高中數(shù)學(xué)必修二第八章《立體幾何初步》單元訓(xùn)練題(高難度) 27(含答案解析)

必修二第八章《立體幾何初步》單元訓(xùn)練題（高難度）（27）

一、單項選擇題（本大題共13小題，共65.（）分）

1.將邊長為5的菱形A8CQ沿對角線AC折起，頂點8移動至8'處，在以點9，A,C,為頂點的

四面體SB'CD中，棱AC、B7）的中點分別為E、F,若4C=6,且四面體ABCD的外接球球心落

在四面體內(nèi)部，則線段EF長度的取值范圍為（）

A.（孚,2@B.（9,4）C.（V3,2V3）D.（V3,4）

2.在空間中有如下命題，其中正確的是（）

A.若直線a和6共面，直線〃和c共面，則直線a和c共面；

B.若平面a內(nèi)的任意直線zn〃平面￡,則平面a〃平面伙

C.若直線。與平面a不垂直，則直線a與平面a內(nèi)的所有直線都不垂直；

D.若點尸到三角形三條邊的距離相等，則點P在該三角形所在平面內(nèi)的射影是該三角形的內(nèi)心.

3.在三棱錐D-4BC中，已知/W平畫8C,且AABC為正三角形，力。=AB=遮，則三棱錐

D-4BC的外接球的表面積為（）

A.IOTTB.97rC,8兀D.77r

4.己知矩形ABC。的面積為8,當(dāng)矩形A8CQ周長最小時，沿對角線AC把△4CD折起，則三棱椎

。一ABC的外接球表面積等于（）

A.87rB.167rC.48V2TTD.不確定的實數(shù)

5.一個棱錐的三視圖如圖所示，則該棱錐的表面積為

6.室內(nèi)有一直尺，無論怎樣放置，在地面上總有這樣的直線，它與直尺所在的直線（）

A.異面B.相交C.平行D.垂直

7.等腰直角三角形A8E的斜邊AB為正四面體A2CZ）側(cè)棱，直角邊AE繞斜邊旋轉(zhuǎn)，則在旋轉(zhuǎn)

的過程中，有下列說法：

(1)四面體E-BCD的體積有最大值和最小值;

(2)存在某個位置，使得4E1BD；

(3)設(shè)二面角。一的平面角為d則8NZO4E；

(4)4E的中點M與A8的中點N連線交平面BCD于點P,則點尸的軌跡為橢圓.

其中，正確說法的個數(shù)是()

A.4B.3C.2D.1

8.在長方體4BC。-&B1GD1中，AB=2,AD=3,AAt=2,E是441的中點，尸是棱AO上一

點，AF=1,動點P在底面4當(dāng)6。1內(nèi)，且三棱錐P-BE尸與三棱錐B-DiEF的體積相等，則

直線CP與BBi所成角的正切值的最小值為

A.叵B.C.更D.V5

4135

9.如圖，在四棱錐P—4BCD中，△ABD是邊長為2遍的正三角形，

CB=CD=2,E為棱P4的中點，則直線DE與平面P3C的位置關(guān)

系是()

A.平行

B.垂直

C.相交但不垂直

D.不能確定

10.正三角形A8C的邊長為2,將它沿高AO折疊，使點8與點C間的距離為B，則四面體A8C。

外接球的表面積為()

A.67rB.7TTC.8兀D.97r

11.在正方體4BCD-AiBiGDi中，下列幾種說法正確的是()

A.AiB〃D[B]

B.4cl1BrC

C.AyB與平面DBDiBi成角為45°

D.ArB和B]C成角為30°

12.如圖，小螞蟻的家住在長方體力BCD-&B1C15的A處，小螞蟻的奶奶家住在G處，三條棱長

分別是=l.AB=2,AD=3,小螞蟻從A點出發(fā)，沿長方體的表面到小螞蟻奶奶家小的最

短距離是（）

A.2V5B.3V2D.V26

13.已知長方體4BC0-41B1GD1內(nèi)接于半球O,且底面ABCO落在半球的底面上，底面占B1C15的

四個頂點落在半球的球面上.若半球的半徑為3,AB=BC,則該長方體體積的最大值為（)

A.12V3B.6V6C.48D.72

二、多項選擇題（本大題共1小題，共4.0分）

14.如圖，已知正四面體D-4BC（所有棱長均相等的三棱錐），P、0、R分別

為A8、BC、C4上的點,AP=「8援=暴=2,分別記二面角。一PR-Q,

D-PQ-R,D-QR-P的平面角為a、0、y,則下列判斷不正確的是（）

A.y<a<PB.a<y<PC.a<p<yD.

