第3章 函數(shù)概念與性質(zhì)（基礎(chǔ)、典型、新文化、易錯、壓軸）專項訓(xùn)練-2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)考試滿分全攻略（人教A版2019必修第一冊）（解析版）

第3章函數(shù)概念與性質(zhì)（基礎(chǔ)、典型、新文化、易錯、壓軸）

分類專項訓(xùn)練

【基礎(chǔ)】

一、單選題

1.（2022?陜西?寶雞市金臺區(qū)教育體育局教研室高一期末）我國農(nóng)歷用鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、

猴、雞、狗、豬這12種動物按順序輪流代表各年的年號，2022年是虎年，那么1949年是（）

A.牛年B.虎年C.兔年D.龍年

【答案】A

【分析】利用周期函數(shù)的定義求解即可.

【詳解】根據(jù)題意，農(nóng)歷年號對應(yīng)的動物是以12為周期的周期函數(shù)，

所以/（2022）=/（2022-6X12）=/（1950）=虎年，

所以1949年是牛年.

故選：A.

2.（2022?北京通州?高一期末）已知函數(shù)），=/（》）表示為

X[-2,0)0(0,2]

y10-2

設(shè)〃D=/（x）的值域為則（）A.m=-2,M={-2,0,1}B.m=-2,M={y|-2WyWl}

C.m=\,M={-2,0,1}D.m=\,M={y|-2WyWl}

【答案】A

【分析】根據(jù)所給函數(shù)可得答案.

【詳解】根據(jù)題意得/⑴=-2=〃?，/（x）的值域為知={-2,0,1}.

故選：A.

3.（2022.全國?高一專題練習(xí)）某人去上班，先跑步，后步行.如果y表示該人離單位的距離，x表示出發(fā)后

的時間，那么下列圖象中符合此人走法的是（）.

【答案】D

【分析】根據(jù)隨時間的推移該人所走的距離的大小的變化快慢，從而即可獲得問題的解答，即先利用x=0時

的函數(shù)值排除兩項，再利用曲線的斜率反映行進(jìn)速度的特點選出正確結(jié)果

【詳解】解：由題意可知：x=0時所走的路程為0,離單位的距離為最大值，排除A、C,

隨著時間的增加，先跑步，開始時y隨*的變化快，后步行，則y隨*的變化慢，

所以適合的圖象為D；

故選：D

4.（2022?全國?高一專題練習(xí)）任意兩個事函數(shù)圖象的交點個數(shù)是（）

A.最少一個，最多三個B.最少一個，最多二個

C.最少0個，最多三個D.最少0個，最多二個

【答案】A

【分析】利用基函數(shù)的圖象和性質(zhì)判斷.

【詳解】解：因為所有幕函數(shù)的圖象都過（1，1）,

所以最少有1個交點,

如圖所示：

當(dāng)函數(shù)為），=v和y=x時，它們有3個交點,

故選：A.

5.（2022?全國?高一專題練習(xí)）下列命題中正確的是（）

A.暴函數(shù)的圖象一定過點（0,0）和點（1,1）

B.若函數(shù)f（x）=x〃是奇函數(shù)，則它在定義域上單調(diào)遞增

C.暴函數(shù)的圖象上的點一定不在第四象限

D.幕函數(shù)的圖象不可能是直線

【答案】C

【分析】利用募函數(shù)〉=廠，的圖象可排除A,B；基函數(shù)y=x可排除D；當(dāng)x>0時，,f（x）=xa>0必成立,

可判斷C

【詳解】基函數(shù)y=x-的圖象不過點（0,0）,它在（-co,0）,（0,+oo）上單調(diào)遞減，于是A,B都不

正確.

事函數(shù)y=x的圖象是直線，D不正確.

當(dāng)x>0時，f（x）=xa>0必成立，所以，幕函數(shù)的圖象上的點一定不在第四象限，C正確

故選：C.

二、多選題

6.（2022?全國?高一專題練習(xí)）矩形的面積為10,如果矩形的長為x,寬為對角線為d,周長為/,下列

正確的（）

A.l=2x+一（x>0）B.y=—（x>0）

XX

c./=2，磨+20（d>0）

【答案】ABD

【分析】根據(jù)已知條件逐個分析判斷即可

【詳解】對于A,因為矩形的面積為io,矩形的長為％,寬為

所以孫=10,得尸3，所以矩形的周長為/=2x+至（x>0）,所以A正確,

XX

對于B,由選項A,可知y=W（x>0）,所以B正確，

X

對于c,因為矩形的面積為io,對角線為d,長為x,寬為y,

所以/+/=/22砂=20,當(dāng)且僅當(dāng)X=y=ji6時等號成立,

所以/+丁+2*丫=1+20,(x+y)2=d2+20,

因為x+y>0,所以*+/=J-2+20,所以矩形的周長為/=2山2+20（公2行），所以C錯誤,

對于D,由選項C可知/+>2=/，D=10,所以/=/+吧，

X

因為4>0,所以d=卜+券（x>0）,所以D正確，

故選：ABD

7.（2022?全國?高一）函數(shù)/（幻=］「，x€（-oo,0）50,yo）,則下列等式成立的是（）

A.〃x）=MB.=

。?必卜心D./（T）f（x）

【答案】AD

【分析】利用函數(shù)解析式直接驗證可得出合適的選項.

一%x

【詳解】因為xe（F,0）u（0,E）,則〃一句=］+（］靖=_’7=-/（0,

］_

/（｝）=一七=言［=/（力，AD選項正確，BC選項錯誤.

,+U

故選：AD.

