2025-高考科學(xué)復(fù)習(xí)解決方案-數(shù)學(xué)-基礎(chǔ)版第1節(jié) 集合含答案

2025-高考科學(xué)復(fù)習(xí)解決方案-數(shù)學(xué)-基礎(chǔ)版第1節(jié)集合含答案第一節(jié)集合課標(biāo)解讀考向預(yù)測(cè)1.了解集合的含義，理解元素與集合的屬于關(guān)系；能用自然語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言刻畫(huà)集合.2.理解集合之間的包含與相等關(guān)系，能識(shí)別給定集合的子集，了解全集與空集的含義.3.理解集合之間的交、并、補(bǔ)的含義，能求兩個(gè)集合的并集與交集，能求給定子集的補(bǔ)集.4.能使用Venn圖表達(dá)集合之間的基本關(guān)系與基本運(yùn)算，體會(huì)圖形對(duì)理解抽象概念的作用.集合是高考必考內(nèi)容，重點(diǎn)考查集合的基本運(yùn)算，以小題形式出現(xiàn)，常聯(lián)系不等式的解集，試題難度較低.2025年備考仍以小題為主訓(xùn)練，在注重集合概念的基礎(chǔ)上，牢固掌握集合的基本關(guān)系與運(yùn)算，適當(dāng)加強(qiáng)與函數(shù)、不等式等知識(shí)的聯(lián)系，借助數(shù)軸和Venn圖等工具解決相關(guān)問(wèn)題.必備知識(shí)——強(qiáng)基礎(chǔ)1．元素與集合(1)集合中元素的三個(gè)特性：eq\x(\s\up1(01))確定性、eq\x(\s\up1(02))互異性、eq\x(\s\up1(03))無(wú)序性．(2)元素與集合的關(guān)系：若a屬于集合A，記作aeq\x(\s\up1(04))∈A；若b不屬于集合A，記作beq\x(\s\up1(05))?A.(3)集合的三種表示方法：eq\x(\s\up1(06))列舉法、eq\x(\s\up1(07))描述法、圖示法．(4)常用數(shù)集及記法名稱自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集記法eq\x(\s\up1(08))Neq\x(\s\up1(09))N*或N＋eq\x(\s\up1(10))Zeq\x(\s\up1(11))Qeq\x(\s\up1(12))R(5)集合的分類：有限集和無(wú)限集．2．集合間的基本關(guān)系(1)子集：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A，B，如果集合A中eq\x(\s\up1(13))任意一個(gè)元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集．記作Aeq\x(\s\up1(14))?B(或Beq\x(\s\up1(15))?A)．(2)真子集：如果集合A?B，但eq\x(\s\up1(16))存在元素x∈B，且x?A，就稱集合A是集合B的真子集，記作Aeq\x(\s\up1(17))B(或Beq\x(\s\up1(18))A)．(3)相等：若A?B，且Beq\x(\s\up1(19))?A，則A＝B.3．集合的基本運(yùn)算運(yùn)算自然語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言Venn圖并集由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合A∪B＝eq\x(\s\up1(20)){x|x∈A，或x∈B}交集由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合A∩B＝eq\x(\s\up1(21)){x|x∈A，且x∈B}補(bǔ)集對(duì)于一個(gè)集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合?UA＝eq\x(\s\up1(22)){x|x∈U，且x?A}4.集合的運(yùn)算性質(zhì)(1)A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A.(2)A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A.(3)A∩(?UA)＝?，A∪(?UA)＝U，?U(?UA)＝A.1．空集的性質(zhì)：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．2．若有限集A中有n個(gè)元素，則A的子集有2n個(gè)，真子集有2n－1個(gè)，非空子集有2n－1個(gè)，非空真子集有2n－2個(gè)．3．A?B?A∩B＝A?A∪B＝B??UA??UB.4．?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)．5．集合元素個(gè)數(shù)公式：若用card表示有限集中元素的個(gè)數(shù)，則card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)．1．