0<y<a

三、填空題（本大題共8小題，共40.0分）

15.如下圖①，在直角梯形A8CD中，/.ABC=^CDB=/.DAB=90°,/.BCD=30°,BC=4,點

E在線段CO上運動.如下圖②，沿BE將ABEC折至△BEC',使得平面BEC'1平面ABEQ,則

4C'的最小值為

16.已知圓錐的母線長為1,側(cè)面展開圖的圓心角為^兀，則該圓錐的體積是

17.如圖，在正方體48。。一41%（?1。1中，點知，N分別是當(dāng)Ci，CG的中

點，則直線力1M與OV的位置關(guān)系是.（填“平行”、“相交”或

“異面”）

18.如圖，PA平面ABC,PA=企，且AD1PB于點D,AE1PC于點E.在Rt△ABC中，AB=BC=1,

AB1BC,則直線AB與平面AQE所成角的大小為.

19.如圖，在底面邊長均為2,高為1的長方體4BCD-AiB￡Di中，E、尸分別為BC、。也的中點，

則異面直線4瓜CF所成角的大小為；平面&EF與平面4當(dāng)65所成銳二面角的余弦

值為.

D,G

20.己知A,8是球。的球面上兩點，乙108=90。，C為該球面上的動點.若三棱錐ABC的

體積的最大值為右則球。的表面積是.

21.在長方體4BC0-&當(dāng)?shù)囊灾?，底面ABCO是邊長為4的正方形，側(cè)棱4&=a(a>4),M是

BC的中點，點尸是側(cè)面4BB14內(nèi)的動點(包括四條邊上的點)，且滿足tan/力PD=3tan/MPB,

則三棱錐P-ABC的體積的最大值是

22.如下圖，60。的二面角的棱上有A,B兩點，直線AC,BD分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi),

且都垂直于48.已知4B=2,AC=4,BD=6,則CD的長為.

四、解答題(本大題共8小題，共96.0分)

23.如圖，在三棱柱ABC-4181cl中,AC1BC,ABLBBlt

AC=BC=BBX=2,。為AB的中點，且CO1LM「

(1)求證：BBi_L平面ABC；

(2)求多面體DBC-&B1C1的體積；

(3)求二面角C-D4-G的平面角的余弦值.

24.如圖，在四棱錐P—4BCD中，P41平面ABC。，底面A8CD是菱形，AB=2,/.BAD=60°.

(1)求證：平面PBD_L平面PAC；

(2)若P4=4B,求PC與平面PBO所成角的正弦值

25.如圖，在五面體A8CDEF中，F(xiàn)A1^ABCD,AD//BC//FE,ABA.AD,M^!

(1)求異面直線BF與。E所成的角的大小;

(2)證明：平面4MoL平面CDE；

26.如下圖，三棱柱ABC-AiB?的各棱長都是2/C441=60。,力iB=3,。,Ci分別是AC,的

中點.

(1)證明：DC1〃平面BCCiBi；

(2)求直線CCi與平面ABC所成角的正弦值.

27.已知斜三棱柱48。一48傳1，ABCA=90°,4c=BC=2,點①在底面ABC上的射影恰為AC

的中點。，又知

⑴求CC1到平面A14B的距離.

(2)求4-ArB-C所成角的余弦值.

28.如圖，在三棱柱ABC-AiBiCi中,平面ABCJ■平面AA?C,ZBAC=90°.

(1)證明：AC1CA1：

(2)若△A|BC是正三角形，AB=2AC=2,求二面角Ai-AB。的大小.

29.已知正四棱臺兩底面邊長分別為3和9.(1).若側(cè)棱所在直線與上、下底面的中心的連線所成的

角為45。，求棱臺的側(cè)面積；

(2).若棱臺的側(cè)面積等于兩底面面積之和，求棱臺的高.

30.如圖，已知四棱錐P-ABC。的底面的菱形，/.BCD=60°,點E

是BC邊的中點，AC與。E交于點O,POABCD,

(1)求證：PD1BC；

(2)若4B=6%，PC=6&，求二面角P—HD—C的大??；

(3)在(2)的條件下，求異面直線PB與QE所成角的余弦值.

B

【答案與解析】

1.答案：B

解析：

由題意畫出圖形，可證ACJ■平面B'ED,得到球心0位于平面B'ED與平面ACF的交線上，即直線EF

上，由勾股定理結(jié)合。4=OB',0E<EF,EF<E夕=4可得線段E尸長度的取值范圍.

本題考查空間中點、線、面間的距離計算，考查空間想象能力與思維能力，屬難題.

解：如圖，

由已知可得，ACLB'E,^ACLDE,

B'ECDE=E,B'E,OEu平面4E。，

：.AC1平面9ED,

E是AC的中點，

二到點A、C的距離相等的點位于平面ACF內(nèi)，

同理可知，到點夕、。的距離相等的點位于平面ACF內(nèi)，

?球心。到點A,B',C,。的距離相等，

???球心。位于平面B'ED與平面AC尸的交線上，即直線EF上.

???球心。落在線段EF上(不含端點E、F),

顯然EF_L8'0,由題意比4=3,EB'=4,

則。人2=亦+9,

且。42=OF2+FB'2=OF2+EB'2-EF2

=(EF-0E)2+16-EF2=OE2+16-2EF-OE.

