初中數(shù)學答題模板+真題壓軸練

初中數(shù)學最全答題模板+真題壓軸練

答題模板

九種題型

L線段、角的計算與證明問題

中考的解答題一般是分兩到三部分的。

第一部分基本上都是一些簡單題或者中檔題，目的在于考察基礎。

第二部分往往就是開始拉分的中難題了。對這些題輕松掌握的意義不僅僅在

于獲得分數(shù)，更重要的是對于整個做題過程中士氣，軍心的影響。

線段與角的計算和證明，一般來說難度不會很大，只要找到關鍵“題眼”，

后面的路子自己就“通”了。

2.圖形位置關系

中學數(shù)學當中，圖形位置關系主要包括點、線、三角形、矩形/正方形以及

圓這么幾類圖形之間的關系。

在中考中會包含在函數(shù)，坐標系以及幾何問題當中，但主要還是通過圓與其

他圖形的關系來考察，這其中最重要的就是圓與三角形的各種問題。

3.動態(tài)幾何

從歷年中考來看，動態(tài)問題經(jīng)常作為壓軸題目出現(xiàn)，得分率也是最低的。

動態(tài)問題一般分兩類，一類是代數(shù)綜合方面，在坐標系中有動點，動直線，

一般是利用多種函數(shù)交叉求解。

另一類就是幾何綜合題，在梯形，矩形，三角形中設立動點、線以及整體平

移翻轉(zhuǎn)，對考生的綜合分析能力進行考察。

所以說，動態(tài)問題是中考數(shù)學當中的重中之重，只有完全掌握，才有機會拼

高分。

4.一元二次方程與二次函數(shù)

在這一類問題當中，尤以涉及的動態(tài)幾何問題最為艱難。幾何問題的難點在

于想象，構(gòu)造，往往有時候一條輔助線沒有想到，整個一道題就卡殼了。

相比幾何綜合題來說，代數(shù)綜合題倒不需要太多巧妙的方法，但是對考生的

計算能力以及代數(shù)功底有了比較高的要求。

中考數(shù)學當中，代數(shù)問題往往是以一元二次方程與二次函數(shù)為主體，多種其

他知識點輔助的形式出現(xiàn)的。一元二次方程與二次函數(shù)問題當中，純粹的一元二

次方程解法通常會以簡單解答題的方式考察。

但是在后面的中難檔大題當中，通常會和根的判別式，整數(shù)根和拋物線等知

識點結(jié)合。

5.多種函數(shù)交叉綜合問題

初中數(shù)學所涉及的函數(shù)就一次函數(shù)，反比例函數(shù)以及二次函數(shù)。這類題目本

身并不會太難，很少作為壓軸題出現(xiàn)，一般都是作為一道中檔次題目來考察考生

對于一次函數(shù)以及反比例函數(shù)的掌握。所以在中考中面對這類問題，一定要做到

避免失分。

6.列方程（組）解應用題

在中考中，有一類題目說難不難，說不難又難，有的時候三兩下就有了思路，

有的時候苦思冥想很久也沒有想法，這就是列方程或方程組解應用題。

方程可以說是初中數(shù)學當中最重要的部分，所以也是中考中必考內(nèi)容。

從近年來的中考來看，結(jié)合時事熱點考的比較多，所以還需要考生有一些生

活經(jīng)驗。實際考試中，這類題目幾乎要么得全分，要么一分不得，但是也就那么

幾種題型，所以考生只需多練多掌握各個題類，總結(jié)出一些定式，就可以從容應

對了。

7.動態(tài)幾何與函數(shù)問題

整體說來，代幾綜合題大概有兩個側(cè)重，第一個是側(cè)重幾何方面，利用幾何

圖形的性質(zhì)結(jié)合代數(shù)知識來考察。

而另一個則是側(cè)重代數(shù)方面，幾何性質(zhì)只是一個引入點，更多的考察了考生

的計算功夫。

但是這兩種側(cè)重也沒有很嚴格的分野，很多題型都很類似。其中通過圖中已

給幾何圖形構(gòu)建函數(shù)是重點考察對象。做這類題時一定要有“減少復雜性”“增

大靈活性”的主體思想。

8.幾何圖形的歸納、猜想問題

中考加大了對考生歸納，總結(jié)，猜想這方面能力的考察，但是由于數(shù)列的系

統(tǒng)知識要到高中才會正式考察，所以大多放在填空壓軸題來出。

對于這類歸納總結(jié)問題來說，思考的方法是最重要的。

9.閱讀理解問題

如今中考題型越來越活，閱讀理解題出現(xiàn)在數(shù)學當中就是最大的一個亮點。

閱讀理解往往是先給一個材料，或介紹一個超綱的知識，或給出針對某一種題目

的解法，然后再給條件出題。

對于這種題來說，如果考生為求快速而完全無視閱讀材料而直接去做題的話,

往往浪費大量時間也沒有思路，得不償失。所以如何讀懂題以及如何利用題就成

為了關鍵。

解題策略

1.學會運用數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是指從幾何直觀的角度，利用幾何圖形的性質(zhì)研究數(shù)量關系，

