橢圓必記知識、題型大歸類

橢圓必記知識點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)方程〔焦點(diǎn)在軸〕〔焦點(diǎn)在軸〕定義第一定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的和等于定長〔定長大于兩定點(diǎn)間的距離〕的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫焦點(diǎn)，兩定點(diǎn)間距離焦距。第二定義：平面內(nèi)一個(gè)動點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離的比是小于1的正常數(shù)時(shí)，這個(gè)動點(diǎn)的軌跡叫橢圓，定點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，定直線是橢圓的準(zhǔn)線。范圍頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸軸，軸；長軸長為，短軸長為對稱中心原點(diǎn)焦點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)在長軸上，；焦距：離心率(),，越大橢圓越扁，越小橢圓越圓。準(zhǔn)線方程準(zhǔn)線垂直于長軸，且在橢圓外；兩準(zhǔn)線間的距離：頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離頂點(diǎn)〔〕到準(zhǔn)線〔〕的距離為頂點(diǎn)〔〕到準(zhǔn)線〔〕的距離為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離焦點(diǎn)〔〕到準(zhǔn)線〔〕的距離為焦點(diǎn)〔〕到準(zhǔn)線〔〕的距離為橢圓上到焦點(diǎn)的最大〔小〕距離最大距離為：最小距離為：相關(guān)應(yīng)用題：遠(yuǎn)日距離近日距離橢圓的參數(shù)方程〔為參數(shù)〕〔為參數(shù)〕橢圓上的點(diǎn)到給定直線的距離利用參數(shù)方程簡便：橢圓〔為參數(shù)〕上一點(diǎn)到直線的距離為：直線和橢圓的位置橢圓與直線的位置關(guān)系：利用轉(zhuǎn)化為一元二次方程用判別式確定。相交弦AB的弦長通徑：過橢圓上一點(diǎn)的切線利用導(dǎo)數(shù)利用導(dǎo)數(shù)★橢圓知識梳理★1.橢圓定義：〔1〕第一定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)的動點(diǎn)的軌跡叫橢圓,其中兩個(gè)定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn).當(dāng)時(shí),的軌跡為橢圓;;當(dāng)時(shí),的軌跡不存在;當(dāng)時(shí),的軌跡為以為端點(diǎn)的線段〔2〕橢圓的第二定義:平面內(nèi)到定點(diǎn)與定直線(定點(diǎn)不在定直線上)的距離之比是常數(shù)()的點(diǎn)的軌跡為橢圓〔利用第二定義,可以實(shí)現(xiàn)橢圓上的動點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離相互轉(zhuǎn)化〕.2.橢圓的方程與幾何性質(zhì):標(biāo)準(zhǔn)方程性質(zhì)參數(shù)關(guān)系焦點(diǎn)焦距范圍頂點(diǎn)對稱性關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對稱離心率準(zhǔn)線與橢圓的位置關(guān)系:當(dāng)時(shí),點(diǎn)在橢圓外;當(dāng)時(shí),點(diǎn)在橢圓內(nèi);當(dāng)時(shí),點(diǎn)在橢圓上;直線與橢圓相交;直線與橢圓相切;直線與橢圓相離★重難點(diǎn)突破★重點(diǎn):掌握橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程，會用定義和求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能通過方程研究橢圓的幾何性質(zhì)及其應(yīng)用難點(diǎn):橢圓的幾何元素與參數(shù)的轉(zhuǎn)換重難點(diǎn):運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，圍繞“焦點(diǎn)三角形”，用代數(shù)方法研究橢圓的性質(zhì)，把握幾何元素轉(zhuǎn)換成參數(shù)的關(guān)系問題1為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)假設(shè)，那么=______________。[解析]的周長為，=8問題2橢圓的離心率為，那么[解析]當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，；當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，綜上或3★熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析★考點(diǎn)1橢圓定義及標(biāo)準(zhǔn)方程題型1:橢圓定義的運(yùn)用[例1](湖北局部重點(diǎn)中學(xué)2009屆高三聯(lián)考)橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，今有一個(gè)水平放置的橢圓形臺球盤，點(diǎn)A、B是它的焦點(diǎn)，長軸長為2a，焦距為2c，靜放在點(diǎn)A的小球〔小球的半徑不計(jì)〕，從點(diǎn)A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到點(diǎn)A時(shí)，小球經(jīng)過的路程是OxOxyDPABCQ[解析]按小球的運(yùn)行路徑分三種情況:(1),此時(shí)小球經(jīng)過的路程為2(a－c);(2),此時(shí)小球經(jīng)過的路程為2(a+c);(3)此時(shí)小球經(jīng)過的路程為4a,應(yīng)選D【名師指引】考慮小球的運(yùn)行路徑要全面【新題導(dǎo)練】1.