高等應(yīng)用數(shù)學(xué) 課件 1.4 無(wú)窮小與無(wú)窮大

無(wú)窮小與無(wú)窮大

無(wú)窮小的性質(zhì)

無(wú)窮小的比較§1-4無(wú)窮小與無(wú)窮大內(nèi)容提要無(wú)窮小一1．無(wú)窮小的概念引例1【電容器放電】電容器放電時(shí)其電壓隨時(shí)間的增加而逐漸減少并無(wú)限趨近于0。引例2【洗滌效果】在用洗衣機(jī)清洗衣物時(shí)，清洗次數(shù)越多，衣物上殘留的污漬就越少，當(dāng)清洗次數(shù)無(wú)限增大時(shí)，衣物上的污漬量就會(huì)無(wú)限趨近于0。當(dāng)然，為了保護(hù)您的身體健康，健康專(zhuān)家建議我們少用或者最好不使用洗滌劑。定義1在自變量的某一變化過(guò)程中，極限為零的變量X稱(chēng)為無(wú)窮小量，簡(jiǎn)稱(chēng)無(wú)窮小，即變量X是這一變化過(guò)程中的無(wú)窮小例如，，所以為時(shí)的無(wú)窮?。辉偃?/p>

，所以為時(shí)的無(wú)窮小。解例1討論自變量x在怎樣的變化過(guò)程中，下列函數(shù)為無(wú)窮小：（1）（2）（3）（4）（1）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，為無(wú)窮小。（2）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，為無(wú)窮小。（3）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，為無(wú)窮小。（4）因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，為無(wú)窮小。解例2【手機(jī)銷(xiāo)售】一款新手機(jī)上市，其銷(xiāo)售量與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為：請(qǐng)預(yù)測(cè)長(zhǎng)期的銷(xiāo)售量。長(zhǎng)期的銷(xiāo)售量應(yīng)理解為當(dāng)時(shí)的銷(xiāo)售量，即由此可見(jiàn)，隨著時(shí)間的推移人們買(mǎi)此款手機(jī)的可能性將趨于零，故長(zhǎng)期的銷(xiāo)售量為無(wú)窮小。在自變量的同一變化過(guò)程中，無(wú)窮小滿(mǎn)足以下性質(zhì)：性質(zhì)1有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和是無(wú)窮小。性質(zhì)2有限個(gè)無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小。性質(zhì)3有界變量與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小。2．無(wú)窮小的性質(zhì)解例3求極限：（1）（2）（1）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，x2為無(wú)窮小，而有界。所以，由性質(zhì)3可知（2）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，為無(wú)窮小，而有界。所以，由性質(zhì)3可知3．函數(shù)極限與無(wú)窮小的關(guān)系在自變量的某一變化過(guò)程中，函數(shù)以

A為極限的充要條件是可以表示為極限A與一個(gè)無(wú)窮小的和，即定義2在自變量的變化過(guò)程中，絕對(duì)值無(wú)限增大的變量X稱(chēng)為無(wú)窮大量，簡(jiǎn)稱(chēng)無(wú)窮大，記作。無(wú)窮大二1．無(wú)窮大的概念如果變量X取正值無(wú)限增大，則稱(chēng)變量X為正無(wú)窮大，記作

；如果變量X取負(fù)值而絕對(duì)值無(wú)限增大，則稱(chēng)變量X為負(fù)無(wú)窮大，記作。解例4討論自變量x在怎樣的變化過(guò)程中，下列函數(shù)為無(wú)窮大：（1）（2）（3）（4）（1）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，為無(wú)窮小。（2）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，為無(wú)窮小。（3）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，為無(wú)窮小。（4）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，為無(wú)窮小。解例5【銀行存款】假設(shè)某人在銀行存入10000元，銀行的年利率為，試分析存款時(shí)間越長(zhǎng)，本利和如何變化？由題設(shè)條件可得，t年后的本利和為隨著存款時(shí)間越長(zhǎng)，即時(shí)，本利和變?yōu)榧串?dāng)存款時(shí)間無(wú)限延長(zhǎng)時(shí)，本利和將無(wú)限增大。2．無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系在自變量的變化過(guò)程中，若變量X是無(wú)窮大，則是無(wú)窮?。环粗?，若變量X（）是無(wú)窮小，則是無(wú)窮大，即變量X（）是無(wú)窮小是無(wú)窮大例如，因?yàn)?，所以。?）若，則稱(chēng)α是比β高階的無(wú)窮小，記作；定義3設(shè)

α與β是自變量在同一變化過(guò)程中的無(wú)窮小。無(wú)窮小的比較三1．無(wú)窮小比較的定義（2）若，則稱(chēng)α是比β低階的無(wú)窮??；（3）若，則稱(chēng)α是比β同階無(wú)窮?。唬?）若，則稱(chēng)α是比β等階無(wú)窮小，記作α～β；當(dāng)時(shí)，下列函數(shù)之間為等價(jià)無(wú)窮?。?．等價(jià)無(wú)窮小的應(yīng)用求型函數(shù)極限時(shí)，利用以上常見(jiàn)的等價(jià)無(wú)窮小替換可以使計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)化，結(jié)論如下：設(shè)自變量在同一變化過(guò)程中，無(wú)窮小，，若存在，則解例6問(wèn)當(dāng)時(shí)，與相比是什么階的無(wú)窮?。克?，當(dāng)時(shí)，。因?yàn)楫?dāng)時(shí)，與都是無(wú)窮小，且解例7求下列函數(shù)的極限：（1）（2）（3）（1）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，所以（2）因?yàn)楫?dāng)