OA=OB',

7

???OF2+9=OE2+16-2EF-OE,則OE=—,

顯然OE<EF,

???W<EF,即EF>更

2EF2

又EF<EB'=4,

—<EF<4.

2

故選:B.

2.答案：B

解析：

本題考查空間中直線與平面的位置關(guān)系，屬于一般題.

解題時逐一判斷即可求出答案.

解：直線。與直線b共面，直線6和直線c共面，存在直線“與直線c異面的情況，4錯誤；

平面a內(nèi)任意直線均平行于平面0,必在a內(nèi)必存在兩條相交直線平行于平面0,根據(jù)面面平行判定定

理可知平面a〃平面/?,B正確；

直線a與平面a不垂直，可能與平面a平行或相交；則在平面a內(nèi)存在與直線〃異面的直線與直線a

垂直，C錯誤；

若點P到三角形三條邊的距離相等，可知點尸在三角形所在平面內(nèi)的射影到三角形三邊的距離相等，

此射影點可為三角形兩外角平分線與一內(nèi)角平分線的交點，此時不是三角形的內(nèi)心，。錯誤，

故選8.

3.答案：D

解析：

本題考查三棱錐的外接球的表面積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基本知識，

考查空間想象能力、運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.

取AB、BC、AC的中點E、M、F,連結(jié)CE、AM、BF,交于點“，求出44==CH=1,設(shè)三

棱錐。一ABC的外接球的球心為O,連結(jié)0H,貝lj。"_L平面ABC,過。作0G14。，交AZ）于G,

設(shè)球半徑為R,OH=x,則4G=x，DG=^3~x,0G=AH=1,則R=y/DG2+OG2=y/OH2+BH2,

求出x=在，從而R==叱，由此能求出三棱錐D-ABC的外接球的表面積.

2弋42

解：取A3、BC、AC的中點E、M、F,連結(jié)CE、AM、BF,交于點〃,

D

則AH=BH=CH=3AB2—BM2=-3--=1，

33^4

設(shè)三棱錐。-4BC的外接球的球心為0,

連結(jié)?！?，則OH_L平面ABC,

過。作0GJ.4。，交A￡>于G,

設(shè)球半徑為/?,OH=x,則4G=x,DG=V3—x，0G=AH=1,

R=y/DG2+OG2=<OH2+BH2,

???三棱錐D-ABC的外接球的表面積S=4nR2=4TTX-=7TT.

4

故選。.

4.答案：B

解析：

本題給出正方形翻折問題，求棱錐外接球的表面積，著重考查了基本不等式、正方形的性質(zhì)和球的

表面積公式等知識，屬于較難題.

運用基本不等式，得當(dāng)矩形ABCD是邊長為2&的正方形時，矩形的周長最小.因此，三棱椎。-4BC

的外接球以AC中點。為球心，半徑等于AC長的一半，由此結(jié)合球的表面積公式和題中數(shù)據(jù)，即可

得到球的表面積.

解：設(shè)矩形的兩邊長分別為小必得

xy=8<(-y-)2,得x+y24/.當(dāng)且僅當(dāng)久=y=2注時，等號成立.

.??當(dāng)矩形ABC。是邊長為2夜的正方形時，矩形的周長最小.

因此，沿對角線AC把AACD折起得到的三棱椎。-ABC的外接球的球心是AC中點,

AC長的一半為球半徑，得R=2/1C=返40=2,

22

???三棱椎。-ABC的外接球表面積等于S=4TTR2=167r.

故選B.

5.答案：A

解析：

本題考查了空間幾何體三視圖的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)根據(jù)三視圖畫出幾何圖形，求出各個面的面積

和，是基礎(chǔ)題

解:根據(jù)幾何體的三視圖，得該幾何體是如圖所示的三棱錐P-ABC,底面為直角三角形,NB4c=90。,

且P。1底面ABC；

11=x1

SAABC=5X6x6=18,S4PBe26'J^x4=12y/2,S^PAB=S4PAe=,x6x5=15,

所以，該三棱錐的表面積為S=15x2+18+12V2=48+12V2，

故選A.

6.答案：D

解析:

本題考查空間中直線與平面之間的位置關(guān)系，以及空間中直線與直線的位置關(guān)系，解決此類問題關(guān)

鍵是熟練掌握線面垂直的性質(zhì)定理與三垂線定理.

由題意得可以分兩種情況討論：①當(dāng)直尺所在直線與地面垂直時；②當(dāng)直尺所在直線若與地面不垂

直時，再分別借助于線面垂直的性質(zhì)定理與三垂線定理得到答案.

