高考數(shù)一輪復(fù)習(xí) 3.8 解三角形應(yīng)用舉例限時(shí)集訓(xùn) 理

限時(shí)集訓(xùn)(二十二)解三角形應(yīng)用舉例(限時(shí)：50分鐘滿分：106分)一、選擇題(本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分)1．如圖所示，已知兩船A和B與海洋觀察站C的距離相等，船A在觀察站C的北偏東40°，船B在觀察站C的南偏東60°，則船A在船B的()A．北偏東10° B．北偏西10°C．南偏東10° D．南偏西10°2．某人向正東方向走xkm后，向右轉(zhuǎn)150°，然后朝新方向走3km，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好是eq\r(3)km，那么x的值為()A.eq\r(3) B．2eq\r(3)C.eq\r(3)或2eq\r(3) D．33.如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于akm，燈塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離為()A．a(chǎn)km B.eq\r(3)akmC.eq\r(2)akm D．2akm4．一個(gè)大型噴水池的中央有一個(gè)強(qiáng)大噴水柱，為了測(cè)量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點(diǎn)A測(cè)得水柱頂端的仰角為45°，沿點(diǎn)A向北偏東30°前進(jìn)100m到達(dá)點(diǎn)B，在B點(diǎn)測(cè)得水柱頂端的仰角為30°，則水柱的高度是()A．50mB．100mC．120mD．150m5．(·永州模擬)張曉華同學(xué)騎電動(dòng)自行車以24km/h的速度沿著正北方向的公路行駛，在點(diǎn)A處望見電視塔S在電動(dòng)車的北偏東30°方向上，15min后到點(diǎn)B處望見電視塔在電動(dòng)車的北偏東75°方向上，則電動(dòng)車在點(diǎn)B時(shí)與電視塔S的距離是()A．2eq\r(2)km B．3eq\r(2)kmC．3eq\r(3)km D．2eq\r(3)km6．如圖，飛機(jī)的航線和山頂在同一個(gè)鉛垂面內(nèi)，若飛機(jī)的高度為海拔18km，速度為1000km/h，飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?0°，經(jīng)過1min后又看到山頂?shù)母┙菫?5°，則山頂?shù)暮０胃叨葹?精確到0.1km)()A．11.4 B．6.6C．6.5 D．5.67．在200m高的山頂上，測(cè)得山下一塔的塔頂和塔底的俯角分別是30°，60°，則塔高為 ()A.eq\f(400,3)m B.eq\f(200,3)mC．100m D.eq\f(400\r(2),3)m8.如圖，在湖面上高為10m處測(cè)得天空中一朵云的仰角為30°，測(cè)得湖中之影的俯角為45°，則云距湖面的高度為(精確到0.1m)()A．2.7m B．17.3mC．37.3m D．373m二、填空題(本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分)9．(·南通模擬)“溫馨花園”為了美化小區(qū)，給居民提供更好的生活環(huán)境，在小區(qū)內(nèi)如圖的一塊三角形空地上種植草皮(單位：m)，已知這種草皮的價(jià)格是120元/m2，則購買這種草皮需要________元．10.年10月29日，超級(jí)風(fēng)暴“桑迪”襲擊美國東部，如圖，在災(zāi)區(qū)的搜救現(xiàn)場(chǎng)，一條搜救狗從A處沿正北方向行進(jìn)xm到達(dá)B處發(fā)現(xiàn)一個(gè)生命跡象，然后向右轉(zhuǎn)105°，行進(jìn)10m到達(dá)C處發(fā)現(xiàn)另一生命跡象，這時(shí)它向右轉(zhuǎn)135°后繼續(xù)前行回到出發(fā)點(diǎn)，那么x＝________.11．某路邊一樹干被臺(tái)風(fēng)吹斷后，折成與地面成45°角，樹干也傾斜為與地面成75°角，樹干底部與樹尖著地處相距20m，則折斷點(diǎn)與樹干底部的距離是______m.12．一船向正北航行，看見正西方向有相距10海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見一燈塔在船的南偏西60°方向，另一燈塔在船的南偏西75°方向，則這只船的速度是________海里/小時(shí)．13．如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB，C是該小區(qū)的一個(gè)出入口，且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD.已知某人從O沿OD走到D用了2分鐘，從D沿DC走到C用了3分鐘．若此人步行的速度為每分鐘50米，則該扇形的半徑為________米．14．如圖，海岸線上有相距5海里的兩座燈塔A，B，燈塔B位于燈塔A的正南方向．