概念辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)eq\f(1,3)∈Q.()(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．()(3)如果集合B?A，那么若元素a不屬于A，則必不屬于B.()答案(1)√(2)×(3)√2．小題熱身(1)若集合M＝{x|x3＝x}，N＝{x|x2＝1}，則下列式子正確的是()A．M＝N B．M?NC．N?M D．M∩N＝?答案C(2)已知集合A＝{x|x2－4x<0，x∈N*}，則集合A的真子集的個(gè)數(shù)為()A．3 B．4C．8 D．7答案D(3)已知全集U＝R，集合A＝{－2，－1，1，2，4，6}，B＝{－2，1，2，3，5}，則圖中陰影部分表示的集合是()A．{－2，1，2} B．{－1，4，6}C．{3，5} D．{－2，－1，1，2，3，4，6}答案A解析由圖可知陰影部分表示的是A∩B，又A∩B＝{－2，1，2}，故陰影部分表示的集合是{－2，1，2}．故選A.(4)(人教A必修第一冊(cè)習(xí)題1.3T4改編)設(shè)全集為R，集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，則?R(A∪B)＝________，(?RA)∩B＝________．答案{x|x≤2或x≥10}{x|2＜x＜3或7≤x＜10}考點(diǎn)探究——提素養(yǎng)考點(diǎn)一集合的基本概念例1(1)(2024·河南漯河高三摸底)下列四個(gè)命題正確的是()A．10以內(nèi)的素?cái)?shù)集合是{1，3，5，7}B．0與{0}表示同一個(gè)集合C．方程x2－4x＋4＝0的解集是{2，2}D．由1，2，3組成的集合可表示為{1，2，3}或{3，2，1}答案D解析10以內(nèi)的素?cái)?shù)有2，3，5，7，A錯(cuò)誤；0是集合{0}中的一個(gè)元素，B錯(cuò)誤；由集合中元素的互異性可知，C錯(cuò)誤；由集合中元素的無(wú)序性可知，D正確．故選D.(2)若集合A＝{a－3，2a－1，a2－4}，且－3∈A，則實(shí)數(shù)a＝________．答案0或1解析①當(dāng)a－3＝－3時(shí)，a＝0，此時(shí)A＝{－3，－1，－4}；②當(dāng)2a－1＝－3時(shí)，a＝－1，此時(shí)A＝{－4，－3，－3}，舍去；③當(dāng)a2－4＝－3時(shí)，a＝±1，由②可知a＝－1舍去，則當(dāng)a＝1時(shí)，A＝{－2，1，－3}．綜上，a＝0或1.【通性通法】與集合中元素有關(guān)問(wèn)題的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)【鞏固遷移】1．已知集合A＝{x∈R|x2＋a>0}，且2?A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．{a|a≤4} B．{a|a≥4}C．{a|a≤－4} D．{a|a≥－4}答案C解析由題意可得22＋a≤0，解得a≤－4.故選C.2．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，則A中元素的個(gè)數(shù)為()A．9 B．8C．5 D．4答案A解析集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}＝{(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)}，共9個(gè)元素．故選A.3．設(shè)a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))，則a2024＋b2024＝________．答案2解析由題意知a≠0，因?yàn)閧1，a＋b，a}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))，所以a＋b＝0，則eq\f(b,a)＝－1，所以a＝－1，b＝1.故a2024＋b2024＝1＋1＝2.考點(diǎn)二集合間的基本關(guān)系例2(1)(2023·新課標(biāo)Ⅱ卷)設(shè)集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A?B，則a＝()A．2 B．1C.eq\f(2,3) D．－1答案B解析因?yàn)锳?B，所以a－2＝0或2a－2＝0，解得a＝2或a＝1.若a＝2，此時(shí)A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不符合題意；若a＝1，此時(shí)A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，符合題意．綜上所述，a＝1.故選B.(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)_______．答案(－∞，3]解析∵B?A，∴若B＝?，則2m－1＜m＋1，解得m＜2；若B≠?