第23練 必修第二冊綜合訓練（解析版）

第23練必修第二冊綜合訓練

一、單選題

1.(2022?福建省長汀縣第一中學高一階段練習)已知i為虛數(shù)單位，若復數(shù)

z=l-后,則慟=()

A.&B,2C.4D.8

【答案】B

【解析】

【分析】

利用模長公式求出復數(shù)的模長.

【詳解】

|z|=J1+3=2.

故選：B

2.(2022?江蘇省揚中高級中學高一階段練習)己知平面向量

a=(l,2),b=(-2,m+^,a//b,則%+3B=()

A.(-5,-10)B.(T,一8)

C.(-3,-6)D.(-2,T)

【答案】B

【解析】

【分析】

利用向量平行列方程，化簡求得加的值，從而求得2￡+3幾

【詳解】

依題意a=(l,2),B=(-2,m+l),a//B,

所以lx(m+l)=—2x2,wi=—5,即3=(—2,-4),

所以y+3B=(2,4)+(-6,-12)=(-4,-8).

故選：B

3.(2021.湖南.寧鄉(xiāng)市教育研究中心高一期末)在樣本頻率分布直方圖中，共有5個小

長方形，已知中間小長方形的面積是其余4個小長方形面積之和的：，且中間一組的

頻數(shù)為10,則這個樣本的容量是().

A.20B.30C.40D.50

【答案】c

【解析】

【分析】

設出中間小長方形的面積，也即頻率，根據(jù)已知條件列方程，求得中間小長方形的面

積，由此計算出樣本容量.

【詳解】

設中間小長方形的面積為X，則其它小長方形面積之和為3元，故x+3x=l,解得

112=40

所以樣本容量為1

44

故選C.

【點睛】

本小題主要考查由頻率分布直方圖小長方形的面積關(guān)系計算頻率，考查樣本容量的計

算，屬于基礎(chǔ)題.

4.（2021?陜西?西安交通大學附屬中學航天學校高一開學考試）a,夕是兩個平面，

m,w是兩條直線，有下列四個命題；

①如果mLa,ntIp,那么ar_L/.

②如果〃z_La,n!!a,那么

③如果a//￡,小ua,那么相〃尸.

④如果加〃-alIp,那么相與a所成的角和”與尸所成的角相等.

其中正確的命題的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】

對①，運用長方體模型，找出符合條件的直線和平面，即可判斷；

對②，運用線面平行的性質(zhì)定理和線面垂直的性質(zhì)定理，即可判斷；

對③，運用面面平行的性質(zhì)定理，即可判斷；

對④，由平行的傳遞性及線面角的定義，即可判斷④.

【詳解】

對于命題①，可運用長方體舉反例證明其錯誤：如圖，

不妨設A4'為直線m8為直線”，A3CD所在的平面為a,ABCD所在的平面為

P,顯然這些直線和平面滿足題目條件，但。，/不成立；

命題②正確，證明如下：設過直線77的某平面與平面a相交于直線/,貝!]"/"，由

加J_a知〃z_L/,從而機_!_〃，結(jié)論正確；

由平面與平面平行的定義知命題如果夕//?，那么w//p.③正確；

由平行的傳遞性及線面角的定義知命題：如果加〃*?///?,那么，〃與a所成的角和

〃與尸所成的角相等，④正確.

故選：C.

【點睛】

本題考查命題的真假判斷，考查空間線面、面面平行和垂直的位置關(guān)系，注意運用判

定定理和性質(zhì)定理，考查推理能力，屬于中檔題.

5.（2022?全國?高一專題練習）已知向量。=（2,1）,二.力=10，,+4=5及，則%等于

A.75B.V10C.5D.25

【答案】C

【解析】

【分析】

rr、2rrrr

由(za+B)=a2+2a-b+b2,結(jié)合向量模運算即可求解.

【詳解】

Va=(2,1),/.a2=5.

又,+囚=50,(a+B)=a+2a-b+b=50,

???5+2x10+32=50，g2=25'H=5'

故選：C

6.（2021.湖南?寧鄉(xiāng)市教育研究中心高一期末）《鏡花緣》是清代文人李汝珍創(chuàng)作的長

篇小說，書中有這樣一個情節(jié)：一座樓閣到處掛滿了五彩繽紛的大小燈球，燈球有兩

種，一種是大燈下綴2個小燈，另一種是大燈下綴4個小燈，大燈共360個，小燈共

1200個.若在這座樓閣的燈球中，隨機選取一個燈球，則這個燈球是大燈下綴4個小燈

的概率為

12-13

A.-B.-C.一D.-

3344

【答案】B

【解析】

【分析】

設大燈下綴2個小燈為X個，大燈下綴4個小燈有y個，根據(jù)題意求得

x=120,y=240,再由古典概型及其概率的公式，即可求解.

