2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章概率3.4互斥事件學(xué)案必修

§3.4互斥事件內(nèi)容要求、對立事件的概念(重點，難點)；3.會用概率的加法公式求某些事件的概率(重點).知識點一互斥事件與對立事件的概念1.事件的包含關(guān)系定義一般地，對于事件A與事件B，如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)符號B?A(或A?B)圖示注意事項不可能事件記作?，顯然C??(C為任一事件)；事件A也包含于事件A，即A?A；事件B包含事件A，其含義就是事件A發(fā)生，事件B一定發(fā)生，而事件B發(fā)生，事件A不一定發(fā)生定義一般地，若B?A，且A?B，那么稱事件A與事件B相等符號A＝B圖示注意事項兩個相等事件總是同時發(fā)生或同時不發(fā)生；所謂A＝B，就是A，B是同一事件；在驗證兩個事件是否相等時，常用到事件相等的定義定義若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的和事件符號A＋B圖示注意事項A＋B＝B＋A；例如，在擲骰子試驗中，事件C2，C4分別表示出現(xiàn)2點，4點這兩個事件，則C2＋C4＝{出現(xiàn)2點或4點}，那么稱這兩個事件為對立事件，事件A的對立事件記為eq\o(A,\s\up3(－)).【預(yù)習(xí)評價】(正確的打“√”，錯誤的打“×”)1.兩個事件若是互斥事件，則它們不能同時發(fā)生.()2.互斥事件一定是對立事件.()3.兩個對立事件的概率之和一定等于1.()答案1.√2.×3.√知識點二概率的幾個基本性質(zhì)1.概率的取值范圍(1)由于事件的頻數(shù)總是小于或等于試驗的次數(shù)，所以頻率在0～1之間，從而任何事件的概率在0～1之間，即0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率為1.(3)不可能事件的概率為0.2.互斥事件的概率加法公式如果事件A，B互斥，那么事件A＋B發(fā)生的概率，等于事件A，B分別發(fā)生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B).3.對立事件的概率公式若事件A與事件B互為對立事件，則A＋B為必然事件，P(A＋BP(A＋B)＝P(A)＋P(B)，得P(A)＝1－P(B).【預(yù)習(xí)評價】若A，B為互斥事件，P(A，P(A＋B，則P(B)＝________.解析因為A，B為互斥事件，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，所以P(B)＝P(A＋B)－P(A)＝0.7－0.4＝0.3.題型一事件關(guān)系的判斷【例1】判斷下列每對事件是不是互斥事件，，5個白球的袋中任意取出3個球.(1)“取出2個紅球和1個白球”與“取出1個紅球和2個白球”；(2)“取出2個紅球和1個白球”與“取出3個紅球”.解從中任取3球，共有下面四種可能結(jié)果，它們是：“取出3個紅球”，“取出2個紅球和1個白球”，“取出1個紅球和2個白球”，“取出3個白球”，彼此互斥，所以(1)是互斥事件，不是對立事件；(2)是互斥事件，不是對立事件.，只需要分別找出各個事件包含的所有結(jié)果，，看兩個事件的和事件是否為必然事件，從而可判斷是否為對立事件.2.，對于較難判斷的關(guān)系，也可考慮列出全部結(jié)果，再進行分析.【訓(xùn)練1】某小組有三名男生和兩名女生，從中任選兩名同學(xué)去參加比賽.(1)“恰有一名男生”和“恰有兩名男生”；(2)“至少有一名男生”和“至少有一名女生”；(3)“至少有一名男生”和“全是男生”；(4)“至少有一名男生”和“全是女生”.試判斷以上各對事件是不是互斥事件，并說明理由.解(1)是互斥事件.理由如下：在所選的兩名同學(xué)中，“恰有一名男生”實質(zhì)是選出“一名男生，一名女生”，它與“恰有兩名男生”不可能同時發(fā)生，所以是一對互斥事件.(2)不是互斥事件.理由如下：“至少有一名男生”包括“一名男生，一名女生”和“兩名都是男生”兩種結(jié)果，“至少有一名女生”包括“一名女生，一名男生”和“兩名都是女生”兩種結(jié)果，它們可能同時發(fā)生.(3)不是互斥事件.理由如下：“至少有一名男生”包括“一名男生，一名女生”和“兩名都是男生”兩種結(jié)果，這與“全是男生”可能同時發(fā)生.(4)是互斥事件.理由如下：“至少有一名男生”包括“一名男生，一名女生”和“兩名都是男生”兩種結(jié)果，它與“全是女生”不可能同時發(fā)生，所以一定是互斥事件.