高考數(shù)一輪復(fù)習(xí) 8.5 橢　圓限時集訓(xùn) 理

限時集訓(xùn)(五十)橢圓(限時：50分鐘滿分：106分)一、選擇題(本大題共8個小題，每小題5分，共40分)1．(·上海高考)對于常數(shù)m、n，“mn>0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲線是橢圓”的 ()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,7)＝1的左、右焦點分別為F1、F2，一直線過F1交橢圓于A，B兩點，則△ABF2的周長為()A．32 B．16C．8 D．43．已知橢圓：eq\f(x2,10－m)＋eq\f(y2,m－2)＝1的焦距為4，則m等于()A．4 B．8C．4或8 D．以上均不對4．(·臺州模擬)已知橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，它的一個頂點為M(0,1)，離心率e＝eq\f(\r(6),3)，則橢圓的方程為()A.eq\f(x3,3)＋eq\f(y2,2)＝1 B.eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,3)＝1C.eq\f(x2,6)＋y2＝1 D.eq\f(x2,3)＋y2＝15．矩形ABCD中，|AB|＝4，|BC|＝3，則以A、B為焦點，且過C、D兩點的橢圓的短軸的長為()A．2eq\r(3) B．2eq\r(6)C．4eq\r(2) D．4eq\r(3)6．已知P為橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上的一點，M、N分別為圓(x＋3)2＋y2＝1和圓(x－3)2＋y2＝4上的點，則|PM|＋|PN|的最小值為()A．5 B．7C．13 D．157．以橢圓上任意一點與焦點所連接的線段為直徑的圓與以長軸為直徑的圓的位置關(guān)系是()A．內(nèi)切 B．相交C．相離 D．無法確定 8．(·新課標(biāo)全國卷)設(shè)F1、F2是橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點，P為直線x＝eq\f(3a,2)上一點，△F2PF1是底角為30°的等腰三角形，則E的離心率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,4) D.eq\f(4,5)二、填空題(本大題共6個小題，每小題4分，共24分)9．(·溫州模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為eq\f(\r(2),2).過F1的直線l交C于A，B兩點，且△ABF2的周長為16，那么C的方程為________．10．若橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)與曲線x2＋y2＝a2－b2恒有公共點，則橢圓的離心率e的取值范圍是________．11．一個正方形內(nèi)接于橢圓，并有兩邊垂直于橢圓長軸且分別經(jīng)過它的焦點，則橢圓的離心率為________．12．(·江西高考)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右頂點分別是A，B，左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為________．13．設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓eq\f(x2,3)＋y2＝1的左，右焦點，點A，B在橢圓上，若F1A→＝5F2B→，則點A的坐標(biāo)是eq\a\vs4\al().14．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(3),2).過右焦點F且斜率為k(k>0)的直線與橢圓C相交于A、B兩點．若＝3，則k＝________.三、解答題(本大題共3個小題，每小題14分，共42分)15．已知P點在以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓上，點P到兩焦點的距離分別為eq\f(4\r(5),3)和eq\f(2\r(5),3)，過P點作焦點所在軸的垂線，它恰好過橢圓的一個焦點，求橢圓方程．16．已知橢圓G：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(6),3)，右焦點為(2eq\r(2)，0)．斜率為1的直線l與橢圓G交于A，B兩點，以AB為底邊作等腰三角形，頂點為P(－3,2)．(1)求橢圓G的方程；(2)求△PAB的面積．17．(·重慶高考)如圖，設(shè)橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，上頂點為A，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，線段OF1，OF2的中點分別為B1，B2，且△AB1B2是面積為4的直角三角形．(1)求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過B1作直線l交橢圓于P，Q兩點，使PB2⊥QB2，求直線l的方程．答案[限時集訓(xùn)(五十)]1．B2.B3.C4.D5.D6.B7.A8．C9．解析：根據(jù)橢圓的焦點在x軸上，可設(shè)橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，∵e＝eq\f(\r(2),2)，∴eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，根據(jù)△ABF2的周長為16得4a＝16，因此a＝4，b＝2eq\r(2)，所以橢圓方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1.答案：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝110．解析：由題意知，以半焦距c為半徑的圓與橢圓有公共點，故b≤c，所以b2≤c2，即a2≤2c2所以eq\f(\r(2),2)≤eq\f(c,a).