湖南省2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期月考六試卷

Page18湖南省2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期月考（六）試卷時(shí)量：120分鐘滿分：150分得分：______第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知復(fù)數(shù)z滿意，則（）A．B．C．D．2．已知集合，則的元素個(gè)數(shù)為（）A．9B．8C．6D．53．已知函數(shù)，則的圖象大致為（）A．B．C．D．4．我國古代人民早在幾千年以前就已經(jīng)發(fā)覺并應(yīng)用勾股定理了，勾股定理最早的證明是東漢數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)給出的，被后人稱為“趙爽弦圖”．“趙爽弦圖”是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，是中國古代數(shù)學(xué)的圖騰，還被用作第24屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)徽．如圖，大正方形是由4個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形組成的，若，E為的中點(diǎn)，則（）A．B．C．D．5．的綻開式中的系數(shù)是12，則實(shí)數(shù)a的值為（）A．4B．5C．6D．76．已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，Q為的中點(diǎn)，面，且，動(dòng)點(diǎn)N在以D為球心，半徑為1的球面上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M在面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且，則長(zhǎng)度的最小值為（）A．B．C．D．7．設(shè)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則（）A．B．C．D．8．已知函數(shù)，若在上無零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A．B．C．D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9．已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)P是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），則下列說法不正確的是（）A．存在點(diǎn)P，使面B．二面角的平面角為C．的最小值是D．P到平面的距離最大值是10．定義：假如函數(shù)在上存在，滿意，則稱為上的“對(duì)望數(shù)”，函數(shù)為上的“對(duì)望函數(shù)”．下列結(jié)論正確的是（）A．若函數(shù)為上的“對(duì)望函數(shù)”，則在上單調(diào)B．函數(shù)在隨意區(qū)間上都不行能是“對(duì)望函數(shù)”C．函數(shù)是上的“對(duì)望函數(shù)”D．函數(shù)是上的“對(duì)望函數(shù)”11．已知雙曲線的左，右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)P，Q是雙曲線C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），直線的斜率分別為，若，則下列說法正確的是（）A．雙曲線C的漸近線方程為B．雙面線C的離心率為C．為定值D．的取值范圍為12．定義在R上的函數(shù)與的導(dǎo)函數(shù)分別為和，若，且為奇函數(shù)，則下列說法肯定正確的是（）A．B．函數(shù)關(guān)于對(duì)稱C．函數(shù)是周期函數(shù)D．第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為______．14．平面直角坐標(biāo)系中，已知是圓的一條弦，且，M是的中點(diǎn)，當(dāng)弦在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線上總存在P，Q兩點(diǎn)，使得恒成立，則線段長(zhǎng)度的取值范圍是______．15．已知（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），，直線l是與的公切線，則直線l的方程為______．16．如圖，已知橢圓和拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為P，直線交于點(diǎn)Q，過Q作的垂線交于點(diǎn)R（不同于Q），若是的切線，則橢圓的離心率是______．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（本小題滿分10分）如圖，中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．（1）求角B的大??；（2）已知，若D為外接圓劣弧上一點(diǎn)，求的最大值．18．（本小題滿分12分）在數(shù)列中，，其前n項(xiàng)和為，且滿意．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．19．（本小題滿分12分）如圖，在直四棱柱中，底面是梯形，且，E是棱的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）求二面角的余弦值．20．（本小題滿分12分）基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)，也稱強(qiáng)基支配，是教化部開展的招生改革工作，主要是為了選拔培育有志于服務(wù)國家重大戰(zhàn)略需求且綜合素養(yǎng)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生．