題型二事件的運算【例2】在擲骰子的試驗中，，事件C1＝{出現(xiàn)1點}，事件C2＝{出現(xiàn)2點}，事件C3＝{出現(xiàn)3點}，事件C4＝{出現(xiàn)4點}，事件C5＝{出現(xiàn)5點}，事件C6＝{出現(xiàn)6點}，事件D1＝{出現(xiàn)的點數(shù)不大于1}，事件D2＝{出現(xiàn)的點數(shù)大于3}，事件D3＝{出現(xiàn)的點數(shù)小于5}，事件E＝{出現(xiàn)的點數(shù)小于7}，事件F＝{出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)}，事件G＝{出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)}，請根據(jù)上述定義的事件，回答下列問題：(1)請舉出符合包含關(guān)系、相等關(guān)系的事件；(2)利用和事件的定義，判斷上述哪些事件是和事件.解(1)因為事件C1，C2，C3，C4發(fā)生，則事件D3必發(fā)生，所以C1?D3，C2?D3，C3?D3，C4?D3.同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.且易知事件C1與事件D1相等，即C1＝D1.(2)因為事件D2＝{出現(xiàn)的點數(shù)大于3}＝{出現(xiàn)4點或出現(xiàn)5點或出現(xiàn)6點}，所以D2＝C4＋C5＋C6.同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F(xiàn)＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5.規(guī)律方法事件間的運算方法：，分析并利用這些結(jié)果進行事件間的運算.，分析同一條件下的試驗所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，把這些結(jié)果在圖中列出，進行運算.【訓(xùn)練2】盒子里有6個紅球，4個白球，現(xiàn)從中任取3個球，設(shè)事件A＝{3個球中有一個紅球，兩個白球}，事件B＝{3個球中有兩個紅球，一個白球}，事件C＝{3個球中至少有一個紅球}，事件D＝{3個球中既有紅球又有白球}.則：(1)事件D與事件A、B是什么樣的運算關(guān)系？(2)事件C與事件A的交事件是什么事件？解(1)對于事件D，可能的結(jié)果為1個紅球2個白球或2個紅球1個白球，故D＝A＋B.(2)對于事件C，可能的結(jié)果為1個紅球2個白球，2個紅球1個白球或3個紅球，故C∩A＝A.【例3】袋中有紅、黃、白3種顏色的球各1個，從中每次任取1個，有放回地抽取3次，求所得球：(1)3個球顏色全相同的概率；(2)3個球顏色不全相同的概率.解(1)“3個球顏色全相同”有可能是這樣的三種情況：“3個球全是紅球”(事件A)；“3個球全是黃球”(事件B)；“3個球全是白球”(事件C)，故“3個球顏色全相同”這個事件可記為A＋B＋C.由于事件A、B、C不可能同時發(fā)生，因此它們是互斥事件，再由于紅、黃、白球個數(shù)一樣，有放回地抽取3次共有27種結(jié)果，故不難得到P(A)＝P(B)＝P(C)＝eq\f(1,27)，故P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(1,9).故3個球顏色全相同的概率為eq\f(1,9).(2)記“3個球顏色不全相同”為事件D，則事件eq\o(D,\s\up3(－))為“3個球顏色全相同”，顯然事件D與eq\o(D,\s\up3(－))是對立事件，且P(eq\o(D,\s\up3(－)))＝P(A＋B＋C)＝eq\f(1,9).所以P(D)＝1－P(eq\o(D,\s\up3(－)))＝1－eq\f(1,9)＝eq\f(8,9).故3個球顏色不全相同的概率為eq\f(8,9).【遷移1】在數(shù)學(xué)考試中，小明的成績(滿分100分，，，，，計算：(1)小明在數(shù)學(xué)考試中取得80分及80分以上成績的概率；(2)小明考試及格的概率.解根據(jù)題意記B為“考試成績在90分及90分以上”，C為“考試成績在80～89分”，D為“考試成績在70～79分”，E為“考試成績在60～69分”.(1)記事件A為“考試成績在80分及80分以上”，因為事件B、C為互斥事件，所以由互斥事件的概率加法公式可知，P(A)＝P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.(2)記事件F為“小明考試及格”.因為B、C、D、E兩兩互斥，所以由互斥事件的概率加法公式有P(F)＝P(B＋C＋D＋E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.【遷移2】同時拋擲兩枚骰子，求至少有一個5點或6點的概率.解法一設(shè)“至少有一個5點或6點”為事件A，同時拋擲兩枚骰子，可能的結(jié)果如下表：1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)共有36種不同的結(jié)果，其中至少有一個5點或6點的結(jié)果有20個，所以P(A)＝eq\f(20,36)＝eq\f(5,9).法二設(shè)“至少有一個5點或6點”為事件A，至少有一個5點或6點的對立事件是既沒有5點又沒有6點，記為eq\o(A,\s\up3(－)).如上表，既沒有5點又沒有6點的結(jié)果共有16個，則既沒有5點又沒有6點的概率為P(eq\o(A,\s\up3(－)))＝eq\f(16,36)＝eq\f(4,9).