8.（2022.全國?高一專題練習(xí)）下面選項中，變量>是變量x的函數(shù)的是（）

A.*表示某一天中的時刻，>表示對應(yīng)的某地區(qū)的氣溫

B.X表示年份，y表示對應(yīng)的某地區(qū)的GO尸（國內(nèi)生產(chǎn)總值）

c.X表示某地區(qū)的學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成績，y表示該地區(qū)學(xué)生對應(yīng)的考試號

D.X表示某人的月收入，y表示對應(yīng)的個稅

【答案】ABD

【分析】根據(jù)函數(shù)的定義，進(jìn)行判斷

【詳解】ABD均滿足函數(shù)的定義，C選項，同一個分?jǐn)?shù)可以對應(yīng)多個考試號，不滿足對于任意的x,都有

唯一的y與其對應(yīng)，故C選項錯誤.

故選：ABD

9.（2022?全國?高一單元測試）某校學(xué)習(xí)興趣小組通過研究發(fā)現(xiàn)：形如尸竺蘭（acRO,""不同時為0）

cx+a

的函數(shù)圖象可以由反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過平移變換而得到，則對函數(shù)y=Tx+2的圖象及性質(zhì)，下列表述正

x-]

確的是（）

A.圖象上點的縱坐標(biāo)不可能為1

B.圖象關(guān)于點（1,1）成中心對稱

C.圖象與x軸無交點

D.函數(shù)在區(qū)間（1,+8）上是減函數(shù)

【答案】ABD

【分析】化簡y==得到y(tǒng)=i+F，結(jié)合反比例函數(shù)y=°的性質(zhì)可得到結(jié)果.

x-1x-1x

【詳解】y=W=iO=l+上，則函數(shù)y=g的圖象可由的y=2圖象先向右平移一個單位長度，

x-1x-1x-lX-1X

再向上平移一個單位長度得到，

圖象上點的縱坐標(biāo)不可能為1,A正確；圖象關(guān)于點（1,1）成中心對稱，B正確；圖象與X軸的交

點為（-2,0）,C不正確；函數(shù)在區(qū)間（1,內(nèi)）上是減函數(shù),D正確..

故選：ABD.

三、填空題

10.（2022?北京豐臺?高一期末）中國剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋，用于裝點生活或配合其他

民俗活動的民間藝術(shù).現(xiàn)有兩名剪紙藝人創(chuàng)作甲、乙兩種作品，他們在一天中的工作情況如圖所示，其中點4

的橫、縱坐標(biāo)分別為第，?名藝人上午創(chuàng)作的甲作品數(shù)和乙作品數(shù)，點B,的橫、縱坐標(biāo)分別為第i名藝人下午創(chuàng)

作的甲作品數(shù)和乙作品數(shù)，，=1,2.給出下列四個結(jié)論：

“乙作品數(shù)（件）

-R

,A

J---甲-作品數(shù)（件?）

①該天上午第1名藝人創(chuàng)作的甲作品數(shù)比乙作品數(shù)少；

②該天下午第1名藝人創(chuàng)作的乙作品數(shù)比第2名藝人創(chuàng)作的乙作品數(shù)少；

③該天第1名藝人創(chuàng)作的作品總數(shù)比第2名藝人創(chuàng)作的作品總數(shù)少；

④該天第2名藝人創(chuàng)作的作品總數(shù)比第1名藝人創(chuàng)作的作品總數(shù)少.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

【答案】①②④

【分析】根據(jù)點的坐標(biāo)的意義結(jié)合圖形逐個分析判斷即可

【詳解】對于①，由題意可知，A的橫、縱坐標(biāo)分別為第1名藝人上午創(chuàng)作的甲作品數(shù)和乙作品數(shù)，由圖可

知A的橫坐標(biāo)小于縱坐標(biāo)，所以該天上午第1名藝人創(chuàng)作的甲作品數(shù)比乙作品數(shù)少，所以①正確，

對于②，由題意可知，用的縱坐標(biāo)為第1名藝人下午創(chuàng)作的乙作品數(shù)，4的縱坐標(biāo)為第2名藝人下午創(chuàng)作

的乙作品數(shù)，由圖可知g的縱坐標(biāo)小于冬的縱坐標(biāo)，所以該天下午第1名藝人創(chuàng)作的乙作品數(shù)比第2名藝

人創(chuàng)作的乙作品數(shù)少，所以②正確，

對于③，④，由圖可知，A，耳的橫、縱坐標(biāo)之和大于4,的橫、縱坐標(biāo)之和，所以該天第2名藝人創(chuàng)作

的作品總數(shù)比第1名藝人創(chuàng)作的作品總數(shù)少，所以③錯誤，④正確，

故答案為：①②④

II.（2022.全國?高一專題練習(xí)）對于三個數(shù)字a,b,c,用min{a,6,c}表示這三個數(shù)中最小數(shù)，例如

-2(x>-2)

min{-2,-1,0)=-2,min"如果min{-3,8-2x,3x-5}=-3,則x的取值范圍是

x(x<-2)

【答案】

—3K8—2x

【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為不等式組-343一,即可求解

【詳解】由題意,如果min{-3,8-2x,3x-5}=-3,

可得不等式組-3<8-2<x，解得2即11實數(shù)1的取值范圍是［；2=11］.

1-3S3工一33232

故答案為：［］,萬］.

12.（2022.全國?高一專題練習(xí)）如圖1,四邊形4BCO中，AB//CD,4=90。，AC=AD.動點P從點8

出發(fā)，沿折線B-A-O-C方向以“單位/秒的速度勻速運動，在整個運動過程中，ABCP的面積S與運動

時間f（秒）的函數(shù)圖象如圖2所示，則四邊形A8CD的面積是.

