初升高數(shù)學(xué)暑假銜接（人教版）第22講 三角函數(shù)的概念（教師版）

第22講三角函數(shù)的概念1．借助單位圓理解任意角的三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的含義；2．掌握任意角的三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)；3．會(huì)利用角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)求角的正弦、余弦和正切；4．掌握公式一并會(huì)應(yīng)用一、三角函數(shù)的定義1、定義：設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)，則：叫做的正弦函數(shù)，記作.即；叫做的余弦函數(shù)，記作.即；叫做的正切函數(shù)，記作.即。2、三角函數(shù)定義域正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、和正切函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為三角函數(shù)，通常記為：正弦函數(shù)：余弦函數(shù)：正切函數(shù)：3、三角函數(shù)另一種情況若已知角終邊上一點(diǎn)（不與原點(diǎn)重合）不是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的單位圓上的點(diǎn)，先求，則，，.三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān)，而與終邊上點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)。二、三角函數(shù)的符號(hào)【口訣記憶】“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．其含義是：第一象限中各三角函數(shù)值全是正數(shù)，第二象限中只有正弦值為正數(shù)，第三象限中只有正切值為正，第四象限中只有余弦值為正．三、誘導(dǎo)公式一由三角函數(shù)的定義，可以知道：終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等，由此得到誘導(dǎo)公式一：其中注意：（1）利用誘導(dǎo)公式一，可以把求任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為求0～2π(或0°～360°)范圍內(nèi)角的三角函數(shù)值．（2）上面三個(gè)公式也可以統(tǒng)一寫(xiě)成：f(k·2π＋α)＝f(α)(k∈Z)，或f(k·360°＋α)＝f(α)(k∈Z)．四、特殊角的三角函數(shù)值0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°0010－110---－1001－10五、三角函數(shù)的定義中常見(jiàn)的三種題型及解決方法1、已知角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求角的三角函數(shù)值方法：先求出點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，再利用三角函數(shù)的定義求解；2、已知角的一個(gè)三角函數(shù)值和終邊上的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)，求與角有關(guān)的三角函數(shù)值方法：先求出點(diǎn)到原點(diǎn)的距離（帶參數(shù)），根據(jù)已知三角函數(shù)值及三角函數(shù)的定義建立方程，求出未知數(shù)，從而求解問(wèn)題；3、已知角的終邊所在的直線方程（，），求角的三角函數(shù)值方法：先設(shè)出終邊上的一點(diǎn)，求出點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，再利用三角函數(shù)的定義求解（注意的符號(hào)，對(duì)分類(lèi)討論）考點(diǎn)一：由終邊或終邊上的點(diǎn)求三角函數(shù)例1．若角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)榻堑慕K邊上有一點(diǎn)，所以，故選：A【變式訓(xùn)練】已知角以坐標(biāo)系中為始邊，終邊與單位圓交于點(diǎn)，則下列各式正確的有（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)榻且宰鴺?biāo)系中為始邊，終邊與單位圓交于點(diǎn)，所以，所以，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；，故C正確；，故D錯(cuò)誤.故選：C.考點(diǎn)二：由三角函數(shù)值求終邊上點(diǎn)的參數(shù)例2．角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)且，則b的值為（）A．3B．C．D．5【答案】B【解析】根據(jù)三角函數(shù)定義可得，且，即，解得．故選：B．【變式訓(xùn)練】若是第二象限角，為其終邊上一點(diǎn)，，則值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由三角函數(shù)的定義，可得，解得，即，則，所以.故選：C.考點(diǎn)三：三角函數(shù)的符號(hào)判斷例3．已知且，則的終邊在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【答案】A【解析】∵已知，∴的終邊在第一或第三象限．若的終邊在第一象限，則，故，滿(mǎn)足題意，若的終邊在第三象限，則，故，不滿(mǎn)足題意，∴的終邊在第一象限.故選：A．【變式訓(xùn)練】確定下列各式的符號(hào)（1）)；（2）.【答案】（1）負(fù)號(hào)；（2）負(fù)號(hào)【解析】（1）因?yàn)槭堑诙笙藿?，所以，因?yàn)槭堑谌笙藿?，所以，所以，即的符?hào)為負(fù)號(hào).（2）因?yàn)椋?是第四象限角，所以，又因?yàn)椋?，所以，所以的符?hào)為負(fù)號(hào).考點(diǎn)四：圓上的動(dòng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)點(diǎn)例4．點(diǎn)在圓上沿逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)每秒旋轉(zhuǎn)弧度，已知1秒時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則3秒時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由1秒到3秒，點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的角度為，又，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為.