2023屆高考數(shù)學(xué)小題狂刷卷：平面與平面垂直關(guān)系的判定（含答案）

2023屆高考數(shù)學(xué)小題狂刷卷：平面與平面垂直關(guān)系的判定

一、選擇題（共25小題）

1.如圖PA垂直于矩形ABCD所在的平面，則圖中互相垂直的平而有（）

A.2對(duì)B.3對(duì)C.4對(duì)D.5對(duì)

2.已知四棱錐P-4BC。中，底面力BCD為正方形，PA1^ABCD,則四棱錐的五個(gè)面中，互相垂

直的面共有（）

A.3組B.4組C.5組D.6組

3.下列命題中正確的是（）

A.若直線a〃平面a,直線b1a,bu平面0,則a-L3

B.若直線alb,al平面a,bJ■平面6，則al夕

C.過(guò)平面外的一條直線有且只有一個(gè)平面與已知平面垂直

D.過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面垂直

4.若a,0是兩個(gè)不同的平面，Z,m是兩條不同的直線，且lua,mu0（）

A.若110,則a10B.若a10,貝hJLm

C.若l〃B，則a〃/?D.若a〃氏則/〃小

5.已知直線a〃直線b,b1平面a,則（）

A.a//aB.aua

C.a1aD.a不是a的垂線

6.對(duì)于直線n和平面a,夕能得出a1/?的-一個(gè)條件是（）

A.mIn,m//a,n///?B.zn1n,an夕=m,nca

C.m//n,n1/?,maaD.m//n,m±a,

7.在三棱錐4一BCD中，如果AD_LBC,BDLAD,△BCD是銳角三角形，那么（）

A.平面ABD1平面AOCB.平面ABD1平面48c

C.平面BCD1平面4DCD.平面48c1平面BCD

8.已知不同的直線m,n,不同的平面a,/?,則下列命題正確的是（）

①若m〃a,n//a,則m〃n.

②若m〃a,mA.P，則a10.

③若mla,mln,則？i〃a.

④若mla,nLp,al/?,則m_Ln.

A.②④B.②③C.③④D.①②

9.設(shè)a,0是兩個(gè)不同的平面，b是直線且bu0.“匕1戊”是％10”的（)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

10.關(guān)于兩個(gè)互相垂直的平面，給出下面四個(gè)命題：

①一個(gè)平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一平面內(nèi)的任意--條直線；

②一個(gè)平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線；

③一個(gè)平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一平面；

④在一個(gè)平面內(nèi)過(guò)任意一點(diǎn)作兩平面交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個(gè)平面.

其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

11.長(zhǎng)方體力BCD-&B1GD1的六個(gè)面中，與面4C垂直的面的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

12.已知直線I±平面/?,/u平面a,則（）

A.a_L0B.a//p

C.al夕或a〃/?D.a,6相交但不一定垂直

13.如圖所示，四邊形4BCD中，AD//BC,AD=AB,/.BCD=45",/.BAD=90".將△AOB沿

8。折起，使平面ABDJ.平面BCD,構(gòu)成三棱錐則在三棱錐力--BCO中，下列結(jié)

論正確的是（）

A.平面4BD1平面4BCB.平面/WC1平面BDC

C.平面力BC1平面BDCD.平面4DC1平面4BC

14.在空間四邊形ABCD中，若力B=BC,AD=CD,E為對(duì)角線4C的中點(diǎn)，則（）

A.平面4BD1平面BDCB.平面ABC1平面4BD

C.平面48c±平面4DCD.平面ABC1平面BEO

15.如圖，在正方體ABCD-&B1GD1中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在正方體表面上移動(dòng)，且滿足

1DXE,則點(diǎn)Bi和點(diǎn)P構(gòu)成的圖形是（）

D,

A.三角形B.四邊形C.曲邊形D.五邊形

16.在空間四邊形ABC。中，AB=BC,AD=CD,E為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，下列判斷正確的是

（）

A.平面4801平面BDCB.平面ABC1平面480

C.平面ABC1平面4DCD.平面ABC1平面BED

17.若不同的兩點(diǎn)A,8到平面a的距離相等，則下列命題中一定正確的是（）

A.力，B兩點(diǎn)在平面a的同側(cè)

B.A,B兩點(diǎn)在平面a的異側(cè)

