2022年廣東省廣州市第二外國(guó)語(yǔ)學(xué)校數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．偶函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，求（）A． B． C． D．2．已知四棱錐，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，，平面平面ABCD，當(dāng)點(diǎn)C到平面ABE的距離最大時(shí)，該四棱錐的體積為（）A． B． C． D．13．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（）A．1 B．-1 C． D．4．若直線與圓相交所得弦長(zhǎng)為，則（）A．1 B．2 C． D．35．已知函數(shù)，，若總有恒成立.記的最小值為，則的最大值為（）A．1 B． C． D．6．古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯在公元前六世紀(jì)發(fā)現(xiàn)了第一、二個(gè)“完全數(shù)”6和28，進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)后續(xù)三個(gè)“完全數(shù)”分別為496，8128，33550336，現(xiàn)將這五個(gè)“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組，一組2個(gè)，另一組3個(gè)，則6和28恰好在同一組的概率為A． B． C． D．7．已知三點(diǎn)A(1,0)，B(0，)，C(2，)，則△ABC外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為()A． B．C． D．8．設(shè)函數(shù)，則，的大致圖象大致是的()A． B．C． D．9．在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，若，，，則（）A． B． C． D．10．已知函數(shù),則函數(shù)的圖象大致為（）A． B．C． D．11．已知是過拋物線焦點(diǎn)的弦，是原點(diǎn)，則（）A．－2 B．－4 C．3 D．－312．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積為（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓及點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，在中，若的角平分線與相交于點(diǎn)，則的取值范圍是_______.14．雙曲線的焦距為__________，漸近線方程為________．15．如圖是九位評(píng)委打出的分?jǐn)?shù)的莖葉統(tǒng)計(jì)圖，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均分為_______．16．已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，，，，，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，，則球O的體積為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線在y軸上的截距為.（1）求a；（2）討論函數(shù)和的單調(diào)性；（3）設(shè)，求證：.18．（12分）在中，角的對(duì)邊分別為，且．（1）求角的大??；（2）若函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸方程為且，求的值．19．（12分）某學(xué)生為了測(cè)試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問題設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn)，并獲得了煤氣開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)x與燒開一壺水所用時(shí)間y的一組數(shù)據(jù)，且作了一定的數(shù)據(jù)處理（如表），得到了散點(diǎn)圖（如圖）.表中，.（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個(gè)更適宜作燒水時(shí)間y關(guān)于開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)x的回歸方程類型？（不必說明理由）（2）根據(jù)判斷結(jié)果和表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；（3）若旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)x與單位時(shí)間內(nèi)煤氣輸出量t成正比，那么x為多少時(shí)，燒開一壺水最省煤氣？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.20．（12分）4月23日是“世界讀書日”，某中學(xué)開展了一系列的讀書教育活動(dòng)．學(xué)校為了解高三學(xué)生課外閱讀情況，采用分層抽樣的方法從高三某班甲、乙、丙、丁四個(gè)讀書小組（每名學(xué)生只能參加一個(gè)讀書小組）學(xué)生抽取12名學(xué)生參加問卷調(diào)查．各組人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下：小組甲乙丙丁人數(shù)12969（1）從參加問卷調(diào)查的12名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求這2人來自同一個(gè)小組的概率；（2）從已抽取的甲、丙兩個(gè)小組的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，用表示抽得甲組學(xué)生的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．21．（12分）已知圓M：及定點(diǎn)，點(diǎn)A是圓M上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B在上，點(diǎn)G在上，且滿足，，點(diǎn)G的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）設(shè)斜率為k的動(dòng)直線l與曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，與直線和分別交于P、Q兩點(diǎn).當(dāng)時(shí)，求（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的取值范圍.22．（10分）已知a>0，b>0，a+b=2.（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）證明：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

推導(dǎo)出函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，由此可得出，代值計(jì)算即可.【詳解】由于偶函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則，，，則，所以，函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，由于當(dāng)時(shí)，，則.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的對(duì)稱性和奇偶性求函數(shù)值，推導(dǎo)出函數(shù)的周期性是解答的關(guān)鍵，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.2、B【解析】

過點(diǎn)E作，垂足為H，過H作，垂足為F，連接EF.因?yàn)槠矫鍭BE，所以點(diǎn)C到平面ABE的距離等于點(diǎn)H到平面ABE的距離.設(shè)，將表示成關(guān)于的函數(shù)，再求函數(shù)的最值，即可得答案.【詳解】過點(diǎn)E作，垂足為H，過H作，垂足為F，連接EF.因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，所以平面ABCD，所以.因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，，所以.因?yàn)槠矫鍭BE，所以點(diǎn)C到平面ABE的距離等于點(diǎn)H到平面ABE的距離.易證平面平面ABE，所以點(diǎn)H到平面ABE的距離，即為H到EF的距離.不妨設(shè)，則，.因?yàn)?，所以，所以，?dāng)時(shí)，等號(hào)成立.此時(shí)EH與ED重合，所以，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查空間中點(diǎn)到面的距離的最值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意輔助線及面面垂直的應(yīng)用.3、B【解析】

