2023-2024學(xué)年安徽省六安市霍山中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023-2024學(xué)年安徽省六安市霍山中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是(1,?1)，則1z?1=(

)A.i B.?i C.1 D.?12.如圖，一個(gè)平面圖形的斜二測(cè)畫法的直觀圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形O′A′B′C′，則原平面圖形的周長(zhǎng)為(

)A.4aB.8a

C.6aD.83.已知非零向量a與b同向，則a?b(

)A.必定與a同向 B.必定與b同向

C.必定與a是平行向量 D.與b不可能是平行向量4.已知α、β是兩個(gè)平面，m、n是兩條直線，α∩β=m.下列四個(gè)命題：

①若m//n，則n//α或n//β②若m⊥n，則n⊥α，n⊥β

③若n//α，且n//β，則m//n④若n與α和β所成的角相等，則m⊥n

其中，所有真命題的編號(hào)是(

)A.①③ B.②③ C.①②③ D.①③④5.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件A=“第一枚硬幣正面朝上”，事件B=“第二枚硬幣反面朝上”，則下列說(shuō)法正確的是(

)A.A與B互為對(duì)立事件B.P(A)=P(B)C.A與B相等 D.A與B互斥6.一個(gè)圓臺(tái)的上、下底面的半徑分別為1和4，體積為28π，則它的表面積為(

)A.41π B.42π C.29337.如圖所示，要測(cè)量底部不能到達(dá)的某電視塔AB的高度，在塔的同一側(cè)選擇C、D兩觀測(cè)點(diǎn)，且在C、D兩點(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)难鼋欠謩e為45°、30°，在水平面上測(cè)得∠BCD=120°，C、D兩地相距500m，則電視塔AB的高度是(

)A.1002m

B.400m

C.2008.在立體幾何中，用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體得到的平面圖形叫截面.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)E,F分別是棱B1B,BA.1 B.98 C.89 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.有一組樣本數(shù)據(jù)：1，1，2，4，1，4，1，2，則(

)A.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為4 B.這組數(shù)據(jù)的極差為3

C.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2 D.這組數(shù)據(jù)的50%分位數(shù)為110.設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則下列結(jié)論正確的是(

)A.若A>B，則sinA>sinB

B.若A>B，則cosA>cosB

C.若a2+b2<c2，則△ABC為鈍角三角形11.已知梯形ABCD，AB=AD=1，BC=2，AD//BC，AD⊥AB，P是線段BC的中點(diǎn).將△ABD沿著BD所在的直線翻折成四面體ABCD，翻折的過(guò)程中下列選項(xiàng)正確的是(

)A.BD與AP始終垂直

B.當(dāng)直線AP與平面BCD所成角為π6時(shí)，AP=62

C.四面體A?BCD體積的最大值為22

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.設(shè)e1,e2是不共線的兩個(gè)向量，AB=e1+ke2,13.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1，棱長(zhǎng)為2，E14.粽子，古時(shí)北方也稱“角黍”，是由粽葉包裹糯米、泰米等餡料蒸煮制成的食品，是中國(guó)漢族傳統(tǒng)節(jié)慶食物之一，端午食粽的風(fēng)俗，千百年來(lái)在中國(guó)盛行不衰，粽子形狀多樣，餡料種類繁多，南北方風(fēng)味各有不同，某四角蛋黃粽可近似看成一個(gè)正四面體，蛋黃近似看成一個(gè)球體，且每個(gè)粽子里僅包裹一個(gè)蛋黃，若粽子的棱長(zhǎng)為6cm，則其內(nèi)可包裹的蛋黃的最大體積為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

復(fù)數(shù)z=(m2?3m?4)+(m2?5m?6)i，m∈R．

(1)若z是虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(2)若16.(本小題15分)

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，c2+b2?a2=2bc．

(1)求17.(本小題15分)

甲、乙兩個(gè)人獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼，他們能譯出密碼的概率分別為12和23，求：

(1)兩個(gè)人都譯出密碼的概率；

(2)恰有118.(本小題17分)

如圖：AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上不同于A，B的任意一點(diǎn)，求證：平面PAC⊥平面PBC．19.(本小題17分)

文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽(yù)稱號(hào)，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要?jiǎng)?chuàng)造者.某市為提高市民對(duì)文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識(shí)，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識(shí)競(jìng)賽，從所有答卷中隨機(jī)抽取100份作為樣本，將樣本的成績(jī)(滿分100分，成績(jī)均為不低于40分的整數(shù))分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求頻率分布直方圖中a的值；