故選：A.【變式訓(xùn)練】質(zhì)點(diǎn)P和Q在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，半徑為1的圓周上順時(shí)針作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，同時(shí)出發(fā).P的角速度為3rad/s，起點(diǎn)為射線與圓的交點(diǎn)；Q的角速度為5rad/s，起點(diǎn)為圓與x軸正半軸交點(diǎn)，則當(dāng)質(zhì)點(diǎn)Q與P第二次相遇時(shí)，Q的坐標(biāo)為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)當(dāng)質(zhì)點(diǎn)Q與P第二次相遇時(shí)，用了時(shí)間，依題意有，解得，此時(shí)質(zhì)點(diǎn)Q轉(zhuǎn)過(guò)角度為，因?yàn)槭琼槙r(shí)針作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)Q轉(zhuǎn)在角的終邊上，圓的半徑為1，Q的坐標(biāo)為.故選：C考點(diǎn)五：誘導(dǎo)公式一的應(yīng)用例5．（）A．B．C．D．【答案】A【解析】.故選：A.【變式訓(xùn)練】計(jì)算的值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】.故選：B.1．已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，因此，所以.故選：B2．已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，解得，所以點(diǎn)，所以.故選：D3．已知角的終邊與單位圓的交于點(diǎn)，則為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由三角函數(shù)的定義可得.故選：A.4．已知第二象限角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A．2B．C．D．6【答案】B【解析】的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，解得或，在第二象限，故，故.故選：B5．的值為（）A．負(fù)數(shù)B．正數(shù)C．0D．不存在【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，，，所以，故選：A6．已知角A，B是三角形的兩個(gè)內(nèi)角，則點(diǎn)（）A．不可能在第一象限B．不可能在第二象限C．不可能在第三象限D(zhuǎn)．不可能在第四象限【答案】C【解析】A選項(xiàng)，當(dāng)角A，B均為銳角時(shí)，.即此時(shí)點(diǎn)P在第一象限，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，當(dāng)角A為鈍角，B為銳角時(shí)，.即此時(shí)點(diǎn)P在第二象限，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，因三角形最多有一個(gè)鈍角，故與不可能同時(shí)小于0，即點(diǎn)P不可能在第三象限，故C正確；D選項(xiàng)，當(dāng)角A為銳角，B為鈍角時(shí)，.即此時(shí)點(diǎn)P在第四象限，故D錯(cuò)誤.故選：C7．（）A．B．C．D．【答案】C【解析】.故選：C.8．點(diǎn)位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【答案】C【解析】，，所以點(diǎn)位于第三象限.故選：C9．下列函數(shù)值：①；②；③；④，其結(jié)果為負(fù)值的是（）A．①B．②C．③D．④【答案】C【解析】對(duì)于①：，對(duì)于②：，對(duì)于③：，因?yàn)椋?，即，?duì)于④：因?yàn)?，所?故選：C10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，單位圓上一點(diǎn)P從點(diǎn)（0，1）出發(fā)，逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)到達(dá)Q點(diǎn)，則Q的坐標(biāo)為（）A．B．（）C．（，）D．（－，）【答案】A【解析】設(shè)與軸正半軸的夾角為，則點(diǎn)P逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)到達(dá)Q點(diǎn)后與軸正半軸的夾角為，此時(shí)，則，，故此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.故選：A1．在平面直角坐標(biāo)系中，若角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A．2B．C．D．【答案】D【解析】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以；故選：D2．已知角的終邊與直線重合且，則的值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設(shè)為直線上的點(diǎn)，則，則，得，，.故選：B3．已知角的終邊過(guò)點(diǎn)，且，則的值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】角的終邊過(guò)點(diǎn)，故可得，解得.故.故選：D.4．已知，則點(diǎn)在第（）象限A．一B．二C．三D．四【答案】D【解析】因?yàn)椋詾榈谒南笙藿?，所以，，所以點(diǎn)位于第四象限；故選：D5．已知角的終邊位于第二象限，則點(diǎn)位于（）A．第二象限B．第三象限C．第四象限D(zhuǎn)．第一象限【答案】C【解析】因?yàn)榻堑慕K邊在第二象限，則，，所以點(diǎn)P在第四象限．故選：C.6．在直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿圓心在原點(diǎn)，半徑為3的圓按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)到達(dá)點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根據(jù)題意可知，作出圖示如下：根據(jù)題意可得，，作軸且垂足為；利用三角函數(shù)定義可得，；又點(diǎn)在第四象限，所以點(diǎn)的