解：由題意得可以分兩種情況討論：

①當(dāng)直尺所在直線與地面垂直時，則地面上的所有直線都與直尺垂直，則底面上存在直線與直尺所

在直線垂直；

②當(dāng)直尺所在直線若與地面不垂直時，則直尺所在的直線必在地面上有一條投影線，在平面中一定

存在與此投影線垂直的直線，由三垂線定理知，與投影垂直的直線一定與此斜線垂直，則得到地面

上總有直線與直尺所在的直線垂直.

??.教室內(nèi)有一直尺，無論怎樣放置，在地面總有這樣的直線與直尺所在直線垂直.

故選。.

7.答案：B

解析：

本題考查了幾何體的體積，空間中直線與直線的位置關(guān)系和二面角.

利用棱錐的體積公式和空間直線的位置關(guān)系，直接根據(jù)已知條件判斷即可得到答案.

解：在旋轉(zhuǎn)的過程中，E到平面BCD的距離在變化，而底面積8CC不變，故四面體E-BCD的體積

有最大值和最小值，(1)正確；

不妨設(shè)4E=BE=L則40=48=當(dāng)三棱錐E-4BD為正三棱錐時，DE=1,AE2+DE2=

AD2,則AE10E,又4E1BE,BECDE=E,

BE,DEu平面BOE,所以4E1平面BDE,而8。u平面所以AE1B0,(2)正確；

當(dāng)直線AE旋轉(zhuǎn)到平面A8O內(nèi)的時候，6=0°,而NZME=15°,此時。＜^DAE,故(3)錯誤；

由橢圓的定義可以得到AE的中點M與AB的中點N連線交平面3CO于點P,設(shè)P到BC到距離為d,

因為臂＜1,所以點P的軌跡為橢圓.故(4)正確；

???正確命題有3個,

故選B.

8.答案：C

解析：

本題考查了異面直線所成角的計算，考查面面平行的判定,考查棱錐的體積公式，屬于中檔題.過。1構(gòu)

造與平面BEF平行的平面，得出尸的軌跡，從而可得出當(dāng)所求角最小時對應(yīng)的尸的位置.

VV

解：TLp-8EF=B-D!EF=Di-BEF'

?1.P到平面BEF的距離等于Di到平面BEF的距離，

取CG的中點M,在/Ci上取點G,使得C[G=AF=1,

連接。母，MG,

則GM〃EF,DXM//BE,

二平面DiGM〃平面BEF,

P點軌跡為線段。道，

又BB"/CCi，4GCP為直線CP與SB1所成的角，

而tan4C】CP=|^,故當(dāng)CiPLCiG時，取得最小值,

過G作CiHlDiG,垂足為H,則。1"=翁=第，

:.tanZ.CyCH==爭

故選C.

9.答案：A

解析:

本題考查了直線與平面平行的性質(zhì)定理，屬于基礎(chǔ)題型.

取AB的中點連接E凡DF,

EF//PB,DF1.AB,

所以DF//BC,

所以平面。EF〃平面PBC,

又因為DEu平面DEF,

所以DE〃平面PBC.

故選A.

10.答案：B

解析：

本題考查空間想象能力，對球模型的轉(zhuǎn)換能力，屬于較難題.

三棱錐B-ACO的三條側(cè)棱B。140、DC1DA,底面是等腰三角形，它的外接球就是它擴展為三棱

柱的外接球，求出三棱柱的底面中心與球心連線的中點到頂點的距離，就是球的半徑，然后求球的

表面積即可.

解：以ABDC為底面，AO為高構(gòu)造出一個三棱錐4—BCD所在的三棱柱，

三棱柱中，底面ABDC,BD=CD=1,BC=V3.

在三角形8C。中，由余弦定理可得Bf2=BD2+CD2-2BD-CDcosABDC,

即3=1+1-2COSNBDC,

乙BDC=120°,

在^BDC中，利用正弦定理求得△80c的外接圓的半徑為［x3-=1，

2sinl20°

由題意可得：球心到底面的距離為也=更，

22

???球的半徑為r=f+l=^.

勺42

外接球的表面積為：4?！?77r

故選B.

11.答案：B

解析：

本題考查正方體的結(jié)構(gòu)特征及空間中直線與直線的位置關(guān)系，同時考查線面角與異面直線所成的角，

還考查三垂線定理，逐一判斷即可

解：在正方體中，與劣當(dāng)是異面直線，所以A錯誤；

在正方體中力G在平面BCC/i上的身影為BCi，而BG與81c垂直，所以由三垂線定理得4GLBiC,

所以8正確；

取Bi。1的中點O,連接40,則可得N&B。為4道與平面DBDiBi所成的角，這個角不等于45。，所以

C不正確；

在正方體中，力近和&C所成的角為60。，所以。不正確.

故選8.

12.答案：B

解析:

本題考查多面體和旋轉(zhuǎn)體上的最短距離(折疊與展開圖)，屬于基礎(chǔ)題.

由題意，小螞蟻從A點出發(fā)，沿長方體的表面到小螞蟻奶奶家G，有三種路徑分別計算可得.

