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文檔簡介
2023屆高考數(shù)學小題狂刷卷:平面與平面垂直關(guān)系的判定
一、選擇題(共25小題)
1.如圖PA垂直于矩形ABCD所在的平面,則圖中互相垂直的平而有()
A.2對B.3對C.4對D.5對
2.已知四棱錐P-4BC。中,底面力BCD為正方形,PA1^ABCD,則四棱錐的五個面中,互相垂
直的面共有()
A.3組B.4組C.5組D.6組
3.下列命題中正確的是()
A.若直線a〃平面a,直線b1a,bu平面0,則a-L3
B.若直線alb,al平面a,bJ■平面6,則al夕
C.過平面外的一條直線有且只有一個平面與已知平面垂直
D.過平面外一點有且只有一個平面與已知平面垂直
4.若a,0是兩個不同的平面,Z,m是兩條不同的直線,且lua,mu0()
A.若110,則a10B.若a10,貝hJLm
C.若l〃B,則a〃/?D.若a〃氏則/〃小
5.已知直線a〃直線b,b1平面a,則()
A.a//aB.aua
C.a1aD.a不是a的垂線
6.對于直線n和平面a,夕能得出a1/?的-一個條件是()
A.mIn,m//a,n///?B.zn1n,an夕=m,nca
C.m//n,n1/?,maaD.m//n,m±a,
7.在三棱錐4一BCD中,如果AD_LBC,BDLAD,△BCD是銳角三角形,那么()
A.平面ABD1平面AOCB.平面ABD1平面48c
C.平面BCD1平面4DCD.平面48c1平面BCD
8.已知不同的直線m,n,不同的平面a,/?,則下列命題正確的是()
①若m〃a,n//a,則m〃n.
②若m〃a,mA.P,則a10.
③若mla,mln,則?i〃a.
④若mla,nLp,al/?,則m_Ln.
A.②④B.②③C.③④D.①②
9.設(shè)a,0是兩個不同的平面,b是直線且bu0.“匕1戊”是%10”的()
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
10.關(guān)于兩個互相垂直的平面,給出下面四個命題:
①一個平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一平面內(nèi)的任意--條直線;
②一個平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一平面內(nèi)的無數(shù)條直線;
③一個平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一平面;
④在一個平面內(nèi)過任意一點作兩平面交線的垂線,則此垂線必垂直于另一個平面.
其中正確命題的個數(shù)是()
A.0B.1C.2D.3
11.長方體力BCD-&B1GD1的六個面中,與面4C垂直的面的個數(shù)是()
A.1B.2C.3D.4
12.已知直線I±平面/?,/u平面a,則()
A.a_L0B.a//p
C.al夕或a〃/?D.a,6相交但不一定垂直
13.如圖所示,四邊形4BCD中,AD//BC,AD=AB,/.BCD=45",/.BAD=90".將△AOB沿
8。折起,使平面ABDJ.平面BCD,構(gòu)成三棱錐則在三棱錐力--BCO中,下列結(jié)
論正確的是()
A.平面4BD1平面4BCB.平面/WC1平面BDC
C.平面力BC1平面BDCD.平面4DC1平面4BC
14.在空間四邊形ABCD中,若力B=BC,AD=CD,E為對角線4C的中點,則()
A.平面4BD1平面BDCB.平面ABC1平面4BD
C.平面48c±平面4DCD.平面ABC1平面BEO
15.如圖,在正方體ABCD-&B1GD1中,E為BC的中點,點P在正方體表面上移動,且滿足
1DXE,則點Bi和點P構(gòu)成的圖形是()
D,
A.三角形B.四邊形C.曲邊形D.五邊形
16.在空間四邊形ABC。中,AB=BC,AD=CD,E為對角線AC的中點,下列判斷正確的是
