專題04 等式與不等式綜合（含基本不等式）（含解析）- 十年（2015-2024）高考真題數(shù)學分項匯編（全國通）

專題04等式與不等式綜合（含基本不等式）（含解析）-十年（2015-2024）高考真題數(shù)學分項匯編（全國通用）專題04等式與不等式綜合（含基本不等式）考點十年考情（2015-2024）命題趨勢考點1不等式的性質(zhì)（10年5考）2019·全國卷、2018·全國卷、2017·山東卷、2016·浙江卷、2016·北京卷、2016·全國卷、2015·浙江卷梳理等式的性質(zhì)，理解不等式的概念，掌握不等式的性質(zhì)，能夠利用不等式的性質(zhì)比較不等式的大小關系2.理解、掌握基本不等式及其推論，會使用應用條件：“一正，二定，三相等”，能正確處理常數(shù)“1”求最值，能用拼湊等思想合理使用基本不等式求最值，能熟練掌握基本不等式的應用，應用于函數(shù)和解析幾何的求解過程中求最值3.本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，一般會結合條件等式考查拼湊思想來使用基本不等式求最值，或者和其他版塊關聯(lián)，難度中等偏上?？键c2解不等式（10年10考）2024·全國新Ⅰ卷、2024·上海卷、2023·全國新Ⅰ卷、2020·全國卷、2019·全國卷、2019·天津卷、2018·全國卷、2017·天津卷、2015·江蘇卷、2015·廣東卷考點3基本不等式（10年4考）2024·北京卷、2021·全國乙卷、2021·全國新Ⅰ卷2020·全國卷、2015·四川卷、2015·陜西卷2015·湖南卷、2015·福建卷考點01不等式的性質(zhì)1．（2019·全國·高考真題）若a>b，則A．ln(a?b)>0 B．3a<3bC．a(chǎn)3?b3>0 D．│a│>│b│2．（2018·全國·高考真題）設，，則A． B．C． D．3．（2017·山東·高考真題）若a>b>0，且ab=1，則下列不等式成立的是A． B．C． D．4．（2016·浙江·高考真題）已知a，b＞0，且a≠1，b≠1.若，則A．B．C．D．5．（2016·北京·高考真題）已知，且，則A．B．C．D．6．（2016·全國·高考真題）若，，則A． B． C． D．7．（2015·浙江·高考真題）設，是實數(shù)，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件考點02解不等式1．（2024·全國新Ⅰ卷·高考真題）已知集合，則（

）A． B． C． D．2．（2024·上?！じ呖颊骖}）已知則不等式的解集為．3．（2023·全國新Ⅰ卷·高考真題）已知集合，，則（

）A． B． C． D．4．（2020·全國·高考真題）已知集合則（

）A． B．C． D．5．（2019·全國·高考真題）設集合A={x|x2-5x+6>0}，B={x|x-1<0}，則A∩B=A．(-∞，1) B．(-2，1)C．(-3，-1) D．(3，+∞)6．（2019·天津·高考真題）設，使不等式成立的的取值范圍為.7．（2018·全國·高考真題）已知集合，則A． B．C． D．8．（2017·天津·高考真題）已知函數(shù)設，若關于x的不等式在R上恒成立，則a的取值范圍是A． B． C． D．9．（2015·江蘇·高考真題）不等式的解集為.10．（2015·廣東·高考真題）不等式的解集為．（用區(qū)間表示）考點03基本不等式1．（2024·北京·高考真題）已知，是函數(shù)的圖象上兩個不同的點，則（

）A． B．C． D．2．（2021·全國乙卷·高考真題）下列函數(shù)中最小值為4的是（

）A． B．C． D．3．（2021·全國新Ⅰ卷·高考真題）已知，是橢圓：的兩個焦點，點在上，則的最大值為（

）A．13 B．12 C．9 D．64．（2020·全國·高考真題）設為坐標原點，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點，若的面積為8，則的焦距的最小值為（