〔2007·佛山南海〕短軸長為，離心率的橢圓兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，過F1作直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，那么△ABF2的周長為 〔〕[解析]C.長半軸a=3，△ABF2的周長為4a=122.(廣雅中學(xué)2008—2009學(xué)年度上學(xué)期期中考)為橢圓上的一點(diǎn)，分別為圓和圓上的點(diǎn)，那么的最小值為〔〕A．5B．7C．13D．15[解析]B.兩圓心C、D恰為橢圓的焦點(diǎn)，，的最小值為10-1-2=7題型2求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程[例2]設(shè)橢圓的中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對稱軸，一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線互相垂直，且此焦點(diǎn)與長軸上較近的端點(diǎn)距離為－4，求此橢圓方程.【解題思路】將題中所給條件用關(guān)于參數(shù)的式子“描述”出來[解析]設(shè)橢圓的方程為或，那么，解之得：，b=c或.【名師指引】準(zhǔn)確把握圖形特征，正確轉(zhuǎn)化出參數(shù)的數(shù)量關(guān)系．［警示］易漏焦點(diǎn)在y軸上的情況．【新題導(dǎo)練】3.如果方程x2+ky2=2表示焦點(diǎn)在y軸的橢圓，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是____________.[解析](0,1).橢圓方程化為+=1.焦點(diǎn)在y軸上，那么>2，即k<1.又k>0，∴0<k<1.,討論方程表示的曲線的形狀[解析]當(dāng)時(shí)，，方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，當(dāng)時(shí)，，方程表示圓心在原點(diǎn)的圓，當(dāng)時(shí)，，方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓5.橢圓對稱軸在坐標(biāo)軸上，短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三角形，焦點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最短距離是，求這個(gè)橢圓方程.[解析]，，所求方程為+=1或+=1.考點(diǎn)2橢圓的幾何性質(zhì)題型1:求橢圓的離心率〔或范圍〕[例3]在中，．假設(shè)以為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)，那么該橢圓的離心率．【解題思路】由條件知三角形可解，然后用定義即可求出離心率[解析]，，【名師指引】〔1〕離心率是刻畫橢圓“圓扁”程度的量，決定了橢圓的形狀；反之，形狀確定，離心率也隨之確定〔2〕只要列出的齊次關(guān)系式，就能求出離心率〔或范圍〕〔3〕“焦點(diǎn)三角形”應(yīng)給予足夠關(guān)注【新題導(dǎo)練】6.(執(zhí)信中學(xué)2008-2009學(xué)年度第一學(xué)期高三期中考試)如果一個(gè)橢圓的長軸長是短軸長的兩倍,那么這個(gè)橢圓的離心率為....[解析]選7.〔江蘇鹽城市三星級高中2009屆第一協(xié)作片聯(lián)考〕m,n,m+n成等差數(shù)列，m，n，mn成等比數(shù)列，那么橢圓的離心率為[解析]由，橢圓的離心率為8.(山東濟(jì)寧2007—2008學(xué)年度高三第一階段質(zhì)量檢測)我國于07年10月24日成功發(fā)射嫦娥一號衛(wèi)星，并經(jīng)四次變軌飛向月球。嫦娥一號繞地球運(yùn)行的軌跡是以地球的地心為焦點(diǎn)的橢圓。假設(shè)第一次變軌前衛(wèi)星的近地點(diǎn)到地心的距離為m，遠(yuǎn)地點(diǎn)到地心的距離為n，第二次變軌后兩距離分別為2m、2n〔近地點(diǎn)是指衛(wèi)星距離地面最近的點(diǎn)，遠(yuǎn)地點(diǎn)是距離地面最遠(yuǎn)的點(diǎn)〕，那么第一次變軌前的橢圓的離心率比第二次變軌后的橢圓的離心率〔〕A．不變B.變小C.變大D.無法確定[解析]，，選A橢圓C：兩個(gè)焦點(diǎn)為，如果曲線C上存在一點(diǎn)Q，使，求橢圓離心率的最小值。{}為橢圓的左、右焦點(diǎn)，如果橢圓上存在點(diǎn)，使求離心率的取值范圍。〔思考：將角度改成150〕{}11.假設(shè)為橢圓的長軸兩端點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，使，求此橢圓離心率的最小值。{}題型2:橢圓的其他幾何性質(zhì)的運(yùn)用〔范圍、對稱性等〕[例4]實(shí)數(shù)滿足,求的最大值與最小值【解題思路】把看作的函數(shù)[解析]由得,當(dāng)時(shí),取得最小值,當(dāng)時(shí),取得最大值6【名師指引】注意曲線的范圍，才能在求最值時(shí)不出過失【新題導(dǎo)練】是橢圓〔，〕上兩點(diǎn),且,那么=[解析]由知點(diǎn)共線,因橢圓關(guān)于原點(diǎn)對稱,10.如圖，把橢圓的長軸分成等份，過每個(gè)分點(diǎn)作軸的垂線交橢圓的上半局部于七個(gè)點(diǎn)，是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)那么________________［解析］由橢圓的對稱性知：．考點(diǎn)3橢圓的最值問題題型:動點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動時(shí)涉及的距離、面積的最值[例5]橢圓上的點(diǎn)到直線l:的距離的最小值為___________．【解題思路】把動點(diǎn)到直線的距離表示為某個(gè)變量的函數(shù)[解析]在橢圓上任取一點(diǎn)P,設(shè)P().那么點(diǎn)P到直線l的距離為：【名師指引】也可以直接設(shè)點(diǎn)，用表示后，把動點(diǎn)到直線的距離表示為的函數(shù)，關(guān)鍵是要具有“函數(shù)思想”【新題導(dǎo)練】的內(nèi)接矩形的面積的最大值為[解析]設(shè)內(nèi)接矩形的一個(gè)頂點(diǎn)為，矩形的面積12.