利用相似三角形測高（鞏固篇）（專項練習）-2021-2022學年九年級數(shù)學上冊基礎知識專項講練（北師大版）

專題4.22利用相似三角形測高（鞏固篇）（專項練習）一、單選題1．《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學著作，成書于約一千五百年前，其中有首歌謠：今有竿不知其長，量得影長一丈五尺，立一標桿，長一尺五寸，影長五寸，問竿長幾何？意即：有一根竹竿不知道有多長，量出它在太陽下的影子長一丈五尺，同時立一根一尺五寸的小標桿，它的影長五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），則竹竿的長為（）A．五丈 B．四丈五尺 C．一丈 D．五尺2．如圖所示，某校數(shù)學興趣小組利用標桿測量建筑物的高度，已知標桿高，測得，，則建筑物的高是()A． B． C． D．3．如圖是小明設計用手電來測量某古城墻高度的示意圖，點P處放一水平的平面鏡，光線從點A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后剛好射到古城墻CD的頂端C處，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且測得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么該古城墻的高度是()A．6米 B．8米 C．18米 D．24米4．如圖，小明同學用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點B在同一直線上．已知紙板的兩條邊DF＝50cm，EF＝30cm，測得邊DF離地面的高度AC＝1.5m，CD＝20m，則樹高AB為（）A．12m B．13.5m C．15m D．16.5m5．如圖，為估算某河的寬度，在河對岸邊選定一個目標點A，在近岸取點B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，點E在BC上，并且點A，E，D在同一條直線上．若測得BE=20m，EC=10m，CD=20m，則河的寬度AB等于（）A．60m B．40m C．30m D．20m6．如圖，路燈距地面，身高的小明從點處沿所在的直線行走到點時，人影長度A．變長 B．變長 C．變短 D．變短7．如圖，身高為1.6m的某學生想測量一棵大樹的高度，她沿著樹影BA由B向A走去，當走到C點時，她的影子頂端正好與樹的影子頂端重合，測得BC=3.2m"，CA=0.8m，則樹的高度為（）A．4.8m B．6.4m C．8m D．10m8．如圖，一路燈B距地面高BA=7m，身高1.4m的小紅從路燈下的點D出發(fā)，沿A→H的方向行走至點G，若AD=6m，DG=4m，則小紅在點G處的影長相對于點D處的影長變化是（）A．變長1m B．變長1.2m C．變長1.5m D．變長1.8m9．如圖，小穎為測量學校旗桿AB的高度，她在E處放置一塊鏡子，然后退到C處站立，剛好從鏡子中看到旗桿的頂部B．已知小穎的眼睛D離地面的高度CD＝1.5m，她離鏡子的水平距離CE＝0.5m，鏡子E離旗桿的底部A處的距離AE＝2m，且A、C、E三點在同一水平直線上，則旗桿AB的高度為（）A．4.5m B．4.8m C．5.5m D．6m10．如圖，有一塊銳角三角形材料，邊BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使其一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上，則這個正方形零件的邊長為A．40mm B．45mm C．48mm D．60mm二、填空題11．如圖，從甲樓底部A處測得乙樓頂部C處的仰角是30°，從甲樓頂部B處測得乙樓底部D處的俯角是45°，已知甲樓的高AB是120m，則乙樓的高CD是_____m（結果保留根號）12．