圖1圖2

【答案】90

2

【分析】由題可得/W=3a,AD=5a=AC,進(jìn)而可得，SBCD=^xBCxCD=\2a=60,解得片=5,即可

求解.

在RtAD”中，AD=5a,AB=3a=CH=DH,

則AH-J5a*-3a2=4a=BC,

當(dāng)點P在點、及處時，Spen=S8co=；xBCxC￡)=；x4ax6a=12/=60,

解得°2=5,

貝I］四邊形ABC。的面積為g(AB+C￡>)xA"=gx(3“+6a>44=18a?=90.

故答案為：90.

四、解答題

13.(2022?湖南?高一課時練習(xí))己知某函數(shù)在區(qū)間(口/］上遞減，在區(qū)間口,一)上遞增，“0)不是這個函

數(shù)的最小值.試寫出一個這樣的函數(shù)解析式.

【答案】/(X)=X2-2X+1

【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性直接寫出函數(shù)解析式.

【詳解】由已知在區(qū)間(-8,1］上遞減，在區(qū)間［1,—)上遞增，/(0)不是這個函數(shù)的最小值，

則這個函數(shù)可以為〃X)=(X—1)2=X2-2X+1,

答案不唯一.

14.(2022?全國?高一課時練習(xí))下列各組中兩個變量之間是否存在依賴關(guān)系？若存在依賴關(guān)系，則其中哪

些是函數(shù)關(guān)系？

(1)在速度不變的情況下，汽車行駛的路程和行駛的時間；

(2)家庭的收入和其消費支出；

(3)正三角形的面積和它的邊長.

【答案】(1)存在依賴關(guān)系，是函數(shù)關(guān)系

(2)存在依賴關(guān)系，但不是函數(shù)關(guān)系

(3)存在依賴關(guān)系，是函數(shù)關(guān)系

【分析】根據(jù)函數(shù)的概念，逐項判定，即可求解.

(1)

解：在速度不變的情況下，行駛的路程s與行駛的時間，之間滿足s=h(k為正數(shù)),

故這兩個變量之間存在依賴關(guān)系，且是函數(shù)關(guān)系.

(2)

解：家庭收入和其消費支出之間存在依賴關(guān)系，但不是函數(shù)關(guān)系.

(3)

解：正三角形的面積S與其邊長。之間滿足5=立/,故這兩個變量之間存在依賴關(guān)系，且是函數(shù)關(guān)系.

4

15.(2022.全國?高一專題練習(xí))如圖，某中學(xué)準(zhǔn)備在校園里利用院墻的一段，再砌三面墻，圍成一個矩形

花園ABCZ),已知院墻長為25米，籬笆長50米(籬笆全部用完)，設(shè)籬笆的一面A8的長為x米.

<-----25m---->

M~71[D~N

BC

(1)當(dāng)A8的長為多少米時，矩形花園的面積為300平方米？

(2)若圍成的矩形48。的面積為S平方米，當(dāng)x為何值時，S有最大值，最大值是多少？

【答案】(1)15米；

(2)當(dāng)x為12.5米時，S有最大值，最大值是312.5平方米.

【分析】(1)設(shè)籬笆的一面A3的長為x米，則BC=(50-2x)m,根據(jù)“矩形花園的面積為300平方米”列

一元二次方程，求解即可；

(2)根據(jù)題意，可得S=x(50-2x),根據(jù)二次函數(shù)最值的求法求解即可.

(1)

設(shè)籬笆的一面AB的長為x米，則8c=(50-2x)m,

由題意得，450-2x)=300,

解得再=15，w=10,

50-2x<25,

.\x>12.5,

.*.x=15,

所以，AB的長為15米時，矩形花園的面積為300平方米；

(2)

由題意得,S=x（50-2x）=-2x2+50x=-2（x-l2.5『+312.5,12.5<x<25

.?.x=12.5時，S取得最大值，此時，5=312.5,

所以，當(dāng)x為12.5米時，S有最大值，最大值是312.5平方米.

16.(2022?全國?高一課時練習(xí))幾名大學(xué)畢業(yè)生合作開設(shè)3。打印店，生產(chǎn)并銷售某種3。產(chǎn)品.已知該店每

月生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)月都能銷售完，每件產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為34元，該店的月總成本由兩部分組成：第一部分是

月銷售產(chǎn)品的生產(chǎn)成本，第二部分是其他固定支出20000元.假設(shè)該產(chǎn)品的月銷售量八件)與銷售價格x(元

/件)(xeN")之間滿足如下關(guān)系：①當(dāng)344XM60時，r(x)=-?(x+5)2+10050；②當(dāng)604xM76時，

f(x)=-l(X)x+7600.記該店月利潤為例(元)，月利潤=月銷售總額-月總成本.

(1)求M關(guān)于銷售價格x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)求該打印店的最大月利潤及此時產(chǎn)品的銷售價格.

，/、f-2x3+48x2+10680x-360000,34<x<60,xeN*

【答案】(l)M(x)=《,.

''-100x2+11OOO.r-278400,60<x<76,xeTV

(2)44226元，51元/件

【分析】(1)先代入x=6(),求出。，然后，分情況寫出M(x),化簡即可求解

(2)分情況討論M(x)的最值即可求解

(1)

當(dāng)x=60時，-a(60+5)2+10050=-100x60+7600,解得a=2.