尋求代數(shù)問題的解決方法（以形助數(shù)），或利用數(shù)量關系來研究幾何圖形的性質(zhì)，

解決幾何問題（以數(shù)助形）的一種數(shù)學思想。

數(shù)形結(jié)合思想使數(shù)量關系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來，使問題得以解決。

縱觀近幾年全國各地的中考壓軸題，絕大部分都是與平面直角坐標系有關，

其特點是通過建立點與數(shù)即坐標之間的對應關系，一方面可用代數(shù)方法研究幾何

圖形的性質(zhì)，另一方面又可借助幾何直觀，得到某些代數(shù)問題的解答。

2.學會運用函數(shù)與方程思想

從分析問題的數(shù)量關系入手，適當設定未知數(shù)，把所研究的數(shù)學問題中已知

量和未知量之間的數(shù)量關系，轉(zhuǎn)化為方程或方程組的數(shù)學模型，從而使問題得到

解決的思維方法，這就是方程思想。

用方程思想解題的關鍵是利用已知條件或公式、定理中的已知結(jié)論構(gòu)造方程

（組）。這種思想在代數(shù)、幾何及生活實際中有著廣泛的應用。

直線與拋物線是初中數(shù)學中的兩類重要函數(shù)，即一次函數(shù)與二次函數(shù)所表示

的圖形。因此，無論是求其解析式還是研究其性質(zhì)，都離不開函數(shù)與方程的思想。

例如函數(shù)解析式的確定，往往需要根據(jù)已知條件列方程或方程組并解之而得。

3.學會運用分類討論的思想

分類討論思想可用來檢測學生思維的準確性與嚴密性，常常通過條件的多變

性或結(jié)論的不確定性來進行考察，有些問題，如果不注意對各種情況分類討論,

就有可能造成錯解或漏解，縱觀近幾年的中考壓軸題分類討論思想解題已成為新

的熱點。

在解答某些數(shù)學問題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，

并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論法。

分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學思想，同時也是一種重要的解

題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。

分類的原則：（1）分類中的每一部分是相互獨立的；（2）一次分類按一個標準;

（3）分類討論應逐級進行，正確的分類必須是周全的，既不重復、也不遺漏。

4.學會運用等價轉(zhuǎn)換思想

轉(zhuǎn)化思想是解決數(shù)學問題的一種最基本的數(shù)學思想。在研究數(shù)學問題時，我

們通常是將未知問題轉(zhuǎn)化為已知的問題，將復雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將抽

象的問題轉(zhuǎn)化為具體的問題，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題。

轉(zhuǎn)化的內(nèi)涵非常豐富，已知與未知、數(shù)量與圖形、圖形與圖形之間都可以通

過轉(zhuǎn)化來獲得解決問題的轉(zhuǎn)機。

任何一個數(shù)學問題的解決都離不開轉(zhuǎn)換的思想，初中數(shù)學中的轉(zhuǎn)換大體包括

由已知向未知，由復雜向簡單的轉(zhuǎn)換，而作為中考壓軸題，更注意不同知識之間

的聯(lián)系與轉(zhuǎn)換，一道中考壓軸題一般是融代數(shù)、幾何、三角于一體的綜合試題，

轉(zhuǎn)換的思路更要得到充分的應用。

中考壓軸題所考察的并非孤立的知識點，也并非個別的思想方法，它是對考

生綜合能力的一個全面考察，所涉及的知識面廣，所使用的數(shù)學思想方法也較全

面。

因此有的考生對壓軸題有一種恐懼感，認為自己的水平一般，做不了，甚至

連看也沒看就放棄了，當然也就得不到應得的分數(shù)，為了提高壓軸題的得分率，

考試中還需要有一種分題、分段的得分策略。

5.要學會搶得分點

一道中考數(shù)學壓軸題解不出來，不等于“一點不懂、一點不會”，要將整道

題目解題思路轉(zhuǎn)化為得分點。

如中考數(shù)學壓軸題一般在大題下都有兩至三個小題，難易程度是第1小題較

易，大部學生都能拿到分數(shù)；第2小題中等，起到承上啟下的作用；第3題偏難，

不過往往建立在1、2兩小題的基礎之上。

因此，我們在解答時要把第1小題的分數(shù)一定拿到，第2小題的分數(shù)要力爭

拿到，第3小題的分數(shù)要爭取得到，這樣就大大提高了獲得中考數(shù)學高分的可能

性。

中考的評分標準是按照題目所考查的知識點進行評分，解對知識點、抓住得

分點就會得分。因此，對于數(shù)學中考壓軸題盡可能解答“靠近”得分點，最大限

度地發(fā)揮自己的水平，把中考數(shù)學壓軸題變成高分踏腳石。

解中考數(shù)學壓軸題，一要樹立必勝的信心；二要具備扎實的基礎知識和熟練

的基本技能；三要掌握常用的解題策略。

真題壓軸練

一'選擇題（共15小題）

1.如圖，已知四邊形ABCD為等腰梯形，AD〃BC,AB=CD,AD=V2,E為CD中點，連接AE,

且AE=2加，ZDAE=30",作AE_LAF交BC于F,則BF=()

c.V5-1D.4-2V2

考點：等腰梯形的性質(zhì)

專題：壓軸題.