C.過(guò)A,B兩點(diǎn)必有垂直于平面a的平面

D.過(guò)A,B兩點(diǎn)必有平行于平面a的平面

18.如圖所示，四邊形ABCD中，AD//BC,AD=AB,/BCD=45。，/.BAD=90".將△ADB沿

8。折起，使平面4801平面BC。，構(gòu)成三棱錐4—BCD,則在三棱錐A-BCD中，下列結(jié)論

正確的是（）

A.平面ABO1平面ABCB.平面1平面BDC

C.平面4BC1平面BDCD.平面4DC1平面ABC

19.已知在空間四邊形ABCD中，AD1BC,AD1BD,且ABC。是銳角三角形，則必有（）

A.平面ABD1平面ADCB.平面ABD1平面ABC

C.平面ADC1平面B0CD.平面ABC1平面BDC

20.若m,n是兩條不同的直線，a,B，y是三個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（）

A.若mu0,aJ.夕，則m1a

B.若7n1￡,m//a,貝ija-L0

C.若則aly,al。，則01y

D.若aCy=7n,/?ny=n,m//n,則a〃0

21.若m,n是兩條不同的直線，a,p,y是三個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（）

A.若mu0,a10則?n_La

B.若m_L氏zn〃a則，a10

C.若a1y,al￡,則81y

D.若any=m,ny=n,m//n,則a〃/?

22.如圖所示，四邊形4BCD中，AD//BC,AD=AB,Z.BCD=45°,=90。將△48。沿8。

折起，使平面4BD_L平面BCD,構(gòu)成三棱錐4-BCD,則在三棱錐4-BCD中，下列命題正確

的是（）

A.平面4BD1平面ABCB.平面40c1平面BDC

C.平面ABC1平面BDCD.平面4DC1平面4BC

23.在四棱錐P—4BCD中，底面4BCC為矩形，若PA1平面力則在此四棱錐的五個(gè)面中相

互垂直的平面共有（）

A.3對(duì)B.4對(duì)C.5對(duì)D.6對(duì)

24.在正四面體P—4BC中，D,E,F分別是AB,BC,。4的中點(diǎn)，下面四個(gè)結(jié)論中不成立的是

（）

A.BC〃平面PDFB.0FJ.平面P4E

C,平面PDE1平面ABCD.平面PDF1平面P4E

25.已知平面a與平面0相交，直線m1a,則（）

A.0內(nèi)必存在直線與m平行，且存在直線與加垂直

B.P內(nèi)不一定存在直線與m平行，但不一定存在直線與m垂直

C./?內(nèi)不一定存在直線與m平行，但必存在直線與m垂直

D.p內(nèi)必存在直線與m平行，也不一定存在直線與m垂直

二、填空題（共10小題）

26.平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

判一個(gè)平面過(guò)另一

定?'

個(gè)平面的一條?

定則這兩產(chǎn).na邛

理

平面互相垂直?—

兩個(gè)平面垂直，

性則?個(gè)平面內(nèi)

質(zhì)垂直于它們自

定—.的宜線與另

an/-L”

理一個(gè)平面垂直

27.平面與平面垂直的判定定理

如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的____

文字語(yǔ)言

_，那么這兩個(gè)平面垂直

符號(hào)語(yǔ)言,,______n0JL^

圖形語(yǔ)言

z_7

28.在正方體ABCD-中，平面ACDr與平面BBRD的位置關(guān)系是.

29.如圖，平面a〃平面氏線段GH分別交a,0于點(diǎn)A,B,線段GO分別交a,/?于點(diǎn)C,D,線

段"F分別交a,0于點(diǎn)F,E.已知GA=9,AB=12,BH=16,ShACF=72,則

30.ABCO是正方形，P為平面4BCD外一點(diǎn)，且241平面ABC。，則平面P4B,平面PBC,平面

PDC,平面P4D,平面力BCO這五個(gè)面中，互相垂直的平面有對(duì).

31.將直角三角形力BC沿斜邊上的高CD折成互相垂直的兩個(gè)平面4C。和BCD,連接48,所得圖

形中互相垂直的平面共有對(duì).

32.在三棱錐P-48C中，己知PA1P8,PB1PC,PC1PA,如右圖所示，則在三棱錐P-4BC

的四個(gè)面中，互相垂直的面有對(duì).

33.如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，側(cè)棱PA=a,PB=PD=缶,

則它的5個(gè)面中，互相垂直的面有對(duì).