，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m－1≥m＋1，,m＋1≥－2，,2m－1≤5，))解得2≤m≤3.綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍為(－∞，3]．【通性通法】1．判斷集合間關(guān)系的三種方法列舉法根據(jù)題中限定條件把集合元素列舉出來(lái)，然后比較集合元素的異同，從而找出集合之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)法從元素的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)入手，結(jié)合通分、化簡(jiǎn)、變形等技巧，從元素結(jié)構(gòu)上找差異進(jìn)行判斷數(shù)軸法在同一個(gè)數(shù)軸上表示出兩個(gè)集合，比較端點(diǎn)之間的大小關(guān)系，從而確定集合與集合之間的關(guān)系2.已知兩個(gè)集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的關(guān)系，常用數(shù)軸、Venn圖等來(lái)直觀解決這類問(wèn)題．求得參數(shù)后，可以把端點(diǎn)值代入進(jìn)行驗(yàn)證，以免增解或漏解．注意：空集是任何集合的子集，在涉及集合關(guān)系問(wèn)題時(shí)，必須考慮是否存在空集的情況，否則易造成漏解．【鞏固遷移】4．設(shè)集合P＝{y|y＝x2＋1}，M＝{x|y＝x2＋1}，則集合M與集合P的關(guān)系是()A．M＝P B．P∈MC．MP D．PM答案D解析因?yàn)镻＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}，M＝{x|y＝x2＋1}＝R，所以PM.5．(2024·湖南湘潭模擬)若集合A＝{1，2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，且B?A，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)_______．答案[－2，2)解析若B＝?，則Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2，符合題意；若1∈B，則12＋m＋1＝0，解得m＝－2，此時(shí)B＝{1}，符合題意；若2∈B，則22＋2m＋1＝0，解得m＝－eq\f(5,2)，此時(shí)B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))，不符合題意．綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為[－2，2)．考點(diǎn)三集合的基本運(yùn)算(多考向探究)考向1集合間的交、并、補(bǔ)運(yùn)算例3(1)(2023·新課標(biāo)Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，則M∩N＝()A．{－2，－1，0，1} B．{0，1，2}C．{－2} D．2答案C解析因?yàn)镹＝{x|x2－x－6≥0}＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)，而M＝{－2，－1，0，1，2}，所以M∩N＝{－2}．故選C.(2)(2024·山東濰坊高三上學(xué)期月考)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|ex<1}，則A∪B＝()A．(－∞，1) B．(－∞，2)C．(－2，0) D．(－1，2)答案B解析由題意，A＝{x|x2－x－2<0}＝{x|－1<x<2}，B＝{x|ex<1}＝{x|x<0}，所以A∪B＝(－∞，2)．故選B.(3)(2023·全國(guó)乙卷)設(shè)集合U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1<x<2}，則{x|x≥2}＝()A．?U(M∪N) B．N∪?UMC．?U(M∩N) D．M∪?UN答案A解析由題意可得M∪N＝{x|x<2}，則?U(M∪N)＝{x|x≥2}，A正確；?UM＝{x|x≥1}，則N∪?UM＝{x|x>－1}，B錯(cuò)誤；M∩N＝{x|－1<x<1}，則?U(M∩N)＝{x|x≤－1或x≥1}，C錯(cuò)誤；?UN＝{x|x≤－1或x≥2}，則M∪?UN＝{x|x<1或x≥2}，D錯(cuò)誤．故選A.【通性通法】解決集合運(yùn)算問(wèn)題的三個(gè)技巧看元素構(gòu)成集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運(yùn)算問(wèn)題的關(guān)鍵對(duì)集合化簡(jiǎn)有些集合是可以化簡(jiǎn)的，先化簡(jiǎn)再研究其關(guān)系并進(jìn)行運(yùn)算，可使問(wèn)題簡(jiǎn)單明了、易于解決應(yīng)用數(shù)形離散型數(shù)集或抽象集合間的運(yùn)算，常借助Venn圖求解；連續(xù)型數(shù)集的運(yùn)算，常借助數(shù)軸求解【鞏固遷移】6．