高中數(shù)學(xué)競賽（強基計劃）歷年真題練習(xí) 13 數(shù)學(xué)歸納法 （學(xué)生版+解析版）

【高中數(shù)學(xué)競賽真題?強基計劃真題考前適應(yīng)性訓(xùn)練】

專題13數(shù)學(xué)歸納法真題專項訓(xùn)練（全國競賽+強基計劃專用）

一、填空題

1.（2019?全國?高三競賽）在數(shù)列｛%｝中，4=g,an+i=2a,-［a,］,其中，［x］表示不超

過實數(shù)X的最大整數(shù).則々009+“2010=-

2.（2019?全國?高三競賽）已知實數(shù)列｛%｝定義為《＞=：,4,5（〃eN）.設(shè)

，ZIDCtn）

4=■1?則｛A｝中有個完全平方數(shù).

二、解答題

3.（2021?全國?高三競賽）數(shù)列｛4｝滿足：q=0,4=1，4=?騁缶｛4+%+i｝,求｛4｝的

通項公式.

4.（2021?全國?高三競賽）求所有的函數(shù)/：ZfR,滿足/（1）=|,且對于所有整數(shù)萬、￥,

有/（x）/（y）=/（x+y）+/（x-y）.

5.（2021?全國?高三競賽）已知=1+1+：++'（"eN,）.證明：當(dāng)”22時，

23n

［；＞2得+爭"+

I23nJn

6.（2018?全國?高三競賽）設(shè)ao=l,a“M=式'（〃=。，1，）,求證：

（1）凡=）；

7.(2018?全國?高三競賽)設(shè)2〃個實數(shù)4，/，…，4；4也，…也(〃N3)滿足條件

(1)at+a2+-+an=b}+b2+...+bn；

(2)0<at=a2,af+aM=ai+2(z=1,2,M-2)；

(3)0<bt<b2,bt+bM<bi+2(i=l,2,...,n-2).

求證：4i+a“46“-i+2.

8.（2019?全國?高三競賽）設(shè)數(shù)列｛a“｝、｛。｝滿足/=%=1,。“+|=5%+7%,

%=7?！?1。么.證明:對任意的如neN,am+n+bm+n=ama?+bmbn.

9.（2018?全國?高三競賽）若百位數(shù)字為9的〃位自然數(shù)N的各位數(shù)字之和為M,其中

N

n＞3,當(dāng)一的值最小時，N是多少?

M

10.（2019?全國?高三競賽）求證：數(shù)歹Ua“=3"cos（〃arccos；）〃=l,2）的每一項都是

整數(shù)，但都不是3的倍數(shù).

11.（2019?全國?高三競賽）設(shè)數(shù)列｛4｝滿足％=1,〃向="+2（〃€?），試求［WoJ.

12.（2018?全國?高三競賽）已知數(shù)列｛玉｝滿足辦="。＞0）,且對所有正整數(shù)〃有

1

x,,+T（〃+2）X"-X”?求證：存在正整數(shù)〃，使得4＞2010!.

/=1

13.（2021?全國?高三競賽）給定正整數(shù)〃?、k,有"個選手A，4，，4參加一次測試，

該測試由，"個項目構(gòu)成，每個項目完成后都會取得一個評分，沒有兩個人在一個項目取

得相同的評分.求〃的最小值，使得總存在左個選手

A，4,，&/斗氣＜，4,在第，個項目中的上個得分要么單調(diào)遞

增，要么單調(diào)遞減，j=12,m.

14.（2018?全國?高三競賽）正整數(shù)數(shù)列｛4｝滿足：4=1，4”=［："［：'：：：

（1）求生008；

（2）求最小的正整數(shù)〃,使得q=2008.

2/

15.（2018?全國?高三競賽）給定兩個數(shù)列，滿足｛q｝：%=1嗎=13,。向~（/?eAT+）；

an-\

也｝:%=1,:M：-64（neN），證明：對任意的“wN,%+2可表為兩個正

整數(shù)的平方和.

16.（2021?全國?高三競賽）設(shè)Z1,zz,"MO和嗎，叼，，叼網(wǎng)為兩組復(fù)數(shù)，滿足:

2CP0）020

￡|Z『＞5＞了.求證：存在數(shù)組（今后，，笈。）（其中弓5fl｝），使得

?=|1=1

20202020

Z鉆>Z。"，

/=!Z=1

yxf>2n-l

17.(2021?全國?高三競賽)己知〃個非負實數(shù)4%，，Z和為1.求證：合弋丫"〃2.

六1

18.(2021?全國?高三競賽)設(shè)數(shù)列｛。,,｝滿足冊+“+%_”=^a2m+a2nym>n>O),al=\.