分析:延長AE交BC的延長線于G,根據(jù)線段中點的定義可得CE=DE,根據(jù)兩直線平行，

內(nèi)錯角相等可得到NDAE=NG=30°,然后利用“角角邊”證明4ADE和4GCE全等,

根據(jù)全等三角形對應邊相等可得CG=AD,AE=EG,然后解直角三角形求出AF、GF,

過點A作AMLBC于M,過點D作DNLBC于N,根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)可得BM=CN,再

解直角三角形求出MG,然后求出CN,MF,然后根據(jù)BF=BM-MF計算即可得解.

解答:解：如圖，延長AE交BC的延長線于G.

???E為CD中點，

.,.CE=DE,

；AD〃BC,

ZDAE=ZG=30°,

在4ADE和4GCE中，

(ZDAE=ZG

-ZAED=ZGEC,

[cE=DE

.-.△ADE^AGCE(AAS),

.,.CG=AD=V2,AE=EG=2“，

.-.AG=AE+EG=2V3+2V3=4V3,

?.,AE±AF,

.,.AF=AGtan30°=4?X爽=4,

3

GF=AG4~cos30°運8,

2

過點A作AMLBC于M,過點D作DNLBC于N,

則MN=AD=V2,

??.四邊形ABCD為等腰梯形，

.-.BM=CN,

,.,MG=AG?cos30°=4。3乂—6,

2

CN=MG-MN-CG=6-&-匠6-242,

-.■AF±AE,AM±BC,

ZFAM=ZG=30°,

點評：本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性

質(zhì)是解題的關鍵，難點在于作輔助線構(gòu)造出全等三角形，過上底的兩個頂點作出梯

形的兩條高.

2.如圖，已知Ii〃l2〃b,相鄰兩條平行直線間的距離相等，若等腰直角AABC的三個頂

點分別在這三條平行直線上，則sina的值是（)

D.V10

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；平行線之間的距離；等腰直角三角形；銳角三角函數(shù)的

_______________________________________________________________________________

專題：壓軸題.

過點A作AD，*于D,過點B作BEJL。于E,根據(jù)同角的余角相等求出NCAD二NBCE,

然后利用“角角邊”證明4ACD和4CBE全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得

CD=BE,然后利用勾股定理列式求出AC,再根據(jù)等腰直角三角形斜邊等于直角邊的

點倍求出AB,然后利用銳角的正弦等于對邊比斜邊列式計算即可得解.

解：如圖，過點A作AD，li于D,過點B作BELL于E,設513間的距離為

1,

ZCAD+ZACD=90",

ZBCE+ZACD=90°,

...ZCAD=ZBCE,

在等腰直角aABC中，AC=BC,

在4ACD和4CBE中，

(ZCAD=ZBCE

'ZADC=ZBEC=90°,

[AC=BC

.'.△ACD^ACBE(AAS),

.,.CD=BE=1,

在Rt/kACD中，Ac=^y22=^y2^+1,

在等腰直角AABC中，AB=V2AC=72XV5=V10,

?.na-1-^10

.>sInu.—.__—-------.

Vloio

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定

義，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關鍵.

3.如圖，已知:NM0N=30°,點Ai、A2、A3…在射線ON上，點&、B?、B3…在射線0M上,

△ABA?、AA2B2A3XAABB3A4…均為等邊三角形，若0A尸1,則AAGB6A7的邊長為（）

A.6B.12C.32D.64

考點：等邊三角形的性質(zhì)；含30度角的直角三角形.

專題：壓軸題；規(guī)律型.

分析,一

,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得出AIB1/7A2B2Z/A3B3,以及A2B2=2BIA2,

得出A3B3=4BIA2=4,A4B4=8BIA2=8,A5BS=16BIA2…進而得出答案.

