高中數(shù)學(xué)必修二第六章第2節(jié)《平面向量的運(yùn)算》解答題 20(含答案解析)

必修二第六章第2節(jié)《平面向量的運(yùn)算》解答題(20)

一、解答題(本大題共30小題，共360.0分)

1.已知A、B、C的坐標(biāo)分別為4(3,0),8(0,3),C(cosa+sina),a6&￡)?(1)若|而|=|同|，

求教a的值；

(2)若近?近=—1,求2sin%+sin2a的值.

1+tana

2.在448c中，角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,已知a?sinA+a?sinC-cosB+b-sinC-cosA=

b?sinB+c-sinA.

(1)求角8的大小；

(2)若b=3乃，0=3四，點(diǎn)。滿足同=：荏+1而，求△4BD的面積.

3.已知向量Z,E滿足|五|=1,|3|=或，(a-b)1a.

(1)求向量方與石的夾角：

(2)求|22一方|的值；

4.如圖，在平面斜坐標(biāo)系xOy中，z.xOy=60°,平面上任一點(diǎn)P在該斜坐標(biāo)系中的斜坐標(biāo)是這

樣定義的：若而=x前+y名(其中耳、孩分別為與x軸、y軸正方向同向的單位向量)，則P點(diǎn)

斜坐標(biāo)為(％y).

(1)若P點(diǎn)斜坐標(biāo)為(2,-2),求P到。的距離|POh

(2)若zMBC三個(gè)頂點(diǎn)的斜坐標(biāo)分別為4(1,4),B(4,2),C(3,5),求三角形的內(nèi)角NA.

5.如圖，在AAOB中，。是邊。8的中點(diǎn)，C是邊。4上靠近點(diǎn)。的一個(gè)三等分點(diǎn)，AO與BC交

于點(diǎn)M.設(shè)04-a>OB=b-

(1)用五，石表示麗.

-1o

(2)過點(diǎn)M的直線與邊0A,08分別交于點(diǎn)E,F.設(shè)笳=pZ，OF=qb,求己+^的值.

6.如圖，在平行四邊形ABCD中，AP1BD,垂足為P.

(1)若希?前=18，求AP的長；

(2)設(shè)|荏|=6，|前|=8,^BAC=pAP=xAB+yAC，求:的值.

7.已知&=(1,0),&=(0,1),一動(dòng)點(diǎn)P從與(一1,2)開始，沿著與向量瓦1+互相同的方向做勻速

直線運(yùn)動(dòng)，速度的大小為同+&|m/s.另一動(dòng)點(diǎn)Q從Qo(-2,—l)開始，沿著與向量3否+2杳相

同的方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度的大小為|3四+232ki/s.設(shè)P,Q在t=Os時(shí)分別在P。，Q。處,

問當(dāng)所1.Qo時(shí),所需的時(shí)間，為多少？

8.已知向量五,至滿足|磯=1,161=72,0_方)1阿

(1)求向量五與B的夾角及向量石在向量五方向上的投影；

(2)求|2日一方|的值；

(3)若向量下=3益+5方，d=ma-3b>c//d>求，"的值.

Bi

9.如圖，在平行四邊形。A/)8中，設(shè)成=百,而=3,前=［正，麗=［而.

試用求五，石表示碗,麗及麗.之二?S/

OA

10.設(shè)A,B,C,。為平面內(nèi)的四點(diǎn)，且4(1,3),8(2,—2),C(4,-l).

(1)若而=而，求。點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)設(shè)向量胃=荏，b=BC,若k五-石與方+33平行，求實(shí)數(shù)%的值.

11.已知△4BC內(nèi)接于以。為圓心，1為半徑的圓，且3可+J而+5力心Tf

(1)求數(shù)量積6r而，OAOC;

(2)求△ABC的面積。

12.在MBC中，AM=4-AB+4-AC.

A

(1)求448"與4ABC的面積之比;

(2)若N為AB中點(diǎn)，AM與CN交于點(diǎn)P,且而=%荏+y而(x,yeR)，求X+y的值.

13.已知同=&,|1|=1，五與石的夾角為45。.

⑴求|弓+2石|的值;

(2)若向量(2五-4方)與Q五-35的夾角是銳角，求實(shí)數(shù)4的取值范圍.

14.如圖，在△ABC中，AB=2,AC=3,/.BAC=60°,DB=2AD,CE=2EB.

(1)試用源和前表示尻;

(2)求魂?屁的值.

15.已知meR,向量五=(sinx,—mcosx),b=(cosx,cosx)>函數(shù)(fx)=2/7+m.

(1)若巾=1,求/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;

(2)若m=百，將/"(x)的圖象向左平移盤個(gè)單位長度后，得到函數(shù)g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)在區(qū)

間［0,胃上的最值.

16.已知向量同=1,|b|=|2/?—a|.

(/)求五與方夾角的取值范圍；

(〃)求同的取值范圍.

17.在RtAAG「中，^BAC=90°,AB=2,AC=6,。為AC邊上的中點(diǎn)，E為BC邊上一點(diǎn),且

BE=ABC(O<A<1).