(2022·全國(guó)甲卷)設(shè)全集U＝{－2，－1，0，1，2，3}，集合A＝{－1，2}，B＝{x|x2－4x＋3＝0}，則?U(A∪B)＝()A．{1，3} B．{0，3}C．{－2，1} D．{－2，0}答案D解析由題意，B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1，3}，所以A∪B＝{－1，1，2，3}，所以?U(A∪B)＝{－2，0}．故選D.7．(2022·新高考Ⅰ卷)若集合M＝{x|eq\r(x)<4}，N＝{x|3x≥1}，則M∩N＝()A．{x|0≤x<2} B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤x<2))))C．{x|3≤x<16} D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤x<16))))答案D解析因?yàn)镸＝{x|eq\r(x)＜4}＝{x|0≤x＜16}，N＝{x|3x≥1}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≥\f(1,3)))))，所以M∩N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤x＜16)))).故選D.8.用圖形直觀表示集合的運(yùn)算關(guān)系，最早是由瑞士數(shù)學(xué)家歐拉所創(chuàng)，故將表示集合運(yùn)算關(guān)系的圖形稱為“歐拉圖”．后來(lái)，英國(guó)邏輯學(xué)家約翰·韋恩在歐拉圖的基礎(chǔ)上創(chuàng)建了世人所熟知的“Venn圖”．則圖中的陰影部分表示的集合為()A．A∩B∩C B．(?UA)∩B∩CC．A∩(?UB)∩C D．A∩B∩(?UC)答案D解析由圖可知，陰影部分在集合A，B的公共部分，且不在集合C中，故圖中的陰影部分表示的集合為A∩B∩(?UC)．故選D.考向2利用集合的運(yùn)算求參數(shù)例4(2024·江蘇無(wú)錫天一中學(xué)高三模擬)已知集合A＝{x∈Z|－1<x<3}，B＝{x|3x－a<0}，且A∩(?RB)＝{1，2}，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(0，4) B．(0，4]C．(0，3] D．(0，3)答案C解析由集合A＝{x∈Z|－1<x<3}＝{0，1，2}，B＝{x|3x－a<0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<\f(a,3)))))，可得?RB＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\(\a\vs4\al\co1(x≥\f(a,3)))))，因?yàn)锳∩(?RB)＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2))，所以0<eq\f(a,3)≤1，解得0<a≤3，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0，3]．故選C.【通性通法】利用集合的運(yùn)算求參數(shù)的方法注意：確定不等式解集的端點(diǎn)之間的大小關(guān)系時(shí)，需檢驗(yàn)?zāi)芊袢　埃健?，另外千萬(wàn)不要忘記考慮空集．【鞏固遷移】9．(2023·河北衡水中學(xué)高三一模)已知集合M＝{x|x≤m}，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,\r(x2－3x－4)))))).若M∪N＝R，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．[－1，＋∞) B．[4，＋∞)C．(－∞，－1] D．(－∞，4]答案B解析由x2－3x－4>0，得x<－1或x>4，即N＝(－∞，－1)∪(4，＋∞)，因?yàn)镸∪N＝R，M＝(－∞，m]，所以m≥4，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為[4，＋∞)．故選B.10．已知集合A＝{x|x2＋x－6>0}，B＝{x|2a－1<x<a＋2}，若A∩B≠?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______．答案(－∞，－1)∪(0，3)解析由題意可得集合A＝(－∞，－3)∪(2，＋∞)，因?yàn)锳∩B≠?，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a－1<－3，,2a－1<a＋2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋2>2，,2a－1<a＋2，))解得a<－1或0<a<3，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－1)∪(0，3)．