解答.一

解：???△ABA?是等邊三角形，

.,.AIBI=A2BI,Z3=Z4=Z12=60°,

AZ2=120°,

ZM0N=30°,

/.Z1=180°-120°-30°=30°,

又???N3=60°,

/.Z5=180°-60°-30°=90°,

VZM0N=Z1=30°,

.'.0Ai=AiBi=1,

A2BI=1,

,「△A2B2A3、Z\A3B3A4是等邊三角形，

Z11=Z10=60°,Z13=60°,

VZ4=Z12=60°,

A1B1〃A2B2〃A3B3,BiA2〃B2A3,

???NkN6=N7=30°,N5=N8=90°,

?.AZB2=2BIA2,B3A3=2B2A3,

A3B3-4B1A2=4,

A4B4=8BIA2=8,

A5B5=16BIA2=16,

以此類推：A6B6=32B1A2=32.

故選：c.

朱M

0A,以4

點評：此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)已知得出

A3B3FB1A2,AAB4=8BIA2,々85=16B1A2進而發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題關鍵.

4.如圖，AABC與4DEF均為等邊三角形，。為BC、EF的中點，則AD：BE的值為（）

A.V3：1B.V2：1C.5：3D.不確定

考占.

n八、、■相似三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì).

專題:壓軸題.

分析：連接OA、0D,由已知可以推出OB：0A=0E：0D,推出△ODAsaOEB,根據(jù)銳角三角

函數(shù)即可推出AD：BE的值.

解答：解：連接OA、0D,

「△ABC與4DEF均為等邊三角形，。為BC、EF的中點，

.-.AO±BC,DO±EF,ZED0=30°,ZBA0=30°,

.,.OD：OE=OA：0B=A/3：1,

---NDOE+NEOA=ZBOA+NEOA

即NDOA=NEOB,

.,.△DOA^AEOB,

.,.OD：OE=OA：OB=AD：BE=V3：1.

故選:A.

二B

點評：本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，本題的關鍵在于找

到需要證相似的三角形，找到對應邊的比即可.

5.如圖所示，點P(3a,a)是反比例函數(shù)y*(k>0)與。0的一個交點，圖中陰影部

x

D.y_12

x

考點：反比例函數(shù)圖象的對稱性.

專題：壓軸題；轉(zhuǎn)化思想.

分析：根據(jù)P(3a,a)和勾股定理，求出圓的半徑，進而表示出圓的面積，再根據(jù)圓的面

積等于陰影部分面積的四倍，求出圓的面積，建立等式即可求出a的值，從而得出

_____反比例函數(shù)的解析式.

解答：解：由于函數(shù)圖象關于原點對稱，所以陰影部分面積為工圓面積，

4

則圓的面積為10nX4=40n.

6.如圖，已知點A,B,C,D均在已知圓上，AD〃BC,AC平分NBCD,ZADC=120°,四

邊形ABCD的周長為10cm.圖中陰影部分的面積為（）

4,\/3cm2

考點：扇形面積的計算.__________________________________________________________________

壓軸題.

^￥7要求陰影部分的面積，就要從圖中看出陰影部分是由哪幾部分得來的，然后依面積

公式計算._________________________________________________________________________

解答:解：「AC平分NBCD,

A1>AB,

?「AD〃BC,AC平分NBCD,NADC=120°

所以NACD二NDAC二30°,

??AD—CD?

ZBAC=90°ZB=60°,

.'.BC=2AB,

四邊形ABCD的周長=AB+BC+CD+AD」：BCX3+BC=10,

2

解得BC=4cm,

.■?圓的半徑二X4=2cm,

2

???陰影部分的面積=4TTX22-(2+4)X5+2]+3=Wn-小m?.

23

故選：B.

點評:本題的關鍵是要證明BC就是圓的直徑，然后根據(jù)給出的周長求半徑，再求陰影部

分的面積.

7.如圖，在RtaABC中，ZC=90",AC=8,BCM,分別以AC、BC為直徑畫半圓，則圖中

陰影部分的面積為（）

10n-32C.10n-16D.20n-132

考點：扇形面積的計算.

分析：圖中陰影部分的面積為兩個半圓的面積-三角形的面積，然后利用三角形的面積計

_____算即可.

解姣.

口,解：設各個部分的面積為：Si、S2、S3、S4、S5,

如圖所示：

,?,兩個半圓的面積和是：S1+S5+S4+S2+S3+S4,ZXABC的面積是S3+S4+S5,陰影部分的

面積是：S1+S2+S4,

；?圖中陰影部分的面積為兩個半圓的面積減去三角形的面積.

即陰影部分的面積」nX16+^nX4-lx8X4=10n-16.

222

故選：C.

點評：本題考查了扇形面積的計算，的關鍵是看出圖中陰影部分的面積為兩個半圓的面積

-三角形的面積.

8.如圖，將半徑為6的。。沿AB折疊，標與AB垂直的半徑0C交于點D且CD=20D,則

折痕AB的長為（）

A.472B.8>/2C.6D.673

考占-

J八、、?垂徑定理；勾股定理；翻折變換（折疊問題）.