【詳解】

設大燈下綴2個小燈為無個，大燈下綴4個小燈有y個，

y=360

根據(jù)題意可得c\解得x=120,y=240,

[2尤+4y=1200

則燈球的總數(shù)為x+y=360個，

故這個燈球是大燈下綴4個小燈的概率為2畿40=2故選B.

3603

【點睛】

本題主要考查了古典概型及其概率的計算，其中解答中根據(jù)題意列出方程組，求得兩

種燈球的數(shù)量是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.（2021?重慶市萬州第二高級中學高二開學考試）四面體A3CD的四個頂點都在球。

上且AB=AC=3C=3D=CD=4,AD=2指,則球。的表面積為（）

,70兀-80兀一”

A.-----B.-----C.30兀D.40兀

33

【答案】B

【解析】

【分析】

作出圖形，根據(jù)題中的數(shù)據(jù)證明平面ABC,平面BCD,并找出球心的位置，列出等式

求出外接球的半徑，結(jié)合球的表面積公式可得出結(jié)果.

【詳解】

A

取BC的中點M,連接AM、DM,設AABC和△BCD的外心分別為RE,分別過點

尸、E作平面ABC和平面BCD的垂線交于點0,則點。為外接球球心.

由題意可知，N4BC和△3C。都是邊長為4的等邊三角形.

為8C的中點，：.AM1BC,S.AM=DM=2粗/.AD=2娓AM2+DM2=AD2,

:.AM±DM

■.■BCoDM=M,：.AMmBCD

AMu平面ABC,，平面ABC1平面BCD

易得ME=MF=LAM=述,BE=-DM=^-,

3333

AW_L平面BCD,0E_L平面BCD0E〃AM

同理可得O尸〃OM,則四邊形O￡MF為菱形，

-.■AM±DM,菱形OEMF為正方形，

?」OE_L平面BCD,比匚平面呂⑺,位上班

所以外接圓半徑為02=^OE2+BE2=冬叵，

3

QH

因此，四面體ABCD的外接球的表面積為4TXOB2

故選：B

【點睛】

這個題目考查了外接球表面積的計算，找出球心位置，并計算外接球的半徑是解答的

關(guān)鍵，考查推理能力與計算能力.

8.(2021.全國?高一課時練習)某大學選拔新生補充進“籃球”，“電子競技”，“國學”三

個社團，據(jù)資料統(tǒng)計，新生通過考核選拔進入這三個社團成功與否相互獨立，2019年

某新生入學，假設他通過考核選拔進入該校的“籃球”，“電子競技”，“國學”三個社團的

概率依次為概率依次為小，己知三個社團他都能進入的概率為《，至少進入

3

一個社團的概率為一，且加＞〃.貝!Jm+〃=()

5

D.

cI12

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)題中條件求出Mx”的值，然后再根據(jù)至少進入一個社團的概率求出m+n.

【詳解】

由題知三個社團都能進入的概率為，7，

24

111

LnInJmx—xn=——nmxn=一,

3248

3

又因為至少進入一個社團的概率為1，

4

31

即一個社團都沒能進入的概率為1-：=

44

213

BP（l-m）x—x（l-n）=—=>l-m-n+mxn=—,

3

整理得加+〃=一.

4

故選：C.

【點睛】

本題考查了相互獨立事件的概率計算問題，屬于基礎(chǔ)題.

二、多選題

9.（2021.湖南?寧鄉(xiāng)市教育研究中心高一期末）如圖所示，四邊形ABCD為梯形，其中

AB//CD,AB=2CD,M,N分別為AB,8的中點，則下列結(jié)論正確的是

()

A.AC=AD+-ABB.MC=-AC+-BC

222

C.MN=AD+-ABD.BC=AD--AB

42

【答案】ABD

【解析】

根據(jù)向量運算法則依次計算每個選項得到答案.

【詳解】

AC=AD+DC=AD+-AB,A正確；

2

MC=MA+AC=-BA+AC=-(BC-AC)+AC=-AC+-BC,B正確；

22V722

MN=MA+AD+DN=--AB+AD+-AB=AD--AB,C錯誤；

244

BC=BA+AD+DC=-AB+AD+-AB=AD--AB,。正確.

