)的奇偶性與單調(diào)性；（2）是否存在實(shí)數(shù)t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0對(duì)一切的x都成立？若存在，求出t；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）f(x)是增函數(shù)，奇函數(shù)；（2）存在，t＝－.【解析】【分析】（1）依據(jù)奇偶性定義推斷奇偶性，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的單調(diào)性；（2）依據(jù)奇偶性與單調(diào)性把不等式化這，即存在，使得2≤恒成立，由此可得值．【詳解】（1）∵f(x)＝ex－x，且y＝ex是增函數(shù)，y＝－x是增函數(shù)，所以f(x)是增函數(shù)．由于f(x)的定義域?yàn)镽，且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)．（2）由（1）知f