解：由題意，小螞蟻

從4點出發(fā)，沿長方

體的表面到小螞蟻奶

奶家G，有三種路徑,

第一種，將側(cè)面

BCCiBi展開到底面

ABCD±.,則

ACr=J(2+1)2+32=3V2.

第二種，將側(cè)面BCCiBi展開到側(cè)面ABBiA上，則AC】=J(2+3中+了=辰,

第三種，將側(cè)面展開到底面ABCZ)上，貝=J22+(3+1尸=2后，

故最短距離為3VL

故選B.

13.答案：A

解析：解析：

本題考查空間想象能力，空間幾何體的模型，導(dǎo)數(shù)的運用.

設(shè)4B=a,可得長方體體積V=a?j9-ga?=J9a4-|a6(0<a<3V2)>令％=。2,

則0<x<18,因此1/=矛_沁求導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性可得最值.

解：設(shè)4B=a,則有。4=/?=3,所以=Jg-|a2(0<a<3V2)

則長方體體積U=a2j9-|a2=J9a4一*(0<a<3或)

令x=a2,貝ij0<x<18,因此l/=^9x2-~x3

令f(%)=9x2—i%30<x<18

所以f'(x)=18%—|x2=|x(12—%)

當(dāng)0VxV12時f\x)>0,/(%)單調(diào)遞增，

當(dāng)12VXV18時f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,

所以f(X)max=「(12)=122X3.

則Lax=12V3.

故選A

14.答案：ACD

解析:

本題考查了二面角，把二面角的大小轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)值的大小是解題的關(guān)鍵.

解:如圖，

設(shè)。是點D在底面ABC內(nèi)的射影,

過。作。E1PR,OF1PQ,0G1RQ,垂足分別為E,F,G,連接EQ,FD,GD,

易得E01PR,NOEO就是二面角。一PR—Q的平面角,

OD

???a=Z-OED,tano

~OE'

同理tan3=空OD

OF

底面的平面圖如圖所示,

以戶為原點建立平面直角坐標(biāo)系,

不妨設(shè)AB=2,

則A(-LO)，8(1,0),C(0,V3).0(0,小

AP=PB，券=胃=2，

???Q&憐叫凈,

則直線RP的方程為丫=一日x，直線尸。的方程為y=2總，直線R。的方程為、=小+手,

根據(jù)點到直線的距離公式，知。E=等，。時鴛，。G*

:.0E>OG>OF,

：.<：：tair.<：tan3,

又a,0,y為銳角，

-?a<y<p.

故選ACD.

15.答案：V19-4V3

解析：

本題考查面面垂直的性質(zhì)，立體幾何中翻折問題，屬于較難題.

延長8E至H,使得連接AH,過A作AF1BE于F點，通過面面垂直的性質(zhì)以及勾股定

理，得出|4C'|2=|C7/|2+|尸川2+（國川一|尸8|）2,再引入三角函數(shù)求解最值即可.

解：由題意，延長BE至H,使得C'HIBH,連接4H,過A作力FlBE于尸點，如圖所示：

又因為平面BEC'平面ABED,C'Hu平面BEC',且平面BEC'n平面ABED=BH,

所以C'H，平面ABED,又AHu平面ABED,

所以C'H1AH,

故|4C'|2=\C'H\2+\HA\2=\C'H\2+\FH\2+\FA\2=\C'H\2+\FA\2+(|BW|-|F5|)2,

在直角梯形ABC力中，Z.ABC=/.CDB=/.DAB=90°,/.BCD=30°,BC=4,

所以BD=2,AB=6,

設(shè)乙C'BE=8,易知()<&<；,則

所以|C'H|=4sin0,\BH\=4cos0,|凡4|=VScos仇|尸==8sin。，

所以14cl2=(4sin0)2+(V3cos0)+(4cos0—8sin。)=19—8>/3sin0cos0=19—45/3sin20?

因為所以當(dāng)2。即。：時，|月門2取得最小值19-4次，

<52

所以"C'lmin=J19-4V5-

故答案為J19—4遍?

16.答案：史史

81

解析:

本題考查圓錐的體積，考查計算能力，是基礎(chǔ)題.

求出圓錐的側(cè)面展開圖扇形的弧長，再求底面半徑，求出圓錐的高，即可求它的體積.

解：圓錐的側(cè)面展開圖扇形的弧長，即底面圓的周長為［?！?：兀，于是設(shè)底面圓的半徑為r,

則有2仃=我,所以r=|,

于是圓錐的高為九=V1—r2=

該圓錐的體積為亞（|）2〃X苧=Mm

故答案為嚕?

17.答案：相交

解析：

本題考查兩直線位置關(guān)系的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng).

推導(dǎo)出MN//B1C〃/1以，且MN=”iC="1D,從而四邊形&0NM是梯形，由此能判斷直線與

ON的位置關(guān)系.