()
A.平面4801平面BDCB.平面ABC1平面480
C.平面ABC1平面4DCD.平面ABC1平面BED
17.若不同的兩點A,8到平面a的距離相等,則下列命題中一定正確的是()
A.力,B兩點在平面a的同側(cè)
B.A,B兩點在平面a的異側(cè)
C.過A,B兩點必有垂直于平面a的平面
D.過A,B兩點必有平行于平面a的平面
18.如圖所示,四邊形ABCD中,AD//BC,AD=AB,/BCD=45。,/.BAD=90".將△ADB沿
8。折起,使平面4801平面BC。,構(gòu)成三棱錐4—BCD,則在三棱錐A-BCD中,下列結(jié)論
正確的是()
A.平面ABO1平面ABCB.平面1平面BDC
C.平面4BC1平面BDCD.平面4DC1平面ABC
19.已知在空間四邊形ABCD中,AD1BC,AD1BD,且ABC。是銳角三角形,則必有()
A.平面ABD1平面ADCB.平面ABD1平面ABC
C.平面ADC1平面B0CD.平面ABC1平面BDC
20.若m,n是兩條不同的直線,a,B,y是三個不同的平面,則下列結(jié)論正確的是()
A.若mu0,aJ.夕,則m1a
B.若7n1£,m//a,貝ija-L0
C.若則aly,al。,則01y
D.若aCy=7n,/?ny=n,m//n,則a〃0
21.若m,n是兩條不同的直線,a,p,y是三個不同的平面,則下列結(jié)論正確的是()
A.若mu0,a10則?n_La
B.若m_L氏zn〃a則,a10
C.若a1y,al£,則81y
D.若any=m,ny=n,m//n,則a〃/?
22.如圖所示,四邊形4BCD中,AD//BC,AD=AB,Z.BCD=45°,=90。將△48。沿8。
折起,使平面4BD_L平面BCD,構(gòu)成三棱錐4-BCD,則在三棱錐4-BCD中,下列命題正確
的是()
A.平面4BD1平面ABCB.平面40c1平面BDC
C.平面ABC1平面BDCD.平面4DC1平面4BC
23.在四棱錐P—4BCD中,底面4BCC為矩形,若PA1平面力則在此四棱錐的五個面中相
互垂直的平面共有()
A.3對B.4對C.5對D.6對
24.在正四面體P—4BC中,D,E,F分別是AB,BC,。4的中點,下面四個結(jié)論中不成立的是
()
A.BC〃平面PDFB.0FJ.平面P4E
C,平面PDE1平面ABCD.平面PDF1平面P4E
25.已知平面a與平面0相交,直線m1a,則()
A.0內(nèi)必存在直線與m平行,且存在直線與加垂直
B.P內(nèi)不一定存在直線與m平行,但不一定存在直線與m垂直
C./?內(nèi)不一定存在直線與m平行,但必存在直線與m垂直
D.p內(nèi)必存在直線與m平行,也不一定存在直線與m垂直
二、填空題(共10小題)
26.平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理
文字語言符號語言
判一個平面過另一
定?'
個平面的一條?
定則這兩產(chǎn).na邛
理
平面互相垂直?—
兩個平面垂直,
性則?個平面內(nèi)
質(zhì)垂直于它們自
定—.的宜線與另
an/-L”
理一個平面垂直
27.平面與平面垂直的判定定理
如果一個平面過另一個平面的____
文字語言
_,那么這兩個平面垂直
符號語言,,______n0JL^
圖形語言
z_7
28.在正方體ABCD-中,平面ACDr與平面BBRD的位置關(guān)系是.
29.如圖,平面a〃平面氏線段GH分別交a,0于點A,B,線段GO分別交a,/?于點C,D,線
段"F分別交a,0于點F,E.已知GA=9,AB=12,BH=16,ShACF=72,則
30.ABCO是正方形,P為平面4BCD外一點,且241平面ABC。,則平面P4B,平面PBC,平面
PDC,平面P4D,平面力BCO這五個面中,互相垂直的平面有對.
31.將直角三角形力BC沿斜邊上的高CD折成互相垂直的兩個平面4C。和BCD,連接48,所得圖
形中互相垂直的平面共有對.
