2023-2024學(xué)年人教A版數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊綜合測試題(一)

人教A版數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊綜合測試題(一)

考試時間120分鐘，滿分150分.

一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的

四個選項中，只有一項是符合題目要求的)

1QQ

1.已知數(shù)列｛總的前4項依次為一；，1,-f,則該數(shù)列的一個通項公

式可以是()

A.(-1)”?~|GB,4〃=(-1)"L1G

n+2〃十2

〃2n2

C.小=(-1-2〃+1D.?！?(-1)"%+]

2.等差數(shù)列｛Z｝的首項為1,公差不為0.若成，。3,06成等比數(shù)列，則｛原｝

的通項公式為()

A.?！?3—2nB.a”=2-n

C.an'='nD.a”=43〃

3.已知.穴目=%+優(yōu)+1)+(左+2)H----F2^eN*),則()

A.加1+1)—加1)=2左+2

B.加1+1)一穴口=3女+3

C.犬攵+1)—/(幻=必+2

D..穴%+1)—x%)=4%+3

4.已知曲線＞=優(yōu)，+尤111%在點(1,ae)處的切線方程為y=2x+Z?,則()

A.a=e,b=-\B.o=e,b=\

C.a=e1，b=1D.a=e]，h=-\

5.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛a“｝的前4項和為圣，且8a5=回一2/，則

O

43=()

A-L1

A16Ba-8

C."D.g

6.等比數(shù)列｛0”｝中，a\=2,08=4,函數(shù)兀0=x(x—ai)(x—。2)…(x—。8),則

f(0)=()

A.26B.29

C.212D.215

7.等差數(shù)列｛z｝中，ai與04037是./（x）=x—41nx—孑的兩個極值點，則臉

=（）

A.1B.2

C.0D.2

8.已知函數(shù)危）=~—2%+。（下|+丁，+|）有唯一零點，則。=（）

A.—B.1

C.gD.1

二'多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的

四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全的

得2分，有選錯的得0分）

9.記S為等差數(shù)列｛m｝的前幾項和.若小+3“5=S7,則以下結(jié)論一定正確

的是（）

A.如=0B.S”的最大值為S3

C.S\=S6D.|t/3|<|a5|

10.已知數(shù)列｛.”｝滿足m=|,知+1=言尢，則下列結(jié)論中正確的有（）

A-七十,為等比數(shù)列

B.｛*的通項公式為a“=32」i_]

C.｛&｝為遞增數(shù)列

的前n項和為2"一々一1

｛Cln）J

11.若函數(shù)於）的圖象上存在兩個不同的點A,5,使得曲線y=?r）在這兩

點處的切線重合，稱函數(shù)“X）具有T性質(zhì).下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的有（）

A.y=ex—xB.y=d-f

C.y=^D.y=x+sinx

12-|—尤—1

12.已知函數(shù)yu)=——,則下列結(jié)論正確的是()

A.函數(shù)/(x)存在兩個不同的零點

B.函數(shù).*x)既存在極大值又存在極小值

C.當(dāng)一e<HO時，方程有且只有兩個實根

D.若工￡口，+8)時，*x)max=《，則t的最小值為2

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

13.已知遞增等比數(shù)列｛m｝滿足或+。3=60,則僅〃｝的前三項可以依次是—.

14.函數(shù)4幻=/一6*—158+2的極大值是—，極小值是—.

15.函數(shù)yn%2。〉。)的圖象在點(以，況)處的切線與x軸交點的橫坐標(biāo)為ak+\,

攵為正整數(shù)，a\—16,則。1+“3+。5=___.

16.寫出曲線y=In|x|過坐標(biāo)原點的切線方程：.

四'解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或

演算步驟)

17.(本小題滿分10分)已知函數(shù)_/(x)==—Inx.

A-

(1)求人X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若貝。+2)勺g2)meR),求a的取值范圍.

18.(本小題滿分12分)設(shè)S”為數(shù)列｛m｝的前n項和，已知“2=1,25"=〃。".

(1)求｛斯｝的通項公式;

(2)求數(shù)列杵m的前〃項和T?.