）A．4 B．8 C．16 D．325．（2015·四川·高考真題）如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則mn的最大值為A．16 B．18 C．25 D．6．（2015·陜西·高考真題）設，若，，，則下列關系式中正確的是A． B．C． D．7．（2015·湖南·高考真題）若實數(shù)滿足，則的最小值為A． B．2 C． D．48．（2015·福建·高考真題）若直線過點，則的最小值等于A．2 B．3 C．4 D．5專題04等式與不等式綜合（含基本不等式）考點十年考情（2015-2024）命題趨勢考點1不等式的性質(zhì)（10年5考）2019·全國卷、2018·全國卷、2017·山東卷、2016·浙江卷、2016·北京卷、2016·全國卷、2015·浙江卷梳理等式的性質(zhì)，理解不等式的概念，掌握不等式的性質(zhì)，能夠利用不等式的性質(zhì)比較不等式的大小關系2.理解、掌握基本不等式及其推論，會使用應用條件：“一正，二定，三相等”，能正確處理常數(shù)“1”求最值，能用拼湊等思想合理使用基本不等式求最值，能熟練掌握基本不等式的應用，應用于函數(shù)和解析幾何的求解過程中求最值3.本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，一般會結合條件等式考查拼湊思想來使用基本不等式求最值，或者和其他版塊關聯(lián)，難度中等偏上?？键c2解不等式（10年10考）2024·全國新Ⅰ卷、2024·上海卷、2023·全國新Ⅰ卷、2020·全國卷、2019·全國卷、2019·天津卷、2018·全國卷、2017·天津卷、2015·江蘇卷、2015·廣東卷考點3基本不等式（10年4考）2024·北京卷、2021·全國乙卷、2021·全國新Ⅰ卷2020·全國卷、2015·四川卷、2015·陜西卷2015·湖南卷、2015·福建卷考點01不等式的性質(zhì)1．（2019·全國·高考真題）若a>b，則A．ln(a?b)>0 B．3a<3bC．a(chǎn)3?b3>0 D．│a│>│b│【答案】C【分析】本題也可用直接法，因為，所以，當時，，知A錯，因為是增函數(shù)，所以，故B錯；因為冪函數(shù)是增函數(shù)，，所以，知C正確；取，滿足，，知D錯．【詳解】取，滿足，，知A錯，排除A；因為，知B錯，排除B；取，滿足，，知D錯，排除D，因為冪函數(shù)是增函數(shù)，，所以，故選C．【點睛】本題主要考查對數(shù)函數(shù)性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)、冪函數(shù)性質(zhì)及絕對值意義，滲透了邏輯推理和運算能力素養(yǎng)，利用特殊值排除即可判斷．2．（2018·全國·高考真題）設，，則A． B．C． D．【答案】B【詳解】分析：求出，得到的范圍，進而可得結果．詳解：.,即又即故選B.點睛：本題主要考查對數(shù)的運算和不等式，屬于中檔題．3．（2017·山東·高考真題）若a>b>0，且ab=1，則下列不等式成立的是A． B．C． D．【答案】B【詳解】因為，且，所以設，則，所以單調(diào)遞增，所以，所以選B.【名師點睛】比較冪或?qū)?shù)值的大小,若冪的底數(shù)相同或?qū)?shù)的底數(shù)相同,通常利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)單調(diào)性進行比較,若底數(shù)不同,可考慮利用中間量進行比較.本題雖小，但考查的知識點較多，需靈活利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及基本不等式作出判斷.4．（2016·浙江·高考真題）已知a，b＞0，且a≠1，b≠1.若，則A．B．C．D．【答案】D【詳解】試題分析：，當時，，，當時，，觀察各選項可知選D.【考點】對數(shù)函數(shù)的性質(zhì).【易錯點睛】在解不等式時，一定要注意對分為和兩種情況進行討論，否則很容易出現(xiàn)錯誤．5．（2016·北京·高考真題）已知，且，則A．B．C．D．【答案】C【詳解】試題分析：A：由，得，即，A不正確；B：由及正弦函數(shù)的單調(diào)性，可知不一定成立；C：由，，得，故，C正確；D：由，得，但xy的值不一定大于1，故不一定成立，故選C.【考點】函數(shù)性質(zhì)【名師點睛】函數(shù)單調(diào)性的判斷：(1)常用的方法有：定義法、導數(shù)法、圖象法及復合函數(shù)法．(2)兩個增(減)函數(shù)的和仍為增(減)函數(shù)；一個增(減)函數(shù)與一個減(增)函數(shù)的差是增(減)函數(shù)；(3)奇函數(shù)在關于原點對稱的兩個區(qū)間上有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在關于原點對稱的兩個區(qū)間上有相反的單調(diào)性.6．（2016·全國·高考真題）若，，則A． B． C． D．【答案】C【詳解】試題分析：用特殊值法，令，，得，選項A錯誤，，選項B錯誤，，選項D錯誤，因為選項C正確，故選C．【考點】指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)【名師點睛】比較冪或?qū)?shù)值的大小,若冪的底數(shù)相同或?qū)?shù)的底數(shù)相同,通常利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的單調(diào)性進行比較；若底數(shù)不同,可考慮利用中間量進行比較.7．（2015·浙江·高考真題）設，是實數(shù)，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【詳解】本題采用特殊值法：當時，，但，故是不充分條件；當時，，但，故是不必要條件.所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選D.考點：1.充分條件、必要條件；2.不等式的性質(zhì).考點02解不等式1．（2024·全國新Ⅰ卷·高考真題）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】化簡集合，由交集的概念即可得解.