(1)當(dāng)4=g時(shí)，若荏=+求x,y的值；

(2)當(dāng)AEJ.BD時(shí)，求4的值.

18.如圖，已知AOCB中，A是CB的中點(diǎn)，。是將而分成2:1的一個(gè)內(nèi)分點(diǎn)，DC和。A交于點(diǎn)E,

(1)用五和方表示向量正，DC；

(2)若麗=2小配求實(shí)數(shù)a的值.

19.在△力BC中，Z.BAC=120°,AB=2,AC=1,。為邊BC上的一點(diǎn)，S.DC=2BD.

(1)記AB=1，AC=b＞請用區(qū)b為基底表示4D;

(2)求線段AQ的長度.

20.在△ABC中，ABAC=90°,點(diǎn)。在邊BC上，滿足4B=V3BD.

(1)若N8/W=30°,求C的大小；

(2)若CD=2BD,AD=4,求△ABC的面積.

21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，銳角a和鈍角夕的終邊分別交圓心在原點(diǎn)的單位圓于4B兩點(diǎn).

⑴若點(diǎn)4的縱坐標(biāo)是柒點(diǎn)8的縱坐標(biāo)是熱求sin(a+S)的值;

(2)若|荏|=|,求周+2函的值.

22.已知zL48c在平面直角坐標(biāo)系xOy中，其頂點(diǎn)4SC坐標(biāo)分別為4(一2,3),B(l,6),C(2cosa2sin0).

(1)若4847=也且。為第二象限角，求cos9-sin。的值;

(口)若0=|兀，且同=4.而(4eR)，求I函的最小值.

23.如圖，在AABC中，已知C4=l,CB=2,乙4cB=60。.

(1)求|而

(2)已知點(diǎn)。是AB上一點(diǎn)，滿足而=4四，點(diǎn)E是邊C8上一點(diǎn)，滿足爐=2比.

①當(dāng)；1=1時(shí)，求荏.而;

②是否存在非零實(shí)數(shù)人使得荏J.而？若存在，求出；I的值；若不存在，請說明理由.

24.已知向量五=(2百sin仁+x),cos仁+久)),向量至=(cosQ-x),2cos償-x)),且函數(shù)f(x)=

ab.

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間及其對(duì)稱中心；

(2)在Z4BC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為“，b,c且角A滿足/⑷=國+1,若a=3,BC

邊上的中線長為3,求2L4BC的面積S；

(3)將函數(shù)/(%)的圖像向左平移?個(gè)長度單位，向下平移百個(gè)長度單位，再橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)

縮短為原來的:后得到函數(shù)g(x)的圖像，令函數(shù)h(x)=g。)-"cos》在xG［。圖的最小值為-|,

求正實(shí)數(shù);I的值.

25.在AABC中，ZBAC=120°,AB=2,AC=1,。為邊8c上的一點(diǎn)，且DC=2BD.

BD-------------------C

(1)記AB=a?AC=b>請用五，b為基底表示AD;

(2)求線段A。的長度.

26.已知平面向量五=(3,4),b=(9,x)>c=(4,y),且五〃E，ale.

(1)求石和八

(2)若沅=21一丸n=a+c,求向量記與向量記的夾角的大小.

27.請從下面三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并解答.

①荏之+而.死=_6②爐+C2=52③團(tuán)4BC的面積為3質(zhì)

在團(tuán)4BC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知b-c=2,cosA=-

4

⑴求a；

(2)求cos(2C+J)的值.

28.如圖，在四邊形OBCC中，CD=2BO.OA=2AD>4。=90。，K|BO|=\AD\=1.

(1)用畫，而表示方；

(2)點(diǎn)尸在線段A8上，且AB=3/1P,求cos/PCB的值.

29.已知?jiǎng)訄A。過定點(diǎn)7(2,0),且與y軸截得的弦MN長為4,設(shè)動(dòng)圓圓心。的軌跡為C.

(1)求軌跡C的方程；

(2)設(shè)P(l,2),過F(l,0)作不與x軸垂直的直線/交軌跡C于A,B兩點(diǎn),直線PA,P8分別與直

線％=-1相交于。，E兩點(diǎn)，以線段QE為直徑的圓為G,判斷點(diǎn)F與圓G的位置關(guān)系，并說

明理由.

30.已知向量五=(1,2),b=(cosa,sina)>設(shè)沅=3+tb(t€R).

(1)若c；,求當(dāng)|而|取最小值時(shí)實(shí)數(shù)，的值；

(2)若7f_L］，問：是否存在實(shí)數(shù)f，使得向量方-石與向量布的夾角為2?若存在，求出實(shí)數(shù)，的

值；若不存在，請說明理由.

【答案與解析】

1.答案：解：(1)X?=(cosa-3,sina),=(cosa,sina—3),

???|~KC|=J(cosa-3)2+sin2a=V10—6cosa,

I|=y/cos2a+(sina—3)2=V10—6sina,

由|前|=|BCI，得sina=cosa.