19.(本小題滿分12分)已知函數(shù)yU)=e，(a/—x+1).

(1)求曲線y=/U)在點(0,40))處的切線的方程；

(2)若函數(shù)/(x)在x=0處取得極大值，求a的取值范圍.

20.(本小題滿分12分)已知等差數(shù)列｛斯｝的前〃項和為5“且關(guān)于x的不等

式aix2—S”+2<0的解集為(1,2).

(1)求數(shù)列｛“,｝的通項公式；

(2)若數(shù)列｛瓦｝滿足?=皿+2aL1,求數(shù)列｛瓦｝的前n項和Tn.

21.(本小題滿分12分)若函數(shù)/?=浸一加+2,當(dāng)尤=2時，函數(shù)/U)有極

值一2.

(1)求函數(shù)7U)的解析式；

(2)求函數(shù)大用的極值；

(3)若關(guān)于X的方程7U)一女=0有三個不同的實數(shù)解，求實數(shù)k的取值范圍.

22.(本小題滿分12分)已知函數(shù)/U)=a(e'+a)-x.

(1)討論人尤)的單調(diào)性；

3

(2)證明：當(dāng)?>0時，y(x)>21n〃+/.

人教A版數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊綜合測試題(一)

考試時間120分鐘，滿分150分.

一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的

四個選項中，只有一項是符合題目要求的)

1QQ

1.已知數(shù)列｛“”｝的前4項依次為一;，1,-j,則該數(shù)列的一個通項公

式可以是(A)

22

A.5(—1)〃?rB.a”=(—1產(chǎn)?木

層層

C.如=(T)"?罰D.1)皿?罰

［解析］數(shù)列的前4項分別為一1點a4-f9,y16,可得奇數(shù)項為負(fù)數(shù)，偶數(shù)

項為正數(shù)，可知：第〃項的符號為(-1)",排除選項B,D；

再觀察分?jǐn)?shù)的分母需滿足〃+2,最終可得通項公式

〃十2

2.等差數(shù)列｛而｝的首項為1,公差不為0.若42,。3,。6成等比數(shù)列，則｛Z｝

的通項公式為(A)

A.an—3—2nB?z=2—n

C.D.=43〃

［解析］因為。2,43,46成等比數(shù)列，則后=。2口6,

即(ai+2d)2=(ai+d)(m+5d),將0=1代入計算可得d=—2或d=0(舍),

則通項公式為a”=l+(〃-1)x(—2)=—2〃+3,

故選A.

3.已知貝人)=%+(左+1)+(左+2)+…+2依IWN*),則(B)

A.1人+1)-/(4)=2左+2

B.加1+1)一川。=3女+3

C.犬女+1)一八%)=4女+2

D.加1+1)—加1)=4攵+3

［解析］必)=%+(%+1)+(%+2)+…+2%伙GN*),則於+1)—水)=/+1)

+(%+2)+(左+3)+…+(2%—1)+2卜+(24+1)+2(Z+1)一伏+(左+1)+(%+2)+…

+2k］=3k+3.

4.已知曲線＞=優(yōu)'+乂11》在點(1,ae)處的切線方程為y=2x+。,則(D)

A.a=e,b=~\B.a=e,b=1

C.a=e',b=\D.a=e^1,b=—\

［解析］由已知y'=aev+lnx+l,所以％=y'k=i=ae+l=2,/.fl=e~l,

點(1,ae)即為(1,1),

將(1,1)代入y=2x+/?得2+。=1,。=—1,故選D.

5.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列伍“｝的前4項和為昌且8a5=。1一2。3,則

O

。3=(C)

A16B-8

C1D1

J42

［解析］設(shè)等比數(shù)列｛?。墓葹閝,

因為前4項和為號，且8a5=m—2。3,

所以q#l,)=*8an4=ai—2。q2,解得ai=l,4=/.則山=今

6.等比數(shù)列｛“”｝中，ai=2,制=4,函數(shù)/(x)=x(x—ai)(x—。2)…(工-48),則

f(0)=(C)

A.26B.29

C.212D.215

［解析］觀察函數(shù)形狀，變形為yU)=x-［(x—…(左一。8)］,

所以/'(x)=(x-Ql)(x-。2)???(無一〃8)+工［(尢-Ql)(x—42)…(X—Q8)］',

所以f(0)=41?42?…?。8=(。1?。8)4=84=212,故選C.