._1(~2x2-20x+10000)(x-34)-20000,34<x<60,xe

"'"|(-100x+7600)(x-34)-20000,604x476,xeN*

(、_f-2x3+48x2+10680x-360000,344x460,xeN",

'A-j-100x2+11OOO.r-278400,604x476,xeN*

(2)

當(dāng)344x460,xeR時，設(shè)g(x)=—2d+48Y+10680X-360000,

貝ljg，(x)=-6(/-16x-1780).

令g[x)=0,解得用=8—(舍去)，A2=8+2^/46^e(50,51),

當(dāng)34WX&50時，g'(x)>。，g(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)51Mx460時,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.

???xeN*,M（50）=44000,M（51）=44226,M（x）的最大值為44226.

當(dāng)604x476時，M（x）=100（-x2+110x-2784）單一調(diào)遞減，故此時

M（x）的最大值為"（60）=21600.綜上所述，當(dāng)x=51時，M（x）有最大值44226.

該打印店的最大月利潤為44226元，此時產(chǎn)品的銷售價格為51元/件

17.（2022?湖南?高一課時練習(xí)）某農(nóng)場種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從2月1日起的300天內(nèi)，西

紅柿市場售價與上市時間的關(guān)系可用如圖所示的一條折線表示，寫出市場售價與時間的函數(shù)解析式

【分析】利用待定系數(shù)法分別求出函數(shù)在當(dāng)0VfV200和200V14300時的函數(shù)解析式，從而可得出答案.

【詳解】解：當(dāng)0W200時，設(shè)/（。=4+4，

將點(0,3),(200,1)代入得，

b、=3

b.=3

200匕+4=1'解得',1，

J100

所以/(，)=-3,0<t<200,

100

當(dāng)2(X)<fW300時，設(shè)/(?)=口+4,

將點（300,3）,（200,1）代入得,

b=-3

300A)+4=32

解得

200&+4=1

所以f(/)=4f-3,200<?<300,

---r+3,0<r<200

綜上可得—(，)=，100

—r-3,200<r<300

150

18.(2022.全國?高一專題練習(xí))結(jié)合圖中的五個函數(shù)圖象回答問題:

(1)哪幾個是偶函數(shù)，哪幾個是奇函數(shù)?

(2)寫出每個函數(shù)的定義域、值域；

(3)寫出每個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：

(4)從圖中你發(fā)現(xiàn)了什么？

【答案】(1)答案見解析；

(2)答案見解析；

(3)答案見解析；

(4)答案見解析.

【分析】根據(jù)已知函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可求得結(jié)果.

(1)

數(shù)形結(jié)合可知，y=x?的圖象關(guān)于y軸對稱，故其為偶函數(shù);

y=x,y=V,y=1的圖象關(guān)于原點對稱，故都為奇函數(shù).

X

(2)

數(shù)形結(jié)合可知：丫=?的定義域是［0,S)，值域為［0,田)；

丫=》,丫=丁的定義域都是/?,值域也是R;

yW的定義域為(3,0)5°，”)，值域也為(F,0)5。,田)；

y=V的定義域為R,值域為［0,舟).

(3)

數(shù)形結(jié)合可知：)，=?的單調(diào)增區(qū)間是：［0,小)，無單調(diào)減區(qū)間；

y=X,y=/的單調(diào)增區(qū)間是：R,無單調(diào)減區(qū)間；

y=:的單調(diào)減區(qū)間是：(—,0)和((),□),無單調(diào)增區(qū)間；

y=Y的單調(diào)減區(qū)間是(一,(J),單調(diào)增區(qū)間是((),y).

(4)

數(shù)形結(jié)合可知：

事函數(shù)均恒過(1,1)點；幕函數(shù)在第一象限一定有圖象，在第四象限一定沒有圖象.

對幕函數(shù)〉=丁，當(dāng)a>0,其一定在(0,y)是單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)a<0,在(0,e)是單調(diào)減函數(shù).

【典型】

一、單選題

1.(2020?北京?日壇中學(xué)高一期中)下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是()

A.y=-x2+1B.y=(x-1)2

C.y=x3D.y=-

x

【答案】C

【分析】首先判定A,B不是奇函數(shù)，然后根據(jù)基函數(shù)的知識判定C,D的單調(diào)性.

【詳解】A.y=-/+l定義域為R,當(dāng)x=0時y=lx0,不是奇函數(shù)，；

B.y=(x-1)2定義域為R,當(dāng)x=0時y=l#0,不是奇函數(shù)，

C.y=V的定義域為R,

由(-)3=可知y=d是奇函數(shù)，

當(dāng)％<當(dāng)時，y2-yt=￡一片=小一七乂/+內(nèi)占+石)

[+—)+v]>

由于々-%＞0,且在不當(dāng)不全為零的情況下，+苧＞0恒成立,

...y=v在定義域R上是單調(diào)遞增函數(shù)；

D.y=：是奇函數(shù)，在定義域的兩個子區(qū)間（一,0）和（0,也）內(nèi)都是單調(diào)遞減，但在定義域（-8,0）5。,+力）上

不是單調(diào)遞減（x=-l時的函數(shù)值為-2,x=l時的函數(shù)值為2,-2＜2）.

故選：C.

2.（2022?全國?高一課時練習(xí)）若奇函數(shù)f（x）在區(qū)間［3,7］上單調(diào)遞增，且最小值為5,則/（x）在區(qū)間［—7,

-3］上（）

A.單調(diào)遞增且有最大值一5B.單調(diào)遞增且有最小值一5

C.單調(diào)遞減且有最大值一5D.單調(diào)遞減且有最小值一5

【答案】A

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，可以判定f（x）在區(qū)間［—7,—3］上單調(diào)遞增，進(jìn)而判定最值后做出選擇.