解：在正方體ZBCD-4B1GD1中，

???點M,N分別是BiG，CCi的中點,

:.MN"B[C"A\D,且MN=：BiC=：4D,

???四邊形&DNM是梯形，

.??直線與￡W的位置關(guān)系是相交.

故答案為相交.

18.答案：30。

解析：

本題考查直線與平面所成的角，屬于中檔題.

在平面PBC上,過點B作8尸平行于PC交EC延長線于點F,連接A凡根據(jù)線面所成角的定義知NBAF

為直線AB和平面4DE所成的角，在Rt△BFA中求出此角即可.

解：在平面P8C上，過點8作BF平行于PC交EC延長線于點凡連接AF,

因為弘J-平面ABC,BCu平面ABC,

所以P4_LBC,

V.AB1BC,PAOAB=A,且PA,ABu平面PAB,

所以BC1平面PAB,

又4。u平面PAB,

則BC1AC,

又/W_LPB,PBCBC=B,

所以401平面PBC,

又PCu平面PBC,

得PC14。,

又PC14E,AEC\AD=A,且AE,ADADE,

所以PC_L平面ADE,EDu平面ADE,

：.PCLED,

平面PBC中，PC1ED,

vBF//PC,

???BF1ED,

又?:PC_L平面ADE,

所以BFADE,

即4B4F為直線AB和平面ADE所成的角.

在RtAPZB中，PB=V3."竺=漁，

PB3

所以PD=至，BD=—,

33

△ACP中，AC=AP=丘,ACLAP,E為尸C中點，

得PE=1.

由△PEO與△BFO相似，可得BF=1PE=}

RF1

在RtAB尸4中，sin/.BAF=-=

BA2

所以直線AB與平面ADE所成的角為30。.

故答案為30。.

3m

19.答案:

14

解析：

本題考查異面直線的夾角和二面角的求法，考查推理能力和計算能力，屬于一般題.

建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運算即可求解.

解：以。為原點，DA,DC,DDi所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則4(2,0,1),E(l,2,0),C(0,2,0),F(0,l,1)

???A^E=(-1,2,-1),CF=A^F=(-2,1,0)

設(shè)異面直線&E,CF所成的角為氏

取斤_3_V3

則cos。=

\A^E\\CF\~V6-V2-2

所以。=也所求異面直線的夾角為？

OO

設(shè)平面4EF與的一個法向量為沅=(x,y,z),

所,沆-砧=0(-X+2y-z=0

T沆?布=0l-2x+y=0)

令x=l,則布=(1,2,3),

取平面2B1GD1的一個法向量為元=(0,0,1),

設(shè)平面4EF與平面為8iCi￡)i所成銳二面角為a,

ni||沅員33/14

則85。=而而=而=卞'

所以平面4EF與平面4/165所成銳二面角的余弦值為甯,

故答案為於誓

20.答案：367r

解析：

本題考查球的半徑與表面積，考查體積的計算，屬中檔題.確定點C位于垂直于面AOB的直徑端點

時，三棱錐。-ABC的體積最大是關(guān)鍵.

當(dāng)點C位于垂直于面AOB的直徑端點時，三棱錐。-4BC的體積最大，利用三棱錐。-4BC體積的

最大值為g，求出半徑，即可求出球。的表面積.

解：如圖所示,

當(dāng)點C位于垂直于面AOB的直徑端點時，三棱錐。-ABC

的體積最大，設(shè)球O的半徑為R，此時％T8C=Vc-AOB=1X之XR2x

R=/3=g

故R=3,則球。的表面積為4兀/?2=36TT,

故答案為367r.

21.答案:喈

解析:

本題考查了空間幾何體中的最值問題，關(guān)鍵是列出式子，轉(zhuǎn)化為距離問題，借助三棱錐體積公式解

答即可，屬于難題.

解：如圖:

由tan乙4P0=可得普=|,在平面488出中，以A8的中點為坐標(biāo)原點，AB為x軸建立坐

標(biāo)系:力(-2,0),8(2,0).設(shè)P(x,y),

22

則由點到點的距離公式可以得到P的軌跡方程為(X+g)+y2=管)

,所以P的軌跡是一段圓弧，

[8

而MPT"=5s,73芋州而.ABC頌羯=5,卬到地面ABC。?禺'

將選x=-2代入得y=W<4,那么也就是說P的軌跡與441這條棱的交點就是滿足％.ABC最大的

點，即(Vp-48C)max=|X第=彳?

故答案為等

22.答案：4V2

解析:

本題考查空間中線段長的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要注意數(shù)形結(jié)合思維的合理運用.由而=至+

AB+BD,能求出線段C。的長.

解：如圖，CD=CA+AB+BD，

CD2=(CA+AB+前產(chǎn)

''>2'>2'''?2‘'‘?■?一，

=C4+48+BD+2BD-CA

1

=164-4+36+2x6x4x(--)

=32,

???線段CD的長|CD|=V32=4V2.