32.在三棱錐P-48C中,己知PA1P8,PB1PC,PC1PA,如右圖所示,則在三棱錐P-4BC
的四個面中,互相垂直的面有對.
33.如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為a的正方形,側(cè)棱PA=a,PB=PD=缶,
則它的5個面中,互相垂直的面有對.
34.如圖,在四面體0-A8C中,若AB=CB,AD=CD,E是4c的中點,則下列結(jié)論正確的
是.(填序號)
①平面ABC1平面480;
②平面48。J.平面BDC;
③平面ABC_L平面BDE,且平麗WC1平面B0E;
④平面ABC1平面40C,且平面A0C1平面BDE.
35.如圖所示,在四棱錐PABC0中,P41底面力BCD,且底面各邊都相等,M是PC上的一動點,
當點M滿足時,平面MBZ51平面PCD.(只要填寫一個你認為是正確的條件即可)
三、解答題(共9小題)
36.已知△BC。中,/BCD=90。,BC=CD=1,ABJL平面BCD,Z.ADB=60°,E,F分別是力C,
AD上的動點,且蕓=哼=4(0</1<1).
(1)求證:不論4為何值,總有平面BEFJ.平面4BC;
(2)當4為何值時,平面BEF_L平面4CD?
37.如圖,在直四棱柱ABC。-A1B1C12中,41cl,當/,E,F分別是48,BC的中點.
D)
B
(1)求證:EF〃平面4BG;
(2)求證:平面。J.平面&BG.
38.如圖,在三棱錐P-ABC中,平面P4B1平面ABC,AB1BC,AP1PB,求證:平面PAC1
平面PBC.
A
39.如圖所示,平面AC。,DEI平面AC。,AB=^DEf△/CD為等邊三角形,F(xiàn)為G)的中
點.求證:
(1)AF〃平面BCE;
(2)平面BCE1平面CDE.
40.如圖,四邊形4BCD是正方形,PD//MA,MA1AD,P時_1平面。。M,MA=AD=\PD=1.
(1)求證:平面4BCDJ,平面4MPD.
(2)求三棱錐4-CMP的高.
41.如圖,六面體ABCDE中,面DBCJL面4BC,4E_L面ABC.
(1)求證:4E〃面DBC;
(2)若4BJLBC,BD1CD,求證:面A0B1面E/JC.
42.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是菱形,P4_L平面4BCD,PA=3,F是棱24上的
一個動點,E為PD的中點.
(1)求證:平面BDF1平面PCF;
(2)若4F=1,求證:CE〃平面BDF.
43.如下圖,在三棱柱48C-A$iCi中,△ABC與△&名6都為正三角形且4411而4BC,F,
&分別是AC,&G的中點.
(1)求證:平面4B/i〃平面CiBF;
(2)求證:平面力B181平面
44.如圖所示,該幾何體由一個直三棱柱力DE-BCF和一個正四棱錐P-4BCD組合而成,AD1
AF,AE=AD=2.
(1)證明:平面P/W1平面ABFE:
(2)若四棱錐P-ABCD的體積是三棱錐P—ABF體積的4倍,求正四棱錐P-4BCD的高.
答案
D
2.C
3.B
4.A
5.C
6.C
【解析】正方體ABC。一4tBic15中,連接4C,&Ci,把4??醋髦本€zn,BB1看作直線九,把平
面8B1GC作為平面。,平面44修道作為平面/?.對于A雖滿足ml九,m//afn〃氏但a不垂直
于0,從而否定A.類似地可否定B和D.
7.C
8.A
9.A
10.C
【解析】如果兩個平面垂直,兩平面內(nèi)的直線并不都相互垂直,從而判斷命題①不正確;
如果兩個平面垂直,另一個平面內(nèi),必有無數(shù)條直線和這個平面垂直,從而判斷命題②正確;
如果兩個平面垂直,當其中一個平面內(nèi)的一條直線平行于兩個平面的交線時,這條直線與另一個平面
平行,所以并不是平面內(nèi)的所有直線都和另一個平面垂直,從而判斷命題③不正確:
根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可判斷命題④正確,
所以正確的命題個數(shù)為2.故選:C.