6、正學(xué),1?4039

求證：%或(痢?

19.(2018?全國?高三競賽)/(")定義在正整數(shù)集上，且滿足/(1)=2,

/(n+l)=(/(n))2-/(n)+l,n=l,2,.求證：對所有整數(shù)〃>1,有

1,--1--->己---1-<1,----1

2》自/⑴22"'

20.(2021?全國?高三競賽)給定正整數(shù)鹿23.求最大的實數(shù)M.使得>M

對任意正實數(shù)4，。2,M”恒成立，其中4+1=4.

------XH0

21.(2018?全國?高三競賽)數(shù)列｛4｝滿足：e(O,l),x?+l="x?［尤」"\neN+).

0,

求證：對一切“eN*,均有占+迎++%?<4+4++；淇中［同表示不大于實數(shù)工

J273Jn+\

的最大整數(shù)，｛/,｝是斐波那契數(shù)列：/=力=1，兀2=￡川+力，〃￡2.

1

22.(2018?全國?高三競賽)已知數(shù)列，.求

+a?_a+a?_a)

3〃一122t}

證：a〃+i<%?

23.(2018?全國?高三競賽)給定正整數(shù)〃對于正整數(shù)機，集合S,“=｛1,2,,mn｝.

集族尸滿足如下條件：

(1)F的每個集合都是S,?的加元子集；

(2)產(chǎn)中的任意兩個集合至多有一個公共元素：

(3)晨的任意一個元素恰出現(xiàn)在F中的兩個集合中.

試求“，的最大值.

24.(2018?全國?高三競賽)奧運會排球預(yù)選賽有"支球隊參加，其中每兩隊比賽一場，

每場比賽必決出勝負.如果其中有2(34心〃)支球隊A，4，，4滿足：A勝4,4勝4,

AT勝4，4勝A”則稱這左支球隊組成一個“k階連環(huán)套”.證明：若全部”支球

隊組成一個”階連環(huán)套，則對于每個4及每支球隊4（14區(qū)〃），4必與另外某些球隊

組成一個左階連環(huán)套.

25.（2019?全國?高三競賽）求滿足下列條件的最小正整數(shù)t,對于任何凸n邊形AaLA?,

只要“Nf,就一定存在三點4、可、Ak（\<i<j<k<n）,使AAA/*的面積不大于凸n

邊形A&LA,面積的

n

26.（2019?全國?高三競賽）正整數(shù)數(shù)列｛4｝滿足：出=16,

11121

—7??；八,<京.試求通項公式明?

27.（2019?全國?高三競賽）設(shè)/（力是定義在自然數(shù)集合N上并在N上取值的函數(shù)，滿足：

對任何兩個不相等的自然數(shù)以有〃。+6）=2009.

⑴求/⑼；

⑵假設(shè)4，生，，“3是100個兩兩不相等的自然數(shù)，求

/（?））+/（?2）++/（4?0）一/（4+生++?100）；

（3）是否存在符合題設(shè)條件的函數(shù)/（x）,使/（2009）=20092，證明你的結(jié)論.

28.（2018?全國?高三競賽）設(shè)p（x）f+8-4）:1-6-4）,其中，b為正奇數(shù).

定義數(shù)列｛S｝滿足E=P（S"J,S°=P（6）.若正整數(shù)〃22,使得加=《產(chǎn)為素數(shù).證

明:”|（%「6）.

29.（2019?全國?高三競賽）求證:存在唯一的正整數(shù)數(shù)列4，%，，使得4=1嗎>1，

勺+1（%T）=3/“洶"2-15=1,2,）.

米/“+2-1+1

30.（2022?浙江杭州?高三學(xué)軍中學(xué)校考競賽）我們稱X為“花式集合”，如果它滿足如下

三個條件：

（a）|X|=2022；

（b）X的每個元素都是包含于[0,1]中的閉區(qū)間（元素可重復(fù)）；

（c）對于任意實數(shù)re[0,1],X中包含r的元素個數(shù)不超過1011.

對于“花式集合”48和區(qū)間/eAJWB,用〃(A,B)表示使得/cJ*0的對(/，)的數(shù)量.

求〃(A3)的最大值.

【高中數(shù)學(xué)競賽真題?強基計劃真題考前適應(yīng)性訓(xùn)練】

專題13數(shù)學(xué)歸納法真題專項訓(xùn)練（全國競賽+強基計劃專用）

一、填空題

1-（2019?全國?高三競賽）在數(shù)列｛《,｝中，an+l=2a?-［a?］,其中，［x］表示不超

過實數(shù)X的最大整數(shù).則%）09+“2010=.