【詳解】因為“X）在區(qū)間［3,7］上單調(diào)遞增，且最小值為5,所以"3）=5.

由奇函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相同，可知f（x）在區(qū)間［-7,-3］上單調(diào)遞增，

且有最大值〃-3）=-/（3）=—5.

故選：A.

3.（2022?吉林?長春外國語學(xué)校高一開學(xué)考試）下列函數(shù)中是偶函數(shù)，且滿足“％,毛＜（）,”），%時，

都有〃與）＜/（々）”的是（）

A.y=|x|+lB.y=x~—

C.y=x'2D.y=x2H■-1

x

【答案】C

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義和函數(shù)單調(diào)性的定義判定即可.

【詳解】由題知函數(shù)/（x）在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞減.

A選項，當(dāng)x>0時，)，=W+l=x+l顯然單調(diào)遞增，不滿足題意，故A錯誤;

B選項，(一“)-^^=-*+^=—’所以y=x-g是奇函數(shù)，不滿足題意，

故B錯誤；

C選項，(-xf=x-2,所以y=/是偶函數(shù)，且y=/在區(qū)間(0,+功上顯然單調(diào)遞減，滿足題意，故C正

確；

171

D選項，當(dāng)x=l時，y=2,當(dāng)x=2B寸，y吟，y=f+4顯然在(0,+助上不單調(diào)遞減，不滿足題意，故

D錯誤.

故選C.

4.(2022?陜西?西安市臨潼區(qū)鐵路中學(xué)高一期末)已知定義在R上的函數(shù)Ax)滿足：/(x-1)關(guān)于(1,0)中心對

稱，/(X+D是偶函數(shù)，且=則/(5)的值為()

A.0B.-1

C.ID.無法確定

【答案】B

【分析】由于/(x-1)關(guān)于(1,。)中心對稱，又將函數(shù)f(x-l)向左平移1個單位后為/(幻，所以f(x)關(guān)于(0,0)

中心對稱，即/(*)是奇函數(shù)；又/(X+D是偶函數(shù)，又將函數(shù)/(X+D向右平移1個單位后為Ax),所以/*)

關(guān)于直線x=l對稱，可得函數(shù)/(X)的周期T=4,由此即可求出結(jié)果.

【詳解】由于/(x-1)關(guān)于(1,0)中心對稱,又將函數(shù)/(x-1)向左平移1個單位后為/(x),所以f(x)關(guān)于(0,0)

中心對稱，即f(x)是奇函數(shù)；又/(x+1)是偶函數(shù)，又將函數(shù)/(x+1)向右平移1個單位后為/(x),所以f(x)

關(guān)于直線x=l對稱，即于直=f(2-x)；

所以/(x)=-f(x-2),所以f(x+2)=-/(x),所以/(x+4)=-/(x+2)=/(x),

所以函數(shù)的周期T=4,

故選：B.

5.(2022?山西太原?高一開學(xué)考試)已知定義在R的函數(shù)滿足/(x)=/(4-x),/(x+2)+/(-x)=4,則下列

結(jié)論正確的是()

A.f(x)不是周期函數(shù)

B./(x)是奇函數(shù)

C.對任意"€Z,恒有f(4〃+l)為定值

D.對任意"wN”，有川)+/⑶+/(5)++/(2〃-1)=〃

【答案】C

【分析】利用已知兩個等式進(jìn)行變形，由此可推出函數(shù)/*)為周期是4的偶函數(shù)，從而可判斷選項A8,

再利用周期性可得f(4〃+1)的值，即可判斷C,。

【詳解】/(x)=/(4-x),A/(2+x)=/(2-x)

/(x+2)+/(—x)=4,f(2-x)+f(-x)=4

f(2+x)+/(x)=4,"(x+2)++4)=4

f(x+4)=f(x),：.f(x)是周期為4的函數(shù)

二/(x)="4一x)=/(-x),，f(x)為偶函數(shù)

在f(x+2)+/(—x)=4中，令x=—l,有/(1)+/⑴=4,〃1)=2

故八4〃+1)=△1)=2是定值

當(dāng)附=1時，/(1)+/(3)+/(5)++/(2"1)=〃即為川)=1,故D不正確

故選：C

【點睛】本題考查了函數(shù)的周期性與對稱性綜合，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算能力，屬于

中檔題

二、多選題

6.(2020?湖北十堰?高一期中)有以下判斷，其中是正確判斷的有()

A./(》)=區(qū)與8(幻=「；此1表示同一函數(shù)

B.函數(shù)y=/(?的圖象與直線x=l的交點最多有1個

C./(x)=/-2x+l與g⑺=產(chǎn)-2^+1是同一函數(shù)

D.^/(x)=|x-l|-x,則+出)=。

【答案】BC

【分析】根據(jù)同一函數(shù)的判定方法，可判定AC；根據(jù)函數(shù)的概念，可判定B；根據(jù)函數(shù)的解析式，求得了(；)

進(jìn)而求得了(/(；))的值，可判定D.

【詳解】對于A,函數(shù)/(x)=區(qū)的定義域為(7,0)(0,位)，函數(shù)g(x)=「：”l定義域為R,

兩函數(shù)的定義域不同，所以不是同一函數(shù)，故A錯誤；

對于B,若函數(shù)y=f(x)在x=l處有定義，則/(*)的圖象與直線x=l的交點有1個；

若函數(shù)y=/(x)在x=l處沒有定義，則/(X)的圖象與直線x=l沒有交點，故B正確；

對于C,函數(shù)〃x)=Y-2x+l與gQ)=r-2r+l的定義域與對應(yīng)法則都相同，所以兩函數(shù)是同一函數(shù)，故

C正確：

對于D,由=可得/出=0,所以嗎)]=/(0)=1,故D錯誤：

故選：BC

三、填空題

7.(2022?四川?遂寧中學(xué)高一開學(xué)考試)已知暴函數(shù)〃力=(%-1)*"的圖象過點(23，則％.