(2)求樣本成績(jī)的第75百分位數(shù)；

(3)已知落在[50,60)的平均成績(jī)是57，方差是7，落在[60,70)的平均成績(jī)?yōu)?9，方差是4，求兩組成績(jī)的總平均數(shù)z?和總方差s2

答案解析1..A

【解析】解：復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是(1,?1)，

∴z=1?i，

則1z?1=1?i=i2..B

【解析】解：根據(jù)題意，由直觀圖可得原圖形，

所以O(shè)A=BC=a，OB=22a，∠BOA=90°，

所以AB=OC=OA2+OB3..C

【解析】解：非零向量a與b同向，

則a?b可能與a同向，也可能與b同向，故ABD錯(cuò)誤，

則a?b必定與a是平行向量，故C正確．

4..A

【解析】解：①若n?α，因?yàn)閙//n，m?β，則n//β，

若n?β，因?yàn)閙//n，m?α，則n//α，

若n不在α也不在β內(nèi)，因?yàn)閙//n，m?α，m?β，

所以n//α且n//β，故①正確；

②若m⊥n，則n與α，β不一定垂直，也有可能相交，故②錯(cuò)誤；

③過(guò)直線n分別作平面，與α，β分別相交于直線a，直線b，

因?yàn)閚//α，過(guò)直線n的平面與平面α相交于直線a，所以n//a，

同理可得n//b，所以a//b，

因?yàn)閍?α，b?β，則a//β，因?yàn)閍?α，α∩β=m，則a//m，

又因?yàn)閚//a，則m//n，故③正確；

④n與α和β所成的角相等，則m和n不一定垂直，故④錯(cuò)誤；

綜上只有①③正確．

故選：A．

5..B

【解析】解：拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件A=“第一枚硬幣正面朝上”，事件B=“第二枚硬幣反面朝上”，

事件A與B能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，不是對(duì)立事件，故AD均錯(cuò)誤；

P(A)=P(B)=12，故B正確；

事件A與事件B不是同一個(gè)事件，故C錯(cuò)誤．

故選：B6..B

【解析】解：設(shè)圓臺(tái)的高為?，則圓臺(tái)的體積為13π?(12+42+1×4)=28π，

解得?=4，所以圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為(4?1)7..D

【解析】解：設(shè)塔高AB=?m，

在Rt△ABC中，由已知可得BC=??m，

在Rt△ABD中，由已知可得BD=3??m，

在△BCD中，由余弦定理可得3?2=?2+5002?2?×500×cos120°，

即?8..B

【解析】解：取BC的中點(diǎn)H，作如圖連接，

易證平面AHGD1//平面A1EF，

等腰梯形AHGD1的上下底分別為22，2，

腰長(zhǎng)為52，

9..BC

【解析】解：對(duì)A，該組數(shù)據(jù)眾數(shù)為1，故A錯(cuò)誤；

對(duì)B，極差為4?1=3，故B正確；

對(duì)C，平均數(shù)為1+1+2+4+1+4+1+28=2，故C正確；

對(duì)D，數(shù)據(jù)從小到大排列為1，1，1，1，2，2，4，4，因?yàn)?×50%=4，所以這組數(shù)據(jù)的50%分位數(shù)為1+22=1.5，故D錯(cuò)誤．

10..ACD

【解析】解：對(duì)于A，若A>B，則a>b，所以sinA>sinB，所以A正確；

對(duì)于B，由A>B且A，B∈(0,π)，

根據(jù)函數(shù)y=cosx在(0,π)上單調(diào)遞減，可得cosA<cosB，所以B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，由余弦定理cosC=a2+b2?c22ab<0，可知C為鈍角，即△ABC為鈍角三角形，所以C正確；

對(duì)于D，因?yàn)閍cosA=bcosB，所以sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，

又A，B∈(0,π)，所以2A，2B∈(0,2π)，所以2A=2B或2A+2B=π，

即A=B或A+B=11..ABD

【解析】解：對(duì)于A：連接DP，AP，DP∩AP=O，如圖所示：

易知四邊形ABPD是正方形，所以BD⊥AP，

于是在四面體ABCD中，BD⊥OA，BD⊥OP，

又OA∩OP=O且OA，OP?平面OAP，

BD⊥平面OAP，又AP?平面OAP，

所以BD⊥AP，故A正確；

對(duì)于B：取AP的中點(diǎn)E，連接OE，

因?yàn)镺A=OP=22，所以O(shè)E⊥AP．

當(dāng)直線AP與平面BCD所成角為π6時(shí)，∠APO=π6，

所以AP=2PE=2POcos∠APO=2×32=62，故B正確；

對(duì)于C：由題意可知，當(dāng)OA⊥平面BCD時(shí)四面體A?BCD體積的最大值，

于是VA?BCD=13SBCD?OA=13×12BC?DP?22=26，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：因?yàn)锳B⊥AD，所以△ABD外接圓的圓心為O，