7.等差數(shù)列｛?｝中，a\與04037是/U)=x—41nx—?的兩個極值點，則1空萬巴。現(xiàn)

=(B)

A.1B.2

C.0D.I

,4,mx2-4x+mm

［斛析］f(X)=l--+~2=-------,因為0與Q4037是九x)=%-41nx—7

人?人人人

的兩個極值點,

令g(x)=/-4x+/”,所以ai與。4037是方程/—4x+〃z=0的兩個根，即G

+<74037=4,也即2a2019=4,所以02019=2,則"第a2<"9=21og22=2.

8.已知函數(shù)—2x+a(e「i+er'I)有唯一零點，則a=(C)

A.一；B.1

C.3D.1

[解析]方法一：段)=/—2x+a(e'"i+e*+|)=(》-l)2+a[e*r+e(x1)]—1,

令f=x—1,則g(f)=產(chǎn)+a(e，+e—今一1,

因為g(—t)=(—t)2+a(e~,+e1)—1=g(t),

.?.g⑺是偶函數(shù).

因為?r)有唯一零點，所以g⑺也有唯一零點.

由偶函數(shù)性質(zhì)知g(0)=0,即a(e0+e°)—l=0,所以a=T，故選C.

方法二：由1Ax)=0得。[6廠1+6一(1)]=一/+2匚

因為?皿+廣(門)22舸工？西=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時取等號，

-x2+2x=-(x-l)2+l^l,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時取等號.

若。>0,則a[ei+e-"F]22a,要使/(x)有唯一零點，則必有2a=1,即a

=2,

若aWO,則?r)的零點不唯一，故選C.

二'多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的

四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全的

得2分，有選錯的得0分)

9.記S”為等差數(shù)列｛%｝的前〃項和.若。+3a5=S7,則以下結(jié)論一定正確

的是(AC)

A.。4=0B.S”的最大值為S3

C.Si=S6D.|a31Vl〃5|

[解析]設(shè)等差數(shù)列｛而｝的公差為d,則ai+3(m+4J)=7ai+21d,解得ai

=-3d,

所以a〃=ai+（〃一l）d=（〃-所以〃4=0,故A正確；因為SG—Si=5t/4

=0,所以S=S6,故C正確；由于d的正負(fù)不清楚，故S3可能為最大值或最小

值，故B錯誤；

因為+。5=2a4=0,所以43=-CL5?

即|。3|=|。5|,故D錯誤.

10.已知數(shù)列｛z｝滿足m=|,Z+I=懸;，則下列結(jié)論中正確的有（AD）

為等比數(shù)列

B.｛以｝的通項公式為為=32」_1

C.｛?。秊檫f增數(shù)列

D.］5］的前n項和為2"一4一1

｛UnJJ

［解析］由題意得一一二方+上，則1-+；=2d+/），而:+；=1，

Cln+1JCln+13\filn3）Cl13

故七十m是首項為1,公比為2的等比數(shù)列，

；+<=2"I得［,｛&”｝為遞減數(shù)列，故A正確，B,C錯誤；

2"F

對于D，5+；+5++“+2+上2”-1,用的前〃項和為2"一六1，故

D正確，

故選AD.

11.若函數(shù)人x）的圖象上存在兩個不同的點A,8,使得曲線y=/（x）在這兩

點處的切線重合，稱函數(shù)式幻具有T性質(zhì).下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的有（BD）

A.y=ex~xB.y=x4~x2

C.y=^D.y=x+sinx

［解析］由題意可得，性質(zhì)T指函數(shù)式幻圖象上有兩個不同點的切線是重合

的，即兩個不同點所對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值相等，且兩點處函數(shù)的切線方程也相同.