如圖，小軍、小珠之間的距離為2.7m，他們在同一盞路燈下的影長分別為1.8m，1.5m，已知小軍、小珠的身高分別為1.8m，1.5m，則路燈的高為____m.13．如圖，某水平地面上建筑物的高度為AB，在點D和點F處分別豎立高是2米的標桿CD和EF，兩標桿相隔52米，并且建筑物AB、標桿CD和EF在同一豎直平面內(nèi)，從標桿CD后退2米到點G處，在G處測得建筑物頂端A和標桿頂端C在同一條直線上；從標桿FE后退4米到點H處，在H處測得建筑物頂端A和標桿頂端E在同一條直線上，則建筑物的高是__________米．14．如圖，身高為1.6m的小李AB站在河的一岸，利用樹的倒影去測對岸一棵樹CD的高度，CD的倒影是C′D，且AEC′在一條視線上，河寬BD=12m，且BE=2m，則樹高CD=________m.15．如圖，一路燈距地面5.6米，身高1.6米的小方從距離燈的底部（點O）5米的A處，沿OA所在的直線行走到點C時，人影長度增長3米，則小方行走的路程AC=________．16．如圖，一條河的兩岸有一段是平行的，在河的南岸邊每隔5米有一棵樹，在北岸邊每隔50米有一根電線桿．小麗站在離南岸邊15米的P點處看北岸，發(fā)現(xiàn)北岸相鄰的兩根電線桿恰好被南岸的兩棵樹遮住，并且在這兩棵樹之間還有三棵樹，則河寬為________米．17．我國古代數(shù)學著作《九章算術》中記載了一個問題：“今有邑方不知大小，各開中門，出北門三十步有木，出西門七百五十步見木，問：邑方幾何？”．其大意是：如圖，一座正方形城池，A為北門中點，從點A往正北方向走30步到B處有一樹木，C為西門中點，從點C往正西方向走750步到D處正好看到B處的樹木，則正方形城池的邊長為_____步．18．如圖所示，某校數(shù)學興趣小組利用自制的直角三角形硬紙板來測量操場旗桿的高度，他們通過調(diào)整測量位置，使斜邊與地面保持平行，并使邊與旗桿頂點在同一直線上，已知米，米，目測點到地面的距離米，到旗桿水平的距離米，則旗桿的高度為__________米．19．如圖，小明在A時測得某樹的影長為2m，B時又測得該樹的影長為8m，若兩次日照的光線互相垂直，則樹的高度為_____m20．如圖，小明周末晚上陪父母在錦江綠道上散步，他由燈下A處前進4米到達B處時，測得影子BC長為1米，已知小明身高1.6米，他若繼續(xù)往前走4米到達D處，此時影子DE長為______米．21．如圖，要在寬AB為20米的甌海大道兩邊安裝路燈，路燈的燈臂CD與燈柱BC成120°角，燈罩的軸線DO與燈臂CD垂直，當燈罩的軸線DO通過公路路面的中心線（即O為AB的中點）時照明效果最佳，若CD=米，則路燈的燈柱BC高度應該設計為____米（計算結果保留根號）．22．小紅家的陽臺上放置了一個曬衣架，如圖1，圖2是曬衣架的側面示意圖，立桿AB、CD相交于點O，B、D兩點在地面上，經(jīng)測量得到AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，OE=OF=34cm，現(xiàn)將曬衣架完全穩(wěn)固張開，扣鏈EF成一條線段，且EF=32cm，垂掛在衣架上的連衣裙總長度小于多少時，連衣裙才不會拖在地面上？三、解答題23．如圖所示，AD、BC為兩路燈，身高相同的小明、小亮站在兩路燈桿之間，兩人相距6.5m，小明站在P處，小亮站在Q處，小明在路燈C下的影長為2m，已知小明身高1.8m，路燈BC高9m．①計算小亮在路燈D下的影長；②計算建筑物AD的高．24．如圖，花叢中有一路燈.在燈光下，小明在點D處的影長，沿方向行走到達點G，，這時小明的影長.如果小明的身高為1.7m，求路燈的高度.（精確到0.lm)25．如圖，若要在寬AD為20米的城南大道兩邊安裝路燈，路燈的燈臂BC長2米，且與燈柱AB成120°角，路燈采用圓錐形燈罩，燈罩的軸線CO與燈臂BC垂直，當燈罩的軸線CO通過公路路面的中心線時照明效果最好．