考向3集合語(yǔ)言與思想的運(yùn)用例5某班有36名同學(xué)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)課外探究小組，每名同學(xué)至多參加兩個(gè)小組，已知參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的人數(shù)分別為26，15，13，同時(shí)參加數(shù)學(xué)和物理小組的有6人，同時(shí)參加物理和化學(xué)小組的有4人，則同時(shí)參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的有________人．答案8解析設(shè)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的人構(gòu)成的集合分別為A，B，C，同時(shí)參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的有x人，由題意可得如圖所示的Venn圖，由全班共36名同學(xué)可得(26－6－x)＋6＋(15－4－6)＋4＋(13－4－x)＋x＝36，解得x＝8，即同時(shí)參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的有8人．【通性通法】(1)運(yùn)用集合語(yǔ)言及思想解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，注意Venn圖的應(yīng)用，它是解決集合交、并、補(bǔ)運(yùn)算的有力工具，先利用Venn圖表示交、并、補(bǔ)的區(qū)域，如果在集合外，那么與集合的補(bǔ)集運(yùn)算有關(guān)，如果在公共部分，那么與集合的交集運(yùn)算有關(guān)．(2)注意公式card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)的合理運(yùn)用．【鞏固遷移】11．某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學(xué)生喜歡足球或游泳，60%的學(xué)生喜歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該中學(xué)學(xué)生總數(shù)的比例是()A．62% B．56%C．46% D．42%答案C解析用Venn圖表示該中學(xué)喜歡足球和游泳的學(xué)生所占比例之間的關(guān)系如圖，設(shè)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該中學(xué)學(xué)生總數(shù)的比例為x，則(60%－x)＋(82%－x)＋x＝96%，解得x＝46%.故選C.課時(shí)作業(yè)一、單項(xiàng)選擇題1．(2023·全國(guó)甲卷)設(shè)集合A＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U為整數(shù)集，?U(A∪B)＝()A．{x|x＝3k，k∈Z}B．{x|x＝3k－1，k∈Z}C．{x|x＝3k－2，k∈Z}D．?答案A解析因?yàn)檎麛?shù)集Z＝{x|x＝3k，k∈Z}∪{x|x＝3k＋1，k∈Z}∪{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U＝Z，所以eq\a\vs4\al(?)U(A∪B)＝{x|x＝3k，k∈Z}．故選A.2．(2022·新高考Ⅱ卷)已知集合A＝{－1，1，2，4}，B＝{x||x－1|≤1}，則A∩B＝()A．{－1，2} B．{1，2}C．{1，4} D．{－1，4}答案B解析B＝{x|0≤x≤2}，故A∩B＝{1，2}．故選B.3．設(shè)集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lgx≤0}，則M∪N＝()A．[0，1] B．(0，1]C．[0，1) D．(－∞，1]答案A解析∵M(jìn)＝{0，1}，N＝{x|0＜x≤1}，∴M∪N＝{x|0≤x≤1}．4．已知集合A＝{(x，y)|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝eq\r(x)}，則A∩B的真子集個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4答案C解析由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x2，,y＝\r(x)，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1.))∴A∩B＝{(0，0)，(1，1)}，即A∩B有2個(gè)元素，∴A∩B的真子集個(gè)數(shù)為22－1＝3.故選C.5．已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|x>a}，若A∪B＝R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，0) B．