Xvae(py),

57r

????=-

⑵由z?,近=-1,

得(cosa—3)cosa+sina^sina—3)=-1,

???sina+cosa=|，①

又2sin2a+sin2a

1+tana

2sina(sina+cosa)

sina

十cosa

=2sinacosa,

由①式兩邊平方，得1+2sinacosa=

???2rsi.nacosa=——5,

9

.2sinza+sin2a_5

1+tana9，

解析：本題考查了向量的數(shù)量積公式和三角函數(shù)的化簡求值的綜合運(yùn)用，屬中檔題.

(1)由|而|=|BC|.得sina=cosa.然后根據(jù)角的范圍得到角的值；

(2)由彳？?近=-1,得(COSQ—3)cosa+sina(sina-3)=—1,W^sina+cosa=|,化簡已知關(guān)系

式，得到結(jié)論.

2.答案：解：(1)因?yàn)镼?sinA+a-sinC?cosB+b?sinC?cosA=b?sinB+c?sin4

所以根據(jù)正弦定理，得M+ac-cosB+be-cosA=爐+ac,

根據(jù)余弦定理，得Q2+ac-M+c2f2+灰?"+c-a?=y+QC,

2ac2bc

即M-Fc2—Z?2=ac,

根據(jù)余弦定理，得COSB=M+c-bZ=絲=1

2ac2ac2

因?yàn)?6(0,7T),所以B:;:

(2)由余弦定理,得b?=a2+c2—2ac?cosB,

所以54=Q2+18—3V^Q,即Q2-3&Q-36=0,

所以(a-6V2)(a+3&)=0.

因?yàn)閍>0,所以a=6a,

因?yàn)榍?AD-AB=|荏+^AC-AB

=1AC-^AB=^(AC-AB)=IBC,

所以BD=河=2V2,

所以△4BD的面積為。B.BD-sinB=ix3V2x2V2x—=373.

222

解析：此題主要考查了正弦定理、余弦定理以及三角形的面積公式，涉及到向量的基本運(yùn)算，是一

個(gè)中檔題.

(1)由。?sinA+a?sinC?cosB+b?sinC-cosA=b?sinB+c?sinA,根據(jù)正弦定理可得M+ac-

cosB+be-cosA=b2+ac,整理得小+c2—b2=ac,再結(jié)合余弦定理即可求解；

(2)由余弦定理得〃=Q2+一2知?cosB,再結(jié)合(1)即可求出Q=再由同=|荏+：而可

得前=：前,即8。=：8。=2魚，再利用三角形的面積即可求解此題.

3.答案：解：(1)設(shè)向量不與方的夾角為氏

因?yàn)?五一］)J.方，所以位一尤)?萬=0=方?五=方2=1，

所以3。=晶=今又。10,可，???0=P

(2)|2a-K|=^4a2-4a-b+b=V4-4+2=V2

解析：本題考查了向量的夾角和向量的數(shù)量積以及向量的模，是一般題.

(1)先根據(jù)已知算出向量的數(shù)量積，再根據(jù)夾角公式得出答案.

(2)直接根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可以得出答案.

4.答案：解:⑴?一點(diǎn)斜坐標(biāo)為(2,-2),

:.0P=2可一2可.

???\0P\2=(2瓦一2電尸

=8-85?石=8-8xcos60°=4.

|研=2,即|0P|=2.

(2)依題意，三角形的內(nèi)角44為荏，前的夾角，

又而=(3,-2),尼=(2,1),

所以荏=3瓦(-2葭，正=2前+石，

所以-相/_(3可-2醞)42」+或

和以COSA-麗詢-|3萬-2對(duì)二+可

,—>2c—>2—?—?

_6_292一0?

小瓦2+4筱2-12冤也?宙2+苗2+4瓦總

=匕|=匕N.AJO,7rL

V7XV72

所以乙A-.

解析：本題考查斜率的兒何運(yùn)用，考查斜率的數(shù)量積運(yùn)算，屬中檔題.

(1)依題意，赤=2百一2或，二|而『=(2瓦?一2電)2,計(jì)算即可.

(2)依題意，三角形的內(nèi)角乙4為四，灰的夾角，求得荏=35一2函，前=2百+五,

AB'AC_（3久—2^）,（2瓦+與）

根據(jù)cosZ=求解即可.

|同H而|一|3瓦-2司12可+可

5.答案：解：(1)v0A=a>OB=b,設(shè)OM=%^+yb，

..>..-?，一“一?>>>>一一”—>.—>

???AM=OM-OA=(x-1)OA-i-yOB=(x-1)a4-yb,

AD=OD-OA=-a+-2b.

"A,M,。三點(diǎn)共線，

AM,力共線，從而1(x-l)=-y.①

又麗=0M-OB=xOA+(y-1)OB=xa+(y-

~BC=0C-OB=-a-b,

3

即C,M,B三點(diǎn)共線，

.?.麗，前共線，

1)=-x.②

(x=*

聯(lián)立①②解得11

故而=［五+|反

(2)1?-0E=pa<OF=qb，

??-OM-OE=+|K-pa=(|—p)a+|h,

EF=OF-OE=qb-pa^

■■-'EM，前共線，

???(1-P)<7=一|p即/g=pq.