此時，路燈的燈柱AB的高應該設計為多少米．(結果保留根號)26．在同一時刻兩根木桿在太陽光下的影子如圖所示，其中木桿AB=2米，它的影子BC=1.6米，木桿PQ的影子有一部分落在墻上，PM=1.2米，MN=0.8米，求木桿PQ的長度.27．如圖，在相對的兩棟樓中間有一堵墻，甲、乙兩人分別在這兩棟樓內(nèi)觀察這堵墻，視線如圖1所示．根據(jù)實際情況畫出平面圖形如圖2（CD⊥DF，AB⊥DF，EF⊥DF），甲從點C可以看到點G處，乙從點E可以看到點D處，點B是DF的中點，墻AB高5.5米，DF=100米，BG=10.5米，求甲、乙兩人的觀測點到地面的距離之差（結果精確到0.1米）28．小軍想用鏡子測量一棵古松樹的高度，但因樹旁有一條小河，不能測量鏡子與樹之間的距離.于是他利用鏡子進行兩次測量.如圖，第一次他把鏡子放在點C處，人在點F處正好在鏡中看到樹尖A；第二次他把鏡子放在點處，人在點F處正好在鏡中看到樹尖A．已知小軍的眼睛距地面1.7m，量得m，m，m.求這棵古松樹的高度.參考答案1．B【分析】根據(jù)同一時刻物高與影長成正比可得出結論．【詳解】設竹竿的長度為x尺，∵竹竿的影長=一丈五尺=15尺，標桿長=一尺五寸=1.5尺，影長五寸=0.5尺，∴，解得x=45（尺），故選B．【點撥】本題考查了相似三角形的應用舉例，熟知同一時刻物高與影長成正比是解答此題的關鍵．2．A【分析】先求得AC，再說明△ABE∽△ACD，最后根據(jù)相似三角形的性質列方程解答即可．【詳解】解：∵，∴AC=1.2m+12.8m=14m∵標桿和建筑物CD均垂直于地面∴BE//CD∴△ABE∽△ACD∴,即,解得CD=17.5m．故答案為A．【點撥】本題考查了相似三角形的應用，正確判定相似三角形并利用相似三角形的性質列方程計算是解答本題的關鍵．3．B【分析】由鏡面反射的知識可得∠APB=∠CPD，結合∠ABP=∠CDP即可得到△ABP∽△CDP，接下來，由相似三角形的三邊對應成比例可得，至此，本題不難求解.【詳解】解：由鏡面反射原理知∠APB=∠CPD.∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABP=∠CDP.∵∠ABP=∠CDP，∠APB=∠CPD，∴△ABP∽△CDP，∴AB∶BP=CD∶DP.∵AB=1.2米，BP=1.8米，DP=12米，，∴CD==8（米）.故該古城墻的高度是8米.故選B.【點撥】本題是一道有關求解三角形的題目，回顧一下相似三角形的判定與性質；4．D【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的長后加上小明同學的身高即可求得樹高AB．【詳解】∵∠DEF=∠BCD=90°，∠D=∠D，∴△DEF∽△DCB，∴，∵DF=50cm=0.5m，EF=30cm=0.3m，AC=1.5m，CD=20m，∴由勾股定理求得DE=40cm，∴，∴BC=15米，∴AB=AC+BC=1.5+15=16.5（米）．故答案為16.5m．【點撥】本題考查了相似三角形的應用，解題的關鍵是從實際問題中整理出相似三角形的模型．5．B【詳解】∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴AB∥DC．∴△EAB∽△EDC．∴．又∵BE=20m，EC=10m，CD=20m，∴，解得：AB＝40（m）．故選B．6．C【分析】小明在不同的位置時，均可構成兩個相似三角形，可利用相似比求人影長度的變化．【詳解】解：設小明在A處時影長為x，AO長為a，在B處時影長為y．∵AC∥OP，BD∥OP，∴△ACM∽△OPM，△BDN∽△OPN，∴，，則，∴x＝，y＝-3.5，∴x?y＝3.5，故變短了3.5米．故選C．