所以至少有一個5點或6點的概率為P(A)＝1－P(eq\o(A,\s\up3(－)))＝1－eq\f(4,9)＝eq\f(5,9).【遷移3】玻璃盒里裝有紅球、黑球、白球、綠球共12個，從中任取1球，設(shè)事件A為“取出1個紅球”，事件B為“取出1個黑球”，事件C為“取出1個白球”，事件D為“取出1個綠球”.已知P(A)＝eq\f(5,12)，P(B)＝eq\f(1,3)，P(C)＝eq\f(1,6)，P(D)＝eq\f(1,12).(1)求“取出1個球為紅球或黑球”的概率；(2)求“取出1個球為紅球或黑球或白球”的概率.解法一(1)因為事件A，B，C，D彼此為互斥事件，所以“取出1個球為紅球或黑球”的概率為P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(5,12)＋eq\f(1,3)＝eq\f(3,4).(2)“取出1個球為紅球或黑球或白球”的概率為P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(5,12)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＝eq\f(11,12).法二(1)“取出1個球為紅球或黑球”的對立事件為“取出1個球為白球或綠球”，即A＋B的對立事件為C＋D，所以P(A＋B)＝1－P(C＋D)＝1－P(C)－P(D)＝1－eq\f(1,6)－eq\f(1,12)＝eq\f(3,4)，即“取出1個球為紅球或黑球”的概率為eq\f(3,4).(2)“取出1個球為紅球或黑球或白球”的對立事件為“取出1個球為綠球”，即A＋B＋C的對立事件為D，所以P(A＋B＋C)＝1－P(D)＝1－eq\f(1,12)＝eq\f(11,12)，即“取出1個球為紅球或黑球或白球”的概率為eq\f(11,12).P(A＋B)＝P(A)＋P(B).2.對于一個較復(fù)雜的事件，一般將其分解成幾個簡單的事件，當(dāng)這些事件彼此互斥時，原事件的概率就是這些簡單事件的概率的和.3.當(dāng)求解的問題中有“至多”、“至少”、“最少”等關(guān)鍵詞語時，常常考慮其反面，通過求其反面，然后轉(zhuǎn)化為所求問題.4.求復(fù)雜事件的概率通常有兩種方法：一是將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥事件的和；二是先求對立事件的概率，再求所求事件的概率，即P(A)＝1－P(B)(B是A的對立事件).課堂達標(biāo)1.已知A，B為互斥事件，有下列說法：①A＋B是必然事件；②eq\o(A,\s\up3(－))＋eq\o(B,\s\up3(－))是必然事件；③eq\o(A,\s\up3(－))與eq\o(B,\s\up3(－))一定互斥；④eq\o(A,\s\up3(－))與eq\o(B,\s\up3(－))一定不互斥.其中正確的有________.解析利用互斥事件的定義，可用集合知識考慮，可知A＋B不一定是必然事件，eq\o(A,\s\up3(－))＋eq\o(B,\s\up3(－))是必然事件，eq\o(A,\s\up3(－))與eq\o(B,\s\up3(－))可能互斥，也可能不互斥，故②正確.答案②2.某人在打靶時，連續(xù)射擊2次，“至少有1次中靶”的對立事件是________.①2次都中靶；②至多有1次中靶；③2次都不中靶；④只有1次中靶.解析“至少有1次中靶”包含“只有1次中靶”“2次都中靶”兩種情況，而“至多有1次中靶”包含“只有1次中靶”“2次都不中靶”兩種情況，所以“至少有1次中靶”與①②④都不是互斥事件，更不是對立事件，只有③正確.答案③3.在10張卡片上分別寫上0,1,2,3,4,5,6,7,8,9后，任意疊放在一起，從中任取一張，設(shè)“抽到大于3的奇數(shù)”為事件A，“抽到小于7的奇數(shù)”為事件B，則P(A＋B)＝________.解析易知A，B不是互斥事件，A＋B包含了5個基本事件，即抽到1,3,5,7,9，則P(A＋B)＝eq\f(5,10)＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)4.從集合{a，b，c，d，e}的所有子集中任取一個，若這個子集不是集合{a，b，c}的子集的概率是eq\f(3,4)，則該子集恰是集合{a，b，c}的子集的概率是________.解析該子集恰是{a，b，c}的子集的概率為P＝1－eq\f(3,4)＝eq\f(1,4).答案eq\f(1,4)5.某地區(qū)的年降水量在某些范圍內(nèi)的概率如下表所示：年降水量(單位：mm)[100,150)[150,200)[200,250)[250,300)概率(1)求年降水量在[100,200)(mm)范圍內(nèi)的概率；(2)求年降水量在[150,300)(mm)范圍內(nèi)的概率.解記這個地區(qū)的年降水量在[100,150)，[150,200)，[200,250)，[250,300)(mm)范圍內(nèi)分別為事件A，B，C，D，有(1)年降水量在[100,200)(mm)范圍內(nèi)的概率是P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.12＋0.25＝0.37.