【答案】2009

【詳解】由已知得4=呆2=1，,=；

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

凡+2-?！?1，凡+。,川=〃?

顯然，當(dāng)n=l時，結(jié)論成立.

假設(shè)當(dāng)n=k時，結(jié)論成立，即

ak+2~ak=L4+4+i=k.

則當(dāng)n=k+l時，

4+3—ak+\

=24+2-&+2卜（2%-&］）

=2（%2一見）-（&+2］-&］）=1，

4+1+4+2=%+i+（4+1）=%+1?

故當(dāng)n=k+l時，結(jié)論也成立.

綜上，an+2-a?=l,4,+4“i=〃總成立.

因此,出009+“2010=2009.

故答案為2009

2.（2019?全國?高三競賽）已知實數(shù)列｛/｝定義為4=：,4,田eN）.設(shè)

2215an）

4,=豆匚y.則｛4｝中有個完全平方數(shù).

【答案】無限.

【詳解】設(shè)凡=9（凡、％€7+，（%，%）=1）.則

-2M5p,J10PM

1/口9

由旬=2f得q=三.

2

n~+^U-_

若51%,則由P“,iJ"5，知5|功…

%+i2p“q“

故當(dāng)”21時，5|%.

又由式①知當(dāng)〃21時，P“為奇數(shù)，%為偶數(shù).于是,

^,+i=P>y'qe=2p,q..

A_5_5」_q：

則4-54-廣50；-夕廠2

凡一不

2

由歸納法知含=1.

所以，4=屋（〃21）為完全平方數(shù).

故答案為無限

二、解答題

3.（2021?全國?高三競賽）數(shù)列｛可｝滿足：q=0,4=1，??=豁｛4+4"+，｝,求｛/｝的

通項公式.

【答案】4=空也

【詳解】用數(shù)學(xué)歸納法，當(dāng)〃=1,4=0,符合;

假設(shè)"4幺4=若1,

當(dāng)〃=%+1時，則％?=max｛4+4+1+i｝

=max[0+（A+-）（J）+i]

—I22J

=等+^?｛94）｝=9，

故〃=4+1時，命題成立,

n（n-l）

所以為=-4

4.（2021?全國?高三競賽）求所有的函數(shù)f:Z-R,滿足/⑴=|,且對于所有整數(shù)x、y,

有/(x)./■(y)=/(x+y)+/(x-y).

【答案】函數(shù)只有一個：/(x)=2'+21

【詳解】令y=i,得|f(x)=f(x+i)+f(x-i),即

令x=y=O,得尸(o)=2/(o),所以"0)=0或2.

若"0)=0,由①，八2)=々,〃3)=萼J(4)=等.

4816

令x=y=2,得產(chǎn)⑵=/(4)+/(o).但(弓)2=黑+0不成立，矛盾.

若"0)=2,由條件,對任意的整數(shù)x、y,有f(x)/(-y)=〃x—y)+/(x+y).

令X=O,得2/(一力=/(一y)+f(y),即/㈠)=/(」).

所以，“X)為偶函數(shù).

根據(jù)①由數(shù)學(xué)歸納法可證明，對任意正整數(shù)》,有/(x)=2*+2：

再由〃x)為偶函數(shù)知對于任意的整數(shù)x,有f(x)=2、+2f.

經(jīng)驗證，/(x)=2'+2T滿足條件.

綜上，滿足條件的函數(shù)只有一個：/(x)=2t+2-\

5.(2021?全國?高三競賽)已知%=1+:+!++!(〃eN*).證明：當(dāng)〃22時，

23n

d>2件+令+

[23n)n

【答案】證明見解析

【詳解】(1)當(dāng)〃=2時，左邊=蜷=-；右邊=2冬+1==+[=2；

V2；42222

9

因為:>2,所以，所證不等式成立.

4

(2)假設(shè)"二燈八2)時不等式成立，即d>2倍+g++牛]+?成立.

I23kJk

當(dāng)〃=左+1時，

+-++(%+1)2

++1

=2++TI7T)4

TT(女+1)2

/+A+1

k(k+\)2

>2但+2+

I23+牛+缶卜舟

=2(”+幺+

I23

所以，當(dāng)“=左+1時，不等式也成立.

由（1）、（2）可知，當(dāng)“eN+，〃22時，所證不等式成立.

6.（2018?全國?高三競賽）設(shè)a。=1,a“+i=[+>（〃=°',），求證：

（1）%彳*（"=12）;

⑵an<^￡可（〃=1,2,）.

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【詳解】（1）令b“=L,則d=l,%|=d+?.

%b.

41—

只須證明2>-Vn（?>l）

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.

當(dāng)〃=1時，命題顯然成立.