故答案為4dL

23.答案：解:(1)證明:

,:AC=BC,。為A8的中點./.CD1AB

又???CD1DA9???CD_L平面???CD1BBr

又BBi1力8,ABCCD=D

???BBi1WABC.

(2)'爰而建DBCTIBICI=^^ABC-A1B1C1—'棱錐A1-4BC

1

=S—BC.一gSfDC.441

11

=S—BC.AA]一wx-S^ABC-AAt

5

=5SFBC,

_10

=T

（3）以c為原點，分別以方，西，方所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.

則C(0,0,0),8(2,0,0),4(0,0,2),Cj(0,2,0),4式0,2,2)二0(1,0,1)

設(shè)瓦=(%i，yi，Zi)是面COAi的一個法向量，

則由像黑。得鼠M鼠

可取方=(11，-1)

同理設(shè)式=（無2。2,22）是面。416的一個法向量，

且笆=（1,-2,1）=（0,0,2）

則由

佟。=0

I芯,G4—o

得『2-2y2+Z2=0

取巧（2,1,0）

一一月?底3V15

???cos<nltn2>—-^=T：--=-=---------==—=—

IHiIXIn2I'V3xV55

二面角C-D4-Ci為銳二面角，所以其平面角的余弦值為卓.

解析：⑴要證BB]J"平面A8C,必須證明BBi_L平面ABC內(nèi)的兩條相交直線，A8、CQ即可，可用

幾何法證明.

(2)多面體DBC-41/6是不規(guī)則幾何體，其體積不易直接求.將其轉(zhuǎn)化為三棱柱ABC-41當(dāng)6與

三棱錐兒一月DC體積之差.

(3)建立空間直角坐標(biāo)系，求出CD必與D&C1的法向量溫，石，利用二面角C-D41-C1的平面角與

瓦:布的夾角相等或互補的關(guān)系去解決.

本題考查直線和平面位置關(guān)系及其判定，空間幾何體體積的計算，二面角求解，考查轉(zhuǎn)化的思想方

法(間接法求體積，線線垂直轉(zhuǎn)化為向量垂直)空間想象能力，計算能力.利用空間向量的知識，則

使問題論證變成了代數(shù)運算，使人們解決問題更加方便.

24.答案：(I)證明：???四邊形48CO是菱形，???4C1BD.t：

又：PA_L平面ABCD,BD泰平面ABCD,：.PA1BD.

又PHnAC=4，P4攝平面PAC,￡1平面PAC,二8。_L平面PAC,\

...BD"平面PBD,.??平面P80_L平面PAC.

(口)解：設(shè)4CnBD=。，因為4BAD=60。，PA=AB=2,所以

BO=1,AO=C0=V3>如圖，以。為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則P(V5,0,2),

4(75,0,0),8(0/，0),D(0,-l,0),C(-V3,0,0)，所以而=(一舊,1,一2)，PD=(-73,-1,-2),

PC=(-273,0,-2).

設(shè)平面PZ>B的法向量為元=(x,y,z),則巴,空=°則卜子+"2z=0解得°,令z=?

｛記.PD=0(-V3x-y-2z=0

得X=-2,.?.元=(-2,0,遮).

設(shè)PC與平面P8D所成角為。，貝llsin。=|cos<n,PC>|=|祟|=笑=

171Hpe|4V714

則PC與平面PB力所成角的正弦值為叵.

14

解析：(I)證明4C1BD.H41BD.推出BD_L平面PAC,然后證明平面PBD1平面PAC.

(11)以0為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系。-xyz,求出相關(guān)點的坐標(biāo)，平面PD8的法向量，設(shè)

PC與平面尸8。所成角為。，利用空間向量的數(shù)量積求解PC與平面PB。所成角的正弦值.

本題考查直線與平面垂直的判定定理與平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，直線與平面所成角的求

法，考查空間想象能力以及計算能力.

25.答案：（1）解：由題設(shè)知，BF//CE,

所以NCED（或其補角）為異面直線B尸與OE所成的角.

設(shè)P為AD的中點，連接EP,PC.

因為FE《4P，所以FA?EP，同理AB,PC.

又凡41平面ABCD,所以EP，平面ABCD.

而PC,4。都在平面ABC。內(nèi)，

故EPJ.PC,EP14D.由4B1AD,可得PC1AD設(shè)FA=a,

則EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=/a,故"EO=60°.

所以異面直線BF與OE所成的角的大小為60°

（2）證明：因為DC=DE且例為CE的中點，

所以O(shè)M_LCE.連接MP,則MPJ.CE.又MPnDM=M,

故CEL平面4MD.而CEu平面CDE,

所以平面AMD_L平面CDE.

解析：本題考查異面直線所成的角，面面垂直的判定，和二面角問題，屬綜合題，難度中等

（1）先將BF平移到CE,則NCED（或其補角）為異面直線B尸與OE所成的角，在三角形CED中求出

此角即可；

（2）欲證平面/MD1平面CDE,即證CE1平面AMD,根據(jù)線面垂直的判定定理可知只需證CE與平

面AMO內(nèi)兩相交直線垂直即可，易證DM1CE,MP1CE.