分析:延長C0交AB于E點，連接0B,構(gòu)造直角三角形，然后再根據(jù)勾股定理求出AB的

長

解答：解：延長co交AB于E點，連接0B,

VCEXAB,

???E為AB的中點,

'/00=6,CD=20D,

「?CD=4,0D=2,0B=6,

「?DE」(20C-CD)J(6X2-4)=1x8=4,

222

.'.0E=DE-0D=4-2=2,

在RtZ\OEB中，

?/OE2+BE2=OB2,

-'-BE=7OB2-0E&Ve2-2匕4正

.-.AB=2BE=8V2.

故選：B.

C

AE%

點評：本題考查的是垂徑定理及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，利

用勾股定理求解是解答此題的關鍵.

9.如圖，在RtZ\ABC中，Z0=90°,AC=6,BC=8,。。為AABC的內(nèi)切圓，點D是斜邊

AB的中點，則tanN0DA=（）

c

考占.

J八、、?三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；銳角三角函數(shù)的定義.

壓軸題.一

設。。與AB,AC,BC分別相切于點E,F,G,連接OE,OF,0G,則0ELAB.根據(jù)

勾股定理得AB=1O,再根據(jù)切線長定理得到AF=AE,CF=CG,從而得到四邊形OFCG

是正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到設0F=x,則CF=CG=OF=x,AF=AE=6-x,BE=BG=8

-x,建立方程求出x值，進而求出AE與DE的值，最后根據(jù)三角形函數(shù)的定義即

可求出最后結(jié)果.

解答:解：過。點作OE_LABOF_LACOGJ_BC,

Z0GC=Z0FC=Z0ED=90°,

'.'ZC=90°,AC=6BC=8,

.,.AB=1O

???。0為△ABC的內(nèi)切圓,

???AF=AE,CF=CG（切線長相等）

'.'ZC=90°,

???四邊形OFCG是矩形，

?/OG=OF,

???四邊形OFCG是正方形，

設0F=x,則CF=CG=0F=x,AF=AE=6-x,BE=BG=8-x,

.'.6-x+8-x-10,

「.OF=2,

「.AE=4,

:點D是斜邊AB的中點，

.".AD=5,

.-.DE-AD-AE=1,

.,.tanZ0DA=-55=2.

DE

故選：D.

點評：此題要能夠根據(jù)切線長定理證明：作三角形的內(nèi)切圓，其中的切線長等于切線長所

在的兩邊和與對邊差的一半；直角三角形內(nèi)切圓的半徑等于兩條直角邊的和與斜邊

的差的一半.

10.已知直角梯形ABCD中，AD〃BC,AB±BC,AD=2,BC=DC=5,點P在BC上移動，則當

PA+PD取最小值時，Z\APD中邊AP上的高為（)

C.D.3

考點:軸對稱-最短路線問題；勾股定理.

壓軸題.一

要求三角形的面積，就要先求出它的高，根據(jù)勾股定理即可得.一

^￥7解：過點D作DE_LBC于E,

；AD〃BC,AB_LBC,

，四邊形ABED是矩形，

；.BE=AD=2,

■.■BC=CD=5,

.,.EC=3,

J.AB=DE=4,

延長AB到A，,使得A'B=AB,連接A，D交BC于P,此時PA+PD最小，即當P在

AD的中垂線上，PA+PD取最小值，

；B為AA'的中點，BP/7AD

,此時BP為4AA'D的中位線，

.-.BP=1AD=I,

2

根據(jù)勾股定理可得AP=^AB2+Bp2=V17,

在4APD中，由面積公式可得

△APD中邊AP

故選：C.

點評：此題綜合性較強，考查了梯形一般輔助線的作法、勾股定理、三角形的面積計算等

知識點.

11.如圖，在AABC中，AB=AC,NBAC=90°,點D為線段BC上一點，連接AD,以AD為

一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF,CF交DE于點P.若AC=4^,CD=2,則線段CP的長

C.V2D.M

考點：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形.

分析：根據(jù)ADEF是正方形推出AD=AF,ZDAF=90°,證4ABD絲AACF,推出CF=BD,求出

AD,證△FEPs/^DCP,得出比例式，代入求出即可.

解答：解：過A作AM_LBD于M,

,.■ZBAC=90",AB=AC=4V2,

ZB=ZACB=45°,由勾股定理得：BC=8,

,.?CD=2,

；.BD=8-2=6,

ZBAC=90",AB=AC,AM±BC,

二.NB=NBAM=45°,

,.,AB=4A/2,

二由勾股定理得：BM=AM=4,

.,.DM=6-4=2,

在Rt^AMD中，由勾股定理得：ADWj+22=2V5,

.「四邊形ADEF是正方形，

.\EF=DE=AF=AD=2V5,NE=90°,

.「ADEF是正方形，

/.AD=AF,ZDAF=90°.