【點撥】本題考查的是相似三角形在實際生活中的應用，根據(jù)題意得出相似三角形，再利用相似三角形的對應邊成比例求解是解答此題的關鍵．7．C【詳解】解：因為人和樹均垂直于地面，所以和光線構成的兩個直角三角形相似，設樹高x米，則，即∴x=8故選C．8．A【解析】由CD∥AB∥FG可得△CDE∽△ABE、△HFG∽△HAB，∴，，即，，解得：DE=1.5，HG=2.5，∵HG﹣DE=2.5﹣1.5=1,∴影長邊長1m．故選A．9．D【分析】根據(jù)題意得出△ABE∽△CDE，進而利用相似三角形的性質得出答案．【詳解】解：由題意可得：AE＝2m，CE＝0.5m，DC＝1.5m，∵△ABC∽△EDC，∴，即，解得：AB＝6，故選D．【點撥】本題考查的是相似三角形在實際生活中的應用，根據(jù)題意得出△ABE∽△CDE是解答此題的關鍵．10．C【解析】因為正方形PQMN的QM邊在BC上，∴PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴.設ED=x，∴PN=MN=ED=x，，∴解得：x=48，∴這個正方形零件的邊長是48mm.故選C.11．40【分析】利用等腰直角三角形的性質得出AB=AD，再利用銳角三角函數(shù)關系即可得出答案．【詳解】解:由題意可得：∠BDA=45°，則AB=AD=120m，又∵∠CAD=30°，∴在Rt△ADC中，tan∠CDA=tan30°=，解得：CD=40（m），故答案為40．【點撥】此題主要考查了解直角三角形的應用，正確得出tan∠CDA=tan30°=是解題關鍵．12．3【詳解】試題分析：如圖，∵CD∥AB∥MN，∴△ABE∽△CDE，△ABF∽△MNF，∴，即，解得：AB=3m，答：路燈的高為3m．考點：中心投影．13．54【詳解】設建筑物的高為x米，根據(jù)題意易得△CDG∽△ABG，∴，∵CD＝DG＝2，∴BG＝AB＝x，再由△EFH∽△ABH可得，即，∴BH＝2x，即BD＋DF＋FH＝2x，亦即x－2＋52＋4＝2x，解得x＝54，即建筑物的高是54米．14．8【分析】利用相似三角形求對應線段成比例，求解即可．【詳解】利用△ABE∽△CDE，對應線段成比例解題，因為AB，CD均垂直于地面，所以AB∥CD，則有△ABE∽△CDE，∵△ABE∽△CDE，∴，又∵AB=1.6，BE=2，BD=12，∴DE=10，∴，∴CD=8．故答案為8．【點撥】本題考查了相似三角形的應用，利用相似，求對應線段，是相似中經(jīng)常考查極為普遍的類型題，關鍵是找準對應邊．15．7.5米【解析】∵AE⊥OD，F(xiàn)C⊥OD，

∴△AEB∽△OGB，,

解得AB=2m；

∵OA所在的直線行走到點C時，人影長度增長3米，

∴DC=5m

同理可得△DFC∽△DGO，

∴，解得AC=7.5m．

故答案為7.5m．16．22.5【詳解】根據(jù)題意畫出圖形，構造出△PCD∽△PAB，利用相似三角形的性質解題．解：過P作PF⊥AB，交CD于E，交AB于F，如圖所示設河寬為x米．∵AB∥CD，∴∠PDC=∠PBF，∠PCD=∠PAB，∴△PDC∽△PBA，∴，∴，依題意CD=20米，AB=50米，∴，解得：x=22.5（米）．答：河的寬度為22.5米．17．300．【分析】設正方形城池的邊長為步,根據(jù)比例性質求.【詳解】解：設正方形城池的邊長為步,即正方形城池的邊長為300步．故答案為300．【點撥】本題考查了相似三角形的應用：構建三角形相似，利用相似比計算對應的線段長．18．11.5【分析】根據(jù)題意可得：，進而利用相似三角形的性質得出AC的長，即可得出答案.【詳解】由題意可得：，則，∵米，米，，，∴，解得：，故，答：旗桿的高度為.【點撥】此題重點考查學生對相似三角形的實際應用，掌握相似三角形的性質是解題的關鍵.19．4【分析】根據(jù)題意，畫出示意圖，易得：Rt△EDC∽Rt△CDF，進而可得=；即DC2=ED?FD，代入數(shù)據(jù)可得答案．