對于A選項，y=e.x-x,則y'=e'—1,導(dǎo)函數(shù)為增函數(shù)，不存在不同的兩

個尤使得導(dǎo)數(shù)值相等，故A不符合；

對于B選項，y'=4/-2x,設(shè)兩切點分別為（xi,才一行），（X2,x,一高）且43

—2XI=4JH—2X2,

取X1=—乎，X2=*,則yi=—2=”，兩切點處的導(dǎo)數(shù)值為y'=0,兩切

點連線的直線斜率為4=更二上=0,所以兩切點處的導(dǎo)數(shù)值等于兩切點連線的斜

X2~Xl

率，符合性質(zhì)7,所以B選項符合；

對于C選項，設(shè)兩切點分別為(xi,N)和(X2,3)，則兩切點處的導(dǎo)數(shù)值相等

有：3X=3遇，解得：x\=~x2,令xi=a,則％2=—。，兩切點處的導(dǎo)數(shù)y'=3a2,

蘇一(一Q)3

兩切點連線的斜率為Z=---7---T~=a2,則3屋=次，得。=0,兩切點重合，不

a-(一a)

符合題意，所以C選項不符合；

對于D選項，y'=l+cosx,設(shè)兩切點的橫坐標(biāo)分別為xi和xi,則1+cosx\

“I匕匕?e兀57tml兀?I57cl.

=1+COSX2,所以COSX1=COSX2,取Xl=],X2=/~,則丁1=]+1,+1,

兩切點處的導(dǎo)數(shù)值為y,=1,兩切點連線的直線斜率為仁廿=1,所以兩切

點處的導(dǎo)數(shù)值等于兩切點連線的斜率，符合性質(zhì)T,所以D選項符合.

-\~X-1

12.已知函數(shù)式x)=---,則下列結(jié)論正確的是(ABC)

A.函數(shù)7(x)存在兩個不同的零點

B.函數(shù)兀r)既存在極大值又存在極小值

C.當(dāng)一e<M0時，方程兀0=%有且只有兩個實根

D.若坤3+8)時，危)?蟲=5，則f的最小值為2

—1zb\/5

[解析]對于A：*x)=0=>/+x—1=0,解得x=--2~,所以A正確；

x2—x―2(x+l)(x—2)

對于B/，(X)=———一§一

當(dāng)/'(無)>0時，-14<2,

當(dāng)/'(x)<0時，x<~\或x>2,

故(一8,-1),(2,+8)上函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，(一1,2)是函數(shù)的單調(diào)遞

增區(qū)間，所以人—1)是函數(shù)的極小值，

7(2)是函數(shù)的極大值，所以B正確；

對于C.當(dāng)Xf+8時，y->0,根據(jù)B可知，函數(shù)的最小值是1)=-e,

再根據(jù)單調(diào)性可知，當(dāng)一e<%<0時，方程./U)=Z有且只有兩個實根，所以C正

確；

y

4

2

對于D.由圖象可知，，的最大值是2,所以不正確.

三'填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

13.己知遞增等比數(shù)列｛“"｝滿足02+。3=6.1,則｛“"｝的前三項可以依次是

124(答案不唯一),

［解析］設(shè)｛?！埃墓葹閝,因為。2+。3=6卬，所以aiq+aiq2=6m,所以“

十才=6,解得4=—3或q=2,又?jǐn)?shù)列｛z｝為遞增數(shù)列，所以q=2,所以只要

寫首項為正數(shù)，公比為2的等比數(shù)列的前三項均可，如1,2,4.

14.函數(shù)-15x+2的極大值是3極小值是一98.

［解析］由已知/(x)=3f—12x—15=3(x+l)(x—5),

由f(x)>0得(x+l)(x—5)>0,即x<—1或x>5,_/(x)在(一8,—1)和(5,+

8)上單調(diào)遞增，

由尸(尤)<0得(x+l)(x—5)<0,即一1<X<5,。力在(一1,5)上單調(diào)遞減,

所以7U)極大值=大-1)=10,凡r)極小值=,5)=-98.