利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算即可求解.【詳解】由.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，需掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

將圓的方程化簡(jiǎn)成標(biāo)準(zhǔn)方程,再根據(jù)垂徑定理求解即可.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,圓心坐標(biāo)為,半徑為,因?yàn)橹本€與圓相交所得弦長(zhǎng)為,所以直線過圓心,得,即.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)垂徑定理求解直線中參數(shù)的方法,屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

根據(jù)總有恒成立可構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)后分情況討論的最大值可得最大值最大值,即.根據(jù)題意化簡(jiǎn)可得,求得,再換元求導(dǎo)分析最大值即可.【詳解】由題,總有即恒成立.設(shè),則的最大值小于等于0.又,若則,在上單調(diào)遞增,無最大值.若,則當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增.故在處取得最大值.故,化簡(jiǎn)得.故,令,可令,故,當(dāng)時(shí),,在遞減；當(dāng)時(shí),,在遞增.故在處取得極大值,為.故的最大值為.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值問題,需要根據(jù)題意分析導(dǎo)數(shù)中參數(shù)的范圍,再分析函數(shù)的最值,進(jìn)而求導(dǎo)構(gòu)造函數(shù)求解的最大值.屬于難題.6、B【解析】

推導(dǎo)出基本事件總數(shù)，6和28恰好在同一組包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出6和28恰好在同一組的概率．【詳解】解：將五個(gè)“完全數(shù)”6，28，496，8128，33550336，隨機(jī)分為兩組，一組2個(gè)，另一組3個(gè)，基本事件總數(shù)，6和28恰好在同一組包含的基本事件個(gè)數(shù)，∴6和28恰好在同一組的概率．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．7、B【解析】

選B.考點(diǎn)：圓心坐標(biāo)8、B【解析】

采用排除法：通過判斷函數(shù)的奇偶性排除選項(xiàng)A；通過判斷特殊點(diǎn)的函數(shù)值符號(hào)排除選項(xiàng)D和選項(xiàng)C即可求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A:由題意知,函數(shù)的定義域?yàn)?，其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)?所以函數(shù)為奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故選A排除；對(duì)于選項(xiàng)D:因?yàn)?故選項(xiàng)D排除;對(duì)于選項(xiàng)C:因?yàn)?故選項(xiàng)C排除;故選:B【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和特殊點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)判斷函數(shù)圖象;考查運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力;選取合適的特殊點(diǎn)并判斷其函數(shù)值符號(hào)是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、?？碱}型.9、B【解析】

利用兩角差的正弦公式和邊角互化思想可求得，可得出，然后利用余弦定理求出的值，最后利用正弦定理可求出的值.【詳解】，即，即，，，得，，.由余弦定理得，由正弦定理，因此，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查三角形中角的正弦值的計(jì)算，考查兩角差的正弦公式、邊角互化思想、余弦定理與正弦定理的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.10、A【解析】

用排除法，通過函數(shù)圖像的性質(zhì)逐個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，找出不符合函數(shù)解析式的圖像，最后剩下即為此函數(shù)的圖像.【詳解】設(shè)，由于，排除B選項(xiàng)；由于，所以，排除C選項(xiàng)；由于當(dāng)時(shí)，，排除D選項(xiàng).故A選項(xiàng)正確.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的性質(zhì)，屬于中檔題.11、D【解析】

設(shè)，，設(shè)：，聯(lián)立方程得到，計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè)，，故.易知直線斜率不為，設(shè)：，聯(lián)立方程，得到，故，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線中的向量的數(shù)量積，設(shè)直線為可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，是解題的關(guān)鍵.12、B【解析】

還原幾何體可知原幾何體為半個(gè)圓柱和一個(gè)四棱錐組成的組合體，分別求解兩個(gè)部分的體積，加和得到結(jié)果.【詳解】由三視圖還原可知，原幾何體下半部分為半個(gè)圓柱，上半部分為一個(gè)四棱錐半個(gè)圓柱體積為：四棱錐體積為：原幾何體體積為：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查三視圖的還原、組合體體積的求解問題，關(guān)鍵在于能夠準(zhǔn)確還原幾何體，從而分別求解各部分的體積.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由角平分線成比例定理推理可得，進(jìn)而設(shè)點(diǎn)表示向量構(gòu)建方程組表示點(diǎn)P坐標(biāo)，代入圓C方程即可表示動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程，再由將所求視為該圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)間的距離，所以其最值為圓心到原點(diǎn)的距離加減半徑.【詳解】由題可構(gòu)建如圖所示的圖形，因?yàn)锳Q是的角平分線，由角平分線成比例定理可知,所以.設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，即，則，所以.又因?yàn)辄c(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則，故點(diǎn)Q的運(yùn)功軌跡是以為圓心為半徑的圓，又即為該圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)間的距離，因?yàn)?，所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查與圓有關(guān)的距離的最值問題，常常轉(zhuǎn)化到圓心的距離加減半徑，還考查了求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，屬于中檔題.14、6【解析】由題得所以焦距,故第一個(gè)空填6.由題得漸近線方程為.故第二個(gè)空填.15、1【解析】