22

故選：ABD.

【點睛】

本題考查了向量的運算，意在考查學生的計算能力.

10.(2022?江蘇省南菁高級中學高一階段練習)設有下面四個命題，其中真命題為

()

A.若復數(shù)z滿足z2eR，則zeR；

B.若復數(shù)z滿足zeR,則dwR;

C.若復數(shù)Z”Z2滿足Z「Zz=。，則4=?；騔2=。；

D.若復數(shù)z滿足|z「=z2,貝lUeR

【答案】BCD

【解析】

【分析】

A選項，舉出反例；B選項，可以直接作出判斷；C選項，設出z=a+歷(a,6eR),

Z2=c+tfi(c,deR),利用z『Z2=0得到，平方后相加得到〃+/=?；?/p>

\ad+bc=\)

/+屋=0，判斷出c選項；D選項，設出z=M+〃i("i,〃eR),推導出"=O,"zeR,

從而zeR.

【詳解】

當2=乙則z2=-leR,而2=1色1<,故A錯誤；

當zeR時，z2eR,故B正確；

復數(shù)Zi，Z2滿足％,Z2=0,不妨設％=a+6i(a,Z?eR),z2=c+cfi(c,JeR),貝！］

/、(ac-bd=0

Zj-z2=ac-bd+{ad+Z?c)i=0,貝”qd+bc—o，兩式平方后相加得：

a2c2+b2d2+a2d2+Z?2c2=(<?2+Z?2)(c2+(72)=0,故/+"=o或°2+屋=o,即4=0

或Z2=0,C正確；

設z=m+〃i(m,〃eR),則|z『=〃/+〃2/2=/-“2+？〃而，則

m2+n1=m2—n2+2mm,整理得：n2=mm,故”=0,根^尺，所以zeR,D正確.

故選：BCD

11.（2021?廣東茂名?高一期末）某地認真貫徹落實中央十九大精神和各項宏觀調(diào)控政

策，經(jīng)濟運行平穩(wěn)增長，民生保障持續(xù)加強，惠民富民成效顯著，城鎮(zhèn)居民收入穩(wěn)步

增長，收入結(jié)構(gòu)穩(wěn)中趨優(yōu)，據(jù)當?shù)亟y(tǒng)計局發(fā)布的數(shù)據(jù)，現(xiàn)將8月份至12月份當?shù)氐娜?/p>

均月收入增長率如圖（一）與人均月收入繪制成如圖（二）所示的不完整的條形統(tǒng)計

圖，現(xiàn)給出如下信息，其中正確的信息為（）

人均月收入統(tǒng)計圖

增

長月收入阮）

率葉一［十

%

89101112

圖(-)圖（二）

A.10月份人均月收入增長率為2%

B.11月份人均月收入約為1570元

C.12月份人均月收入有所下降

D.從圖中可知該地9月份至12月份這四個月與8月份相比人均月收入均得到提高

【答案】AC

【解析】

【分析】

由8月份至12月份當?shù)氐娜司率杖朐鲩L率折線圖與人均月收入條形統(tǒng)計圖直接判斷

求解.

【詳解】

由8月份至12月份當?shù)氐娜司率杖朐鲩L率折線圖與人均月收入條形統(tǒng)計圖，知:

對于A,根據(jù)圖（一），10月份人均月收入增長率為2%,故A正確；

對于B,11月份人均月收入約為1428x（l+l%）=1442元，故B錯誤；

對于C,由圖（一）、圖（二）均可得出收入下降，故c正確；

對于D,從圖中易知該地人均收入8、9月一樣，故D錯誤；

故選：AC

12.（2021.山東青島?高一期末）某人打靶時連續(xù)射擊兩次，設事件A="只有一次中

靶"，3="兩次都中靶”，則下列結(jié)論正確的是（）

A.AcBB.4口8=0

C.=“至少一次中靶”D.A與8互為對立事件

【答案】BC

【解析】

【分析】

根據(jù)事件的相互關(guān)系確定正確選項.

【詳解】

事件A="只有一次中靶"，8="兩次都中靶“，所以A3是互斥但不是對立事件，所以

AD選項錯誤，B選項正確.

="至少一次中靶”，C選項正確.

故選：BC

三、填空題

13.（2021.江蘇省石莊高級中學高一階段練習）如圖，AA'E。是AABC的直觀圖（斜

二測畫法），其中H與。'重合，C'在V’軸上，且8C//1軸,A'C'=2,B'C'=3,

則AABC的最長邊長為.