故:i+-=5.

pq

解析：本題考查平面向量的基本定理，向量的加減法以及向量的數(shù)乘運(yùn)算，向量共線的充要條件，

屬于中檔題.

(1)設(shè)麗=x^+yE，利用向量的減法法則得祠=(比一1)五+yE，同=一五+9江結(jié)合祠，南共

線得到關(guān)于x,y的方程：|(x-l)=-y,同理得久y-l)=-x聯(lián)立求解即可得到結(jié)論.

(2)應(yīng)用題中條件結(jié)合(1)中結(jié)論得的=0^-0￡=(1-p)a+|b,EF=OF-OE=qb-pa.

結(jié)合由，前共線得?-p)q=-|p，整理即可得到欲證結(jié)論.

=|國-固|需=2|研2=18,

6.答案：解：(1)取?而=麻||/|cosNPAC

解得1萬；1

⑵?.?瓦心工43+"而5五豆+2次，且B,P,0三點(diǎn)共線，

:"x+2y—1①，

又?.|工8七6,!而|=8,N"AC=；,

前=|碼中網(wǎng)cusNBAC=6x4xc<?g=12,

由AP_LBD可知~AP-豆3=(工方+2y市5)(而一瓦)=0，

展開化簡得到V3,②，

1Qx1

聯(lián)立①②解得/_，!尸二，故3.

11y*>

解析：本題主要考查了向量的幾何運(yùn)用，向量的數(shù)量積，平面向量的基本定理及其應(yīng)用，向量的加

法、減法、數(shù)乘運(yùn)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力和推理能力，屬于中檔題.

⑴根據(jù)題意可知取?而=|#H而18sLPAC=I型H而I四=2|取『，從而即可求得AP

即|

的長.

(2)由而且B,P,。三點(diǎn)共線可知x+2y=l,再根據(jù)APJ_BD和元力加=12可得

y：5,從而即可求得歹的值.

7.答案：解:ve1+e2=(l,l),3竟+2&=(3,2).

根據(jù)題意，畫出P,。的運(yùn)動(dòng)示意圖，如圖所示.

依題意，用=t(部+祕)=標(biāo)=t(3/+2電=(3t,2t).???麗=(-1,-3),

??.麗=限一解=福+砌一電=(3t-l,2t-3)-(t,t)=(2t-l,t-3).

?.用_LRQ；，:.可位同=0,即1-2￡+9-3￡=0,解得t=2,

；.當(dāng)所1PoQ；時(shí),所需的時(shí)間為2s.

解析：本題考查平面向量的加法與減法運(yùn)算法則以及坐標(biāo)運(yùn)算，向量共線與垂直的性質(zhì)，還考查平

面向量的物理意義，屬基礎(chǔ)題.

依題意，利用向量共線求出用=t(前+孩)=硒=t(3瓦+2筱)=(3t,2t),根據(jù)向量加

法、減法運(yùn)算法則，求出血的坐標(biāo)，最后利用向量垂直的充要條件即可求出f.

8.答案：解：(1)因?yàn)?2-石)_LE所以(五一至)W=0=九日=片=1，

o7?'a\/2TT

所以向量方與的夾角…=忖鬲=y今瞑4，

向量方在向量行方向上的投影為普=1,

4a2—4a-b+b—44—4+2-V2;

(3)因?yàn)楣ぁ╠，所以口=)d，所以3方+5b=A(ma—3b)，

所以說駕I,解得吁.

解析：【試題剖析】

【試題解析】

本題主要考查向量投影，平行向量，向量垂直等基本概念，屬于中檔題.

(1)由伍-石)1方求出兩向量的夾角，再由投影定義可得；

(2)利用公式整=@2可求得向量的模；

(3)利用向共線定理，即若方〃B，則存在實(shí)數(shù)九使得萬=4石成立，由此利用向量相等可得參數(shù)值.

9.答案：解：R4=0A-OB=a-b\

11

：.OM=OB+'BM=OB+-BC=OB+-BA

36

=h4--(a—b)=-a+-h；

666

又0^=a+b>

.-.ON=OC+CN=-OD+-OD=-OD=-a+-b；

26333

.-.MN=0N-OM=-a+-b--a--b=-a--b.

336626

解析：本題考查向量加法、減法，以及數(shù)乘的幾何意義和運(yùn)算，向量加法的平行四邊形法則，屬于

基礎(chǔ)題.

根據(jù)向量加法、減法，及數(shù)乘的幾何意義及其運(yùn)算，以及向量加法的平行四邊形法則，即可表示出

OM,ON,MN.

10.答案：解：(1)設(shè)。(x,y),

由AB=CD得:(2,-2)—(1,3)=(x,y)—(4,—1)?

