人教版高中數(shù)學(xué)全冊(cè)教案-09-直線(xiàn)、平面、簡(jiǎn)單幾何體-05

平行直線(xiàn)

一、素質(zhì)教育目標(biāo)

(-)知識(shí)教學(xué)點(diǎn)

1.公理4,即平行公理.

2.等角定理及推論.

(-)能力訓(xùn)練點(diǎn)

1.利用聯(lián)想的方法，掌握并應(yīng)用由平面內(nèi)引伸到空間中的平行公理.

2.充分利用構(gòu)造的方法證明等角定理，為下一節(jié)兩條異面直線(xiàn)所成的角的

定義提供了可能性與唯一性.

3.通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到在平面幾何中成立的結(jié)論或定理等，

在用于非平面圖形時(shí)，須先證明.

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)及解決方法

1.教學(xué)重點(diǎn)：讓學(xué)生掌握平行公理及其應(yīng)用.

2.教學(xué)難點(diǎn)：等角定理證明的掌握及其應(yīng)用.

3.教學(xué)疑點(diǎn)：正確理解等角定理中命題的條件：兩個(gè)角的兩邊分別平行且

這兩個(gè)角的方向相同.

三、課時(shí)安排

1課時(shí).

四、教與學(xué)的過(guò)程設(shè)計(jì)

(-)復(fù)習(xí)兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系(幻燈顯示)

師：空間中兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系有哪幾種？

生：三種：相交、平行、異面.異面直線(xiàn)是指不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn).相

交直線(xiàn)和平行直線(xiàn)也稱(chēng)為共面直線(xiàn).

師：異面直線(xiàn)的畫(huà)法常用的有哪幾種？

生：三種.m1-38,a與b都是異面直線(xiàn).

師：如何判定兩條直線(xiàn)是異面直線(xiàn)？

生：（1）間接證法：根據(jù)定義，-一般用反證法.

圖1-38

（2）直接證法：根據(jù)例題結(jié)論：過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的

直線(xiàn)，和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)讀點(diǎn)的直線(xiàn)是異面直線(xiàn).加圖1-39,B奉a.

ACa,aua,Atfa.Ma與AB為異面直線(xiàn).

圖1-39

（二）平行公理

師：在平面幾何中，如圖1—40,若2〃13,c〃b,則a與c平行嗎？

a

V

圖1-40

圖1-41

生：平行.

師：也就是說(shuō)，在平面中，若兩條直線(xiàn)a、c都和第三條直線(xiàn)b平行，則2〃g這

個(gè)命題在空間中是否成立呢？

師：實(shí)際上，在空間中，若2〃13,c〃b,則a〃c也成立.我們把這個(gè)結(jié)論作

為一個(gè)公理，不必證明，可直接應(yīng)用.

平行公理：平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行.

如圖1-41,三棱鏡的三條棱，若AA'〃BB',CC'〃BB',則有AA，//CC.

下面請(qǐng)同學(xué)們完成下列的例題，鞏固應(yīng)用平行公理.

例已知四邊形ABCD是空間四邊形（四個(gè)頂點(diǎn)不共面的圖1-41四邊形），E、

H分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是邊CB、CD

上的點(diǎn)，且票■票■號(hào).求證.四迦雅EF曲是魏.

師分析：要證明四邊形EFGH是梯形，即要證明四邊形EFGH的一組對(duì)邊平行，

另一組對(duì)邊不平行；或證明一組對(duì)邊平行且不相等.具體用哪一種方法，我們來(lái)

分析一下題意：E、H分別是邊AB、AD的中

直，由平面幾何中的三角射中位線(xiàn)定理，特?EHjBDflEH=^BD;

又由票■票楣BT外吩哪閡創(chuàng)辿,可斷EGABD,

2

且FG=苧BD.由上面這些條忤事可證明律形EFGH.

圖1-42

證明:如圖1-42,連結(jié)BD.

???EH是4ABD的中位線(xiàn)，

，EH|BD,EH=JBD.

4

又SABCD中，署喑4

.'.FG|BD>FG=1BD.

根據(jù)公理4,EH〃FG,

又???FG>EH,

四邊形EFGH是柳形.

（三）等角定理

師：平行公理不僅是今后論證平行問(wèn)題的主要依據(jù)，也是證明等角定理的基礎(chǔ).

等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，并且方向相同，那么這兩

個(gè)角相等.

已知：NBAC和NB'A'C的邊AB〃A'B',AC〃A'C,并且方向相同.

求證：ZBAC=ZB,A'C.

師分析：在平面內(nèi)，這個(gè)結(jié)論我們已經(jīng)證明成立了.在空間中，這個(gè)結(jié)論是否成立，

還需通過(guò)證明.要證明兩個(gè)角相等，常用的方法有：證明兩個(gè)三角形全等或相似，則對(duì)應(yīng)角

相等；證明兩直線(xiàn)平行，則同位角、內(nèi)錯(cuò)角相等；證明平行四邊形，則它的對(duì)角相等，等等.根

據(jù)題意，我們只能證明兩個(gè)三角形全等或相似，為此需要構(gòu)造兩個(gè)三角形，這也是本題證明

的關(guān)鍵所在.

圖1-43

證明：對(duì)于NBAC和NB'A'C'都在同一平面內(nèi)的情況，在平面幾何中已經(jīng)

證明.下面我們證明兩個(gè)角不在同一平面內(nèi)的情況.

如圖1-43,在A(yíng)B、A'B',AC、A'C上分別取AD=A'D'、AE=A'E',

連結(jié)AA'、DD/、EE',DE、D'Ez.

???AB〃A'B',AD=A/D',

.-.AA7DDZ是平行四邊形.

.".AA,ILDDJ

國(guó)電AA1IcE7.

根據(jù)公理4,得：DD'〃EE'.

又可得：DD'=EE'

四邊形EE'D'D是平行四邊形.

??.ED=EZD',可得：ZXADE之Z\A'D'E'.

.".ZBAC=ZBzA'C.

師：若把上面兩個(gè)角的兩邊反向延長(zhǎng)，就得出下面的推論.

推論：如果兩條相交直線(xiàn)和另兩條相交直線(xiàn)分別平行，那么這兩組直線(xiàn)所成的銳角（或

直角）相等.

從上面定理的證明可以知道：平面里的定義、定理等，對(duì)于非平面圖形，需要經(jīng)過(guò)證

明才能應(yīng)用.

下面請(qǐng)同學(xué)們完成練習(xí).

（四）練習(xí)（P.14練習(xí)1、2.）

1.把一張長(zhǎng)方形的紙對(duì)折兩次，打開(kāi)后如圖1一44那樣，說(shuō)明為什么這些

折痕是互相平行的？

YIY

xl/Mz

圖1-44

答：把一張長(zhǎng)方形的紙對(duì)折兩次，打開(kāi)后得4個(gè)全等的矩形，每個(gè)矩形的豎邊是

互相平行的，再應(yīng)用平行公理，可得知它們的折痕是互相平行的.

2.JKCB1-45,AA‘?BB''8’不共面，fiBB'#AAf,

OC，2,AAf.李征：

△ABC^AA7B'C.

證明??.BB',CCJ|_AAJ,

HOC1.

圖1-45

.?.四邊形BB'C'C是平行四邊形.

.?.BC=B'C.

同理可證：AC=A'C,