26.答案：（1）證明：取41G中點M,連接OW,DiM,

???AM是團AiBiG的中位線，???D1M//B1G，

又；DiM，平面BCGBi

所以〃平面BCG%,

???在平行四邊形441cle中，D,M分別是AC,4G的中點,

ADMI/CC],

又：DMC平面BCG

所以0M〃平面BCC1B1，

又：DMODjM=M,

二平面DM。1〃平面BCJBi，

vDDiu平面DMA，

￡>￡>i//平面BCCrB^

(2)解：因為CCi〃44「

所以即求直線CCi與平面ABC所成角的正弦值，

連接。8、04],作&H1BD于“，連接A”，

由條件可知，回44也是正三角形，AC_LZMi，

同理AC1DB,

XvDBnDAr=D,,ACJ_平面BZMi，

XvACu平面ABC,

???平面ABC1平面BD4.

???&Hu平面BZMi，S.AAH1BD,

A\H±平面ABC,

44遇H即為所求角，

由條件知。B=DAX=V3.

cosZ-BDAj^=/.BDA^=120°,

^AADH=60",

o

???ArH=又1AA1=2,

所以如"小河=萼=9,

AAi4

直線eg與平面4BC所成角的正弦值為

解析：本題考查面面平行的判定與性質(zhì)，同時考查線面平行的判定及面面垂直的判定與性質(zhì)，還考

查線面角的求解.

(1)取41cl中點M,連接。M,DiM,通過證明平面DM/〃平面BCGBi即可求解；

(2)將問題轉(zhuǎn)化為求直線CQ與平面A8C所成角的正弦值，連接。8、0&,作&H1BD于H,連接

AH,然后由面面垂直的性質(zhì)及線面角的定義求解即可.

27.答案:解：

(1)因為*1〃441，

AAXu面AA、B,

所以CG〃礪L4iB,

CG到平面&ZB的距離即為G到平面4AB的距離.

VAG1平面&BCAG1A-iC

???四邊形&ACC1是菱形???。是AC的中點

44遇。=60°???4(2,0,0)711(1,0,百)

8(0,2,0)G(-l，°，V3)

中=(1,0,遮)卷=(-2，2,0)

設(shè)平面44B的法向量記=(x,y,z),則e=?z,令z=i,

lx=y

n=(V3,y/3,1)

立=（2,。，0）."=鬻=竽

二G到平面A遇B的距離為雪,

即CCi到平面&4B的距離為竽.

（II）平面&AB的法向量丘=（遍,百,1）,

平面48C的法向量為（-3,0,V3）,

???3＜石元＞=磊=-去

設(shè)二面角A-4B-C的平面角為。，。為銳角，

c夕

:.COS0=—

即二面角4-A.B-C的余弦值為

解析：本題考查點到面距離的求法,二面角的求法，由解題過程可以看出，用向量法求點到面的距

離，求二面角是一個很實用的方法,解題中要善于運用，在求解此類題時，求面的法向量是一個重

點，要學(xué)會怎么賦值.

（I）本小題關(guān)鍵是利用CCJ/441，面AA\B，得到Cg〃硒A卷,所以CG到平面44B的距離

即為G到平面41AB的距離.

求G到平面44B的距離，本小題擬采用向量法求解，建立空間坐標(biāo)系，求出平面44B的法向量，

以及立，求打在平面法向量上的投影即可得到點到面的距離.

（口）求二面角4-48-。的余弦值，本小題擬采用向量法求解，根據(jù)（I）求出兩平面的法向量，直

接求兩向量夾角的余弦值的絕對值即可.

28.答案：證明：(1)過點當(dāng)作4道的垂線，垂足為0,由平面_L平面4&C1C,平面占8道0平

面4416(7=/11C，

得當(dāng)。_L平面4&C1C,

又ACu平面44￡C,得當(dāng)。1AC.

由NB4C=90。，AB〃A[B[,得4B114C.

又Bi。Cl&&=Br得4c_L平面&BiC.

又C4iu平面&BiC,得4C_LC4i.

(11)以(7為坐標(biāo)原點，襦的方向為x軸正方向，|石？|為單位長，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz.

由已知可得4(1,0,0),4(0,2,0),^(0,1,73).

所以直=(1,0,0)，AA^=(-1,2,0).AB=A^=(0,-1,V3).

設(shè)幾=(x,y,z)是平面&AB的法向量，則

件絲1=0,即尸+2葭°可取記=(2但柢1).設(shè)沆=(3")是平面ABC的法向量，則

tn-AB=0J，+V3z=0

四亞=0,即1+岳父，可取沆=(0,但1).

(m-CA=0U=0J

則cos伍，m>=二:=

又因為二面角4一AB-C為銳二面角，所以二面角&