【詳解】如圖：過點C作CD⊥EF，由題意得：△EFC是直角三角形,∠ECF=90°，∴∠EDC=∠CDF=90°，∴∠E+∠ECD=∠ECD+∠DCF=90°，∴∠E=∠DCF，∴Rt△EDC∽Rt△CDF，有=;即DC2=EDFD，代入數(shù)據(jù)可得DC2=16，DC=4；故答案為4.【點撥】本題考查了相似三角形的應用，能夠將實際問題轉化為相似三角形的問題是解題的關鍵.20．2【分析】依據(jù)△CBF∽△CAP，即可得到AP=8，再依據(jù)△EDG∽△EAP，即可得到DE長．【詳解】如圖，由FB∥AP可得，△CBF∽△CAP，∴，即，解得AP=8，由GD∥AP可得，△EDG∽△EAP，∴，即，解得ED=2，故答案為2．【點撥】此題考查了中心投影的特點和規(guī)律以及相似三角形性質的運用．解題的關鍵是利用中心投影的特點可知在這兩組相似三角形中有一組公共邊，利用其作為相等關系求出所需要的線段，再求公共邊的長度．21．8【分析】在圖中延長OD，BC交于P點，利用三角形相似進行求解.【詳解】如圖，延長OD，BC交于點P.∵∠ODC=∠B=90°,∠P=30°，OB=10米，CD=米，在直角△CPD中,DP=DC*cos30°=3米,PC=2米．.∠P=∠P,∠PDC=∠B=90°，△PDCC∽△PBO，∴∴PB=10米，BC=PB-PC=(10-2)=8米．【點撥】本題考查了相似三角形的應用，解題的關鍵是找對哪兩個三角形相似.22．120【詳解】分析：先根據(jù)等角對等邊得出∠OAC=∠OCA=（180°-∠BOD）和∠OBD=∠ODB=（180°-∠BOD），進而利用平行線的判定得出即可，再證明Rt△OEM∽Rt△ABH，進而得出AH的長即可．詳解：過點O作OM⊥EF于點M，∵AB、CD相交于點O，∴∠AOC=∠BOD∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=（180°-∠BOD），同理可證：∠OBD=∠ODB=（180°-∠BOD），∴∠OAC=∠OBD，∴AC∥BD，在Rt△OEM中，OM==30（cm），過點A作AH⊥BD于點H，同理可證：EF∥BD，∴∠ABH=∠OEM，則Rt△OEM∽Rt△ABH，∴，AH===120（cm），所以垂掛在衣架上的連衣裙總長度小于120cm時，連衣裙才不會拖落到地面上．故答案為120．點睛：此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及解直角三角形，根據(jù)已知構造直角三角形利用銳角三角函數(shù)解題是解決問題的關鍵．23．①；②．【分析】解此題的關鍵是找到相似三角形，利用相似三角形的性質，相似三角形的對應邊成比例求解．【詳解】①∵，，∴∵，∴∴∴∴；②∵，，∴∵，∴∴∴∴．【點撥】本題考查了相似三角形，解題的關鍵是找到相似三角形利用相似三角形的對應邊成比例進行求解.24．路燈的高度約為6.0m【分析】根據(jù)AB⊥BH，CD⊥BH，F(xiàn)G⊥BH，可得：△ABE∽△CDE，則有和，而CD=FG，即可得=，從而求出BD的長，再代入前面任意一個等式中，即可求出AB．【詳解】由題意，得，，，∴.∴.∴.①同理，，∴.②又∵，∴由①，②可得，即，解得.將代入①，得.故路燈的高度約為6.0m.【點撥】本題考查了相似三角形的應用，解這道題的關鍵是將實際問題轉化為數(shù)學問題，本題只要把實際問題抽象到相似三角形中，利用相似比列出方程即可求出．25．(10－4)米【分析】延長OC，AB交于點P，△PCB∽△PAO，根據(jù)相似三角形對應邊比例相等的性質即可解題．【詳解】解：如圖，延長OC，AB交于點P．∵∠ABC=120°，∴∠PBC=60°，∵∠OCB=∠A=90°，∴∠P=30°，∵AD=20米，∴OA=AD=10米，∵BC