假設(shè)有22g五.

因為函數(shù)y=x+：,xe（l,*o）上是嚴(yán)格遞增的，

所以，

b}=b+—>—4n+——=—s[n+--y=>-y[n+--\=>—4n+——j=^—尸=&J〃+1

234r34冊336337^71+63

3

因此，對每一個〃之1.都有〃絲?.即可螳。伍=1,2,).

33y/n

(2)因為一匚='+。〃，所以，

%%

^-^=^-^-+(n+\]an=—+—4-(n+l)6?n>—+2l—(n+l)a^=—+2\/n+l.

%4444V44

即上^-△N2〃+1(k=01,),

%4

于是，之戶-42sg，即四22題.

/=0\4+1%)/=0i=0

則=)

故/建住"(〃=1,2,).

7.(2018?全國?高三競賽)設(shè)2n個實數(shù)4,4，…嗎；自也，…也(“23)滿足條件

(1)at+a2+...+an=bl+b2+...+bn；

(2)0<at=a2,4+%]=4+2(i=l,2,...,"-2)；

(3)0</?,<Z?2,bt+bM<bi+2(i=l,2,...,n-2).

求證：a,i+a“4be+b..

【答案】見解析

【詳解】如果《4仇，山遞推關(guān)系即知：對一切的1,均有4.結(jié)論顯然成立(事實

上此時山條件(1)可知，必有q=e).

設(shè)6>々，當(dāng)〃=3時，結(jié)論顯然成立.

假設(shè)〃=%時，結(jié)論成立，只要證〃=%+1時結(jié)論成立.

令1=1,瑪=2,1+%=%2，-

設(shè)a；=q+%,a'2=a},

a\-aM+Fi-ia\>i=3,4，…,k-

b、=b、+b],4=63,

b'=bM+4一2“i，i=3,4,.

kk

易驗證且

1=11=1

o<4=4,a；+a；+i=4+2，i=i,2,...,z-2；

0<b[<b'2,〃+%K〃+2，i=l,2,…,k-2.

由歸納假設(shè)有4T+4?4T+4,

即?+冗)+?+i+4-24)

4（仇+&-.洶）+（仇+i+Ke）.

故4+%|W4+4+一

所以，當(dāng)"=%+1時結(jié)論成立.

8.（2019?全國?高三競賽）設(shè)數(shù)列｛4｝、｛"｝滿足4>=4=1,%=54+7",

%=7。“+102.證明:對任意的加、“eN,am+n+bm+n=aman+bmbn.

【答案】見解析

【詳解】固定加+〃，改證以卜命題：

對任意的％eN（O4&4m+〃），有。，…+*”=品+“一/*+2…4.①

對女用數(shù)學(xué)歸納法.

當(dāng)&=0時，結(jié)論顯然.

aa

設(shè)％=r時,式①成立，即《”+“+%“=m+n-rr+也…瓦.

當(dāng)&=r+1（/<加+〃）時，am+n_rar+bm+n_rbr

=（5q—+7bH）b,+（7%—+1做，+…t）

=a）n+n-r-\（5a,.+7b,）+d?T（7q+l維）

=am+n_r_tar^+bm+n_r_fir+].

于是，式①亦成立.因此，式①得證.

在式①中取％=〃，得+t>m+?=ama?+bmbn.

9.（2018?全國?高三競賽）若百位數(shù)字為9的"位自然數(shù)N的各位數(shù)字之和為M,其中

N

”>3,當(dāng)?shù)闹底钚r，N是多少？

7My

【答案】1999

【詳解】（1）當(dāng)〃=4時，令可=灰.則

N1000a+900+10匕+c,999a+891+96,999^+891+%

=1+>1+（當(dāng)c=9時等號成立）

a+9+h+c--------a+9+b+c-----------a+9+h+9

,9（。+8+18）+990〃+729，八990a+729,八990a+729

=I+---------------------=10+---------->10+---------（當(dāng)b=9時等號成立）

a+b+\Sa+b+18tz+9+18

=<0+990（.+27）-26001=I000_2600.￡|00（）_26001（當(dāng)皿時，等號成立）

1999

28

N

故當(dāng)瓦的值最小值時，N為I甌

（2）當(dāng)〃>4時.用數(shù)學(xué)歸納法證明.IO"-—648〃>0.

1。當(dāng)”=5時，顯然成立.

2。假設(shè)當(dāng)n=%時命題成立.即IO*--648A>0.

那么，當(dāng)〃=%+1時，有

10（A+，H-648（^+1）=10x10*-'-648^-648=104-'-648A:+9xlO*J-648

>9X10M-648>9X104-648>0.

故當(dāng)〃=4+1時,命題成立.