則(1,-5)=(x-4,y+l),

所以解得1；二6.

所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為(5,-6).

(2)因?yàn)榉?荏=(2,—2)-(1,3)=(1,-5)，b=BC=(4,-1)-(2,-2)=(2,1)，

所以k為一B=fc(l,-5)-(2,1)=*一2,一5卜一1)，a+3b=(1,-5)+3(2,1)=(7,-2).

由kZ-9與1+33平行，得：(k-2)x(-2)一(—5k—l)x7=0,

所以k=/

解析：本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算，考查平面向量共線的條

件，屬于中檔題.

(1)由條件可得=(%-4,y+1),求得x,y,即可得解；

(2)分別求出卜日一日與&+33,根據(jù)平面向量共線的充要條件得到(k-2)x(-2)-(-5/c-1)X7=

0,進(jìn)而得解.

11.答案：解：(1);3方+4而+5無=6，.?.3市+4南=-5沉，

即(3瓦?+4OB)2=(-5OC)2,

因此9成2+24E?麗+16麗之=25OC2-

又TdABC內(nèi)接于以。為圓心，1為半徑的圓，

|OA|=|OB|=|OC|=1>即。4,=08=OC=1,

因此刃?礪=0.

由3萬5+4赤+5芯=6得3a+5芯=-4而，

同理可得：OC-OA=-l.

由3市+4而+5元=6得4而+5沆-3市，

同理可得：OB-OC=—g.

因此數(shù)量積刀?南、布?能分別為0、-|.

(2)1-?S^ABC=S40AB+S^OBC+SAO4c

=^\OA\-\OB\-smZ-AOB4-i|0S|?|0C|sin/BOC+^\OC\-\OA\-sin〃OC,

而\=\OB\=\OC\=1，

S^ABC—3(sinA4OB+sinzBOC+sinz_AOC).

由(1)知：M-OB=\OA\-\OB\-cos^AOB=cos^AOB=0，

因此sin乙4OB=1.

由(1)知：OC-OA=\OC\\OA\-cos^AOC=cosUOC=-|,

因此sin/AOC=

由(1)知：OB-OC=\OB\-\OC\-cos乙BOC=cos乙BOC=

因此sin/BOC=|.

綜上所述,S—BC=+*+§=|-

解析：本題考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，相反向量的概念，向量的數(shù)量積和三角形的面積公式，

屬于中檔題.

(1)由3而+4加+5岳=6，利用相反向量的概念得3成+4而=-5元，再利用向量的數(shù)量積

把等式兩邊平方，結(jié)合題目條件即可求得65?胡，同理求出麗和元?加.

(2)利用(1)的結(jié)論，結(jié)合向量的數(shù)量積得cosNAOB、COSNAOC和COSNBOC,再利用同角三角函數(shù)的

基本關(guān)系得sin/AOB、sin/AOC和sin/BOC,再將三角形面積分成三個(gè)小三角形面積和，利用三角形

的面積公式求出各個(gè)三角形的面積，從而得結(jié)論.

12.答案：解：(1)在AABC中，AM=1AB+^AC,

^4AM-3AB-AC=0,

得3(祠一南)=正一AM，

得3前=祝，

即點(diǎn)M為線段8C上的靠近8的四等分點(diǎn)，

=

S—BM：S〉A(chǔ)BCBM:BC=1:4f

???△48”與^ABC的面積之比為;；

4

(2)-：AM=^AB+^AC,AP=xAB+yAC(_x,ye/?)-AP//AM)

???設(shè)而=X宿=叁荏+4就=刎前+人近，

4424

?.?三點(diǎn)N、P、C共線，

..丹+：=1,解得;1=<

247

4

■-x+y=-.

解析：本題考查了向量的線性運(yùn)算，平面向量的基本定理，屬于中檔題.

(1)由宿=|荏+；正，可得3麗=雨，即點(diǎn)M為線段BC上的靠近B的四等分點(diǎn)，即可得解;

(2)由而〃前，則可設(shè)方=4宿=?南+：前=日而+(近，則可解出4=%據(jù)此可得答案.

13.答案：解：(1)[五+2]|=

|a|2+4|a||b|cos450+4|b|2

=72+4+4=VTo>

\a+2b\=V10:

(2)v(2五一4為與(4方一3為的夾角是銳角，

(2a-Ab).(Aa-3h)>0.且(2日一；1方)與(％五一3石)不能同向共線，

A2-7A+6<0,且2日一4石力k(2五一33)，k>0,

1<A<或#<A<6.

故實(shí)數(shù)2的取值范圍是(1,乃)U(V6,6).

解析：本題考查了向量的數(shù)量積，向量的夾角以及向量的模，難度一般.

(1)根據(jù)向量的模的平方等于向量的平方求解即可；

⑵向量(2五一/lK)與(2五一3方)的夾角是銳角，則(2萬一石).(4五一3尤)>0且(2熱_而與前一

3辦不能同向共線，列出不等式組則答案可得.

14.答案：解：⑴???麗=2同，CE=2EB.