(2)年降水量在[150,300)(mm)內(nèi)的概率是P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.25＋0.16＋0.14＝0.55.課堂小結(jié)：互斥未必對立；對立一定互斥.2.互斥事件的概率加法公式是一個很基本的計算公式，解題時要在具體的情景中判斷各事件間是否互斥，只有互斥事件才能用概率加法公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B).3.求復(fù)雜事件的概率通常有兩種方法：(1)將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥事件的和事件；(2)先求其對立事件的概率，再求所求事件的概率.基礎(chǔ)過關(guān)1.從裝有5個紅球和3個白球的口袋內(nèi)任取3個球，那么，是互斥事件而不是對立事件的有________.(填序號)①至少有一個紅球；都是紅球；②至少有一個紅球；都是白球；③至少有一個紅球，至少有一個白球；④恰有兩個紅球；恰有一個紅球.解析可以先考慮哪幾對事件是互斥的，然后從中考慮不是對立的事件，即可獲得互斥而不對立的事件.在各選項所涉及的四對事件中，僅②和④中的兩對事件是互斥事件，同時，②所涉及的事件是一對對立事件，而④中的這對事件可以都不發(fā)生，故不是對立事件，因此，④是互斥事件，但不是對立事件.答案④2.若某公司從五位大學(xué)畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戊中錄用三人，這五人被錄用的機會均等，則甲或乙被錄用的概率為________.解析記事件A，基本事件有(甲，乙，丙)、(甲，乙，丁)、(甲，乙，戊)、(甲，丙，丁)、(甲，丙，戊)、(甲，丁，戊)、(乙，丙，丁)、(乙，丙，戊)、(乙，丁，戊)、(丙，丁，戊)，共10種可能，而A的對立事件eq\o(A,\s\up3(－))僅有(丙，丁，戊)一種可能，∴A的對立事件eq\o(A,\s\up3(－))的概率為P(eq\o(A,\s\up3(－)))＝eq\f(1,10)，∴P(A)＝1－P(eq\o(A,\s\up3(－)))＝eq\f(9,10).答案eq\f(9,10)3.某射手在一次射擊訓(xùn)練中射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、，則這個射手在一次射擊中射中10環(huán)或7環(huán)的概率為________.解析記“射中的10環(huán)”為事件A，“射中7環(huán)”為事件B，由于在一次射擊中，A與B不可能同時發(fā)生，故A與B是互斥事件.所以射中10環(huán)或7環(huán)的概率為P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49.4.一個袋中裝有2個紅球和2個白球，現(xiàn)從袋中取出1個球，然后放回袋中再取出1個球，則取出的2個球同色的概率為________.解析把紅球標(biāo)記為紅1、紅2，白球標(biāo)記為白1、白2，本試驗的基本事件共有16個，其中2個球同色的事件有8個：紅1、紅1，紅1、紅2，紅2、紅1，紅2、紅2，白1、白1，白1、白2，白2、白1，白2、白2，故所求概率為P＝eq\f(8,16)＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)5.產(chǎn)品中有一、二、三等品及廢品4種，一、二、三等品率和廢品率分別為60%,10%,20%,10%，任取一個產(chǎn)品檢驗其質(zhì)量，那么取到一等品或二等品的概率是________.解析記“取一個產(chǎn)品為一等品”記為事件A，“取一個產(chǎn)品為二等品”記為事件B，則A，B為互斥事件，則P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝60%＋10%＝0.6＋0.1＝0.7.6.判斷下列每對事件是否為互斥事件，是否為對立事件.從一副撲克牌(52張，不含大、小王)中，任取1張.(1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；(2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌點數(shù)為3的倍數(shù)”與“抽出的牌點數(shù)小于10”.解(1)是互斥事件，但不是對立事件.因為從52張撲克牌中任抽1張，“抽出紅桃”和“抽出黑桃”不可能同時發(fā)生，，不能保證其中必有一個發(fā)生，因為還可能抽出“方塊”或者“梅花”，因此，二者不對立.(2)既是互斥事件，又是對立事件.因為從52張撲克牌中任抽1張，“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”不可能同時發(fā)生，但其中必有一個發(fā)生，故它們既是互斥事件，又是對立事件.(3)既不是互斥事件，也不是對立事件.