11.D
12.A
13.D
【解析】因為在四邊形4BC0中,AD//BC,40=48,/.BCD=45°,^BAD=90°,所以8。ICO.
又平面ABC1平面BCD,且平面48。n平面BCD=BD,故CD1平面力8D,則CD148.又AD1
AB,ADOCD=D,故平面ADC,又48u平面ABC,所以平面ABC1平面ADC.
14.D
15.B
【解析】提示:取CD的中點F,CQ的中點G,則FG"ABi,易證平面4FG/_L則和點P
構(gòu)成的圖形是梯形AFGB,.
D,
16.D
【解析】由已知條件得AC_LDE,AC1BE,又BEnOE=E,于是有AC_L平面BED.又ACu
平面ABC,所以平面ABCJL平面BED.
17.C
【解析】通解根據(jù)面面垂直的判定定理可得,無論48兩點在何處,必有過4B兩點與平面a垂
直的平面,所以選項C正確.
優(yōu)解結(jié)合立體幾何知識,合理作出圖形,應(yīng)用排除法可知4,B兩點有可能在平面a的同側(cè)、異側(cè)或
平面a內(nèi),所以選項A,B錯誤;當4B兩點在平面a的異側(cè)時,就不存在過力,8兩點與平面a
平行的平面,所以選項D錯誤.
18.D【解析】易證BD1CD.
因為平面ABD1平面BC。,且平面ABDC平面BCD=BD,CDu平面BCD,故CD1平面ABD,則
CDLAB.
y.ADLAB,ADQCD=D,AOu平面ADC,C。u平面ADC,故4BJ.平面ADC.
又48u平面力BC,
所以平面ADC1平面力BC.
19.C
【解析】因為ADIBC,AD1BD,BCCBD=B,
所以4D1平面BDC,又4Du平面4DC,
所以平面4DC1平面BDC.
20.B
21.B
22.D
【解析】由題意知,在四邊形ABCD中,可證CD1BD.
因為平面4BDJL平面BCD,且兩平面的交線為BD,
所以CD_L平面4BD,
從而CD_L4B.
又4BJ.AD,
所以AB1.平面ADC,
于是平面4DC1平面48c.
23.C
24.C
【解析】因為在正四面體P-ABC中,D,E,F分別是4B,BC,CA的中點,
所以DF//BC,
因為。尸u平面PDF,BC<t平面PDF,
所以BC〃平面PDF,故A正確;
因為AB=AB=PB=PC,E是BC中點,
所以AE1BC,PE1BC,
因為4EnPE=E,
所以BC1平面P4E,
因為。尸〃BC,
所以。F1平面P4E,故B正確;
因為。尸1平面PAE,DFu平面ABC,
所以平面PAE1平面ABC,
因為平面P4En平面POE=PE,且PE與平面ABC不垂直,
所以平面PDE與平面48c不垂直,故C錯誤;
因為DF_L平面P4E,且。Fu平面PDF,
所以平面PDF1平面PAE,故D正確.
25.C
【解析】若P內(nèi)存在直線"與m平行,由m_La知n_La,從而aJ■夕,但a與夕相交確不一定垂直.
又設(shè)an/?=a,由md_a知m_La,從而0內(nèi)必有直線與m垂直.
26.Iu6,I1a,交線;,a1(3,an/?=a,Iu0,I1a
27.垂線,Iu6
28.垂直
【解析】如圖所示,
5
AC1BD\\
AC1BBi=ACJ.平面BBi。/
BDnBBI=B)=平面ADiC1平面BBi/D.
ACu平面
29.96
30.5
【解析】如圖,可得平面P4BJ.平面ABC0,平面PAD1平面4BCD,平面P4BJ.平面PAD,
平面PBCJ■平面P4B,平面P0C1平面PAD,共5對.
31.3
【解析】平面ADC1平面BDC,平面ADC±平面4DB.平面BCD1平面4DB.