強(qiáng)基支配的?？加稍圏c(diǎn)高校自主命題，?？歼^程中筆試通過后才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié)．2024年有3500名學(xué)生報(bào)考某試點(diǎn)高校，若報(bào)考該試點(diǎn)高校的學(xué)生的筆試成果，其正態(tài)密度函數(shù)的最大值為，且．筆試成果高于70分的學(xué)生進(jìn)入面試環(huán)節(jié)．（1）求和；（2）從報(bào)考該試點(diǎn)高校的學(xué)生中隨機(jī)抽取10人，求這10人中至少有一人進(jìn)入面試的概率；（3）現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四名學(xué)生進(jìn)入了面試，且他們通過面試的概率分別為、、、．設(shè)這4名學(xué)生中通過面試的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：若，則，，，．21．（本小題滿分12分）過拋物線的對(duì)稱軸上的定點(diǎn)，作直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)．（1）證明：A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值；（2）若點(diǎn)N是定直線上的任一點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，摸索究之間的關(guān)系，并證明．22．（本小題滿分12分）已知函數(shù)，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）推斷函數(shù)在內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由；（2）隨意，存在，使得不等式成立，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（3）若，求證：．湖南師大附中2024屆高三月考試卷（六）數(shù)學(xué)參考答案題號(hào)123456789101112答案DCAACCCBBDBCDBCDACD一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．D【解析】因?yàn)椋?，所以．故選D．2．C【解析】因?yàn)榧希旨?，則，則的元素個(gè)數(shù)為6，故本題選C．3．A【解析】當(dāng)時(shí)，，則，∴在上單調(diào)遞增，BD錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，則，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，C錯(cuò)誤，A正確，故選A．4．A【解析】設(shè)，則，在中，可得，過點(diǎn)E作于點(diǎn)H，則，，所以，所以．故選A．5．C【解析】對(duì)于，由二項(xiàng)式定理綻開式的通項(xiàng)公式，可求得含的項(xiàng)，，故的綻開式中含的項(xiàng)為，而的綻開式中的系數(shù)是12，所以，解得．故選C．6．C【解析】如圖，由，得，即點(diǎn)M在以Q為圓心，以1為半徑的圓上，當(dāng)點(diǎn)N落在平面內(nèi)，且D，N，M，Q四點(diǎn)共線時(shí)，的距離最小，由已知求得，故，故選C．7．C【解析】設(shè)，則，因此函數(shù)是增函數(shù)，所以，即，因此，即．設(shè)，則，因此函數(shù)是減函數(shù)，所以，因此，即．設(shè)，則．而由知：當(dāng)時(shí)，，即，因此函數(shù)是減函數(shù)，所以，即，因此，所以，即．綜上所述，．8．B【解析】，若，則，∴，則，又，解得．又解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，結(jié)合，可得．∴，故選B．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9．BD【解析】對(duì)于A，當(dāng)P與重合時(shí)，，又平面平面，則平面，故A正確；對(duì)于B，二面角就是二面角，其平面角大小為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖，沿棱綻開面為面，使點(diǎn)共面，則的最小值為，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)P與C重合時(shí)，垂直平面，此時(shí)點(diǎn)C到平面的距離為，故D錯(cuò)誤．故本題選BD．10．BCD【解析】對(duì)于A，取函數(shù)，此時(shí)為]上的“對(duì)望函數(shù)”，但在上不單調(diào)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)槭菃握{(diào)遞增函數(shù)，所以在上不行能存在，滿意，所以函數(shù)在隨意區(qū)間上都不行能是“對(duì)望函數(shù)”．故B正確；對(duì)于C，，令，得，且，所以函數(shù)是上的“對(duì)望函數(shù)”，故C正確；對(duì)于D，，令，得，因此存在，使得，所以函數(shù)是上的“對(duì)望函數(shù)”，故D正確．故選BCD．11．BCD【解析】設(shè)，則，因?yàn)?，故，依題意有，所以，所以C的漸近線方程為，離心率，故A錯(cuò)誤，B正確；因?yàn)辄c(diǎn)P，Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以四邊形為平行四邊形，即有，所以，故C正確；設(shè)的傾斜角為，的傾斜角為，由題意可得，則，依據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)P在x軸上方，則，則，則，因?yàn)镻在x軸上方，則或，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，所以，故D正確．故選BCD．12．