*/ZBAC=90°,

???NBAD=ZCAF=90°-ZDAC.

設CP=x,

'/^△ABD和AACF中

網(wǎng)二AC

</BAD=NFAC

心AF

/.△ABD^AACF(SAS),

???CF=BD=6,ZB=ZACB=ZACF=45°,

???NPCD=90°二NE,

VZFPE=ZDPC,

/.AFPE^ADPC,

12.如圖，正方形ABCD的邊長是4,NDAC的平分線交DC于點E,若點P、Q分別是AD

和AE上的動點，則DQ+PQ的最小值（）

C.272D.472

考占.

J!\\\"軸對稱-最短路線問題；正方形的性質(zhì).

壓軸題；探究型.一

過D作AE的垂線交AE于F,交AC于D"再過『作D'P'LAD,由角平分線的

性質(zhì)可得出D，是D關于AE的對稱點，進而可知。P'即為DQ+PQ的最小值.

解答:解：作D關于AE的對稱點。，再過D，作D，P，LAD于P，,

,.,DDZ±AE,

ZAFD=ZAFDz,

\AF=AF,NDAE=NCAE,

.,.△DAF^AD/AF,

.■.D/是D關于AE的對稱點，AD'=AD=4,

,

.'.DP'即為DQ+PQ的最小值,

???四邊形ABCD是正方形，

ZDADz=45°,

二?AP，二P，D',

.二在RtZ\AP'D'中,

2292

P'D'+AP'=AD',AD'=16,

?「AP'=PZD',

22?

2P'D'=ADZ,即2P'D'=16,

??PD'=2y/2,即DQ+PQ的最小值為2我.

點評：本題考查的是軸對稱-最短路線問題，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關鍵.

13.如圖，已知拋物線IKy=-x?+2x與x軸分別交于A、0兩點，頂點為M.將拋物線L

關于y軸對稱到拋物線I2.則拋物線I2過點0,與x軸的另一個交點為B,頂點為N,連

接AM、MN、NB,則四邊形AMNB的面積()

考點：二次函數(shù)綜合題.

分析:

根據(jù)拋物線L的解析式求出頂點M,和x軸交點A的坐標，然后根據(jù)對稱圖形的知

識可求出M、N的坐標，也可得到四邊形NBAM是等腰梯形，求出四邊形NBAM的面

積即可.

解：：拋物線的解析式為：y=-x2+2x=-(x-1)2+1,

，頂點坐標為：M(1,1),

當y=0時，-x+2x=0,

解得：x=0或x=2,

則A坐標為(2,0),

,門2和L關于y軸對稱，

，AM=BN,N和M關于y軸對稱，B和A關于y軸對稱，

則N(-1,1),B(-2,0),

過N作NCJLAB交AB與點C,

；AM=BN,MN〃AB,

二四邊形NBAM是等腰梯形，

在等腰梯形NBAM中，

MN,1-(-1)-2,AB=2-(-2)-4,

NC=1,

，S四邊形NBAM=1(MN+AB)?NC=3.

2

故選：A.

Tfv

點評:本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線的頂點公式和等腰梯形

的面積求法，根據(jù)對稱圖形得出N,B的坐標是解答本題的關鍵.

14.如圖所示的二次函數(shù)y=ax?+bx+c的圖象中，劉星同學觀察

o___

得出了下面四條信息：①a+b+c=O；②b>2a；③ax+bx+c=O的兩根分別為-3和1；④a

-2b+c>0.你認為其中正確的有()

3個C.2個D.1個

考點:二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系._________________________________________________

垂數(shù)形結(jié)合.一

就由于拋物線過點(1,0),則a+b+c=0,可判斷①正確；根據(jù)拋物線對稱軸方程得到

X=-A=-1,則2a-b=0,可判斷②錯誤；根據(jù)拋物線的對稱性得到拋物線與x軸

2a

兩交點坐標為（-3,0）,（1,0）,則ax、bx+c=0的兩根分別為-3和1,可判斷③

正確;利用b-2a,a+b+c=0得至ljc--3a,貝I]a-2b+c-a-4a-3a--7a,而拋物線

開口向上，得到a>0,于是可對④進行判斷.

解答:解：?.?拋物線過點（1,0）,

a+b+c=0,所以①正確；

?.?拋物線的對稱軸為直線x=-A=-i,

2a

.■?2a-b=0,所以②錯誤；

?.?點（1,0）關于直線x=-1的對稱點為（-3,0）,

二拋物線與x軸兩交點坐標為（-3,0）,（1,0）,

.'-ax+bx+c=0的兩根分別為-3和1,所以③正確；

'.'b-2a,a+b+c-0,

.'.a+2a+c-0,即c--3a,

.'.a-2b+c=a-4a-3a=-7a,

???拋物線開口向上，

/.a-2b+c=-7a<0,所以④錯誤.

故選：c.