是橢圓上一點(diǎn)，、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，求的最大值與最小值[解析]當(dāng)時(shí)，取得最大值，當(dāng)時(shí)，取得最小值13.〔2007·惠州〕點(diǎn)是橢圓上的在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，又、，是原點(diǎn)，那么四邊形的面積的最大值是_________．[解析]設(shè)，那么考點(diǎn)4橢圓的綜合應(yīng)用題型：橢圓與向量、解三角形的交匯問題[例6]橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),一個(gè)長軸端點(diǎn)為,短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形，直線與y軸交于點(diǎn)P〔0，m〕，與橢圓C交于相異兩點(diǎn)A、B，且．〔1〕求橢圓方程；〔2〕求m的取值范圍．【解題思路】通過，溝通A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，再利用判別式和根與系數(shù)關(guān)系得到一個(gè)關(guān)于m的不等式[解析]〔1〕由題意可知橢圓為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，可設(shè)由條件知且，又有，解得故橢圓的離心率為，其標(biāo)準(zhǔn)方程為：〔2〕設(shè)l與橢圓C交點(diǎn)為A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m,2x2＋y2＝1))得〔k2＋2〕x2＋2kmx＋〔m2－1〕＝0Δ＝〔2km〕2－4〔k2＋2〕〔m2－1〕＝4〔k2－2m2＋2〕>0〔*〕x1＋x2＝eq\f(－2km,k2＋2)，x1x2＝eq\f(m2－1,k2＋2)∵eq\x\to(AP)＝3eq\x\to(PB)∴－x1＝3x2∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－2x2,x1x2＝－3x\o\al(2,2)))消去x2，得3〔x1＋x2〕2＋4x1x2＝0，∴3〔eq\f(－2km,k2＋2)〕2＋4eq\f(m2－1,k2＋2)＝0整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0m2＝eq\f(1,4)時(shí)，上式不成立；m2≠eq\f(1,4)時(shí)，k2＝eq\f(2－2m2,4m2－1)，因λ＝3∴k≠0∴k2＝eq\f(2－2m2,4m2－1)>0，∴－1<m<－eq\f(1,2)或eq\f(1,2)<m<1容易驗(yàn)證k2>2m2－2成立，所以〔*〕成立即所求m的取值范圍為〔－1，－eq\f(1,2)〕∪〔eq\f(1,2)，1〕【名師指引】橢圓與向量、解三角形的交匯問題是高考熱點(diǎn)之一，應(yīng)充分重視向量的功能【新題導(dǎo)練】14.(2007·廣州四校聯(lián)考)設(shè)過點(diǎn)的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，為坐標(biāo)原點(diǎn)，假設(shè)，且，那么點(diǎn)的軌跡方程是〔〕A.B.C.D.[解析]，選A.15.如圖，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=。一曲線E過點(diǎn)C，動點(diǎn)P在曲線E上運(yùn)動，且保持|PA|+|PB|的值不變，直線l經(jīng)過A與曲線E交于M、N兩點(diǎn)?！?〕建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線E的方程；〔2〕設(shè)直線l的斜率為k，假設(shè)∠MBN為鈍角，求k的取值范圍。解：〔1〕以AB所在直線為x軸，AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，那么A〔－1，0〕，B〔1，0〕由題設(shè)可得∴動點(diǎn)P的軌跡方程為，那么∴曲線E方程為〔2〕直線MN的方程為由∴方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根∵∠MBN是鈍角即解得：又M、B、N三點(diǎn)不共線綜上所述，k的取值范圍是★～～搶分頻道★根底穩(wěn)固訓(xùn)練1.如下圖,橢圓中心在原點(diǎn),F是左焦點(diǎn),直線與BF交于D,且,那么橢圓的離心率為()ABCD[解析]B.2.〔廣東省四校聯(lián)合體2007-2008學(xué)年度聯(lián)合考試〕設(shè)F1、F2為橢圓+y2=1的兩焦點(diǎn)，P在橢圓上，當(dāng)△F1PF2面積為1時(shí)，的值為A、0B、1C、2D、3[解析]A.，P的縱坐標(biāo)為，從而P的坐標(biāo)為，0，3.(廣東廣雅中學(xué)2008—2009學(xué)年度上學(xué)期期中考)橢圓的一條弦被平分,那么這條弦所在的直線方程是A．B．C．D．[解析]D.,,兩式相減得：，，4.在中，，．假設(shè)以為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)，那么該橢圓的離心率．[解析]5.為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),P為橢圓上一點(diǎn),假設(shè),那么此橢圓的離心率為_________.[解析][三角形三邊的比是]6.(2008江蘇)在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓1(0)的焦距為2，以O(shè)為圓心，為半徑的圓，過點(diǎn)作圓的兩切線互相垂直，那么離心率=．[解析]綜合提高訓(xùn)練7、橢圓與過點(diǎn)A(2，0)，B(0，1)的直線l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T，且橢圓的離心率．求橢圓方程[解析]直線l的方程為：