【答案】1

【分析】根據(jù)幕函數(shù)的定義，求得女的值，將已知點的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，解方程求得。的值，進(jìn)而得解.

【詳解】?."(x)=(AT)"為事函數(shù)，.??人一1=1,，％=2；

?.?其圖象過點(2,；),.?.2"=；,=

**-k-va=2—1=1,

故答案為：1

8.(2021?四川省成都市新都一中高一期末)定義在R上的函數(shù)“X)滿足：對于任意的毛，x2eR,都有

—))(占一々)>0恒成立，且對于任意x，yeR都有/(x+y)=/(x)―/(y),同時/⑴=3,則不

等式/(/-》)<9的解集為.

【答案】(-1,2)##但-1。<2}

【分析】由[/(百)一/(馬)}(芭72)>0分析得到函數(shù)的單調(diào)性，由〃x+y)=〃x>〃y),同時/⑴=3,

得到"2)=9,原不等式轉(zhuǎn)化為f(x2-x)<f(2),進(jìn)而結(jié)合單調(diào)性轉(zhuǎn)化求解.

【詳解】不妨設(shè)由"(XJ-/(X2)]G—當(dāng))>0恒成立，得〃xj</(w)恒成立，可知函數(shù)”X)

在在R上單調(diào)遞增,

/（x+y）=〃x）?/（），），同時"1）=3,可知〃2）=/（1）/（1）=9,

二不等式/（除一x）<9即為/（X2-X）V〃2）,等價于V-X<2,解得-1<X<2,

.??所求不等式的解集為（-1,2）,

故答案為：（-1,2）.

9.（2021?全國?高一課時練習(xí)）函數(shù)/（x+2）是定義在（一3,-1）上的減函數(shù)，且關(guān)于點（-2,0）對稱，若

+f（3-2"）<0,則實數(shù)m的取值范圍為.

【答案】（1,2）

【分析】根據(jù)已知可得f（x）是定義在（一1,1）上的奇函數(shù)，且單調(diào)遞減.然后可將所求不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)

于用的不等式組，進(jìn)而求解.

【詳解】由題意知，函數(shù)/（x+2）的定義域為（—3,-1）上的減函數(shù),，且關(guān)于點（-2,0）對稱，

所以函數(shù)“X）的定義域為（-1,1）上的奇函數(shù)，且在（一1,1）上單調(diào)遞減.

由/（機(jī)_1）+/（3—2機(jī)）<0,得/（加一1）<—/（3—2加），

-1<tn-\<1

所以加一3）,所以<-1<3-2利<1,解得1cM7<2.

tn-\>2m-3

故實數(shù)機(jī)的取值范圍是（1,2）.

故答案為：（1,2）.

10.（2022.全國?高一期末）已知偶函數(shù)〃x）在[（）,”）單調(diào)遞減，若/（-2）=0,則滿足^（x-l）>（）的x的

取值范圍是.

【答案】（0,3）

【分析】根據(jù)題意，由偶函數(shù)的性質(zhì)可得八2）的值以及函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)f（x）的

[x>0fx<0

符號；由"：-1）>（）,可得伉1）>0或結(jié)合函數(shù)”1）的圖象，分析可得X的范圍，

即可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)”X)為偶函數(shù)，則〃2)=根(-2)=0,

又由函數(shù)〃x)在［0,”)上單調(diào)遞減，則在(0,2)上，/(x)>0,在(2,田)上，/(x)<0,函數(shù)/(x)在(爾,0)

上單調(diào)遞增，則在(3,-2)上,y(x)<0,在(-2,0)上，」(x)>0,是將函數(shù)f(x)的圖象向右平移

1個單位，其草圖如圖：

又由4(x-l)>0,貝”有或.解得或0<x<3；

即x的取值范圍為(—,-1>一(0,3).

故答案為：(―,一1)(0,3).

四、解答題

11.(2022?全國?高一課時練習(xí))已知“力=3/-1,g(x)=3.

⑴求/(I)，g⑴的值;

⑵求f(g⑴)，g(〃D)的值；

⑶求“X),g(x)的值域.

【答案】(D/(l)=2,g(l)=；；

(2)“g(i))=q,g(〃i))q；

(3)/?的值域是［T,e)，g(x)的值域是(?,0)U(0,E)

【分析】（1）將X=1分別代入“X）與g（x）的解析式，求值即可:

（2）由（1）,將g⑴，41）的值分別代入與g（x）的解析式，求值即可;

（3）利用二次函數(shù)的性質(zhì)以及反比例函數(shù)的性質(zhì)可得答案.

(1)

V/(X)=3X2-1,.,./(1)=3X12-1=2

vg(x)=---,g(i)=-!—=—

')x+2''1+23

(2)

由（1）知/（g⑴）=/［；）=3x@）g（〃l））=g（2）=』=；.

（3）

0**x2>0,?**3x2-1>-1,/（x）的值域是［一L+00）.

?；貴w0，；.g（x）的值域是（田,0）U（0,”）.

12.（2022?全國?高一課時練習(xí)）已知函數(shù)/（力=/-小（〃7>0）在區(qū)間［0,2］上的最小值為g（m）.