點評：

本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系：二次函數(shù)y=ax?+bx+c（a片0）的圖象為

拋物線，當a>0,拋物線開口向上；對稱軸為直線x=-上；拋物線與y軸的交點

2a

坐標為（0,c）.也考查了一次函數(shù)的性質(zhì).

15.如圖，已知拋物線I/尸x2-6x+5與x軸分別交于A、B兩點，頂點為M.將拋物

線沿x軸翻折后再向左平移得到拋物線12.若拋物線12過點B,與x軸的另一個交點

D.40

考點：二次函數(shù)綜合題；軸對稱的性質(zhì).

分析：由拋物線li的解析式可求AB的長，根據(jù)對稱性可知BC=AB,再求拋物線的頂點坐

標，用計算三角形面積的方法求四邊形AMCN的面積.

解答：2

解：由y=x-6x+5得y=(x-1)(x-5)或y=(x-3)一,

???拋物線II與X軸兩交點坐標為A(5,0),B(1,0),頂點坐標M(3,-4),

.,.AB=5-1=4,

由翻折，平移的知識可知，BC=AB=4,N(-1,4),

.,.AC=AB+BC=8,

S四邊形AMCN-SAACN+SAACM--X8X4+—X8X4=32.

22

故選：A.

點評：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點的求法等知識點.主要考查

學生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法.

二、填空題（共15小題）

16.如圖，下列圖形是將正三角形按一定規(guī)律排列，則第5個圖形中所有正三角形的個數(shù)

有485.

考占.規(guī)律型：圖形的變化類.

專題：壓軸題；規(guī)律型.

分析:由圖可以看出：第一個圖形中5個正三角形，第二個圖形中5X3+2=17個正三角形,

第三個圖形中17X3+2=53個正三角形，由此得出第四個圖形中53X3+2=161個正

三角形，第五個圖形中161X3+2=485個正三角形.

解答：解：第一個圖形正三角形的個數(shù)為5,

第二個圖形正三角形的個數(shù)為5X3+2=17,

第三個圖形正三角形的個數(shù)為17X3+2=53,

第四個圖形正三角形的個數(shù)為53X3+2=161,

第五個圖形正三角形的個數(shù)為161X3+2=485.

如果是第n個圖，則有2X3n-1個

故答案為：485.

點評：此題考查圖形的變化規(guī)律，找出數(shù)字與圖形之間的聯(lián)系，找出規(guī)律解決問題.

17.如圖，每一幅圖中均含有若干個正方形，第1幅圖中有1個正方形；第2幅圖中有5

個正方形；…按這樣的規(guī)律下去，第6幅圖中有」個正方形.

田H

第1幅第2幅第3幅

考點：規(guī)律型：圖形的變化類.

專題:壓軸題.

分析：觀察圖形發(fā)現(xiàn)第一個有1個正方形，第二個有1+4=5個正方形，第三個有1+4+9=14

個正方形，…從而得到答案.

解答:解：觀察圖形發(fā)現(xiàn)第一個有1個正方形，

第二個有1+4=5個正方形，

第三個有1+4+9=14個正方形，

第n個有：In(n+1)(2n+1)個正方形，

6

第6個有1+4+9+16+25+36=91個正方形，

故答案為：91

點評：本題考查了圖形的變化類問題，解題的關鍵是仔細關系圖形并找到規(guī)律，本題采用

了窮舉法.

18.如圖，Rt^ABC中，Z0=90°,以斜邊AB為邊向外作正方形ABDE,且正方形對角線

交于點0,連接0C,已知AC=5,00=672,則另一直角邊BC的長為7.

考占?正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形.

遺計算題；壓軸題.一

就過0作0F垂直于BC,再過A作AM垂直于0F,由四邊形ABDE為正方形，得到OA=OB,

NA0B為直角，可得出兩個角互余，再由AM垂直于M0,得到AAOM為直角三角形，

其兩個銳角互余，利用同角的余角相等可得出一對角相等，再由一對直角相等，

OA=OB,利用AAS可得出aAOM與aBOF全等，由全等三角形的對應邊相等可得出

AM=OF,OM=FB,由三個角為直角的四邊形為矩形得到ACFM為矩形，根據(jù)矩形的對

邊相等可得出AC=MF,AM=CF,等量代換可得出CF=OF,即△COF為等腰直角三角形,

由斜邊0C的長，利用勾股定理求出0F與CF的長，根據(jù)OF-MF求出0M的長，即

為FB的長，由CF+FB即可求出BC的長.