由①由得：∴，即②由①②得：故橢圓E方程為8.(廣東省汕頭市金山中學(xué)2008－2009學(xué)年高三第一次月考)A、B分別是橢圓的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P〕在橢圓上，線段PB與y軸的交點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn)?！?〕求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；〔2〕點(diǎn)C是橢圓上異于長軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，對于△ABC，求的值。[解析]〔1〕∵點(diǎn)是線段的中點(diǎn)∴是△的中位線又∴∴∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1〔2〕∵點(diǎn)C在橢圓上，A、B是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)∴AC＋BC＝2a＝，AB＝2c＝2在△ABC中，由正弦定理，∴＝9.(海珠區(qū)2009屆高三綜合測試二)長方形ABCD,AB=2為原點(diǎn)建立如圖8所示的平面直角坐標(biāo)系.(Ⅰ)求以A、B為焦點(diǎn)，且過C、D兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;OABCD圖8(Ⅱ)過點(diǎn)P(0,2)的直線交(Ⅰ)中橢圓于M,N兩點(diǎn),是否存在直線OABCD圖8[解析](Ⅰ)由題意可得點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別為.設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是..橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(Ⅱ)由題意直線的斜率存在,可設(shè)直線的方程為.設(shè)M,N兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為聯(lián)立方程:消去整理得,有假設(shè)以MN為直徑的圓恰好過原點(diǎn),那么,所以,所以,,即所以,即得所以直線的方程為,或.所以存在過P(0,2)的直線:使得以弦MN為直徑的圓恰好過原點(diǎn).參考例題：1、從橢圓上一點(diǎn)向軸引垂線,垂足恰為橢圓的左焦點(diǎn),為橢圓的右頂點(diǎn)，是橢圓的上頂點(diǎn),且.⑴、求該橢圓的離心率.⑵、假設(shè)該橢圓的準(zhǔn)線方程是，求橢圓方程.[解析]⑴、，∥，△∽△,，又，,而.⑵、為準(zhǔn)線方程，,由．所求橢圓方程為．2、設(shè)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，假設(shè)，證明：的面積只與橢圓的短軸長有關(guān)[解析]由得，，，命題得證2007年-2010年新課標(biāo)高考數(shù)學(xué)〔理科〕試題分類精編-----橢圓1.(2008年山東理10)設(shè)橢圓的離心率為，焦點(diǎn)在軸上且長軸長為26．假設(shè)曲線上的點(diǎn)到橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的差的絕對值等于8，那么曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為〔〕A． B． C． D．解：對于橢圓，曲線為雙曲線，，標(biāo)準(zhǔn)方程為：1.(2009年江蘇13)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，為其右焦點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)T，線段與橢圓的交點(diǎn)恰為線段的中點(diǎn)，那么該橢圓的離心率為.學(xué)科網(wǎng)[解析]考查橢圓的根本性質(zhì)，如頂點(diǎn)、焦點(diǎn)坐標(biāo)，離心率的計(jì)算等。以及直線的方程。直線的方程為：；直線的方程為：。二者聯(lián)立解得：，那么在橢圓上，，解得：2.(2009年廣東理11)巳知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸在軸上，離心率為，且上一點(diǎn)到的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為12，那么橢圓的方程為．【解析】，，，，那么所求橢圓方程為.3.(2009年上海理9)、是橢圓〔＞＞0〕的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且.假設(shè)的面積為9，那么=____________.【答案】3【解析】依題意，有，可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，故有b＝3。4.(2008年江蘇12)在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的焦距為2c，以O(shè)為圓心，為半徑作圓，假設(shè)過作圓的兩條切線相互垂直，那么橢圓的離心率為【解析】設(shè)切線PA、PB互相垂直，又半徑OA垂直于PA，所以△OAP是等腰直角三角形，故，解得．【答案】1.(2010年陜西理20)〔本小題總分值13分〕如圖，橢圓C：的頂點(diǎn)為A1,A2,B1,B2,焦點(diǎn)為F1,F2,|A1B1|=,(Ⅰ)求橢圓C的方程；(Ⅱ)設(shè)n是過原點(diǎn)的直線，l是與n垂直相交于P點(diǎn)、與橢圓相交于A,B兩點(diǎn)的直線，，是否存在上述直線l使成立？假設(shè)存在，求出直線l的方程；假設(shè)不存在，請說明理由。解〔1〕由知a2+b2=7,①由知a=2c,②又b2=a2-c2③由①②③解得a2=4,b2=3,故橢圓C的方程為?！?〕設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為〔x1,y1〕(x2,y2)假設(shè)使成立的直線l不存在，當(dāng)l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)l的方程為y=kx+m,由l與n垂直相交于P點(diǎn)且得，即m2=k2+1.∵,2.