【答案】5

【解析】

【詳解】

由斜二測試畫法可知AABC是直角三角形，5.AC=2A'C'=4,JBC=B'C'=3,則最長

邊（斜邊）AB=5,故答案為5.

14.(2021?湖南?寧鄉(xiāng)市教育研究中心高一期末)中國乒乓球隊甲、乙兩名運動員參加

31

奧運乒乓球女子單打比賽，甲奪得冠軍的概率是1,乙奪得冠軍的概率是了,那么中

國隊奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為.

10

【答案】詆

【解析】

【分析】

根據(jù)互斥事件的概率加法公式即可求解.

【詳解】

設“甲奪得冠軍”為事件A,“乙奪得冠軍”為事件3,則P(A)=3J,P(B)=1-.VA,B是

74

3119

互斥事件，P(AUB)=F(A)+P(B)+-=—.

742o

15.(2021.廣東?翠園中學高一期中)如圖，在平行四邊形A3CD中，E,尸分別是

BC,8的中點.已知AE=JLAF=1,貝U瑟?.布=.

【解析】

【分析】

可設而=方,通=心然后可得出通=4+/,通=京+6,然后即可得出

2______

a+b=-(AF+AE),a-b=2(AF-AE),從而|艮據(jù)而?麗=0+5)-0-5)即可求出

UUIUUUU

AC.2。的值.

【詳解】

解：^AD=a,AB=b,貝I］通=4+：反屈=；萬+5,

兩式相加、相減得：a+b=-(AF+AE),a-b=2(AF-AE),

因為*=通+通=6+5,BD=Al5-AB=a-b-AE=y/3,AF=1

AC-BD=(a+b)-(a-b)=^(AF+AE)-(AF-AE)

=|(AF2-AE2)=|X(I^(V3)2)=-|.

Q

故答案為：-%

16.(2021?湖南?雅禮中學高二開學考試)對某種電子元件使用壽命跟蹤調(diào)查，所得樣

本的頻率分布直方圖如圖.由圖可知，這一批電子元件中壽命的85%分位數(shù)為

h.

頻率

【解析】

【分析】

由頻率分布直方圖求得頻率0.85對應的值即得.

【詳解】

3

由頻率分布直方圖，壽命在區(qū)間［500,600］的概率(頻率)為嬴xl00=0.15,因此壽

命在區(qū)間［100,500］上的概率為Q85,從而這一批電子元件中壽命的85%分位數(shù)為

500.

故答案為：500.

四、解答題

17.(2021?浙江紹興.高一期末)已知向量￡=(租-1,1),5=(1,3).

(I)若根=0,求75；

(II)若口+.=5,求實數(shù)機的值.

【答案】(I)2；(II)±3.

【解析】

【分析】

(I)當機=。時，求得￡=(-1,1),根據(jù)數(shù)量積的坐標運算公式，即可求解；

(II)由￡+5=(m,4),根據(jù)模的坐標表示，得到療+16=25,即可求解.

【詳解】

(I)當機=0時，向量所以75=_lxl+lx3=2.

(II)因為a+5=(m,4),所以|萬+可=JM?+16=5,即加+16=25,

解得〃/=9,所以〃z=±3.

18.(2021?福建省長汀縣第二中學高一期中)復數(shù)z=(l-i)2-3a+2+i(eeR).

(1)若z為純虛數(shù)，求實數(shù)。的值；

(2)若z在復平面內(nèi)對應的點位于第三象限，求實數(shù)。的取值范圍.

22

【答案】(1)?=—;(2)(―,+℃).

【解析】

【分析】

⑴由題意可得z=(2-3。)-i,結(jié)合純虛數(shù)的概念可得2-3a=0,計算即可；

⑵結(jié)合點在第三象限的特征可得2-3a<0,解不等式即可.

【詳解】

z=(1-i>—3a+2+i=(2—3a)-i

2

(1)若z為純虛數(shù)，貝1]2-3。=0,解得：a=3,

2

所以z為純虛數(shù)時實數(shù)a=§；

(2)若z在復平面內(nèi)對應的點位于三象限，其對應的點的坐標為(2-3a,-1),

F2—3a<02

則,八，解得

I—1<Uj

2

所以Z在復平面內(nèi)對應的點位于第三象限，則實數(shù)。的取值范圍：(4,+8).