（1）求函數(shù)g（加）的解析式.

（2）定義在（y,0）U（0,M）上的函數(shù)力（x）為偶函數(shù)，且當(dāng)x>0時，/i（x）=g（x）.若恤）</z（4）,求實數(shù)

，的取值范圍.

加

【答案】⑴g㈣=F'；（2）（TO）（0,4）

4-2m,m>4

【分析】（1）將二次函數(shù)f（x）配方，按對稱軸在定義域內(nèi)和不在定義域內(nèi)兩種情況，分別求出函數(shù)的最小

值，可得函數(shù)g（，〃）的解析式;

（2）由已知得出/?（x）的解析式，利用函數(shù)的單調(diào)性和偶函數(shù)，列不等式解出實數(shù)r的取值范圍.

【詳解】（I）因為f^=x2-mx

m

所以當(dāng)0<加44H寸，0<-<2,此時

2

當(dāng)機(jī)>4時，y>2,此時函數(shù)在區(qū)間［0,2］上單調(diào)遞減，

*2

m"

所以g（%）=，（2）=4-2/n.綜上,g（m）=<4'

4—2團(tuán),m>4

,x2

（2）因為x>0時，〃（x）=g（x）,所以當(dāng)x>0時，〃（》）=「易知函數(shù)秋x）在（0,+8）上單調(diào)

4-2x,x>4

遞減，因為定義在（-8,o）u（o,??）上的函數(shù)萬⑺為偶函數(shù)，且力⑺2力（4）,所以。<,<4,解得T<r<0或

0<r<4,所以實數(shù)/的取值范圍為（T,0）（0,4）.

13.（2020?北京?日壇中學(xué)高一期中）已知函數(shù)/（x）=x+f當(dāng)x>0時，“X）的圖象如圖.

（2）寫出函數(shù)/（x）的單調(diào)區(qū)間（直接寫出結(jié)果）；

⑶試討論函數(shù)在區(qū)間上的最大值.

【答案】（1）奇函數(shù)，證明見解析

（2）單調(diào)增區(qū)間：（-8,-1］和［1,+。）；單調(diào)減區(qū)間為11,（））和（0』.

⑶當(dāng);<"W3時，函數(shù)“X）最大值為與，當(dāng)a>3時函數(shù)f（x）最大值為〃+

【分析】(1)利用奇函數(shù)的定義可判定函數(shù)f(x)為奇函數(shù)；

(2)利用奇函數(shù)的圖象性質(zhì)得到/(x)在整個定義域上的圖象，根據(jù)圖象可直接寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(3)利用數(shù)形結(jié)合思想可以分類討論得到函數(shù)/(x)在區(qū)間上的最大值.

(1)

=,函數(shù)〃x)的定義域為{xeRhwO},

又,:4-x)=-x+^=-(x+B)=-f(x),

???函數(shù)/(X)為奇函數(shù).

(2)

根據(jù)奇函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，可得函數(shù)/(x)的圖象如圖所示，

由圖可知函數(shù)/(X)的單調(diào)增區(qū)間：(-8,-1］和［1,+8)；單調(diào)減區(qū)間為［-1,0)和(0』.

(3)

/囚=!+3=9,令/(》)=與，即x+L；,解得玉=：,々=3.

333x33

作出直線y=/,如圖所示.

由圖可得當(dāng)g<“43時，函數(shù)/(X)最大值為當(dāng)，當(dāng)a>3時函數(shù)/(x)最大值為了(”"+；.

14.(2022?全國?高一課時練習(xí))已知函數(shù)/(同=爾+：5,〃為常數(shù))，且滿足=/(2)=*

(1)求函數(shù)/(x)的解析式；

(2)若對任意的xe(0,；,關(guān)于x的不等式/(x"2T恒成立，求實數(shù),的取值范圍.

【答案】(l)/(x)=2x+=；

(2)[0,-KO).

【分析】(1)根據(jù)題意得到關(guān)于私〃的方程組，求解后即得到函數(shù)〃x)的解析式;

(2)利用基本不等式或者利用函數(shù)的單調(diào)性即可求得f(x)在給定區(qū)間上的最小值，然后利用不等式恒成立

的意義得到關(guān)于t的不等式，求得t的取值范圍.

(1)

5

〃?+〃=—m=2

2

解：由題意得＜s，解得1,故f(x)=2x+；；

八”17n--2x

+—=—2

24

(2)

解法一：對任意的xe(0,g,f(x)=2x+->22x--=2,當(dāng)且僅當(dāng)2x=；,即x=；時取等號，.?./(x)

2xV2x2x2

最小值為2,

?.?關(guān)于X的不等式/(x)N2-恒成立，.?.2N2T,.“NO,

即實數(shù)f的取值范圍是[(),內(nèi)).

解法二：設(shè)“應(yīng)6(。，；，±＜々，則

/C…—2得=2"卜去"2fT

玉W＞0,4工1%2。,七一玉)0,

???/(犬2)-/(x)v°，

.?./(月在(0,；上單調(diào)遞減，.?.〃尤L=/g)=2,下同解法一.

【新文化】

一、單選題

1.(2022?內(nèi)蒙古赤峰?高一期末(理))意大利畫家達(dá)?芬奇提出：固定項鏈的兩端，使其在重力的作用下自

然下垂，那么項鏈所形成的曲線是什么？這就是著名的“懸鏈線問題“，其中雙曲余弦函數(shù)就是一種特殊的懸

鏈線函數(shù)，其函數(shù)表達(dá)式為coshx=W;，相應(yīng)的雙曲正弦函數(shù)的表達(dá)式為sinhx=q：.設(shè)函數(shù)

八》)=包笑，若實數(shù)，"滿足不等式〃2加+3)+/(->)<0,則機(jī)的取值范圍為()

A.(—1,3)B.(—3,1)C.(—3,3)D.(—oo,—1)<J(3,+OO)

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，寫出函數(shù)解析式，由奇偶性和單調(diào)性，解不等式.