〔2010年全國理20〕〔本小題總分值12分〕設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過斜率為1的直線與相交于兩點(diǎn)，且成等差數(shù)列。〔1〕求的離心率；〔2〕設(shè)點(diǎn)滿足，求的方程解：〔I〕由橢圓定義知，又，得的方程為，其中。設(shè)，，那么A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組化簡的那么因?yàn)橹本€AB斜率為1，所以得故所以E的離心率〔II〕設(shè)AB的中點(diǎn)為，由〔I〕知，。由，得，即得，從而故橢圓E的方程為。3.(2010年天津理20)(本小題總分值12分)橢圓(＞＞0)的離心率，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4。(Ⅰ)求橢圓的方程：(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)。點(diǎn)的坐標(biāo)為(-，0)，點(diǎn)(0，)在線段的垂直平分線上，且=4。求的值。【命題意圖】本小題主要考察橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線的方程，平面向量等根底知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想，考查運(yùn)算和推理能力?！窘馕觥俊?〕解：由，得，再由，得由題意可知，解方程組得a=2,b=1所以橢圓的方程為(2)解：由〔1〕可知A〔-2,0〕。設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為〔x1,,y1〕,直線l的斜率為k，那么直線l的方程為y=k(x+2),于是A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組由方程組消去Y并整理，得由得設(shè)線段AB是中點(diǎn)為M，那么M的坐標(biāo)為以下分兩種情況：〔1〕當(dāng)k=0時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為〔2,0〕。線段AB的垂直平分線為y軸，于是〔2〕當(dāng)K時(shí)，線段AB的垂直平分線方程為令x=0，解得由整理得綜上。4.〔2010年北京理19〕〔本小題共14分〕在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B與點(diǎn)A〔-1,1〕關(guān)于原點(diǎn)O對稱，P是動點(diǎn)，且直線AP與BP的斜率之積等于.(Ⅰ)求動點(diǎn)P的軌跡方程；(Ⅱ)設(shè)直線AP和BP分別與直線x=3交于點(diǎn)M,N，問：是否存在點(diǎn)P使得△PAB與△PMN的面積相等？假設(shè)存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，說明理由。解：〔1〕因點(diǎn)B與〔-1,1〕關(guān)于原點(diǎn)對稱，得B點(diǎn)坐標(biāo)為〔1，-1〕。 設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，那么，由題意得， 化簡得：。即P點(diǎn)軌跡為： 〔2〕因，可得， 又， 假設(shè)，那么有， 即設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，那么有： 解得：，又因，解得。故存在點(diǎn)P使得與的面積相等，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為或5.(2010年福建理17)〔本小題總分值13分〕中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A〔2，3〕，且點(diǎn)F〔2，0〕為其右焦點(diǎn)?！?〕求橢圓C的方程；〔2〕是否存在平行于OA的直線，使得直線與橢圓C有公共點(diǎn)，且直線OA與的距離等于4？假設(shè)存在，求出直線的方程；假設(shè)不存在，請說明理由。【命題意圖】本小題主要考查直線、橢圓等根底知識，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想。【解析】〔1〕依題意，可設(shè)橢圓C的方程為，且可知左焦點(diǎn)為F〔-2，0〕，從而有，解得，又，所以，故橢圓C的方程為。〔2〕假設(shè)存在符合題意的直線，其方程為，由得，因?yàn)橹本€與橢圓有公共點(diǎn)，所以有，解得，另一方面，由直線OA與的距離4可得：，從而，由于，所以符合題意的直線不存在。6.(2010年天津理19)〔本小題總分值13分〕為了考察冰川的融化狀況，一支科考隊(duì)在某冰川上相距8km的A,B兩點(diǎn)各建一個(gè)考察基地。視冰川面為平面形，以過A,B兩點(diǎn)的直線為x軸，線段AB的的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系〔圖6〕在直線x=2的右側(cè)，考察范圍為到點(diǎn)B的距離不超過km區(qū)域；在直線x=2的左側(cè)，考察范圍為到A,B兩點(diǎn)的距離之和不超過km區(qū)域。〔Ⅰ〕求考察區(qū)域邊界曲線的方程；〔Ⅱ〕如圖6所示，設(shè)線段P1P2,P2P3是冰川的局部邊界線〔不考慮其他邊界線〕，當(dāng)冰川融化時(shí)，邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動，第一年移動0.2km,以后每年移動的距離為前一年的2倍，求冰川邊界線移動到考察區(qū)域所需的最短時(shí)間。圖67.〔2010年山東理21〕〔本小題總分值12分〕如圖，橢圓的離心率為，以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的周長為.一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線和與橢圓的交點(diǎn)分別為和.〔Ⅰ〕求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程〔Ⅱ〕設(shè)直線、的斜率分別為、，證明；〔Ⅲ〕是否存在常數(shù)，使得恒成立？假設(shè)存在，求的值；假設(shè)不存在，請說明理由.