19.(2020?江蘇?金沙中學高一階段練習)已知cosa=3,sin(a-B)=Y2,a/e(0,g)

5'，22

⑴求cos(2a-；]的值：

⑵求sin(a+0)的值.

【答案】(1)必旦

50

至

50

【解析】

【分析】

（1）先由cosa,求出sin。，再利用二倍角公式可求出cos24sin2。，然后利用兩角

差的余弦公式化簡計算，

（2）由sin（a—￡）,可求出cos（c—夕），而2+尸=2儀一（?！脙擅嫒督呛偷?/p>

正弦公式化簡計算

⑴

3

因為cosa=—,6ZG

一4324

所以sinla=2sincrcoscr=2x—x—=——

5525

cos2a=1-2sin2cc—1—2x—=-----,

2525

所以cos12cr--I=cos2crcos—+sin2asin—

724A/217血

——x---------1--------X--------=--------------

25225250

⑵

因為a,/?”,1｝所以a—匹7171

因為sin(a-=,

所以cos(a_0)=Jl-sin?夕)=,

所以sin(cr+尸)=sin[2a—(a—4)]

=sin2acos(a—￡)—cos2asin(a—/3)

24A/2f7103172

——x-------------x------=--------

252125)250

20.（2018?黑龍江?牡丹江一中期末）為了讓學生了解環(huán)保知識，增強環(huán)保意識，某中

學舉行了一次“環(huán)保知識競賽”，共有900名學生參加了這次競賽.為了解本次競賽成績

情況，從中抽取了部分學生的成績（得分均為整數(shù)，滿分為100分）進行統(tǒng)計.請你根據(jù)

尚未完成并有局部污損的頻率分布表和頻數(shù)分布直方圖，解答下列問題:

分組頻數(shù)頻率

50.5?60.540.08

60.5?70.50.16

70.5?80.510

80.5?90.5160.32

90.5?100.5

合計50

(I)填充頻率分布表的空格(將答案直接填在表格內(nèi))；

(II)補全頻數(shù)條形圖；

(III)若成績在75.5~85.5分的學生為二等獎，問獲得二等獎的學生約為多少人?

【答案】略

【解析】

【詳解】

解：⑴

分組頻數(shù)頻率

50.5?60.540.08

60.5?70.580.16

70.5-80.5100.20

80.5?90.5160.32

90.5?100.5120.24

合計501.00

(2)頻率分布直方圖如右上所示：

⑶成績在75.5-80.5分的學生占70.5~80.5分的學生的［,因為成績在70.5~80.5分的

學生頻率為0.2,所以成績在76.5~80.5分的學生頻率為0.1,

成績在80.5-85.5分的學生占80.5-90.5分的學生的工，因為成績在80.5-90.5分的學

10

生頻率為0.32,所以成績在80.5~85.5分的學生頻率為0.16

所以成績在76.5~85.5分的學生頻率為0.26,

由于有900名學生參加了這次競賽，所以該校獲得二等獎的學生約為

0.26'900=234(人)

21.(2021?湖南?寧鄉(xiāng)市教育研究中心高一期末)設甲、乙、丙三位老人是否需要照顧

相互之間沒有影響.已知在某一小時內(nèi)，甲、乙都需要照顧的概率為0.05,甲、丙都需

要照顧的概率為0.1,乙、丙都需要照顧的概率為0.125.

(1)甲、乙、丙三位老人在這一小時內(nèi)需要照顧的概率分別是多少？

(2)求這一小時內(nèi)至少有一位老人需要照顧的概率.

【答案】(1)0.2,0.25,0.5.(2)0.7

【解析】

(1)由題意知本題是一個相互獨立事件同時發(fā)生的問題，根據(jù)甲、乙都需要照顧的概

率為0.05,甲、丙都需要照顧的概率為0.1,乙、丙都需要照顧的概率為0.125,列出

方程，解方程得到結(jié)果.

(2)這個小時內(nèi)至少有一臺需要照顧的對立事件是這個小時內(nèi)沒有有一臺需要照顧，

即都不需要照顧，根據(jù)對立事件的概率公式，列出算式，得到結(jié)果.

【詳解】

(1)記事件A="甲在這一小時內(nèi)需要照顧“，事件3="乙在這一小時內(nèi)需要照顧”.

事件C="丙在這一小時內(nèi)需要照顧”.由題意，知事件AB,C兩兩相互獨立.

P（AB）=P（A）P（B）=0.05P（A