34.如圖，在四面體0-A8C中，若AB=CB,AD=CD,E是4c的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的

是.（填序號(hào)）

①平面ABC1平面480；

②平面48。J.平面BDC；

③平面ABC_L平面BDE,且平麗WC1平面B0E；

④平面ABC1平面40C,且平面A0C1平面BDE.

35.如圖所示，在四棱錐PABC0中，P41底面力BCD,且底面各邊都相等，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn),

當(dāng)點(diǎn)M滿足時(shí)，平面MBZ51平面PCD.（只要填寫(xiě)一個(gè)你認(rèn)為是正確的條件即可）

三、解答題(共9小題)

36.已知△BC。中，/BCD=90。，BC=CD=1,ABJL平面BCD,Z.ADB=60°,E,F分別是力C,

AD上的動(dòng)點(diǎn)，且蕓=哼=4(0</1<1).

(1)求證：不論4為何值，總有平面BEFJ.平面4BC；

(2)當(dāng)4為何值時(shí)，平面BEF_L平面4CD?

37.如圖，在直四棱柱ABC。-A1B1C12中，41cl，當(dāng)/，E,F分別是48,BC的中點(diǎn).

D)

B

(1)求證：EF〃平面4BG；

(2)求證：平面。J.平面&BG.

38.如圖，在三棱錐P-ABC中，平面P4B1平面ABC,AB1BC,AP1PB,求證：平面PAC1

平面PBC.

A

39.如圖所示，平面AC。，DEI平面AC。，AB=^DEf△/CD為等邊三角形，F(xiàn)為G)的中

點(diǎn).求證:

(1)AF〃平面BCE；

(2)平面BCE1平面CDE.

40.如圖，四邊形4BCD是正方形，PD//MA,MA1AD,P時(shí)_1平面。。M，MA=AD=\PD=1.

(1)求證：平面4BCDJ,平面4MPD.

(2)求三棱錐4-CMP的高.

41.如圖，六面體ABCDE中，面DBCJL面4BC,4E_L面ABC.

(1)求證：4E〃面DBC；

(2)若4BJLBC,BD1CD,求證：面A0B1面E/JC.

42.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，P4_L平面4BCD,PA=3,F是棱24上的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E為PD的中點(diǎn).

(1)求證：平面BDF1平面PCF；

(2)若4F=1,求證：CE〃平面BDF.

43.如下圖，在三棱柱48C-A$iCi中，△ABC與△&名6都為正三角形且4411而4BC,F,

&分別是AC,&G的中點(diǎn).

(1)求證：平面4B/i〃平面CiBF；

(2)求證：平面力B181平面

44.如圖所示，該幾何體由一個(gè)直三棱柱力DE-BCF和一個(gè)正四棱錐P-4BCD組合而成，AD1

AF,AE=AD=2.

(1)證明：平面P/W1平面ABFE：

(2)若四棱錐P-ABCD的體積是三棱錐P—ABF體積的4倍，求正四棱錐P-4BCD的高.

答案

D

2.C

3.B

4.A

5.C

6.C

【解析】正方體ABC。一4tBic15中，連接4C,&Ci，把4。看作直線zn,BB1看作直線九，把平

面8B1GC作為平面。，平面44修道作為平面/?.對(duì)于A雖滿足ml九，m//afn〃氏但a不垂直

于0,從而否定A.類似地可否定B和D.

7.C

8.A

9.A

10.C

【解析】如果兩個(gè)平面垂直，兩平面內(nèi)的直線并不都相互垂直，從而判斷命題①不正確；

如果兩個(gè)平面垂直，另一個(gè)平面內(nèi)，必有無(wú)數(shù)條直線和這個(gè)平面垂直，從而判斷命題②正確；

如果兩個(gè)平面垂直，當(dāng)其中一個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行于兩個(gè)平面的交線時(shí)，這條直線與另一個(gè)平面

平行，所以并不是平面內(nèi)的所有直線都和另一個(gè)平面垂直，從而判斷命題③不正確：

根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可判斷命題④正確，

所以正確的命題個(gè)數(shù)為2.故選：C.

11.D

12.A

13.D

【解析】因?yàn)樵谒倪呅?BC0中，AD//BC,40=48,/.BCD=45°,^BAD=90°,所以8。ICO.