【解析】〔Ⅰ〕由題意知，橢圓離心率為，得，又，所以可解得，，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為〔，0〕，因?yàn)殡p曲線為等軸雙曲線，且頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為。〔Ⅱ〕設(shè)點(diǎn)P〔，〕，那么=，=，所以=，又點(diǎn)P〔，〕在雙曲線上，所以有，即，所以=1。〔Ⅲ〕假設(shè)存在常數(shù)，使得恒成立，那么由〔Ⅱ〕知，所以設(shè)直線AB的方程為，那么直線CD的方程為，由方程組消y得：，設(shè)，，那么由韋達(dá)定理得：所以|AB|==，同理可得|CD|===，又因?yàn)?，所以?+=，所以存在常數(shù)，使得恒成立。【命題意圖】此題考查了橢圓的定義、離心率、橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，是一道綜合性的試題，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識解決問題的能力。其中問題〔3〕是一個(gè)開放性問題，考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力，〔標(biāo)準(zhǔn)答案〕〔21〕本小題主要考查橢圓、雙曲線的根本概念和根本性質(zhì)?？疾橹本€和橢圓的位置關(guān)系，考查坐標(biāo)化、定值和存在性問題，考查數(shù)行結(jié)合思想和探求問題的能力。解〔Ⅰ〕設(shè)橢圓的半焦距為c，由題意知：，2a+2c=4(+1)所以a=2，c=2，又=，因此b=2。故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為由題意設(shè)等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)榈容S雙曲線的頂點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)。所以m=2，因此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為〔Ⅱ〕設(shè)A〔，〕，B〔〕，P〔〕，那么=，。因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線上，所以。因此，即同理可得.那么，又，.故因此存在，使恒成立.8.(2010年遼寧理20)〔本小題總分值12分〕設(shè)橢圓C：的左焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，直線l的傾斜角為60o,.求橢圓C的離心率；如果|AB|=，求橢圓C的方程.解：設(shè)，由題意知＜0，＞0.〔Ⅰ〕直線l的方程為，其中.聯(lián)立得解得因?yàn)椋?即得離心率.6分〔Ⅱ〕因?yàn)?，所?由得.所以，得a=3，.橢圓C的方程為.…12分也為解答圓錐曲線問題提供了新的工具，應(yīng)重視運(yùn)用向量解決圓錐曲線問題的能力。9.(2010年安徽理19)〔本小題總分值13分〕橢圓經(jīng)過點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在軸上，離心率。(Ⅰ)求橢圓的方程；(Ⅱ)求的角平分線所在直線的方程；(Ⅲ)在橢圓上是否存在關(guān)于直線對稱的相異兩點(diǎn)？假設(shè)存在，請找出；假設(shè)不存在，說明理由。10.(2010年浙江理21)〔此題總分值15分〕m＞1，直線，橢圓，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn).〔Ⅰ〕當(dāng)直線過右焦點(diǎn)時(shí)，求直線的方程；〔Ⅱ〕設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，，的重心分別為.假設(shè)原點(diǎn)在以線段為直徑的圓內(nèi)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解析：此題主要考察橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等根底知識，同時(shí)考察解析幾何的根本思想方法和綜合解題能力?！并瘛辰猓阂?yàn)橹本€經(jīng)過所以,得，又因?yàn)?，所以，故直線的方程為。〔Ⅱ〕解：設(shè)。由，消去得那么由，知，且有。由于，故為的中點(diǎn)，由，可知設(shè)是的中點(diǎn)，那么，由題意可知即即而所以即又因?yàn)榍宜浴Ｋ缘娜≈捣秶恰?1.(2010年上海理〔此題總分值18分〕此題共有3個(gè)小題，第1小題總分值3分，第2小題總分值6分，第3小題總分值9分.橢圓的方程為，點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔-a，b〕.〔1〕假設(shè)直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn)M、A(0,-b)，B(a，0)滿足,求點(diǎn)的坐標(biāo)；〔2〕設(shè)直線交橢圓于、兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn).假設(shè)，證明：為的中點(diǎn)；〔3〕對于橢圓上的點(diǎn)Q〔acosθ，bsinθ〕〔0＜θ＜π〕，如果橢圓上存在不同的兩個(gè)交點(diǎn)、滿足,寫出求作點(diǎn)、的步驟，并求出使、存在的θ的取值范圍.解析：(1)；(2)由方程組，消y得方程，因?yàn)橹本€交橢圓于、兩點(diǎn)，所以>0，即，設(shè)C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0)，那么，由方程組，消y得方程(k2k1)xp，又因?yàn)?，所以，故E為CD的中點(diǎn)；(3)求作點(diǎn)P1、P2的步驟：1求出PQ的中點(diǎn)，2求出直線OE的斜率，3由知E為CD的中點(diǎn)，根據(jù)(2)可得CD的斜率，4從而得直線CD的方程：，5將直線CD與橢圓Γ的方程聯(lián)立，方程組的解即為點(diǎn)P1、P2的坐標(biāo)．欲使P1、P2存在，必須點(diǎn)E在橢圓內(nèi)，所以，化簡得，，又0<<，即，所以，故的取值范圍是．12.(2010年江蘇18)〔本小題總分值16分〕在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，橢圓的左、右頂點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F。