矩陣 知識點+例題+練習(xí)

教學(xué)內(nèi)容矩陣與變換

理解二階矩陣與平面列向量的乘法，了解幾種常見的平面變換，理解二階矩陣的乘法

教學(xué)目標(biāo)及簡單性質(zhì).

理解二階矩陣的乘法及簡單性質(zhì).

重點

難點理解二階矩陣的乘法

教學(xué)準(zhǔn)備

矩陣與變換

二階矩陣與變換

課前準(zhǔn)備度回扣教材夯實基礎(chǔ)

自主梳理

1.線性變換與二階矩陣

[x,=ax+byy

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，由彳，,,(其中a,b,教

1/=cx+dy,

秋

ad是常數(shù))構(gòu)成的變換稱為線性變換.由四個數(shù)a,b,c,d排學(xué)

ab

成的正方形數(shù)表稱為，其中a,b,c,d稱為矩陣

學(xué)_cd_效

的_______,矩陣通常用大寫字母4B,C,…或(a“)表示(其中i.

J分別為元素a“所在的行和列).果

過：2.矩陣的乘法

bnbn

行矩陣［&冏］與列矩陣口的乘法規(guī)則為［a冏］「=［五如”

ab\「x]\ax析

+aM，二階矩陣「與列矩陣的乘法規(guī)則為——

_cciyLJCIL。力1_上

ax-rby

11.矩陣乘法滿足結(jié)合律，不滿足交換律和消去律.

_cx-vdy_

3.幾種常見的線性變換

rioi

(1)恒等變換矩陣40］；

⑵旋轉(zhuǎn)變換斤,對應(yīng)的矩陣是M=

(3)反射變換要看關(guān)于哪條直線對稱.例如若關(guān)于x軸對稱，

「101

則變換對應(yīng)矩陣為的=.；若關(guān)于y軸對稱，則變換對應(yīng)矩

_0一L

教

陣為M2=_________；若關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，則變換對應(yīng)矩陣M3

「401

學(xué)(4)伸壓變換對應(yīng)的二階矩陣M=,,表示將每個點的橫

L0左」

坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腳______倍，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腳_______倍，X,

人均為非零常數(shù)；

過(5)投影變換要看投影在什么直線上，例如關(guān)于x軸的投影變

換的矩陣為M=；

(6)切變變換要看沿什么方向平移，若沿x軸平移|行|個單位,

程則對應(yīng)矩陣Q,若沿y軸平移|乂|個單位，則對應(yīng)矩

「10]教

陣〃=,其中A為非零常數(shù)).

K

4.線性變換的基本性質(zhì)學(xué)

x

設(shè)向量a=，規(guī)定實數(shù)4與向量。的乘積4。=效

.y.

;設(shè)向量￡=[；]規(guī)定向量。與￡的和a+

果

B=.分

(1)設(shè)〃是一個二階矩陣，。、￡是平面上的任意兩個向量，

力是一個任意實數(shù)，則①〃(4。)=,②〃(」+￡)=析

(2)二階矩陣對應(yīng)的變換(線性變換)把平面上的直線變成直線

(或一點).

【自我檢測】

-1-1

1.點4(3,—6)在矩陣1對應(yīng)的變換作用下得到的點

0

2

教的坐標(biāo)是_______

1-2X0

2.設(shè)則它表示的方程組為

.03._JC.-1

學(xué)

1—1

3.設(shè)矩陣4=°],矩陣2所確定的變換將點尸(x,力變

過

換成點Q,則0點的坐標(biāo)為.

4.設(shè)△的8的三個點坐標(biāo)為0(0,0),4(4,4),6(6，區(qū))，

"1k

程在矩陣八八對應(yīng)的變換下作用后形成△的'B',則△/8與

L01J

△的'B'的面積之比為.

5.二階矩陣〃對應(yīng)的變換將點(1,-1)與(一2,1)分別變?yōu)辄c

(―1,—1)與(0,—2).

(1)求矩陣就

(2)設(shè)直線1在矩陣〃對應(yīng)的變換作用下得到直線m：x-y-A

=0,求/的方程.

探究點一幾種常見的變換

【例11試討論下列矩陣將所給圖形變成了什么圖形，并指出該

變換是什么變換

-1Q

(1)方程為y=2%+2；

.01.

10'

教(2)，點人2,5)；

01.

'20'

(3)曲線方程為/+/=4.

學(xué).01.教

學(xué)

過

效

程果

分

析

—1o-

變式遷移1將點(2,4)先經(jīng)過矩陣變換后，再繞原點逆

02

時針旋轉(zhuǎn)90°角所得的點坐標(biāo)為_____

探究點二矩陣的乘法及幾何意義

【例21驗證下列等式，并從幾何變換的角度給予解釋：

-1r10-一10'-1r

?

.13_11..02..01.

教

學(xué)

亞

過2222

變式遷移2已知矩陣后和N=，求

亞1_亞亞

L2

程L25」2_

證：MN=NM.

教

學(xué)

效

果

分

?課堂小結(jié)

1.常見的變換矩陣析

教100

(1)恒等變換矩陣為人；(2)伸壓變換矩陣為g

0101

1010-10

學(xué)或M=(3)反射變換矩陣為M尸，他=

LOk.0-1J01

-10COS9—sin9

Ms-(4)旋轉(zhuǎn)變換矩陣為〃=;⑸

過0-1.sin9cos9

1010fOO-

=

投影變換矩陣為闕=,，M產(chǎn)，M\;(6)切變變

0OJ1001

程1-10

換矩陣為人或M=

01k1

2.矩陣的乘法不滿足交換律,不滿足消去律,但滿足結(jié)合律.

abuVau+bsav+bt

設(shè)A=，B=，則居=

cd_scu+dscv+dt

精題精練規(guī)范答題

(滿分：90分)

一、填空題(每小題6分，共48分)

a引「P

1.矩陣，(左)乘向量的法則是________.

_cd]L7.

2.(2010?龍巖一模)在某個旋轉(zhuǎn)變換中，順時針旋轉(zhuǎn)2所對

應(yīng)的變換矩陣為.

—10

3.直線2x+y—1=0經(jīng)矩陣M=:C,的變換后得到的直線

_0—

方程為________.

教

4.設(shè)a,6GR,若矩陣4=；r

,將直線7：x+y—l=0變?yōu)?/p>

b_

學(xué)

直線x—y—2=0,貝1]a=,b—.

2—384]「5-2'

5.已知A=，B=，C=.則AB=效

-465531

,AC=—果

6.曲線y=sinX在矩陣MN變換下的函數(shù)解析式為

1

O

102-分

.（其中人.）

02

01析

7.（2010?南京二模）在直角坐標(biāo)系中，XOAB的頂點坐標(biāo)

0（0,0）,4（2,0）,6（1,隹），△龍由在矩陣3的作用下變換所得

10'I罵2

的圖形的面積為—（其中矩陣〃=,N=

.0-1.亞）

°2

11121

8.已知二階矩陣〃滿足