ACD【解析】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以A正確；由得，由得，所以，即關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，從而，c為常數(shù)．因?yàn)?，所以，所以，取可得，所以，又，即，所以，即，所以，故函?shù)是周期為4的函數(shù)，由，得，所以，故，即D正確，因?yàn)?，即，故也是周期?的函數(shù)，C正確．綜上，答案為ACD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．【解析】（含有相同元素的排列）將4個(gè)1和2個(gè)0支配在6個(gè)位置，則選擇2個(gè)位置支配0，共有種排法；將4個(gè)1排成一把2個(gè)0插空，即在5個(gè)位置中選2個(gè)位置支配0，共有種排法，所以2個(gè)0不相鄰的概率．14．【解析】由圓可知圓心，半徑為，因?yàn)镸是的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，所以三角形為等腰直角三角形，所以，即點(diǎn)M在以C為圓心，1為半徑的圓上，點(diǎn)M所在圓的方程為，要使得恒成立，則點(diǎn)M在以為直徑的圓上或內(nèi)部，而P，Q在直線上，點(diǎn)C到直線的距離，所以以為直徑的圓的半徑的最小值為，所以的最小值為．故答案為：．15．或【解析】設(shè)直線l與的切點(diǎn)為，則，∴，∴切點(diǎn)為，切線斜率，∴切線方程為，即，①同理設(shè)直線l與的切點(diǎn)為，∴，∴，切點(diǎn)為，切線斜率，∴切線方程為，即，②由題意知，①與②相同，∴把③代入④有，即，解得或，當(dāng)時(shí)，切線方程為；當(dāng)時(shí)，切線方程為，綜上，直線l的方程為或．16．【解析】不妨設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，則，且點(diǎn)，則的斜率為，因?yàn)?，得的斜率為，得，……①因?yàn)槭堑那芯€，記切線的斜率為k，則切線方程為，由消去x得，由，又因?yàn)?，整理得，又因?yàn)?，得，得，……②由①②得，，得，又因?yàn)辄c(diǎn)，點(diǎn)都在橢圓上，則兩式相減得，得，故，得，又因?yàn)椋?，得，則橢圓的離心率為，故答案為．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．【解析】（1）∵，由正弦定理得：．∴．∵，∴，又∵，∴．（2）由（1）知，，而四邊形內(nèi)角互補(bǔ)，則，設(shè)，則，由正弦定理得：．∴，∴，當(dāng)，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最大值為．18．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，所以，所以．又因?yàn)椋詷?gòu)成以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．（2）由（1）可知，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以．19．【解析】解法一：（1）證明：連接，∵是正方形，∴，又∵，∴平面，∴，又∵，∴平面，∴．（2）解法1：在平面中，過點(diǎn)作，垂足為K，連接，又過點(diǎn)作，垂足為H，則為點(diǎn)到平面的距離，由（1）得，∴是直角梯形．在中，有，∴，在中，，∴點(diǎn)到平面的距離為．解法2：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為h，在中，，∴為直角三角形，由得，∴，∴點(diǎn)到平面的距離為．（3），取線段的中點(diǎn)F，連接，則，∵，∴，再取線段的中點(diǎn)G，連接，∴，∴，∴是二面角的平面角，在中，，取線段的中點(diǎn)L，連接，則，在中，，∴，由余弦定理知，∴二面角的余弦值為．解法二：（1）設(shè)，∴，∵，∴，∴，∴，∴，得，得，在直四棱柱中，，∴．（2）以為原點(diǎn)，所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，．設(shè)平面的法向量為，∵，∴∴令，則，得．，求點(diǎn)到平面的距離．（3）設(shè)平面的法向量為．∵，∴∴令，則，得．又設(shè)平面的法向量為，∵，∴∴令，則，得．，∵二面角的平面角是鈍角，∴二面角的余弦值為．20．【解析】（1）的最大值為，解得．因?yàn)?，所以．?）記“至少有一名學(xué)生進(jìn)入面試”為事務(wù)A，因?yàn)椋?，所以．答：至少有一名學(xué)生進(jìn)入面試的概率為0.8223．（3）X的可能取值為0，1，2，3，4．，，，，，．21．【解析】（1）設(shè)有，下證之：因?yàn)橹本€與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，所以直線的斜率不為0．可設(shè)直線的方程為：．把的方程與聯(lián)立得消去x得．由韋達(dá)定理得即A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值．（2）探究：當(dāng)直線軸時(shí)，則，設(shè)點(diǎn)，此時(shí)，，，所以．猜想一般狀況下，有，下證之：設(shè)點(diǎn)，則直線的斜率為，直線的斜率為，所以．又因?yàn)橹本€的斜率為,所以．22．【解析】（1）函數(shù)在上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1，理由如下：因?yàn)?，所以．因?yàn)椋?，所以函?shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)．因?yàn)?，依?jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理得函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1．（2）因?yàn)椴坏仁降葍r(jià)于，所以隨意，存在，使得不等式成立，等價(jià)于，即