【詳解】由題意，〃刈=坐==^,由=-二;=

coshxe+ee+ee+e

2

則函數(shù)/(X)為奇函數(shù)，即/(2m+3)+/(—病)<0=>/(2,n+3)<-/(-W)

n〃2m+3)</(評)，因f(x)==^=W[=l-”J,易知其為增函數(shù)，

eIee+1e十i

貝!]2〃z+3<MI,,解得x<—1或x>3,

故選：D.

2.(2022?全國?高一課時練習(xí))中文“函數(shù)(function)”一詞，最早是由近代數(shù)學(xué)家李善蘭翻譯出來的，之所

以這么翻譯，他給出的原因是“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”，即函數(shù)指一個量隨著另一個量的

變化而變化，下列四組函數(shù)，表示同一函數(shù)的是()

A.f(x)=1,g(x)=x°B..f(x)=x(xeR)與g(x)=x(xeZ)

x,x>0

C.f(x)=|x|與g(x)=D.f(x)-Jx+2-\lx-2,g(x)=yjx2—4

-x,x<0

【答案】c

【分析】根據(jù)給定條件結(jié)合同一函數(shù)的意義逐一分析各選項即可判斷作答.

【詳解】對于A,函數(shù)/(x)定義域是R,g(x)定義域是(3,0)A不是；

對于B,函數(shù)，(x)定義域是R,g(x)定義域是Z,B不是；

xxN0

'-c定義域R，g(x)定義域是R，/(X)與g(x)的對應(yīng)法則相同，C是;

{—X,X<()

對于D,函數(shù)/。)定義域是[2,+8),g(x)定義域是(-?),-2]J[2,+<?),D不是.

故選：C

3.(2022?新疆阿勒泰?高一期末)新冠肺炎疫情防控中，核酸檢測是新冠肺炎確診的有效快捷手段.某醫(yī)院

在成為新冠肺炎核酸檢測定點醫(yī)院并開展檢測工作的第〃天，每個檢測對象從接受檢測到檢測報告生成平均

~k,n<N°

耗時（單位：小時）大致服從的關(guān)系為，（〃）=（；?、乂為常數(shù)）.已知第16天檢測過程平

—j=,n>No

均耗時為16小時，第64天和第67天檢測過程平均耗時均為8小時，那么可得到第49天檢測過程平均耗時大

致為（）

A.16小時B.11小時C.9小時D.8小時

【答案】C

【解析】根據(jù)題意求得力和M的值，然后計算出f（49）的值即可得解.

【詳解】由第64天和第67天檢測過程平均耗時均為8小時知，16<N。，

所以2=16,得，。=6<

5/16

646464

又由^^=8知，乂=64,所以當(dāng)〃=49時，，（49）=w^=-y=s9,

故選：C.

【點睛】本題考查分段函數(shù)模型的應(yīng)用，求出％和的值是解題的關(guān)鍵，考查計算能力，屬于中等題.

二、多選題

4.（2022?湖南?益陽市箴言中學(xué)高一開學(xué)考試）中國傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“對稱美”，如圖所示

的太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圓形圖案，充分體現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)化、對稱統(tǒng)一的形式美、和諧美.在平面直

角坐標(biāo)系中，如果一個函數(shù)的圖象能夠?qū)⒛硞€圓的周長和面積同時平分，那么稱這個函數(shù)為這個圓的“優(yōu)美

函數(shù)”，則下列說法中正確的有（）

A.對于一個半徑為1的圓，其“優(yōu)美函數(shù)”僅有1個

B.函數(shù)/（x）=/-3x可以是某個圓的“優(yōu)美函數(shù)”

C.若函數(shù)y=/（x）是“優(yōu)美函數(shù)”，則函數(shù)y=/（x）的圖象一定是中心對稱圖形

D.函數(shù)/(x)=x+l可以同時是無數(shù)個圓的“優(yōu)美函數(shù)”

【答案】BD

【分析】根據(jù)''優(yōu)美函數(shù)”的含義可判定選項A錯誤，根據(jù)函數(shù)/(x)=x3-3尤的奇偶性判定選項B正確，利

用反例判定選項C錯誤，根據(jù)圓心在直線y=x+l的圓有無數(shù)個判定選項D正確.

【詳解】對于A：經(jīng)過圓心的任何一條直線都可以作為該圓的“優(yōu)美函數(shù)”，

即選項A錯誤；

對于B：因為/(—X)=(―A-)3+3x=—(x，—3x)=—f(x),

所以/(x)=/-3x是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，

所以“X)=/-3x是以原點為圓心的圓的“優(yōu)美函數(shù)”，

即選項B正確；

對于C：如下圖，y=/(x)是“優(yōu)美函數(shù)”，但函數(shù)y=/(x)的圖象不是中心對稱圖形，

即選項C錯誤；

對于D：函數(shù)/(x)=x+l是任何一個圓心在直線y=x+l上的圓的“優(yōu)美函數(shù)”，

即選項D正確.

故選：BD.

5.(2022?全國?高一課時練習(xí))(多選)華為5G通信編碼的極化碼技術(shù)方案基于矩陣的乘法，如：(c/