屁=而+屁=|而+河=萍+渾-萍=：凝+荏)；

(2)-：AB=2,AC=3,Z.BAC=60°,

???AB-AC=2x3x5=3,

2

??.AE=ADDE=-AB+^Q4C+AB)=-AC+々AB,

33'J33

121__?1__221

：.AE~DE=(-AC+-7^)--(AC+^)=-AC>2+-AC-AB

333993

，

=-1x96+-2x4.+.-1x3r=—26.

9939

解析：本題考查平面向量的線性運(yùn)算以及數(shù)量積的運(yùn)算，屬于中檔題.

(1)根據(jù)麗=2近，CE=2EB,通過向量的加、法、數(shù)乘運(yùn)算，即可得到答案；

(2)先得到荏=AD+~DE=1AB+1(AC+AB)=IAC+1通，再通過平面向量的數(shù)量積運(yùn)算即可

得到所求.

15.答案：解：/(%)=2(sinxcosx—mcos2%)4-m=sin2x-m(2cos2%-1)=sin2x-mcos2x,

(1)vm=1,???/(%)=sin2x—cos2x=V2sin(2x—§,

由:+2/CTTW2%—：<；+2/CTT,kEZ,得;+k?iWx4；+kn,kEZ.

24288

???函數(shù)/'(X)的單調(diào)減區(qū)間為保+k兀署+kn](keZ).

(2)當(dāng)??1=遮時(shí)，可知/(x)=sin2x-Bcos2x=2sin(2x—

將/(x)的圖象向左平移著個(gè)單位長度后得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)=fQ+與=2sin(2x-=).

當(dāng)女[。用時(shí)，2W，卦

當(dāng)2%_、=一?即％=0時(shí),g(x)取最小值一1；

當(dāng)2一k(即x話時(shí)，g(x)取最大值2.

解析：本題考查三角恒等變換及函數(shù)y=4sin(3x+s)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.

(1)利用三角恒等變換化簡可得函數(shù)解析式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可得函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間；

(2)當(dāng)血=舊時(shí)，可得/Q)=2sin(2x-)，求出平移后的函數(shù)g(x)的解析式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)

即可得函數(shù)g(x)在區(qū)間[0用上的最值.

16.答案：解：(1)不妨假設(shè)|方|=|29-初=t，五與石夾角為。,

左端平方可得日不=空出，

4

貝心5。=熟=宇

=*+》＞多

當(dāng)且僅當(dāng)t=當(dāng)即|方|=?取等號(hào)，

所以。€[0,勺.

O

(〃)利用三角函數(shù)的有界性或向量不等式，設(shè)立與方夾角為。，

\b\=|23一五|平方得,

3b-4|K|cos04-1=0?

即3天一4|9|+140，

1—>

解析：本題主要考查了向量的夾角，向量的模，向量的數(shù)量積，基本不等式，屬于中檔題.

(/)不妨假設(shè)同=|21—司=t,左端平方可得五?E="4+1，即8so=扁a=笠匚=；(3t+令，利

用基本不等式可得結(jié)果.

(〃)利用三角函數(shù)的有界性或向量不等式,先把同=\2b-司兩邊平方,得3^-4|b|cos6+1=0得

3T—4同+140,解得結(jié)果即可.

17.答案：解：(1)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示；

V

則4(0,0),8(0,2),C(6,0),0(3,0)

當(dāng)4=：時(shí)，BE=^BC,E是BC的中點(diǎn)，

所以E(3,l),BD=(3,-2).AC=(6,0).AE=(3,1);

又4E=xBD+yAC<

所以(3,1)=x(3,-2)+y(6,0)=(3x+6y,-2x)

哨:r=3,

解得x=-1,y=l；

(2)設(shè)點(diǎn)E(x,y),則荏=(x,y)；

當(dāng)4EJ.BD時(shí)，AE-'BD=0,

即3x—2y=0①；

又麗=(x,y-2)

BC=(6,-2).且而與前共線，

所以一2x-6(y—2)=0(2);

由①②組成方程組，解得x=與y=*

所以而=(',一$,

所以說=看近，

即；I的值為會(huì)

解析：本題考查了平面向量的應(yīng)用問題，也考查了用向量法解答三角形的有關(guān)問題，是綜合性題目.

(1)建立平面直角坐標(biāo)系，表示出向量前、前和荏，利用平面向量的坐標(biāo)表示和向量相等列出方程

組，即可求出x和y的

值；

(2)設(shè)出點(diǎn)E(x,y),利用4E18。時(shí)荏.麗=0，和麗與灰共線，列出方程組，解方程組求出點(diǎn)E

的坐標(biāo)，即可求出;I的

值.

