第09講零點(diǎn)判斷中的取點(diǎn)技巧（內(nèi)點(diǎn)效應(yīng)放縮取點(diǎn)）（原題卷）

零點(diǎn)判斷中的取點(diǎn)技巧利用零點(diǎn)存在定理判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是導(dǎo)數(shù)壓軸題中的命題熱點(diǎn)，同時(shí)也是考生不易掌握的公認(rèn)難點(diǎn)利用零點(diǎn)存在定理判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是導(dǎo)數(shù)壓軸題中的命題熱點(diǎn)，同時(shí)也是考生不易掌握的公認(rèn)難點(diǎn)，當(dāng)使用零點(diǎn)存在定理時(shí)，我們需要找到函數(shù)值異號的兩個(gè)點(diǎn)．而“如何取點(diǎn)（找點(diǎn)）？”，卻是一只不折不扣的攔路虎！特別是含參函數(shù)的取點(diǎn)問題，表面上具有相當(dāng)?shù)碾y度與技巧性（參考答案中的取點(diǎn)簡直是神來之筆），實(shí)則有其基本原理．掌握其中的邏輯，則可以輕松面對．本講義以近幾年的高考題和模擬題為例，談?wù)勅↑c(diǎn)的基本原理和邏輯，總結(jié)取點(diǎn)攻略。方法一巧取特殊值當(dāng)我們在取點(diǎn)過程中，可先考慮選取一些特殊點(diǎn)進(jìn)行判斷，但這里的“巧取特殊點(diǎn)”不是指“瞎猜胡蒙”，而是建立在推理分析的基礎(chǔ)上，如考慮區(qū)間端點(diǎn)（如果可以取到），其次是一些特殊值，如解析式含有指數(shù)、對數(shù)或三角函數(shù)時(shí)，可考慮參數(shù)無關(guān)的點(diǎn)，如0，1，e

，等．最后考慮含參數(shù)的點(diǎn)．這時(shí)的取點(diǎn)原則是將解析式中含參項(xiàng)去參為常，如果不成，則退而求其次，通過選點(diǎn)使解析式中含參項(xiàng)的代入結(jié)果盡量簡化，再配合解析式中不含參的項(xiàng)，進(jìn)行必要的調(diào)整．例1.

當(dāng)時(shí)，討論f(x)＝lnx－ax的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【對點(diǎn)演練】（2023·浙江溫州·統(tǒng)考三模）已知函數(shù).(1)證明：函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；方法二內(nèi)點(diǎn)效應(yīng)內(nèi)點(diǎn)效應(yīng)概述：函數(shù)，定義在區(qū)間上若，則取任意的，則不等式組有解，且這個(gè)解集中所有的都滿足；若，則取任意的，則不等式組有解，且這個(gè)解集中所有的都滿足；下面我們舉一個(gè)例子說明一下內(nèi)點(diǎn)效應(yīng)的應(yīng)用：問題1：已知試在上找一個(gè)值，滿足。取點(diǎn)分析因?yàn)闀r(shí)，，時(shí)，，故尋找的點(diǎn)應(yīng)選擇區(qū)間的左端點(diǎn)分析由得，令，因?yàn)?。則，取，則不等式的解滿足，不等式化為，取，則，故問題2已知試在上找一個(gè)值，滿足。分析：因?yàn)闀r(shí)，，時(shí)，，故尋找的點(diǎn)應(yīng)選擇區(qū)間的右端點(diǎn)分析令，當(dāng)時(shí)，，故取值區(qū)間為，取，則不等式組取，則故是一個(gè)滿足條件的值。內(nèi)點(diǎn)效應(yīng)將一個(gè)不可解的不等式轉(zhuǎn)化為一個(gè)可解的不等式處理，靈活利用內(nèi)點(diǎn)效應(yīng)，可以幫助我們解決在使用零點(diǎn)存在定理判斷根的存在性時(shí)的取點(diǎn)問題，下面我們再通過例題，分析一下內(nèi)點(diǎn)效應(yīng)的應(yīng)用。例1（2019年全國2卷改編）已知函數(shù)，判斷函數(shù)在定義域上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。．方向二放縮取點(diǎn)原理其實(shí)很簡單，若直接找點(diǎn)不容易，但可通過放縮將f(x)放縮成一個(gè)容易解方程的函數(shù)，注意最后需證明x1在規(guī)定的定義域內(nèi)。其實(shí)放縮取點(diǎn)法的關(guān)鍵就兩個(gè)，一是分清對誰放縮，二是根據(jù)增減速率不同選擇合適的放縮方法，基本原則是不能改變函數(shù)的變化趨勢。角度1根據(jù)函數(shù)的有界性放縮利用有界性來放縮，即根據(jù)給定定義域范圍下某些函數(shù)的范圍進(jìn)行放縮，例如當(dāng)a>0且x∈[1,2]時(shí)，a≤ax≤2a，又或者|sinx|≤1，這種放縮是把函數(shù)放縮成具體的數(shù)字，例2（2018年全國二卷）已知函數(shù)． （1）若，求的單調(diào)區(qū)間； （2）證明：只有一個(gè)零點(diǎn)．角度2切線放縮切線放縮的實(shí)質(zhì)時(shí)將指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)放縮為一次函數(shù)，即化曲為直，常用的放縮不等式有，，。例3已知函數(shù)ae2x+(a﹣2)ex﹣x.（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.角度3曲線放縮曲線放縮的實(shí)質(zhì)就是化曲為曲，當(dāng)曲線不能放縮為直線時(shí)，可考慮放縮為曲線，常用的放縮不等式有，，，。至于選擇哪種放縮形式并無定論，依題而定，很具有靈活性。例4（2020年全國=1\*ROMANI卷）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【對點(diǎn)演練】(2018年全國=2\*ROMANII卷）)已知函數(shù)f(x)=ex-ax2.(1)若a=1,證明:當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≥1;(2)若f(x)在(0,+∞)只有一個(gè)零點(diǎn),求a.【鞏固訓(xùn)練】1．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．2．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．3．已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)，且．（1）討論的單調(diào)性；（