解答:解法一：如圖1所示，過。作OFLBC,過A作AM_LOF,

?四邊形ABDE為正方形，

ZA0B=90°,OA=OB,

ZA0M+ZB0F=90°,

又NAM0=90°,ZA0M+Z0AM=90",

NBOF=NOAM,

在△AOM和aBOF中，

[ZAMO=ZOFB=90°

<NOAM=/BOF,

[OA=OB

.,.△AOM^ABOF(AAS),

.,.AM=OF,OM=FB,

又NACB=NAMF=NCFM=90°,

二四邊形ACFM為矩形，

.,.AM=CF,AC=MF=5,

.-.OF=CF,

??.△OCF為等腰直角三角形，

00=672,

???根據(jù)勾股定理得：CF2+OF2=OC2,

解得：CF=0F=6,

.'.FB=OM=OF-FM=6-5=1,

則BC=CF+BF=6+1=7.

故答案為：7.

E

CFB

圖1

解法二：如圖2所示，

過點。作OMJ_CA,交CA的延長線于點M；過點0作ONJ_BC于點N.

易證△OMAgZ\ONB,.-.OM=ON,MA=NB.

..?0點在NACB的平分線上，

■,.△OCM為等腰直角三角形.

00=672,

，CM=0N=6.

.,.MA=CM-AC=6-5=1,

.-.BC=CN+NB=6+1=7.

故答案為:7.

19.如圖，△ABC的內(nèi)心在y軸上，點C的坐標為（2,0）,點B的坐標是（0,2）,直線

考占.

j八、、*一次函數(shù)綜合題.____________________________________________________________

壓軸題.一

就根據(jù)三角形內(nèi)心的特點知NABO=NCBO,根據(jù)點C、點B的坐標得出OB=OC,

N0BC=45°,ZABC=90°可知aABC為直角三角形，BC=25/2,然后根據(jù)兩點間距離

公式及勾股定理得出點A坐標，從而得出AB,即可得出答案.___________________

解答:解：根據(jù)三角形內(nèi)心的特點知NAB0=NCB0,

..?已知點C、點B的坐標，

.-.0B=0C,Z0BC=45",ZABC=90"可知△ABC為直角三角形，BC=2近,

???點A在直線AC上，設A點坐標為（x,lx-1）,

2

根據(jù)兩點距離公式可得：

*222

AB=X+（-1X-3）,

AC2=(X-2)2+(工-1)2

在RtZ\ABC中,

AB2+BC2=AC2,

解得:X=-6,y=-4,

.,.AB=6V2,

二.tanA匹平工

AB6723

故答案為：1.

3

點評:本題主要考查了三角形內(nèi)心的特點，兩點間距離公式、勾股定理，綜合性較強，難

度較大.

20.劉謙的魔術表演風靡全國，小明也學起了劉謙發(fā)明了一個魔術盒，當任意實數(shù)對（a,

b）進入其中時，會得到一個新的實數(shù)：a2+b-1,例如把（3,-2）放入其中，就會得到

32+（-2）-1=6.現(xiàn)將實數(shù)對（m,-2m）放入其中，得到實數(shù)2,則m=3或-1.

考點：解一元二次方程-因式分解法.

專題：壓軸題；新定義.

分析：

根據(jù)題意，把實數(shù)對（m,-2m）代入a2+b-1=2中，得到一個一元二次方程，利用

因式分解法可求出m的值.

解答:

解：把實數(shù)對（m,-2m）代入a+b-1=2中得m-2m-1=2

移項得m-2m-3=0

因式分解得（m-3）（m+1）=0

解得m=3或-1.

故答案為：3或-1.

點評：

根據(jù)題意，把實數(shù)對（m,-2m）代入a?+b-1=2中，并進行因式分解，再利用積為

0的特點解出方程的根.

21.對于平面內(nèi)任意一個凸四邊形ABCD,現(xiàn)從以下四個關系式①AB=CD；②AD=BC；③AB〃CD；

④NA=NC中任取兩個作為條件，能夠得出這個四邊形ABCD是平行四邊形的概率是1.

考占?概率公式；平行四邊形的判定.

專題：壓軸題.

分析:本題是一道列舉法求概率的問題，屬于基礎題，可以直接應用求概率的公式.

解答:解：從四個條件中選兩個共有六種可能：①②、①③、①④、②③、②④、③④，

其中只有①②、①③和③④可以判斷ABCD是平行四邊形，所以其概率為圣」.

62

故答案為：上

2

點評：用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比；兩組對邊分別相等的四邊形

是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行，一組

對角相等的四邊形是平行四邊形.

22.如圖，已知直線I：y=5x,過點A(0,1)作軸的垂線交直線I于點B,過點B作直

線I的垂線交y軸于點Ai；過點A,作y軸的垂線交直線I于點B),過點B,作直線I的垂

線交y軸于點A?；…按此作法繼續(xù)下去，則點Az.的坐標為(0,4?*).(提示:

考點：一次函數(shù)圖象上點的坐標特征.

規(guī)律型.

^￥7

根據(jù)所給直線解析式可得I與x軸的夾角，進而根據(jù)所給條件依次得到點4,A2的

坐