海上停泊著兩艘輪船，甲船位于燈塔A的北偏西75°方向，與A相距3eq\r(2)海里的D處；乙船位于燈塔B的北偏西60°方向，與B相距5海里的C處，則兩艘輪船之間的距離為________海里．三、解答題(本大題共3個(gè)小題，每小題14分，共42分)15.如圖，為了解某海域海底構(gòu)造，在海平面內(nèi)一條直線上的A、B、C三點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量．已知AB＝50m，BC＝120m，于A處測(cè)得水深A(yù)D＝80m，于B處測(cè)得水深BE＝200m，于C處測(cè)得水深CF＝110m，求∠DEF的余弦值．16．為撲滅某著火點(diǎn)，現(xiàn)場(chǎng)安排了兩支水槍，如圖，D是著火點(diǎn)，A、B分別是水槍位置，已知AB＝15eq\r(2)m，在A處看到著火點(diǎn)的仰角為60°，∠ABC＝30°，∠BAC＝105°，求兩支水槍的噴射距離至少是多少？17.如圖，漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處，且與島嶼A相距12海里，漁船乙以10海里/小時(shí)的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時(shí)從B處出發(fā)沿北偏東α的方向追趕漁船乙，剛好用2小時(shí)追上．(1)求漁船甲的速度；(2)求sinα的值．答案[限時(shí)集訓(xùn)(二十二)]1．B2.C3.B4.A5.B6.B7.A8.C9．解析：三角形空地的面積S＝eq\f(1,2)×12eq\r(3)×25×sin120°＝225，故共需225×120＝27000元．答案：2700010．解析：∵由題知，∠CBA＝75°，∠BCA＝45°，∴∠BAC＝180°－75°－45°＝60°，∴eq\f(x,sin45°)＝eq\f(10,sin60°).∴x＝eq\f(10\r(6),3)m.答案：eq\f(10\r(6),3)m11．解析：如圖，設(shè)樹干底部為O，樹尖著地處為B，折斷點(diǎn)為A，則∠ABO＝45°，∠AOB＝75°，所以∠OAB＝60°.由正弦定理知，eq\f(AO,sin45°)＝eq\f(20,sin60°)，解得AO＝eq\f(20\r(6),3)m.答案：eq\f(20\r(6),3)12．解析：如圖，依題意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，從而CD＝CA＝10.在直角三角形ABC中，可得AB＝5，于是這只船的速度是eq\f(5,0.5)＝10海里/小時(shí)．答案：1013．解析：連接OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°.由余弦定理得OC2＝1002＋1502－2×100×150×cos60°＝17500，解得OC＝50eq\r(7).答案：50eq\r(7)14．解析：連接AC，∠ABC＝60°，BC＝AB＝5，則AC＝5.在△ACD中，AD＝3eq\r(2)，AC＝5，∠DAC＝45°，由余弦定理得CD＝eq\r(13).答案：eq\r(13)15．解：作DM∥AC交BE于N，交CF于M，DF＝eq\r(MF2＋DM2)＝eq\r(302＋1702)＝10eq\r(298)，DE＝eq\r(DN2＋EN2)＝eq\r(502＋1202)＝130，EF＝eq\r(BE－FC2＋BC2)＝eq\r(902＋1202)＝150.在△DEF中，由余弦定理得，cos∠DEF＝eq\f(DE2＋EF2－DF2,2DE·EF)＝eq\f(1302＋1502－102×298,2×130×150)＝eq\f(16,65).16．解：在△ABC中，可知∠ACB＝45°，由正弦定理得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，解得AC＝15m.又∵∠CAD＝60°，∴AD＝30，CD＝15eq\r(3)，sin105°＝sin(45°＋60°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).由正弦定理得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(BC,sin∠BAC)，解得BC＝eq\f(15\r(6)＋\r(2),2)m.由勾股定理可得BD＝eq\r(BC2＋CD2)＝15eq\r(5＋\r(3))m，綜上可知，兩支水槍的噴射距離至少分別為30m，15eq\17．解：(1)依題意，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784.解得BC＝28.所以漁船甲的速度為eq\f(BC,2)＝14海里/小時(shí)．(2)法一：在△ABC中，因?yàn)锳B＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得eq\f(AB,sinα)＝eq\f(BC,sin120°).即sinα＝eq\f(ABsin120°,BC)＝eq\f(12×\f(\r(3),2),28)＝eq\f(3\r(3),14).法二：在△ABC中，因?yàn)锳B＝12，AC