因此，當(dāng)〃>4時，l0i-648〃>0恒成立.

工口N、10"T648〃”1999

于是，一>---->-----=72>-------.

M9〃9n28

故當(dāng)方N達到最小值詈1999時，N為1999.

10.（2019?全國?高三競賽）求證：數(shù)歹！]a?=3"cos（〃arccos；）（〃=l,2）的每一項都是

整數(shù)，但都不是3的倍數(shù).

【答案】見解析

【詳解】^e=arcos^-,則cos0=g,且q=3"cos〃。.下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明.

222

①當(dāng)〃=1,2時，有q=3cos，=l,a2-3cos20-3（2cos0—---7

都是整數(shù)，且都不是3的倍數(shù)，命題成立.

②假設(shè)4+一處都是整數(shù)，目都不是3的倍數(shù)，由三角公式有

i+l

ak+l=3cos（&+1）8=3*"[2cos0cosk0-cos（么-1）

=2（3'cosA：e）-3?[3'TCOS伏-1）6?]=2ak-9ak_,.

可見，也是整數(shù).下面證明q+i不是3的倍數(shù)，若不然％產(chǎn)0（mod3）,則

%=4+i+9a"0（mod3）.

但（2,3）=1,故4三0（mod3）.

與應(yīng)不是3的倍數(shù)矛盾.所以，不是3的倍數(shù)，這表明，命題對〃=化+1時成立.

由數(shù)學(xué)歸納法知，命題對一切正整數(shù)成立.

11.（2019?全國?高三競賽）設(shè)數(shù)列｛4｝滿足％=1,〃向=￡+、（〃€—）,試求口短』.

【答案】2009

22

【詳解】由八號+2得。3喙+$+2.

25

又q=1，有星=4,。；=4,=4+—.

36

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:

2

當(dāng)〃之4時,〃+—vq；<〃+l.①

n

事實上，當(dāng)〃=4時,式①結(jié)論顯然成立.

假設(shè)當(dāng)“24時，結(jié)論成立.

又由于函數(shù)￡,"）=宗+［在（0,〃2）上單調(diào)遞減，結(jié)合式①得

2

2-〃+1n公

3d—彳+2>z—I--------F2

n~禽”n+\

71+11/八-

—+-----+-1)+2

27

n鹿+1'

>〃+1+3.

72+1

另一方面,

2

22n+—2

“2_組+工+2<___n_

an+\~2十2十N<+-2

2

〃%n

〃+一

n

n2+22n

+〃+2?②

/n2+2

而寧-懸（』〃，潤+2）2

<=>n4>4?2+4.

當(dāng)〃24時，n4>4+4w2>4n2+4?式③成立.

由式②窈％"<〃+2.

2

綜上,〃+1H-------<a"<n+2.

H+1

由歸納原理知，當(dāng)〃24時，總有式（1）成立.

故所求國oj=2009.

12.（2018?全國?高三競賽）已知數(shù)列｛七｝滿足與=。（。>0）,且對所有正整數(shù)〃有

ZJ-I

>（n+2）X?-.求證：存在正整數(shù)〃，使得x.>2010!.

i=l

【答案】見解析

【詳解】先用數(shù)學(xué)歸納法證明：對一切正整數(shù)"有七+|>￡反,>〃?〃!.

i=l

當(dāng)〃=1時，顯然，x2>3xt>xt=a.

假設(shè)當(dāng)寸，結(jié)論成立.

kk

則%2>(^+3)xw-?,=(A+1)%+2xi+l-￡氏

/=11=1

kk%+1

>化+1)%+251-Ejx：=Z比.

*=11=1?=1

由占>。和歸納假設(shè)知工2，七，，々都是正數(shù).

從而，xk+2>(Z+l)x?+|>伏+1乂4?％!)=4-(％+1)!.

這就完成了歸納證明.

因此，存在足夠大的正整數(shù)”，使得/”>分〃!>2010!.

13.(2021?全國?高三競賽)給定正整數(shù)〃hk,有〃個選手4,4，,4參加一次測試，

該測試由，"個項目構(gòu)成，每個項目完成后都會取得一個評分，沒有兩個人在一個項目取

得相同的評分.求"的最小值，使得總存在左個選手

A，%，4，1斗氣<氣4%4,%，4,在第，個項目中的左個得分要么單調(diào)遞

增，要么單調(diào)遞減，7=1,2,,m.

【答案】〃的最小值為伏一1產(chǎn)+1.