18.答案：解：(1)由題意知，A是BC的中點(diǎn)，且說=|而，

由平行四邊形法則，得赤+0C=20A>

.-.oc=20A-0B=2a-b>

,,__>2_5->

DC=OC-OD=(2a-b>)--b=2a--b;

(2)由題意知，EC//~DC,故設(shè)m=x反，

而OE—AOA

■■.EC=OC-OE=(2a-b)-Aa=(<2-A')a-b，DC=2a-^b,

(2-A)a-h=x(2a-|K),

(2—A=2x,(x=

因?yàn)榱εc石不共線，由平面向量基本定理，得1_1=_三萬解得

故

解析：本題主要考查向量的基本定理的應(yīng)用，根據(jù)向量平行四邊形法則和向量共線的條件是解決本

題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)平行四邊形的法則結(jié)合向量的基本定理即可用用力，7表示向量箕，~DC.

(2)題意知，EC//DC，故設(shè)前=%比，而赤=2成，建立方程關(guān)系，根據(jù)五與石不共線和平面向

量的基本定理，求實(shí)數(shù)4的值.

19.答案：解：(1)是邊8C上一點(diǎn)，DC=2BD,：.面=逆,

XvAB-a>~AC=b>BC=b-a>

AD-AB+BD=AB4--BC

=a+1(K-a)=|a+|K；

(2)由(1)知，而=I五+笆,

則線段AD的長度為即+狎=器五+的2

=|a|2+|b|2+2x|x||a|?|K|cosl20°=

解析：本題考查向量的數(shù)量積、向量的加減法以及數(shù)乘運(yùn)算，屬于中檔題.

(1)根據(jù)題意得8。=18C,由向量的減法法則得BC=b—五，從而可得/0=4B+=|五+18；

(2)利用而=|弓+沿線段AD的長度為依+狎即可得結(jié)果.

BD48

.答案：解：⑴在AABD中,

20s\nz.BADsim-BDA1

所以碗4"4=若=爭

因?yàn)?(0,兀)，所以4804=蕓或4BZM=以

當(dāng)時(shí)，4B=3,所以“=三

363

當(dāng)NBO4=g時(shí)，48=^(舍),

所以“=全

(2)因?yàn)?B=gB。，CD=2BD,所以AB=/8C，AC=^BC,

----->>>>1>>1>--—,>2>1>

AD=ABBD=AB^--BC=AB+-(AC-AB)=-AB+-AC,

33'733

所以心=例”+例02,

??.16=ixiBC24-ix-j5C2,

9393

所以BC=6VLAB=2顯,AC=4V3>

S&ABC=\ABAC=lx2V6x4V3=12V2.

解析：本題考查了正弦定理，向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算，向量的數(shù)量積，以及解三角形的問題,

屬于中檔題.

(1)根據(jù)正弦定理求出sin/BZM=當(dāng)，再結(jié)合題意討論即可求出；

(2)根據(jù)向量的線性運(yùn)算得到而=|四+：正，結(jié)合模的計(jì)算兩邊平方，可求出8C,AB=2屏,

AC=4V3,再由三角形的面積公式可得.

21.答案：解：(1)由三角函數(shù)的定義得，sina=泉sin。=器.

由角a、/?的終邊分別在第一和第二象限，得cosa=|,cos￡=-V，

所以sin(a+/?)=sinacos/?+cosasin/?=~；

65

(2)|AB|=\OB-OA\,

22

^\OB-OA\2=0B+0A-20A-OB=2-20A-OB

根據(jù)|荏|=三，即可得2-2瓦？?麗=2,解得或?而=一士

248

\OA+2OB\2=0A+4OB+4。4?OB=5-

故向+2兩=—.

解析：本題考查三角函數(shù)的定義和兩角和的正弦公式以及向量數(shù)量積運(yùn)算以及向量求模，屬于中檔

題.

(1)由A,B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為得疝in*sin3,由圖和三角函數(shù)定義即可求esc?；

(2)|荏|=\OB-OA\,根據(jù)|荏|=狎可求解刀?布=-5.然后可求解|瓦？+23回的值.

22.答案：解：(I)由己知^BAC:

得：瓦QKb

由司=(-3,—3),讖=(一2—20?仇3—國聞)

得：-C3=6+6co?0-9+6sin0=0?故sine+cos°=i

i3

故1+2siiWcosO==>2sin0co?0-,

14

(cos0—=1-2sin0cos0=-

又。為第二象限角，

故cow。—sinO=

2

(n)由8=今,知C點(diǎn)坐標(biāo)是C(0,—2),

由而=4?荏=(3尢32),

CD=CA+AD=(SA-2,3A+5)

得：聞|=J(32—21+(3X+5尸=V18A12+18A+29=J18(2+1)2+y

故當(dāng)；1=一：時(shí)，|而|取最小值：聲.

17

解析：(I)利用三角恒等變形得sin。+0080=-,(co?0一siM)2=1_2sh>0cos0=-,進(jìn)而求解即

可；

(11)由。=某知C點(diǎn)坐標(biāo)是C(0,-2),所以方=襦+而=(3"2,32+5)，然后求解.

23.答案：解：(1)A4BC中，CA=1,CB=2,44cB=60。，

由余弦定理得，

止=CA2+CB2-2CA-CB-cosNACB

=124-22-2xlx2xcos60°

=3.