(－∞，0]C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)答案A解析因?yàn)锳＝{x|x2－2x>0}＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，A∪B＝R，所以a<0.故選A.6．(2024·湖南益陽(yáng)高三上學(xué)期月考)已知A＝{(x，y)|x＋y＝0}，B＝{(x，y)|x2＋2y2＝1}，M＝A∩B.則M中元素的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．4答案C解析因?yàn)锳＝{(x，y)|x＋y＝0}，B＝{(x，y)|x2＋2y2＝1}，所以集合A是直線x＋y＝0上的點(diǎn)的集合，集合B是橢圓x2＋2y2＝1上的點(diǎn)的集合．因?yàn)镸＝A∩B，所以若要求M中元素的個(gè)數(shù)，只需聯(lián)立方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0，,x2＋2y2＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(3),3)，,y＝－\f(\r(3),3)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(\r(3),3)，,y＝\f(\r(3),3)，))即橢圓和直線有兩個(gè)交點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))，所以M中元素的個(gè)數(shù)是2.故選C.7．某班45名學(xué)生參加“3·12”植樹(shù)節(jié)活動(dòng)，每位學(xué)生都參加除草、植樹(shù)兩項(xiàng)勞動(dòng)．依據(jù)勞動(dòng)表現(xiàn)，評(píng)定為“優(yōu)秀”“合格”2個(gè)等級(jí)，結(jié)果如下表：等級(jí)項(xiàng)目?jī)?yōu)秀合格合計(jì)除草301545植樹(shù)202545若在兩個(gè)項(xiàng)目中都“合格”的學(xué)生最多有10人，則在兩個(gè)項(xiàng)目中都“優(yōu)秀”的人數(shù)最多為()A．5 B．10C．15 D．20答案C解析用集合A表示除草“優(yōu)秀”的學(xué)生，B表示植樹(shù)“優(yōu)秀”的學(xué)生，全班學(xué)生用全集U表示，則?UA表示除草“合格”的學(xué)生，?UB表示植樹(shù)“合格”的學(xué)生，作出Venn圖，如圖．設(shè)兩個(gè)項(xiàng)目都“優(yōu)秀”的人數(shù)為x，兩個(gè)項(xiàng)目都“合格”的人數(shù)為y，由圖可得20－x＋x＋30－x＋y＝45，x＝y(tǒng)＋5，因?yàn)閥max＝10，所以xmax＝10＋5＝15.故選C.8．已知集合P∪(?RQ)＝(－2，＋∞)，P∩Q＝(－2，1)，則Q＝()A．(－2，＋∞) B．(－∞，1)C．(－∞，－2] D．[1，＋∞)答案B解析根據(jù)右面的Venn圖，Ⅰ區(qū)表示P∩(?RQ)，Ⅱ區(qū)表示P∩Q，Ⅲ區(qū)表示Q∩(?RP)，Ⅳ區(qū)表示?R(P∪Q)，則集合P∪(?RQ)對(duì)應(yīng)于Ⅰ區(qū)、Ⅱ區(qū)、Ⅳ區(qū)的并集，所以Ⅲ區(qū)對(duì)應(yīng)(－∞，－2]，從而Q對(duì)應(yīng)Ⅱ區(qū)、Ⅲ區(qū)的并集，故Q＝(－∞，1)．故選B.二、多項(xiàng)選擇題9．已知集合A，B均為R的子集，若A∩B＝?，則()A．A??RB B．?RA?BC．A∪B＝R D．(?RA)∪(?RB)＝R答案AD解析如圖，根據(jù)Venn圖可得A??RB，故A正確；由于B??RA，故B錯(cuò)誤；A∪B?R，故C錯(cuò)誤；(?RA)∪(?RB)＝?R(A∩B)＝R，故D正確．故選AD.10．(2024·河北保定部分高中高三上學(xué)期月考)已知Z(A)表示集合A的整數(shù)元素的個(gè)數(shù)，若集合M＝{x|x2－9x<10}，N＝{x|lg(x－1)<1}，則()A．Z(M)＝9B．M∪N＝{x|－1<x<11}C．Z(N)＝9D．(?RM)∩N＝{x|10<x<11}答案BC解析因?yàn)镸＝{x|－1<x<10}，N＝{x|1<x<11}，所以Z(M)＝10，Z(N)＝9，M∪N＝{x|－1<x<11}，(?RM)∩N＝{x|10≤x<11}．故選BC.11．若集合A＝{x|sin2x＝1}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(y＝\f(π,4)＋\f(kπ,2)，k∈Z))))，則下列結(jié)論正確的是()A．A∪B＝B B．?RB??RAC．