【分析】結(jié)合引理：一個，M+1項且每兩項不同的實數(shù)數(shù)列｛&｝存在旭+1項的遞增子列

或”+1項的遞減子列.利用數(shù)學(xué)歸納法可求得〃的最小值

【詳解】為方便，用力,—來表示由A，&，，4的m個得分構(gòu)成的n個m維向量.先

來構(gòu)造〃=(&-If時不滿足條件的例子.用。4，，%表示分量均為±1的所有m維向

量,并設(shè)心=爐箱=1,2,,2m.取q,知…，可為

S2-+￡2--\++￡2+4,

%,+々M-I+,+J+2勺，

￡2-+%--1+-+邑+("%,

%+%-i+?+2￡?+弓，

J++■+2%+(k-1%,

(%-1)￡■尹+(k-++(&-Dj+(%一1%,

任取設(shè)%-4,按上述表示合并同類項后為+/百，。為下

標(biāo)最小的非零系數(shù)，則4#—2,〃=1,2,,d.由定義易知/”＞().

下面證明為-4,的諸分量的正負性與與的相同.

由于-1)&,力+(&-1)l2++("1火2限/"1+限2/2卜+岫,故在

%-4的d項中，每個分量絕對值比其他項和的對應(yīng)分量絕對值都大.

若存在滿足條件的k個選手，設(shè)%一%的各個分量的正負性與氣，的一樣.則％,%，%

的氣系數(shù)嚴(yán)格遞增，這是不可能的.

再來證明〃=(%-1)2*+1時結(jié)論成立.

先證明一個引理.

引理：-個，加+1項且每兩項不同的實數(shù)數(shù)列｛《｝存在,”+1項的遞增子列或〃+1項的遞

減子列.

證明：若否，考慮以每一項開始的最長遞增子列的長度，則這些數(shù)都在｛L2,，而｝中.山

抽屜原理，必存在"+1個數(shù)相同.而若，＜),且《、%,開始的最長遞增子列的長度一

樣，則“；＞為,否則可將《并入勺，開始的最長遞增子列，得到比為開始的最長遞增子

列更長的遞增子列，矛盾.如此便找到了一個"+1項的遞減子列，矛盾.

回到原題.對抗歸納.〃?=1時直接使用引理即可.

假設(shè)結(jié)論在相-1時成立，接下來考慮布時的情況.

由于依一1尸"+1=伏一1).‘6一1廣,+1,結(jié)合引理知存在*一1)2"'+1個選手第一個項目

得分單調(diào)遞增或遞減.

而由歸納假設(shè)知這些選手中存在k個選手第2,3，…,〃，個項目的得分單調(diào)遞增或遞減.

故這上個選手滿足條件.結(jié)論成立.

綜上所述，n的最小值為(A-If+1.

a?-n,a>n-,

14.(2018?全國?高三競賽)正整數(shù)數(shù)列｛%｝滿足：4=1,。向

a?+n,an<n.

(1)求“2008；

(2)求最小的正整數(shù)〃，使得q=2008.

【答案】(1)637；(2)5827

【詳解】(1)易得數(shù)列的初值(見表1).

表1

1234567891011121314

1241510411312213114

接下來關(guān)注使4=1的下標(biāo)％：勺=1,%=4,%=13,……它們滿足如下遞推關(guān)系;

nk+i=3nk+1(A=1,2,…).①

卜面對女進行歸納.

當(dāng)％=1,2時，式①成立.

設(shè)己有4=1,則由條件4+i=%+1，4+2=24+2,1

%+3=4，%4=2%+3,

UI納易得旬+2,i=〃?+2-加(m=1,2,…,〃火+1),

%+2,“=2"*+1+加(加=1,2,…,4).②

于是，當(dāng)機=%+1時，%+|=%+2-(4+1)=1.

因此,〃印=34+1伏=1,2,),即式①成立.

山式國2、+1=3(2〃1+1).

記2%+1=4，則xk+l=3xk,xl=3.

k

所以，xk=3.

3A-1

因此，nk=---{^k=1,2,).

_37-138-1

而為二一--=1093,4=一--=3280,

則均〈2008〈4.

又2008=%+2x458-1,故由式②得

“2008=%+2—458=637.

(2)由式②知,當(dāng)〃43%=%-1時，

a?<3nk+l=nk+i.

因此，當(dāng)”<%時，/4%=1093.

而當(dāng)?時,要么可41094,要么a“N2xlO94,即4的值取不到2008.

進而，考慮〃8的情況.

由q+2—帆=2008,得加=1274.

由式②^?5827=冊+2,,1=%+2-m=2008.

故滿足??=2008的最小的n為5827.

15.(2018?全國?高三競賽)給定兩個數(shù)列，滿足｛%｝：4=1,0=13,《用=(1"+64(”€乂)；

an-\

也｝:瓦=1,b向=9b”+犧b；-64("eN),證明：對任意的〃eN,a“+d可表為兩個正

整數(shù)的平方和.