又平面ABC1平面BCD,且平面48。n平面BCD=BD,故CD1平面力8D,則CD148.又AD1

AB,ADOCD=D,故平面ADC,又48u平面ABC,所以平面ABC1平面ADC.

14.D

15.B

【解析】提示：取CD的中點(diǎn)F,CQ的中點(diǎn)G,則FG"ABi，易證平面4FG/_L則和點(diǎn)P

構(gòu)成的圖形是梯形AFGB,.

D,

16.D

【解析】由已知條件得AC_LDE,AC1BE,又BEnOE=E,于是有AC_L平面BED.又ACu

平面ABC,所以平面ABCJL平面BED.

17.C

【解析】通解根據(jù)面面垂直的判定定理可得，無(wú)論48兩點(diǎn)在何處，必有過(guò)4B兩點(diǎn)與平面a垂

直的平面，所以選項(xiàng)C正確.

優(yōu)解結(jié)合立體幾何知識(shí)，合理作出圖形，應(yīng)用排除法可知4,B兩點(diǎn)有可能在平面a的同側(cè)、異側(cè)或

平面a內(nèi)，所以選項(xiàng)A,B錯(cuò)誤；當(dāng)4B兩點(diǎn)在平面a的異側(cè)時(shí)，就不存在過(guò)力，8兩點(diǎn)與平面a

平行的平面，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

18.D【解析】易證BD1CD.

因?yàn)槠矫鍭BD1平面BC。，且平面ABDC平面BCD=BD,CDu平面BCD,故CD1平面ABD,則

CDLAB.

y.ADLAB,ADQCD=D,AOu平面ADC,C。u平面ADC,故4BJ.平面ADC.

又48u平面力BC,

所以平面ADC1平面力BC.

19.C

【解析】因?yàn)锳DIBC,AD1BD,BCCBD=B,

所以4D1平面BDC,又4Du平面4DC,

所以平面4DC1平面BDC.

20.B

21.B

22.D

【解析】由題意知，在四邊形ABCD中，可證CD1BD.

因?yàn)槠矫?BDJL平面BCD,且兩平面的交線為BD,

所以CD_L平面4BD,

從而CD_L4B.

又4BJ.AD,

所以AB1.平面ADC,

于是平面4DC1平面48c.

23.C

24.C

【解析】因?yàn)樵谡拿骟wP-ABC中，D,E,F分別是4B,BC,CA的中點(diǎn),

所以DF//BC,

因?yàn)?。尸u平面PDF,BC<t平面PDF,

所以BC〃平面PDF,故A正確；

因?yàn)锳B=AB=PB=PC,E是BC中點(diǎn),

所以AE1BC,PE1BC,

因?yàn)?EnPE=E,

所以BC1平面P4E,

因?yàn)?。尸〃BC,

所以。F1平面P4E,故B正確；

因?yàn)?。?平面PAE,DFu平面ABC,

所以平面PAE1平面ABC,

因?yàn)槠矫鍼4En平面POE=PE,且PE與平面ABC不垂直，

所以平面PDE與平面48c不垂直，故C錯(cuò)誤；

因?yàn)镈F_L平面P4E,且。Fu平面PDF,

所以平面PDF1平面PAE,故D正確.

25.C

【解析】若P內(nèi)存在直線"與m平行，由m_La知n_La,從而aJ■夕，但a與夕相交確不一定垂直.

又設(shè)an/?=a,由md_a知m_La,從而0內(nèi)必有直線與m垂直.

26.Iu6,I1a,交線;,a1(3,an/?=a,Iu0,I1a

27.垂線，Iu6

28.垂直

【解析】如圖所示，

5

AC1BD\\

AC1BBi=ACJ.平面BBi。/

BDnBBI=B)=平面ADiC1平面BBi/D.

ACu平面

29.96

30.5

【解析】如圖，可得平面P4BJ.平面ABC0,平面PAD1平面4BCD,平面P4BJ.平面PAD,

平面PBCJ■平面P4B,平面P0C1平面PAD,共5對(duì).

31.3

【解析】平面ADC1平面BDC,平面ADC±平面4DB.平面BCD1平面4DB.

32.3

【解析】因?yàn)镻A1PB,PA1PC,PBCPC=P,

所以PA_L平面PBC,

因?yàn)镻4u平面PAB,P4u平面PAC,

所以平面PABJ.平面PBC,平面PAC1平面PBC.