設(shè)過點(diǎn)T〔〕的直線TA、TB與橢圓分別交于點(diǎn)M、，其中m>0,。〔1〕設(shè)動點(diǎn)P滿足,求點(diǎn)P的軌跡；〔2〕設(shè)，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；〔3〕設(shè),求證：直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)〔其坐標(biāo)與m無關(guān)〕。[解析]本小題主要考查求簡單曲線的方程，考查方直線與橢圓的方程等根底知識?？疾檫\(yùn)算求解能力和探究問題的能力?？偡种?6分?！?〕設(shè)點(diǎn)P〔x，y〕，那么：F〔2，0〕、B〔3，0〕、A〔-3，0〕。由，得化簡得。故所求點(diǎn)P的軌跡為直線?！?〕將分別代入橢圓方程，以及得：M〔2，〕、N〔，〕直線MTA方程為：，即，直線NTB方程為：，即。聯(lián)立方程組，解得：，所以點(diǎn)T的坐標(biāo)為?！?〕點(diǎn)T的坐標(biāo)為直線MTA方程為：，即，直線NTB方程為：，即。分別與橢圓聯(lián)立方程組，同時(shí)考慮到，解得：、。〔方法一〕當(dāng)時(shí)，直線MN方程為：令，解得：。此時(shí)必過點(diǎn)D〔1，0〕；當(dāng)時(shí)，直線MN方程為：，與x軸交點(diǎn)為D〔1，0〕。所以直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)D〔1，0〕?！卜椒ǘ臣僭O(shè)，那么由及，得，此時(shí)直線MN的方程為，過點(diǎn)D〔1，0〕。假設(shè)，那么，直線MD的斜率，直線ND的斜率，得，所以直線MN過D點(diǎn)。因此，直線MN必過軸上的點(diǎn)〔1，0〕。13.〔2009年海南理20〕〔本小題總分值12分〕橢圓C的中心為直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)，焦點(diǎn)在s軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是7和1.〔Ⅰ〕求橢圓C的方程；〔Ⅱ〕假設(shè)P為橢圓C上的動點(diǎn)，M為過P且垂直于x軸的直線上的點(diǎn)，=λ，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線解:(Ⅰ)設(shè)橢圓長半軸長及半焦距分別為，由得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為〔Ⅱ〕設(shè)，其中。由及點(diǎn)在橢圓上可得。整理得，其中。〔i〕時(shí)。化簡得所以點(diǎn)的軌跡方程為，軌跡是兩條平行于軸的線段?！瞚i〕時(shí)，方程變形為，其中當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)實(shí)軸在軸上的雙曲線滿足的局部。當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、長軸在軸上的橢圓滿足的局部；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、長軸在軸上的橢圓；14.〔2009年山東理22〕〔本小題總分值14分〕設(shè)橢圓E:〔a,b>0〕過M〔2，〕，N(,1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，〔I〕求橢圓E的方程；〔II〕是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且？假設(shè)存在，寫出該圓的方程，并求|AB|的取值范圍，假設(shè)不存在說明理由。解:〔1〕因?yàn)闄E圓E:〔a,b>0〕過M〔2，〕，N(,1)兩點(diǎn),所以解得所以橢圓E的方程為〔2〕假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且,設(shè)該圓的切線方程為解方程組得,即,那么△=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因?yàn)橹本€為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,所以圓的半徑為,,,所求的圓為,此時(shí)圓的切線都滿足或,而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為或滿足,綜上,存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且.因?yàn)?所以,,①當(dāng)時(shí)因?yàn)樗?所以,所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取”=”.當(dāng)時(shí),.當(dāng)AB的斜率不存在時(shí),兩個(gè)交點(diǎn)為或,所以此時(shí),綜上,|AB|的取值范圍為即:【命題立意】:此題屬于探究是否存在的問題,主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程確實(shí)定,直線與橢圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系和待定系數(shù)法求方程的方法,能夠運(yùn)用解方程組法研究有關(guān)參數(shù)問題以及方程的根與系數(shù)關(guān)系.15.〔2009年天津理21〕〔本小題總分值14分〕以知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線與橢圓相交與兩點(diǎn)，且。求橢圓的離心率；求直線AB的斜率；設(shè)點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，直線上有一點(diǎn)在的外接圓上，求的值本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、圓的方程等根底知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想，考查運(yùn)算能力和推理能力，總分值14分解：由//且，得，從而整理，得，故離心率解：由〔I〕得，所以橢圓的方程可寫為設(shè)直線AB的方程為，即.