【答案】見解析

【詳解】對于數(shù)列｛4｝有/=1，4=13,々=233.

由」+*=%+%=1+233

1o=18'

q田at13

于是,對任意的"eN,4+2=184+1-4.

所以，bll+l-9b.=J8O〃；_64.①

對于數(shù)列｛2｝,由條件知數(shù)列嚴(yán)格遞增.

將%-18bhz+〃+64=0兩邊平方得-18黑也.2+%+64=0.②

在式②中用〃+1代替n得卻以2.③

山式②、③知，“18%/+%+64=0是關(guān)于t的方程勿+%=18加

的兩個相異根，于是，由根與系數(shù)關(guān)系得4+2=18%-"也=14=13,

即4+包=2a”(〃eN).④

22

由式①、④知，｛%｝、也｝為同一個數(shù)列，因此，ao=l=O+l.

又據(jù)式①知，數(shù)列｛《,｝的各項為正整數(shù)，且q=13=22+32,

2222

a2=233=8+13，^=4181=34+55,｛怎卜｛%｝

構(gòu)作輔助數(shù)列$=0，與=2,%=4%+x?_2(n>2),其中,

%=1，*=3,券=4yl+y?,2(n>2)；⑤

X”、y?.⑥

顯然，當(dāng)“21時，/(〃)=為-解+%)=0皆為正整數(shù)，且%>%.

下面證明：對任意的〃eN,

n<k.⑦

對n用數(shù)學(xué)歸納法.

當(dāng)〃工3時己驗證.

設(shè)當(dāng)/(9+/(%-2)=以一(片+義)+%2-(e+我)時，式⑦成立.

當(dāng)"=%時，由于=18見_|-(片+W)-(&+優(yōu)2)

=18(<,+a)一(4+4)一(々一4xj丫一(%-4yly

=2(尤?+4%％_|-x；+yti+4弘”_|-￡)

=-片+yk+]yk.,-yl)

F(%T)+f("3)=2(%x*_2-片_1+%%_2-丁3)，

則=2(X：-4x“j-咄+才一4%"_|一％)=-/⑹--2)

=3)=0

而據(jù)歸納假設(shè)有/伙)=0

因此，?！?〃=24=2(片+婿=(%-%『+(y?+x.y

故由歸納法，對一切“wN,式⑦成立.

由式⑦得”-%、”+%，其中，R、2、2為正整數(shù).

16.（2021?全國?高三競賽）設(shè)馬金，，Z2O2O和“，卬2，，嗎020為兩組復(fù)數(shù)，滿足:

20202020

￡甯＞￡|*求證:存在數(shù)組（與電，…，臉）（其中與€{-1」}）,使得

/=|;=|

20202020

工叼

>Z弓叱

1=\1=1

【答案】證明見解析

【詳解】用，Z仆篤，居）表示對所有數(shù)組（小心，，冬）的求和，下面用數(shù)學(xué)歸

（￡）,C2,,￡?）

納證明如下的等式:

Z歸4+3Z2++=2%Z『①

即S'，7)I

（1）當(dāng)〃=1時，①式顯然成立;

當(dāng)”=2時，

2222

|zl+z2|+|zl-z2|=(zl+z2)(z1+z2)+(z1-z2)(zl-z2)=2(z1z1+z2z2)=2(|zl|+|z2|j,即

①式成立.

（2）假設(shè)〃=4時，①式成立，貝lj〃=k+1時，我們有

Ekizi+^z2++4+/*+1「

=E阿+好2Z+Z+￡ZZ++￡ZZ

++^kkM[\\\+^22kk~k+\[]

（與向.…與）

=2EQ|￡,Z,+^2Z2++/Z/+|ZA『)

’可如『+*昨2嚏忸

=22k

I\/=1))1=1

即〃=Z+1時①式成立.

由(1)(2)可得:Xkzi+ff2z2++￡"Z"『=2"tjzj,〃€N+.

2020.2020-2020-2020.

回到原題，山z同>2網(wǎng)，可得22Mz㈤上^^時,

+￡，Z

即Z\￡\z\+￡，2z2+2O2O2O2O|>X歸必+/卬2++*2020嗎2°0|,

(狗向?…N2020)

2020220202

所以存在數(shù)組（與,心，￡2020）（其中￡”{-1，1},使得W>R>，即

20202020

/=1

yxf^2n-l

17.（2021?全國?高三競賽）已知〃個非負實數(shù)X，Z，，Z和為1.求證：白《丁一/

乙Xj

>1

【答案】證明見解析

【詳解】作如下?lián)Q元：設(shè)&=1>3=1,2,…,〃，則

>1

\222

———=q+%+,+a“—2Q°_?,—2Q“_]H——+-H—況-

aE'7aia\an

J=l

=—+—++—-ax-a2--an_x+1(?！?1,且這里特別定義/=0).