15.函數(shù)丫=/(心>0)的圖象在點(以，況)處的切線與x軸交點的橫坐標(biāo)為以.*」，

%為正整數(shù)，41=16,則。1+。3+。5=21.

［解析］由已知，y'=2x,點o，成)處的切線的斜率攵=2四，

在點3，次)處的切線方程為廠次=2。心一點)，當(dāng)y=0時，解得％=發(fā)，

所以以+1=半=>""=\,ai+ai+as=16+4+1=21.

乙ClkA

16.寫出曲線y=ln|x|過坐標(biāo)原點的切線方程：y=f,y=-f.

［解析］當(dāng)x〉0時，點(xi,lnxi)(xi>0)上的切線為y—lnxi=；(x—xi),若該

x

切線經(jīng)過原點，則lnxi—l=O,解得xi=e,此時切線方程為y=［

當(dāng)x<0時，點(X2,ln(—X2))(X2<O)上的切線為y—ln(—X2)=；(x—X2),若該切

線經(jīng)過原點，貝!］ln(一功-1=0,解得X2=-e,此時切線方程為y=一：.

四'解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明'證明過程或

演算步驟)

17.(本小題滿分10分)已知函數(shù)Inx.

(1)求人X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若人。+2)勺(/)meR),求。的取值范圍.

［解析］的定義域為(0,+8).

且x>0,

(x)<0在(0,+8)上恒成立.

即火X)單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+8).

r?+2>o,

(2)/(a+2)勺(。2)等價于1標(biāo)>0,解得一］<。<0或0<<7<2,

1a+2>/,

：.a的取值范圍為(-1,0)U(0,2).

18.(本小題滿分12分)設(shè)S為數(shù)列｛斯｝的前〃項和，已知a2=l,2S“=〃a”.

(1)求｛z｝的通項公式；

(2)求數(shù)歹“安|的前〃項和Tn.

［解析］⑴因為2S?=”,

當(dāng)〃=1時，2ai=ai,即ai=0；

當(dāng)〃=3時，2(1+必)=3。3,即“3=2,

=

當(dāng)時，2Sn-1=(n—1)an-1,所以2(Sn~Sn-\)=nan~(n—l)an-i2an9

化簡得(〃-2)a?=(〃一l)a〃—i,當(dāng)九23時，言y=失;=???=，=1,即a〃=

〃一1,

當(dāng)72=1,2,3時都滿足上式，所以斯=〃-1(〃GN*).

(2)因為甥=氤所以4=1X改+2乂鈔+3*0+…+〃x&>,

如="住)25陟+.“+d)X陟+〃啕叫

兩式相減得，

如=班陟+a+…+陟一科加利單］一加

1—5

=1—(1+習(xí)住),即5=2—(2+〃)g},〃GN*.

19.(本小題滿分12分)已知函數(shù)?x)=e1加一x+1).

(1)求曲線y=/(x)在點(0,40))處的切線的方程；

(2)若函數(shù)人為在x=0處取得極大值，求。的取值范圍.

［解析］(1)由式%)=&'<加一》+1)可得f'。)=玳加一x+l+2ax-1)=

&'(0^+20￥—X),

所以％=/'(0)=0,-0)=1,

故曲線y=/U)在點(0,.穴0))處的切線的方程為y=L

(2)由(1)可得/'(x)=xex(ar+2a—1),

當(dāng)a=0時，/'(x)=—xex,

當(dāng)x<0時，尸(x)>0,加)單調(diào)遞增;當(dāng)x>0時，/(x)<0,穴x)單調(diào)遞減;

所以此時/U)在尤=0處取得極大值，滿足題意；

1-2Q

當(dāng)aWO時，令/'。)=十(以+2a—1)=0,解得加=0,X2=—^—.

