初升高數學暑假銜接（人教版）第22講 三角函數的概念（教師版）

第22講三角函數的概念1．借助單位圓理解任意角的三角函數（正弦、余弦、正切）的含義；2．掌握任意角的三角函數值在各象限的符號；3．會利用角的終邊上的點的坐標求角的正弦、余弦和正切；4．掌握公式一并會應用一、三角函數的定義1、定義：設是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點，則：叫做的正弦函數，記作.即；叫做的余弦函數，記作.即；叫做的正切函數，記作.即。2、三角函數定義域正弦函數、余弦函數、和正切函數統(tǒng)稱為三角函數，通常記為：正弦函數：余弦函數：正切函數：3、三角函數另一種情況若已知角終邊上一點（不與原點重合）不是以坐標原點為圓心的單位圓上的點，先求，則，，.三角函數值只與角的大小有關，而與終邊上點P的位置無關。二、三角函數的符號【口訣記憶】“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．其含義是：第一象限中各三角函數值全是正數，第二象限中只有正弦值為正數，第三象限中只有正切值為正，第四象限中只有余弦值為正．三、誘導公式一由三角函數的定義，可以知道：終邊相同的角的同一三角函數的值相等，由此得到誘導公式一：其中注意：（1）利用誘導公式一，可以把求任意角的三角函數值，轉化為求0～2π(或0°～360°)范圍內角的三角函數值．（2）上面三個公式也可以統(tǒng)一寫成：f(k·2π＋α)＝f(α)(k∈Z)，或f(k·360°＋α)＝f(α)(k∈Z)．四、特殊角的三角函數值0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°0010－110---－1001－10五、三角函數的定義中常見的三種題型及解決方法1、已知角的終邊上一點的坐標，求角的三角函數值方法：先求出點到原點的距離，再利用三角函數的定義求解；2、已知角的一個三角函數值和終邊上的點P的橫坐標或縱坐標，求與角有關的三角函數值方法：先求出點到原點的距離（帶參數），根據已知三角函數值及三角函數的定義建立方程，求出未知數，從而求解問題；3、已知角的終邊所在的直線方程（，），求角的三角函數值方法：先設出終邊上的一點，求出點到原點的距離，再利用三角函數的定義求解（注意的符號，對分類討論）考點一：由終邊或終邊上的點求三角函數例1．若角的終邊經過點，則的值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為角的終邊上有一點，所以，故選：A【變式訓練】已知角以坐標系中為始邊，終邊與單位圓交于點，則下列各式正確的有（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因為角以坐標系中為始邊，終邊與單位圓交于點，所以，所以，故A錯誤；，故B錯誤；，故C正確；，故D錯誤.故選：C.考點二：由三角函數值求終邊上點的參數例2．角的終邊經過點且，則b的值為（）A．3B．C．D．5【答案】B【解析】根據三角函數定義可得，且，即，解得．故選：B．【變式訓練】若是第二象限角，為其終邊上一點，，則值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由三角函數的定義，可得，解得，即，則，所以.故選：C.考點三：三角函數的符號判斷例3．已知且，則的終邊在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】∵已知，∴的終邊在第一或第三象限．若的終邊在第一象限，則，故，滿足題意，若的終邊在第三象限，則，故，不滿足題意，∴的終邊在第一象限.故選：A．【變式訓練】確定下列各式的符號（1）)；（2）.【答案】（1）負號；（2）負號【解析】（1）因為是第二象限角，所以，因為是第三象限角，所以，所以，即的符號為負號.（2）因為，所以5是第四象限角，所以，又因為，所以，所以，所以的符號為負號.考點四：圓上的動點與旋轉點例4．點在圓上沿逆時針方向勻速旋轉每秒旋轉弧度，已知1秒時，點A的坐標為，則3秒時，點A的坐標為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由1秒到3秒，點A旋轉的角度為，又，所以點A的坐標為.故選：A.【變式訓練】質點P和Q在以坐標原點O為圓心，半徑為1的圓周上順時針作勻速圓周運動，同時出發(fā).P的角速度為3rad/s，起點為射線與圓的交點；Q的角速度為5rad/s，起點為圓與x軸正半軸交點，則當質點Q與P第二次相遇時，Q的坐標為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設當質點Q與P第二次相遇時，用了時間，依題意有，解得，此時質點Q轉過角度為，因為是順時針作勻速圓周運動，質點Q轉在角的終邊上，圓的半徑為1，Q的坐標為.故選：C考點五：誘導公式一的應用例5．（）A．B．C．D．【答案】A【解析】.故選：A.【變式訓練】計算的值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】.故選：B.1．已知角的終邊經過點，則的值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為角的終邊經過點，則，因此，所以.故選：B2．已知角的終邊經過點，且，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，解得，所以點，所以.故選：D3．已知角的終邊與單位圓的交于點，則為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由三角函數的定義可得.故選：A.4．已知第二象限角的終邊經過點，則（）A．2B．C．D．6【答案】B【解析】的終邊經過點，則，解得或，在第二象限，故，故.故選：B5．的值為（）A．負數B．正數C．0D．不存在【答案】A【解析】因為，所以，，，所以，故選：A6．已知角A，B是三角形的兩個內角，則點（）A．不可能在第一象限B．不可能在第二象限C．不可能在第三象限D．不可能在第四象限【答案】C【解析】A選項，當角A，B均為銳角時，.即此時點P在第一象限，故A錯誤；B選項，當角A為鈍角，B為銳角時，.即此時點P在第二象限，故B錯誤；C選項，因三角形最多有一個鈍角，故與不可能同時小于0，即點P不可能在第三象限，故C正確；D選項，當角A為銳角，B為鈍角時，.即此時點P在第四象限，故D錯誤.故選：C7．（）A．B．C．D．【答案】C【解析】.故選：C.8．點位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】，，所以點位于第三象限.故選：C9．下列函數值：①；②；③；④，其結果為負值的是（）A．①B．②C．③D．④【答案】C【解析】對于①：，對于②：，對于③：，因為，所以，即，對于④：因為，所以.故選：C10．在平面直角坐標系xOy中，單位圓上一點P從點（0，1）出發(fā)，逆時針方向運動弧長到達Q點，則Q的坐標為（）A．B．（）C．（，）D．（－，）【答案】A【解析】設與軸正半軸的夾角為，則點P逆時針方向運動弧長到達Q點后與軸正半軸的夾角為，此時，則，，故此時點Q的坐標為.故選：A1．在平面直角坐標系中，若角的終邊經過點，則（）A．2B．C．D．【答案】D【解析】因為角的終邊經過點，所以；故選：D2．已知角的終邊與直線重合且，則的值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設為直線上的點，則，則，得，，.故選：B3．已知角的終邊過點，且，則的值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】角的終邊過點，故可得，解得.故.故選：D.4．已知，則點在第（）象限A．一B．二C．三D．四【答案】D【解析】因為，所以為第四象限角，所以，，所以點位于第四象限；故選：D5．已知角的終邊位于第二象限，則點位于（）A．第二象限B．第三象限C．第四象限D．第一象限【答案】C【解析】因為角的終邊在第二象限，則，，所以點P在第四象限．故選：C.6．在直角坐標系中，若點從點出發(fā)，沿圓心在原點，半徑為3的圓按逆時針方向運動到達點，則點的坐標為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根據題意可知，作出圖示如下：根據題意可得，，作軸且垂足為；利用三角函數定義可得，；又點在第四象限，所以點的