又eq\f(c,a)<1，所以eq\f(\r(2),2)≤e<1.答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))11．解析：設(shè)橢圓的焦距為2c則2a＝(eq\r(5)＋1)c，∴e＝eq\f(2,\r(5)＋1)＝eq\f(\r(5)－1,2).答案：eq\f(\r(5)－1,2)12．解析：依題意得|F1F2|2＝|AF1|·|BF1|，即4c2＝(a－c)·(a＋c)＝a2－c2，整理得5c2＝a2，得e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),5).答案：eq\f(\r(5),5)13．解析：根據(jù)題意設(shè)A點坐標(biāo)為(m，n)，B點坐標(biāo)為(c，d)．F1、F2分別為橢圓的左，右焦點，其坐標(biāo)分別為(－eq\r(2)，0)，(eq\r(2)，0)，可得＝(m＋eq\r(2)，n)，＝(c－eq\r(2)，d)．∵＝5，∴c＝eq\f(m＋6\r(2),5)，d＝eq\f(n,5).∵點A，B都在橢圓上，∴eq\f(m2,3)＋n2＝1，eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m＋6\r(2),5)))2,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,5)))2＝1．解得m＝0，n＝±1，故點A的坐標(biāo)為(0，±1)．答案：(0，±1)14．解析：根據(jù)已知eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，可得a2＝eq\f(4,3)c2，則b2＝eq\f(1,3)c2，故橢圓方程為eq\f(3x2,4c2)＋eq\f(3y2,c2)＝1，即3x2＋12y2－4c2＝0.設(shè)直線的方程為x＝my＋c，代入橢圓方程得(3m2＋12)y2＋6mcy－c2＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則根據(jù)＝3，得(c－x1，－y1)＝3(x2－c，y2)，由此得－y1＝3y2，根據(jù)韋達(dá)定理y1＋y2＝－eq\f(2cm,m2＋4)，y1y2＝－eq\f(c2,3m2＋4)，把－y1＝3y2代入得，y2＝eq\f(cm,m2＋4)，－3yeq\o\al(2,2)＝－eq\f(c2,3m2＋4)，故9m2＝m2＋4，故m2＝eq\f(1,2)，從而k2＝2，k＝±eq\r(2).又k>0，故k＝eq\r(2).答案：eq\r(2)15．解：設(shè)兩焦點為F1、F2，且|PF1|＝eq\f(4\r(5),3)，|PF2|＝eq\f(2\r(5),3).由橢圓定義知2a＝|PF1|＋|PF2|＝2eq\r(5)，即a＝eq\r(5).由|PF1|>|PF2|知，|PF2|垂直焦點所在的對稱軸，所以在Rt△PF2F1中，sin∠PF1F2＝eq\f(|PF2|,|PF1|)＝eq\f(1,2).可求出∠PF1F2＝eq\f(π,6)，2c＝|PF1|·coseq\f(π,6)＝eq\f(2\r(5),\r(3))，從而b2＝a2－c2＝eq\f(10,3).所以所求橢圓方程為eq\f(x2,5)＋eq\f(3y2,10)＝1或eq\f(3x2,10)＋eq\f(y2,5)＝1.16．解：(1)由已知得c＝2eq\r(2)，eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),3).解得a＝2eq\r(3)，又b2＝a2－c2＝4.所以橢圓G的方程為eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)設(shè)直線l的方程為y＝x＋m.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋m，,\f(x2,12)＋\f(y2,4)＝1))得4x2＋6mx＋3m2設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)(x1<x2)，AB中點為E(x0，y0)，則x0＝eq\f(x1＋x2,2)＝－eq\f(3m,4)，y0＝x0＋m＝eq\f(m,4).因為AB是等腰△PAB的底邊，所以PE⊥AB.所以PE的斜率k＝eq\f(2－\f(m,4),－3＋\f(3m,4))＝－1.解得m＝2.此時方程①為4x2＋12x＝0.解得x1＝－3，x2＝0.所以y1＝－1，y2＝2.所以|AB|＝3eq\r(2).此時，點P(－3,2)到直線AB：x－y＋2＝0的距離d＝eq\f(|－3－2＋2|,\r(2))＝eq\f(3\r(2),2)，所以△PAB的面積S＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(9,2).17．解：(1)如圖，設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，右焦點為F2(c,0)．因△AB1B2是直角三角形，又|AB1|＝|AB2|，故∠B1AB2為直角，因此|OA|＝|OB2|，得b＝eq\f(c,2).結(jié)合c2＝a2－b2得4b2＝a2－b2，故a2＝5b2，c2＝4b2，所以離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,5)eq\r(5).在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，故S△AB1B2＝eq\f(1,2)·|B1B2|·|OA|＝|OB2|·|OA|＝eq\f(c,2)·b＝b2.由題設(shè)條件S△AB1B2＝4，得b2＝4，從而a2＝5b2＝20.因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)由(1)知B1(－2,0)，B2(2,0)．由題意知直線l的傾斜角不為0，故可設(shè)直線l的方程為x＝my－2.代入橢圓方程得(m2＋5)y2－4my－16＝0.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則y1，y2是上面方程的兩根，因此y1＋y2＝eq\f(4