由設(shè)，那么它們的坐標(biāo)滿足方程組消去y整理，得.依題意，而①②由題設(shè)知，點(diǎn)B為線段AE的中點(diǎn)，所以③聯(lián)立①③解得，將代入②中，解得.(III)解法一：由〔II〕可知當(dāng)時(shí)，得，由得.線段的垂直平分線l的方程為直線l與x軸的交點(diǎn)是外接圓的圓心，因此外接圓的方程為.直線的方程為，于是點(diǎn)H〔m，n〕的坐標(biāo)滿足方程組，由解得故當(dāng)時(shí)，同理可得.解法二：由〔II〕可知當(dāng)時(shí)，得,由得由橢圓的對稱性可知B，，C三點(diǎn)共線，因?yàn)辄c(diǎn)H〔m，n〕在的外接圓上，且，所以四邊形為等腰梯形.由直線的方程為,知點(diǎn)H的坐標(biāo)為.因?yàn)?，所以，解得m=c〔舍〕，或.那么，所以.當(dāng)時(shí)同理可得16.〔2009年安徽理20〕〔本小題總分值13分〕點(diǎn)在橢圓上，直線與直線垂直，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OP的傾斜角為，直線的傾斜角為.〔I〕證明:點(diǎn)是橢圓與直線的唯一交點(diǎn)；〔II〕證明:構(gòu)成等比數(shù)列.解：本小題主要考查直線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和參數(shù)方程，直線和曲線的幾何性質(zhì)，等比數(shù)列等根底知識。考查綜合運(yùn)用知識分析問題、解決問題的能力。本小題總分值13分。解：〔I〕〔方法一〕由得代入橢圓,得.將代入上式,得從而因此,方程組有唯一解,即直線與橢圓有唯一交點(diǎn)P.(方法二)顯然P是橢圓與的交點(diǎn)，假設(shè)Q是橢圓與的交點(diǎn)，代入的方程，得即故P與Q重合?！卜椒ㄈ吃诘谝幌笙迌?nèi)，由可得橢圓在點(diǎn)P處的切線斜率切線方程為即。因此，就是橢圓在點(diǎn)P處的切線。根據(jù)橢圓切線的性質(zhì)，P是橢圓與直線的唯一交點(diǎn)?！睮I〕的斜率為的斜率為由此得構(gòu)成等比數(shù)列。17.(2009年福建理19)〔本小題總分值13分〕A,B分別為曲線C：+=1〔y0,a>0〕與x軸的左、右兩個(gè)交點(diǎn)，直線過點(diǎn)B,且與軸垂直，S為上異于點(diǎn)B的一點(diǎn)，連結(jié)AS交曲線C于點(diǎn)T.(1)假設(shè)曲線C為半圓，點(diǎn)T為圓弧的三等分點(diǎn)，試求出點(diǎn)S的坐標(biāo)；〔II〕如圖，點(diǎn)M是以SB為直徑的圓與線段TB的交點(diǎn)，試問：是否存在,使得O,M,S三點(diǎn)共線？假設(shè)存在，求出a的值，假設(shè)不存在，請說明理由。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】解法一：(Ⅰ)當(dāng)曲線C為半圓時(shí)，如圖，由點(diǎn)T為圓弧的三等分點(diǎn)得∠BOT=60°或120°.(1)當(dāng)∠BOT=60°時(shí),∠SAE=30°.又AB=2,故在△SAE中,有(2)當(dāng)∠BOT=120°時(shí),同理可求得點(diǎn)S的坐標(biāo)為,綜上,(Ⅱ)假設(shè)存在,使得O,M,S三點(diǎn)共線.由于點(diǎn)M在以SB為直線的圓上,故.顯然,直線AS的斜率k存在且k>0,可設(shè)直線AS的方程為.由設(shè)點(diǎn)故,從而.亦即由得由,可得即經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)時(shí),O,M,S三點(diǎn)共線.故存在,使得O,M,S三點(diǎn)共線.解法二:(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)假設(shè)存在a,使得O,M,S三點(diǎn)共線.由于點(diǎn)M在以SO為直徑的圓上,故.顯然,直線AS的斜率k存在且K>0,可設(shè)直線AS的方程為由設(shè)點(diǎn),那么有故由所直線SM的方程為O,S,M三點(diǎn)共線當(dāng)且僅當(dāng)O在直線SM上,即.故存在,使得O,M,S三點(diǎn)共線.18.(2009年遼寧理20)〔本小題總分值12分〕橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A,兩個(gè)焦點(diǎn)為.(1)求橢圓C的方程；(2)E、F是橢圓C上的兩個(gè)動點(diǎn)，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值．并求出這個(gè)定值．解：由題意，可設(shè)橢圓方程為，∵A在橢圓上，∴，解得，〔舍去〕∴橢圓C的方程為----------------4分?！?〕設(shè)AE的方程為：，代入得：，設(shè)E，F(xiàn)，∵點(diǎn)A在橢圓上，∴，又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，在上式以代，可得∴直線EF的斜率，即直線EF的斜率為定值。-------------------------12分2009042319．〔2009年浙江理21〕〔此題總分值15分〕20090423橢圓：的右頂點(diǎn)為，過的焦點(diǎn)且垂直長軸的弦長為．〔I〕求橢圓的方程；〔II〕設(shè)點(diǎn)在拋物線：上，在點(diǎn)處的切線與交于點(diǎn)．當(dāng)線段的中點(diǎn)與的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等時(shí)，求的最小值．解析：〔I〕由題意得所求的橢圓方程為，〔II〕不妨設(shè)那么拋物線在點(diǎn)P處的切線斜率為，直線MN的方程為，將上式代入橢圓的方程中，得，即，因?yàn)橹本€MN與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以有，設(shè)線段MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，那么，設(shè)線段PA的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，那么，由題意得，即有，其中的或；當(dāng)時(shí)