AB=V3，BP|AB|=V3;

(2)①;l=3寸，AD=^AB,BE=^BC,

.??D、E分別是AB,CB的中點(diǎn)，

AE——AC+CE———CAH—CB，

2

例

1函

+

=-

2

1―>21—>—>1―>2

=--CA--CB-CA+-CB

244

1o11

=--xl2--x2xlxCOS600+-x22

244

_i

二7；

②假設(shè)存在非零實(shí)數(shù)九使得荏，而，

由方=4荏，得前=2(而一5)，

：.CD=CA+AD=CA+A(CB-CA)

=ACF+(1-A)M;

又麗=4就，

■■■AE=AB+'BE=(CB-CA)+A(-CF)

22

.-.AE-CD=A(1-A)CB-ACB-CA+(1-A~)2CB-CA-(1-A)CA，

=44(1-A)-A+(1-A)2-(1-A)

=-3A2+2A=0,

解得;l=|或；I=0(不合題意，舍去)；

即存在非零實(shí)數(shù)4=|,使得荏1而.

解析：本題考查了平面向量的線性表示與數(shù)量積的應(yīng)用問題，也考查了余弦定理的應(yīng)用問題，是綜

合性題目.

(1)利用余弦定理求出AB的長即得|AB\;

(2)①4=泄，D、E分別是42,CB的中點(diǎn)，求出荏、前的數(shù)量積即可；

②假設(shè)存在非零實(shí)數(shù)人使得荏1前，利用而、襦分別表示出前和荏，求出荏?而=0時(shí)的4值

即可.

24.答案：解：(1)因?yàn)?(久)=五7代入向量五=(2Wsine+x),cose+x)),

向量石-(cos?-x),2cos-%)),

結(jié)合誘導(dǎo)公式及正余弦的二倍角公式化簡可得

/(x)=2-/3sin2(^+x)+2sin(g+%)cos(g+%)

444

所以f(%)=A/3[1—cos+2%)]+sin(]+2%)

=V3sin2x+cos2%+V3

n

=2sin(2%+5)+遮

函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間滿足-J+2krr42x+，4：+2k;r,

解得一1+kb《x&I+k?r

36

所以函數(shù)/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為-：+kk.：+k#(keZ)

Jo

令2x+?=k兀，解得％=一：^+9，

o122

則對(duì)稱中心(一記H——./i)(keZ)；

(2)/(/l)=V3+1.得sin(24+》=%

則24+3弓,

oo

n

-'-A=3

X|BC|=\AC-AB\=3①，

BC上的中線長為3,則|而+荏|=6②

由①②知：AB-AC=^

即|麗|?|亞|cos9=*，

所以|布|,|亞|=也

=,筋I(lǐng)?|充!sin三=；

⑶由題意將函數(shù)f(x)的圖像向左平移，、長度單位可得2sin[2(X+》+"+8=2sin(2x+^)+

A/3=2cos2x+遮，

向下平移8個(gè)長度單位，可得2cos2%,

再橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)縮短為原來的：后得到函數(shù)g"),則g(x)=cos2x,

則九(%)=g(%)—42cosx=2cos2%—471cosx—1,

所以h(x)=2(cosx-A)2-1-2A2,cosxe[0,1],

①當(dāng)ova<1時(shí)，當(dāng)cos%=a時(shí)，九（X）有最小值-i-2%=—I，解得a=

②當(dāng)1時(shí)，當(dāng)cosx=l時(shí)，/i(x)有最小值1-44=—|,解得;1=口舍去)，

乙O

綜上可得;I=1.

解析：本題主要考查平面向量的數(shù)量積，誘導(dǎo)公式，二倍角公式，函數(shù)丫=4$也(3%+欠)的圖像與

性質(zhì).

(1)利用平面向量的數(shù)量積，誘導(dǎo)公式，二倍角公式，可得函數(shù)y=4sin3x+w)的圖像與性質(zhì)；

(2)利用平面向量的數(shù)量積，即可得三角形的面積；

(3)利用函數(shù)丫=4$而(3尤+9)的平移規(guī)律，利用分類討論，二次函數(shù)的性質(zhì)，余弦函數(shù)的圖像與性

質(zhì)，即可得.

25.答案：解：(1);。是邊上一點(diǎn)，DC=2BD,???麗=萍,

又AB=落AC=b>BC=b-a>

??AD-AB+BD——AB-}■—BC

=a+^(b-a)=|a+|K；

(2)由(1)知，AD=la+^b,

則線段AD的長度為總+|K|=J(|五+割2

=Jg同2+3同2+2X|X]同.同COS120。=苧.

解析：本題考查向量的數(shù)量積、向量的加減法以及數(shù)乘運(yùn)算，屬于中檔題.

(1)根據(jù)題意得BO=[BC,由向量的減法法則得豆？=/?—五，從而可得4。=+1b；

(2)利用而=|五+廣，線段A。的長度為總+狎即可得結(jié)果.

26.答案：解：(l)va//b,A3x-36=0.A