%%4

定義數(shù)列｛4.｝如下：4=3也=呈盧，則

之色匚生堂+0-%)=t9+￡(陶一2珈—2刎+1—%+%

i=2aii=2aii=2

〃zj2皿

=2.一I>，+1=原式?

*=2aiz=l

只需l-4_g"，即只需"一瓶心，即〃4」.

nnn+\

采用歸納法，對〃=1成立.

假設(shè)〃二%成立，考慮〃=攵+1,

,〃++，2k2+2k+\,2k+\-1

“十一2一二2(一1產(chǎn)->2無2+4八2”一百

歸納成立.

I22?-1

所以力％一%",y+(1-%”1-%21-(1)?==

1=2ai\nJ

18.(2021?全國?高三競賽)設(shè)數(shù)列｛/｝滿足%+“+《“_”=+a2n)(/n>n>0),a,=I.

等14039

求證：2工<麗.

【答案】證明見解析

【詳解】令機="，得%,”+%=]%”+%”)，則%=0?

令”=0,得am+am=1(%“+/),則a2m=4《“.①

令帆=〃+2,得a2n+2+%=J(出用+%,)?②

根據(jù)①得：%-2=%“+1)=4氏+|,%=44=4,于是，a2n+2+a2=4(a?+1+1).(3)

另一方面，由②、①得

a

2n+2+的=；(%"+4+%,)=|(也+2+也)=2%+2+2ali.④

由③、④得遞推關(guān)系式

““+2=2%-%+2,%=0,4=1.

由此可得%=4,%=9,4=16,一，猜測=〃2(〃WN).

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個猜想:

對于〃=o,〃=l,結(jié)論顯然成立；

假定g=H,*=(k+1)2,則有4+2=2伏+1)2-公+2=伙+2)2,

2

所以當(dāng)〃=%+1時等式成立.因此，atl=n(/ieN)成立.

對于火22,有染(江尢11

T^\~~k

4039

2020'

19.(2018?全國?高三競賽)/(〃)定義在正整數(shù)集上，且滿足"1)=2,

/(〃+1)=("〃))2-〃〃)+1,〃=1,2,.求證：對所有整數(shù)”>1,有

1—Ly_L<i__L

2/(，?)22",

【答案】見解析

【詳解】由題設(shè)顯然有/(〃)22.

將/(〃+1)=(""))2-”“)+1變形為=/(〃)[/(")—1],

111_

0|J/(?+i)-i=/(?)-1-700'①

y11__________1____111

馬⑴_]_"-1)_1廠/(1)_]_/(〃+1)_]_+

/(2)=/(1)[/(1)-1]+1=3,43)=/⑵[〃2)-1]+1=7.

由此猜想2*+③

用數(shù)學(xué)歸納法證明式③對“N2的整數(shù)成立.

當(dāng)”=2時，4</(3)-1<16,式③成立.

假設(shè)〃=機時，式③成立.

當(dāng)”=加+]時，有/(機+2)=/(機+1)[/(m+1)_1]+1.(4)

由歸納假設(shè)有22""</(W+1)-1<22\

因為/(加+1)是正整數(shù)，由上式有22*'+14/、G”+l)_1422”—L⑤

由式④、式⑤有〃m+2以22""+2)(22""+1)+1

=2r+3x22?"+3>2r+l.⑥

又〃機+2)422122.-1)+1=22'""-22”+1<22*+1.⑦

由式⑥、式⑦知式③對〃="2+1成立.

所以，式③對任意正整數(shù)〃之2成立.

因此，所證不等式成立.

2

20.（2021?全國福三競賽）給定正整數(shù)”23.求最大的實數(shù)M.使得t4

>M

*=16+%"

對任意正實數(shù)4，。2,M,恒成立，其中4+1=4.

3〃=3

【答案】加=4,一‘

1,n>4.

【詳解】當(dāng)〃24時，令4=x.*（k=l,2,，〃一1）,則

、22

二『+1

k=\X+11+x"-1

2

1

11x—>0H'j,(〃—1)1-1.

x+1\+x"-'

2

令X"=4

，則問題化為：為工2工〃=1，證明：Z>1.

k=\1+xJ

當(dāng)”=4時，首先證明:

2

①

1+xi+y11+孫

?+xyy+l>x2y2+2xy,由均值不等式知成立.

由①式知

4

12+XyX+XX_]

E