下面對a進(jìn)行分類討論

①當(dāng)a=；時，/'(外二上^^。，/U)在R上單調(diào)遞增，無極值點，舍去；

②當(dāng)a*時，

］—2a1—2Q

當(dāng)x<-y-或x>0時，/'(x)>0,ZU)單調(diào)遞增；當(dāng)一工一<x<0時，/'(x)<0,

火x)單調(diào)遞減,

此時?x)在x=0處取得極小值，故舍去;

③當(dāng)?<0時,

當(dāng)x<——^x>0時，f(x)<0,ZU)單調(diào)遞減；當(dāng)工一<x<0時，f'(x)>0,

_Ax)單調(diào)遞增，

此時7U)在x=0處取得極大值，滿足題意；

④當(dāng)0<a<；時，

］—2a1—2。

當(dāng)x<o或x>-y-時，f(%)>o,_/u)單調(diào)遞增；當(dāng)04<—^一時，fw<o,

_/(X)單調(diào)遞減，

此時7U)在x=o處取得極大值，滿足題意；

綜上。的取值范圍為(一8,

20.(本小題滿分12分)已知等差數(shù)列｛z｝的前〃項和為S”，且關(guān)于x的不等

式aix2—S2X+2<0的解集為(1,2).

(1)求數(shù)列｛d,｝的通項公式；

(2)若數(shù)列｛兒｝滿足bn=a2n+2an-l,求數(shù)列｛仇｝的前n項和T〃.

［解析］(1)設(shè)等差數(shù)列｛板｝的公差為d,

因為關(guān)于x的不等式S4+2<0的解集為(1,2),

所以air—Szx+ZnO的根為xi=l,X2=2,

所以S2=3ai,ai=l,

又S2=2ai+d,所以ai=1=l,

所以數(shù)列｛z｝的通項公式為a?=n.

(2)由(1)可得，皿=2〃,2。"=2",

因為從=42"+為"-1,所以兒=2"—1+2",

所以數(shù)列｛加｝的前〃項和Tn=[1+3+5H---F(2/7-1)]+

/cI2Icl3IIZ>?\”(L1+2〃-1)2(1—2〃)1..

(2+2+2+-+2?)=-~~-——Z+-V/=n2_|_2^1-2.

乙1Z

21.(本小題滿分12分)若函數(shù)凡^二所3一法2+2,當(dāng)x=2時，函數(shù)?r)有極

值一2.

(1)求函數(shù)/U)的解析式；

(2)求函數(shù)/U)的極值；

(3)若關(guān)于x的方程7(x)—A=0有三個不同的實數(shù)解，求實數(shù)k的取值范圍.

[解析](1)函數(shù)危)=加一加+2,'(x)=3ax2—2bx,

由題意知，當(dāng)x=2時，函數(shù)式x)有極值一2,

[f'(2)=0,[12a-4/?=0,(a=l,

即1,解得彳

依2)=-2,[Sa-4b+2=~2,[b=3,

故所求函數(shù)的解析式為式犬)=/—39+2.

(2)由(1)得/'(x)=3f—6x=3x(x-2),

令f'(九)=0,得尤=0或x=2,

當(dāng)X變化時，fw，7U)的變化情況如下表.

X(—8,0)0(0,2)2(2,+8)

f(X)+0—0+

於)單調(diào)遞增2單調(diào)遞減-2單調(diào)遞增

因此，當(dāng)x=0時，/(X)有極大值2,當(dāng)x=2時，./U)有極小值-2.

(3)若關(guān)于x的方程_/U)—左=0有三個不同的實數(shù)解，則1x)=Z有三個不同

的實數(shù)根，即曠=大尤)的圖象與直線y=R有三個交點.由(2)可得函數(shù)式幻的圖象

如圖所示，

二實數(shù)%的取值范圍為-2<%<2.

22.(本小題滿分12分)已知函數(shù)/(幻=。(&，+。)-x.

(1)討論於)的單調(diào)性;

3

(2)證明：當(dāng)a>0時，/x)>21na+.

[解析](1)因為y(x)=a(e*+a)—x,定義域為R,所以/'(》)="e'一1,

當(dāng)aWO時，由于e'O,則ae'WO,故/'(x)=ae*—1<0恒成立，

所以/U)在R上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時，令/'(x)=aev-l=O,解得x=—Ina,