【詳解】因為，且注意到，從而.故選：A.2．（2024·上?！じ呖颊骖}）已知則不等式的解集為．【答案】【分析】求出方程的解后可求不等式的解集.【詳解】方程的解為或，故不等式的解集為，故答案為：.3．（2023·全國新Ⅰ卷·高考真題）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根據(jù)交集的運算解出．方法二：將集合中的元素逐個代入不等式驗證，即可解出．【詳解】方法一：因為，而，所以．故選：C．方法二：因為，將代入不等式，只有使不等式成立，所以．故選：C．4．（2020·全國·高考真題）已知集合則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得，得到結果.【詳解】由解得，所以，又因為，所以，故選：D.【點睛】本題考查的是有關集合的問題，涉及到的知識點有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交運算，屬于基礎題目.5．（2019·全國·高考真題）設集合A={x|x2-5x+6>0}，B={x|x-1<0}，則A∩B=A．(-∞，1) B．(-2，1)C．(-3，-1) D．(3，+∞)【答案】A【分析】先求出集合A，再求出交集．【詳解】由題意得，，則．故選A．【點睛】本題考點為集合的運算，為基礎題目．6．（2019·天津·高考真題）設，使不等式成立的的取值范圍為.【答案】【分析】通過因式分解，解不等式．【詳解】，即，即，故的取值范圍是．【點睛】解一元二次不等式的步驟：(1)將二次項系數(shù)化為正數(shù)；(2)解相應的一元二次方程；(3)根據(jù)一元二次方程的根，結合不等號的方向畫圖；(4)寫出不等式的解集．容易出現(xiàn)的錯誤有：①未將二次項系數(shù)化正，對應錯標準形式；②解方程出錯；③結果未按要求寫成集合．7．（2018·全國·高考真題）已知集合，則A． B．C． D．【答案】B【詳解】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出的解集，從而求得集合A，之后根據(jù)集合補集中元素的特征，求得結果.詳解：解不等式得，所以，所以可以求得，故選B.點睛：該題考查的是有關一元二次不等式的解法以及集合的補集的求解問題，在解題的過程中，需要明確一元二次不等式的解集的形式以及補集中元素的特征，從而求得結果.8．（2017·天津·高考真題）已知函數(shù)設，若關于x的不等式在R上恒成立，則a的取值范圍是A． B． C． D．【答案】A【詳解】不等式為(*)，當時，(*)式即為，，又（時取等號），（時取等號），所以，當時，(*)式為，，又（當時取等號），（當時取等號），所以，綜上．故選A．【考點】不等式、恒成立問題【名師點睛】首先滿足轉(zhuǎn)化為去解決，由于涉及分段函數(shù)問題要遵循分段處理原則，分別對的兩種不同情況進行討論，針對每種情況根據(jù)的范圍，利用極端原理，求出對應的的范圍.9．（2015·江蘇·高考真題）不等式的解集為.【答案】【詳解】試題分析：本題是一個指數(shù)型函數(shù)式的大小比較，這種題目需要先把底數(shù)化為相同的形式，即底數(shù)化為2，根據(jù)函數(shù)是一個遞增函數(shù)，寫出指數(shù)之間的關系得到未知數(shù)的范圍．,是一個遞增函數(shù)；故答案為.考點：指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊性10．（2015·廣東·高考真題）不等式的解集為．（用區(qū)間表示）【答案】【詳解】由得：，所以不等式的解集為，所以答案應填：．考點：一元二次不等式．考點03基本不等式1．（2024·北京·高考真題）已知，是函數(shù)的圖象上兩個不同的點，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結合基本不等式分析判斷AB；舉例判斷CD即可.【詳解】由題意不妨設，因為函數(shù)是增函數(shù)，所以，即，對于選項AB：可得，即，根據(jù)函數(shù)是增函數(shù)，所以，故B正確，A錯誤；對于選項D：例如，則，可得，即，故D錯誤；對于選項C：例如，則，可得，即，故C錯誤，故選：B.2．（2021·全國乙卷·高考真題）下列函數(shù)中最小值為4的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷選項不符合題意，再根據(jù)基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合題意，符合題意．【詳解】對于A，，當且僅當時取等號，所以其最小值為，A不符合題意；對于B，因為，，當且僅當時取等號，等號取不到，所以其最小值不為，B不符合題意；對于C，因為函數(shù)定義域為，而，，當且僅當，即時取等號，所以其最小值為，C符合題意；對于D，，函數(shù)定義域為，而且，如當，，D不符合題意．故選：C．【點睛】本題解題關鍵是理解基本不等式的使用條件，明確“一正二定三相等”的意義，再結合有關函數(shù)的性質(zhì)即可解出．3．（2021·全國新Ⅰ卷·高考真題）已知，是橢圓：的兩個焦點，點在上，則的最大值為（

）A．13 B．12 C．9 D．6【答案】C【分析】本題通過利用橢圓定義得到，借助基本不等式即可得到答案．【詳解】由題，，則，所以（當且僅當時，等號成立）．故選：C．【點睛】4．（2020·全國·高考真題）設為坐標原點，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點，若的面積為8，則的焦距的最小值為（

）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】B【分析】因為，可得雙曲線的漸近線方程是，與直線聯(lián)立方程求得，兩點坐標，即可求得，根據(jù)的面積為，可得值，根據(jù)，結合均值不等式，即可求得答案.【詳解】雙曲線的漸近線方程是直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點不妨設為在第一象限，在第四象限聯(lián)立，解得故聯(lián)立，解得故面積為：雙曲線其焦距為當且僅當取等號的焦距的最小值：故選：B.【