因為從52張撲克牌中任抽1張，“抽出的牌點數(shù)為3的倍數(shù)”與“抽出的牌點數(shù)小于10”這兩個事件可能同時發(fā)生，如抽得9，因此，二者既不互斥，又不對立.7.一個盒子里裝有三張卡片，分別標(biāo)記有數(shù)字1,2,3，，每次抽取1張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c”的概率；(2)求“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率.解(1)由題意，(a，b，c)所有的可能為(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27種.設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c”為事件A，則事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3種.所以P(A)＝eq\f(3,27)＝eq\f(1,9).因此，“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c”的概率為eq\f(1,9).(2)設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”為事件B，則事件eq\o(B,\s\up3(－))包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3種.所以P(B)＝1－P(eq\o(B,\s\up3(－)))＝1－eq\f(3,27)＝eq\f(8,9).因此，“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率為eq\f(8,9).能力提升、乙兩人下棋，兩人和棋的概率是eq\f(1,2)，乙獲勝的概率是eq\f(1,3)，則乙不輸?shù)母怕适莀_______.解析乙不輸即為兩人和棋或乙獲勝，因此乙不輸?shù)母怕蕿閑q\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,6).答案eq\f(5,6)9.從一定范圍內(nèi)任取一實數(shù)x，若x∈(－∞，－1]，x，則x∈(－1,0)的概率是________.解析設(shè)“x∈(－∞，－1]”為事件A，“x是負(fù)數(shù)”為事件B，“x∈(－1,0)”為事件C，由題意知A，C為互斥事件，B＝A＋C，∴P(B)＝P(A)＋P(C)，P(C)＝P(B)－P(A)＝0.5－0.3＝0.2.10.對一批產(chǎn)品的長度(單位：mm)進行抽樣檢測，如，產(chǎn)品長度在區(qū)間[20,25)上的為一等品，在區(qū)間[15,20)和區(qū)間[25,30)上的為二等品，在區(qū)間[10,15)和[30,35]，現(xiàn)從該批產(chǎn)品中隨機抽取一件，則其為二等品的概率為________.解析根據(jù)圖示易得長度在區(qū)間[[15,20)和區(qū)間[25,30)為兩個互斥事件，，所以從該產(chǎn)品中隨機抽取一件，則其為二等品的概率為0.45.11.隨機擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，它們向上的點數(shù)之和不超過5的概率記為p1，點數(shù)之和大于5的概率記為p2，點數(shù)之和為偶數(shù)的概率記為p3，則p1，p2，p3的大小關(guān)系為________(按從小到大排列).解析總的基本事件個數(shù)為36，向上的點數(shù)之和不超過5的有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，共10個，則向上的點數(shù)之和不超過5的概率p1＝eq\f(10,36)＝eq\f(5,18)；向上的點數(shù)之和大于5的概率p2＝1－eq\f(5,18)＝eq\f(13,18)；向上的點數(shù)之和為偶數(shù)與向上的點數(shù)之和為奇數(shù)的個數(shù)相等，故向上的點數(shù)之和為偶數(shù)的概率p3＝eq\f(1,2).即p1＜p3＜p2.答案p1＜p3＜p212.某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息，安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示.一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)(人)x3025y10結(jié)算時間(分鐘/人)123已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.(1)確定x，y的值，并估計顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值；(2)求一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘的概率(將頻率視為概率).解(1)由已知得25＋y＋10＝55，