32.3
【解析】因為PA1PB,PA1PC,PBCPC=P,
所以PA_L平面PBC,
因為P4u平面PAB,P4u平面PAC,
所以平面PABJ.平面PBC,平面PAC1平面PBC.
同理可證:平面P4B1平面PAC.
33.5
【解析】平面P4B1平面4BCD,平面PAD_L平面48m平面PA8_L平面PAD,平面P48_L平面PBC,
平面PAD1平面PCD,共有5對.
34.③
【解析】因為AB=CB,且E是力C的中點,所以BE14C,同理有OE1AC,于是AC_L
平面BDE.因為ACu平面ABC,所以平面力BC1平面BDE.又由于ACu平面AC。,所以
平面AC。1平面BDE,所以③正確.
35.DM1PC(或BM1PC等)
【解析】由已知條件可知,BD±PC.
所以當DM1PC(或BM1PC)時,即有PC1平面MBD.
而PC屬于平面PCD,
所以平面MB。1平面PCD.
36.(1)因為ABJL平面BCD,
所以4B1CD,
因為CD1BC且48nBe=B,
所以CDJ.平面4BC.
又因為TI=7D=乂。<2<I),
所以不論;I為何值,恒有EF〃CO,
所以EF1平面ABC,EFu平面BEF,
所以不論;I為何值,恒有平面BEF1平面ABC.
(2)由(I)知,BEJ.EF,又平面BEFJ.平面AC。,
所以BE,平面4C0,
所以BE1.AC.
因為BC=CD=1,/.BCD=90°,ZLADB=60",
所以BD=a,AB=V2tan60"=瓜
所以AC=y/AB2+BC2=歹,
由AB2=AEAC得AE=%
所以"黃,
故當4=3時,平面BEF_L平面4CD.
37.(1)連接4C,
則AC〃AiG,而E,F分別是48,BC1的中點,
所以EF//AC,
則EF〃力?,故EF〃平面4BC「
(2)因為BBi1平面4/iGDi,
所以BB1J.4C1,又AiGlBiA,
則&Q1平面。1。8名,
又41clu平面&BC],
所以平面DiDBBi1平面418G.
38.因為平面P48J.平面48C,平面P4BCI平面4BC=48,且4B1BC,
所以BC1平面P48,
所以AP1BC.
又力P1PB,
所以4P_L平面PBC.
又APu平面PAC.
所以平面PACJ.平面PBC.
39.(1)取CE的中點G,連接FG,BG,
因為F為CD的中點,G為CE的中點,
所以G尸〃。E且GF=;Z)E,
因為4B1.平面4CD,DE1平面4CD,
所以4B〃DE,
所以GF//AB,
又因為48=|0E,
所以G尸=48,
所以四邊形GFAB為平行四邊形,
所以AF〃BG,
因為AF<t平面BCE,BGu平面BCE,
所以AF〃平面BCE.
(2)因為△ACD為等邊三角形,F(xiàn)為CD的中點,
所以AF1CD,
因為DE_L平面4CD,4Fu平面4CD,
所以DELAF,
又因為CDnDE=D,CDc^-^CDE,DEu平面CDE,
所以AF±平面COE,
因為BG//AF,
所以BGJL平面COE,
因為BGu平面BCE,
所以平面BCE1平面COE.
40.(1)因為PMJ.平面COM,且CDu平面COM,
所以PM1CD,
又因為4BC0是正方形,
所以CO1AD,
在梯形AMP。中,PM與4”相交,
所以CD1平面AMPD,
又因為CDu平面ABC。,
所以平面Z8CD1平面4MPD.
(2)設(shè)三棱錐4-CMP的高為九,
由(I)知CD1.平面4MPD,且PM1平面CDM,
所以PM1CM,PM±DM,
因為MA=AD=gPC=1,
所以=CM=V3,PM=V2,
所以SA4Mp=%MMD=5,
SACMP=|CM-PM=i-V3-V2=^;
因為VA-CMP='c-AMP,
所以3SACMP,h=[S^.Mp?CD;
即四?八=Nx」xl,
3232
解得仁£
o
所以三棱錐A
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