寫出莖葉圖對(duì)應(yīng)的所有的數(shù)，去掉最高分，最低分，再求平均分．【詳解】解：所有的數(shù)為：77，78，82，84，84，86，88，93，94，共9個(gè)數(shù)，去掉最高分，最低分，剩下78，82，84，84，86，88，93，共7個(gè)數(shù)，平均分為，故答案為1．【點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖及平均數(shù)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．16、【解析】

可證，則為的外心，又則平面即可求出，的值，再由勾股定理求出外接球的半徑，最后根據(jù)體積公式計(jì)算可得.【詳解】解：，，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為的外心，因?yàn)?，所以點(diǎn)在內(nèi)的投影為的外心，所以平面，平面，所以，所以，又球心在上，設(shè)，則，所以，所以球O體積，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查多面體外接球體積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）為減函數(shù)，為增函數(shù).（3）證明見解析【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，求出切線方程，令得切線的縱截距，可得（必須利用函數(shù)的單調(diào)性求解）；（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定單調(diào)性；（3）不等式變形為，由遞減，得()，即，即，依次放縮，．不等式，遞增得()，,,,先證，然后同樣放縮得出結(jié)論．【詳解】解：（1）對(duì)求導(dǎo)，得.因此.又因?yàn)?，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.由題意，.顯然，適合上式.令，求導(dǎo)得，因此為增函數(shù)：故是唯一解.（2）由（1）可知，，因?yàn)?，所以為減函數(shù).因?yàn)?，所以為增函?shù).（3）證明：由，易得.由（2）可知，在上為減函數(shù).因此，當(dāng)時(shí)，，即.令，得，即.因此，當(dāng)時(shí)，.所以成立.下面證明：.由（2）可知，在上為增函數(shù).因此，當(dāng)時(shí)，，即.因此，即.令，得，即.當(dāng)時(shí)，.因?yàn)?，所以，所?所以，當(dāng)時(shí)，.所以，當(dāng)時(shí)，成立.綜上所述，當(dāng)時(shí)，成立.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查用導(dǎo)數(shù)證明不等式．本題中不等式的證明，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的能力，把不等式變形后利用第（2）小題函數(shù)的單調(diào)性得出數(shù)列的不等關(guān)系：，．這是最關(guān)鍵的一步．然后一步一步放縮即可證明．本題屬于困難題．18、（1）（2）【解析】

（1）由已知利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦定理可求，即可求的值．（2）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，可得，根據(jù)題意，得到，解得，得到函數(shù)的解析式，進(jìn)而求得的值，利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求的值．【詳解】（1）由題意，根據(jù)正弦定理，可得，又由，所以，可得，即，又因?yàn)椋瑒t，可得，∵，∴．（2）由（1）可得，所以函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸方程為，∴，得，即，∴，又，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．19、（1）更適宜（2）（3）x為2時(shí)，燒開一壺水最省煤氣【解析】

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖是否按直線型分布作答；（2）根據(jù)回歸系數(shù)公式得出y關(guān)于的線性回歸方程，再得出y關(guān)于x的回歸方程；（3）利用基本不等式得出煤氣用量的最小值及其成立的條件.【詳解】（1）更適宜作燒水時(shí)間y關(guān)于開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)x的回歸方程類型.（2）由公式可得：，，所以所求回歸方程為.（3）設(shè)，則煤氣用量，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，即時(shí)，煤氣用量最小.故x為2時(shí)，燒開一壺水最省煤氣.【點(diǎn)睛】本題考查擬合模型的選擇，回歸方程的求解，涉及均值不等式的使用，屬綜合中檔題.20、（1）（2）見解析，【解析】

（1）采用分層抽樣的方法甲組抽取4人，乙組抽取3人，丙組抽取2人，丁組抽取3人，從參加問卷調(diào)查的12名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，基本事件總數(shù)為，這兩人來自同一小組取法共有，由此可求出所求的概率；（2）從已抽取的甲、丙兩個(gè)小組的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，而甲、丙兩個(gè)小組學(xué)生分別有4人和2人，所以抽取的兩人中是甲組的學(xué)生的人數(shù)的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）由題設(shè)易得，問卷調(diào)查從四個(gè)小組中抽取的人數(shù)分別為4，3，2，3（人），從參加問卷調(diào)查的12名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名的取法共有（種），抽取的兩名學(xué)生來自同一小組的取法共有（種），所以，抽取的兩名學(xué)生來自同一個(gè)小組的概率為（2）由（1）知，在參加問卷調(diào)查的12名學(xué)生中，來自甲、丙兩小組的學(xué)生人數(shù)分別為4人、