又因?yàn)锽D⊥CD，所以△BDC外接圓的圓心為P．

分別過(guò)點(diǎn)O，P作平面ABD12..?4

【解析】解：BD=CD?CB=e1?4e2，∵e1,e2不共線，∴BD≠0，

∵A，B，D三點(diǎn)共線，∴AB與BD共線，

13..3【解析】解：如圖，取BD中點(diǎn)O，連接OE，OC，

因?yàn)锳BCD?A1B1C1D1為正方體，所以CD=CB，ED=EB，

因?yàn)镺為BD中點(diǎn)，所以O(shè)E⊥BD，OC⊥BD，

因?yàn)槠矫鍮DE∩平面BDC=BD，OE?平面BDE，OC?平面BDC，

所以∠EOC是二面角E?DB?C的平面角，

又CE=1，OC=2，OE=2+1=3，

14..6【解析】解：由題意，當(dāng)?shù)包S近似的球體與正四面體內(nèi)切時(shí)，蛋黃的體積最大，

如圖，設(shè)正四面體為A?BCD，H為正三角形BCD的中心，

則AH為三棱錐A?BCD的高，且H在△BCD的CD邊的中線BE上，

由重心性質(zhì)，可知BH=23BE，

設(shè)點(diǎn)O為內(nèi)切球的球心，內(nèi)切球的半徑為r，

則S△BCD=S△ABC=S△ACD=S△ABD=12×6×6×32=93，

BH=15..解：(1)由題意可知：z是虛數(shù)，則m2?5m?6≠0，解得：m≠?1且m≠6，

∴實(shí)數(shù)m的取值范圍m≠?1且m≠6；

(2)∵z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則m2?3m?4>0m2?5m?6<0，解得：4<m<6，

【解析】(1)根據(jù)復(fù)數(shù)類型為虛數(shù)得到不等式，從而求解；

(2)根據(jù)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限得到不等式組，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

16..解：(1)根據(jù)c2+b2?a2=2bc，可得cosA=b2+c2?a22bc=22，

因?yàn)椤鰽BC中，角A∈(0,π)，所以A=π4；

(2)當(dāng)a=2時(shí)，由余弦定理a2=b2【解析】(1)根據(jù)已知等式，利用余弦定理算出cosA的值，進(jìn)而可得角A的大小；

(2)利用余弦定理與基本不等式，推導(dǎo)出bc≤4+22，結(jié)合三角形的面積公式求得△ABC17..解：(1)記“甲獨(dú)立地譯出密碼”為事件A，“乙獨(dú)立地譯出密碼”為事件B，

可得事件A，B為相互獨(dú)立事件，且P(A)=12，P(B)=23，

兩個(gè)人都譯出密碼的概率為P(A∩B)=P(A)×P(B)=12×23=13．【解析】(1)根題意，結(jié)合相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，即可求解；

(2)由題意，甲譯出乙未譯出或甲未譯出乙譯出，結(jié)合相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，即可求解．

18..證明：設(shè)⊙O所在平面為α，由已知條件，PA⊥α，BC在α內(nèi)，

所以PA⊥BC

因?yàn)辄c(diǎn)C是圓周上不同于A、B的任意一點(diǎn)，AB是⊙O的直徑，

所以∠BCA=90°，即BC⊥AC

又因?yàn)镻A∩AC=A，所以BC⊥平面PAC

又因?yàn)锽C?平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC．

【解析】要證明平面PAC垂直于平面PBC，直線證明平面PBC內(nèi)的直線BC，垂直平面PAC內(nèi)的兩條相交直線PA、AC即可．

19..解：(1)因?yàn)槊拷M小矩形的面積之和為1，

所以(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10=1，則a=0.030．

(2)成績(jī)落在[40,80)內(nèi)的頻率為(0.005+0.010+0.020+0.030)×10=0.65，

落在[40,90)內(nèi)的頻率為(0.005+0.010+0.020+