同理可證：平面P4B1平面PAC.

33.5

【解析】平面P4B1平面4BCD,平面PAD_L平面48m平面PA8_L平面PAD,平面P48_L平面PBC,

平面PAD1平面PCD,共有5對(duì).

34.③

【解析】因?yàn)锳B=CB,且E是力C的中點(diǎn)，所以BE14C,同理有OE1AC,于是AC_L

平面BDE.因?yàn)锳Cu平面ABC,所以平面力BC1平面BDE.又由于ACu平面AC。，所以

平面AC。1平面BDE,所以③正確.

35.DM1PC（或BM1PC等）

【解析】由已知條件可知，BD±PC.

所以當(dāng)DM1PC（或BM1PC）時(shí)，即有PC1平面MBD.

而PC屬于平面PCD,

所以平面MB。1平面PCD.

36.(1)因?yàn)锳BJL平面BCD,

所以4B1CD,

因?yàn)镃D1BC且48nBe=B,

所以CDJ.平面4BC.

又因?yàn)門I=7D=乂。<2<I),

所以不論；I為何值，恒有EF〃CO,

所以EF1平面ABC,EFu平面BEF,

所以不論；I為何值，恒有平面BEF1平面ABC.

(2)由(I)知，BEJ.EF,又平面BEFJ.平面AC。,

所以BE,平面4C0,

所以BE1.AC.

因?yàn)锽C=CD=1,/.BCD=90°,ZLADB=60",

所以BD=a,AB=V2tan60"=瓜

所以AC=y/AB2+BC2=歹，

由AB2=AEAC得AE=%

所以"黃，

故當(dāng)4=3時(shí)，平面BEF_L平面4CD.

37.(1)連接4C,

則AC〃AiG，而E,F分別是48,BC1的中點(diǎn),

所以EF//AC,

則EF〃力?,故EF〃平面4BC「

(2)因?yàn)锽Bi1平面4/iGDi，

所以BB1J.4C1，又AiGlBiA，

則&Q1平面。1。8名，

又41clu平面&BC],

所以平面DiDBBi1平面418G.

38.因?yàn)槠矫鍼48J.平面48C,平面P4BCI平面4BC=48,且4B1BC,

所以BC1平面P48,

所以AP1BC.

又力P1PB,

所以4P_L平面PBC.

又APu平面PAC.

所以平面PACJ.平面PBC.

39.(1)取CE的中點(diǎn)G,連接FG,BG,

因?yàn)镕為CD的中點(diǎn)，G為CE的中點(diǎn)，

所以G尸〃。E且GF=；Z)E,

因?yàn)?B1.平面4CD,DE1平面4CD,

所以4B〃DE,

所以GF//AB,

又因?yàn)?8=|0E,

所以G尸=48,

所以四邊形GFAB為平行四邊形，

所以AF〃BG,

因?yàn)锳F<t平面BCE,BGu平面BCE,

所以AF〃平面BCE.

(2)因?yàn)椤鰽CD為等邊三角形，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，

所以AF1CD,

因?yàn)镈E_L平面4CD,4Fu平面4CD,

所以DELAF,

又因?yàn)镃DnDE=D,CDc^-^CDE,DEu平面CDE,

所以AF±平面COE,

因?yàn)锽G//AF,

所以BGJL平面COE,

因?yàn)锽Gu平面BCE,

所以平面BCE1平面COE.

40.(1)因?yàn)镻MJ.平面COM,且CDu平面COM,

所以PM1CD,

又因?yàn)?BC0是正方形，

所以CO1AD,

在梯形AMP。中，PM與4”相交，

所以CD1平面AMPD,

又因?yàn)镃Du平面ABC。，

所以平面Z8CD1平面4MPD.

(2)設(shè)三棱錐4-CMP的高為九，

由(I)知CD1.平面4MPD,且PM1平面CDM,

所以PM1CM,PM±DM,

因?yàn)镸A=AD=gPC=1,

所以=CM=V3,PM=V2,

所以SA4Mp=%MMD=5,

SACMP=|CM-PM=i-V3-V2=^；

因?yàn)閂A-CMP='c-AMP，

所以3SACMP,h=[S^.Mp?CD；

即四?八=Nx」xl,

3232

解得仁￡

o

所以三棱錐A