A∩B＝? D．?RA??RB答案AB解析因?yàn)锳＝{x|sin2x＝1}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4kπ＋π,4)，k∈Z))))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(y＝\f(π,4)＋\f(kπ,2)，k∈Z))))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(y＝\f(2kπ＋π,4)，k∈Z))))，顯然集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4kπ＋π,4)，k∈Z))))?eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2kπ＋π,4)，k∈Z))))，所以A?B，則A∪B＝B，所以A正確；?RB??RA，所以B正確，D錯(cuò)誤；A∩B＝A，所以C錯(cuò)誤．故選AB.三、填空題12．(2024·江蘇連云港海濱中學(xué)高三學(xué)情檢測(cè))已知集合A＝{1，2，3，4，5，6}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(6,x－1)∈N，x∈A))))，則集合B的子集的個(gè)數(shù)是__________．答案8解析由eq\f(6,x－1)∈N，得x－1＝6，x－1＝3，x－1＝2，x－1＝1，且x∈A，故B＝{2，3，4}，則集合B的子集的個(gè)數(shù)為23＝8.13．已知集合A＝{m2，－2}，B＝{m，m－3}，若A∩B＝{－2}，則A∪B＝________．答案{－5，－2，4}解析∵A∩B＝{－2}，∴－2∈B，若m＝－2，則A＝{4，－2}，B＝{－2，－5}，∴A∩B＝{－2}，A∪B＝{－5，－2，4}；若m－3＝－2，則m＝1，∴A＝{1，－2}，B＝{1，－2}，∴A∩B＝{1，－2}(舍去)．綜上，A∪B＝{－5，－2，4}．14．(2024·九省聯(lián)考)已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x||x－3|≤m}，若A∩B＝A，則m的最小值為_(kāi)_______．答案5解析由A∩B＝A，得A?B，由|x－3|≤m，得－m＋3≤x≤m＋3，故有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4≤m＋3，,－2≥－m＋3，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≥1，,m≥5，))即m≥5，故m的最小值為5.15．(2024·河南鄭州四中第二次調(diào)研考試)某年級(jí)先后舉辦了數(shù)學(xué)、歷史、音樂(lè)講座，其中有75人聽(tīng)了數(shù)學(xué)講座，68人聽(tīng)了歷史講座，61人聽(tīng)了音樂(lè)講座，記A＝{x|x是聽(tīng)了數(shù)學(xué)講座的學(xué)生}，B＝{x|x是聽(tīng)了歷史講座的學(xué)生}，C＝{x|x是聽(tīng)了音樂(lè)講座的學(xué)生}．用card(M)來(lái)表示有限集合M中元素的個(gè)數(shù)，若card(A∩B)＝17，card(A∩C)＝12，card(B∩C)＝9，A∩B∩C＝?，則()A．card(A∪B)＝143B．card(A∪B∪C)＝166C．card(B∪C)＝129D．card(A∩B∩C)＝38答案B解析將已知條件用Venn圖表示出來(lái)如圖，對(duì)于A，card(A∪B)＝46＋42＋17＋12＋9＝126，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，card(A∪B∪C)＝46＋42＋40＋17＋12＋9＝166，故B正確；對(duì)于C，card(B∪C)＝42＋40＋17＋12＋9＝120，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，card(A∩B∩C)＝0，故D錯(cuò)誤．故選B.16．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1}，B＝{(x，y)||x|＋|y|≤a}，A?B，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) B．[1，＋∞)C．[eq\r(2)，＋∞) D．[2，＋∞)答案C解析集合A為圓x2＋y2＝1內(nèi)部和圓周上的點(diǎn)集，集合B為直線x＋y＝a，x－y＝a，－x＋y＝a，x＋y＝－a圍成的正方形內(nèi)部和邊上的點(diǎn)集，畫(huà)出圖象，如圖所示．當(dāng)直線EF與圓O相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為C，連接OC.∵△EOF為等腰直角三角形，OE＝OF，∠EOF＝90°，OC⊥EF，∴OC為Rt△EOF斜邊上的中線，∴OC＝eq\f(1,2)EF，即EF＝2OC＝2，∴OE＝OF＝eq\f(\r(2),2)EF＝eq\r(2)，此時(shí)a＝eq\r(2).∵A?B，即圓O在正方形內(nèi)，∴a≥eq\r(2).17．(多選)(2024·華南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三月考)已知M是同時(shí)滿足下列條件的集合：①0∈M，1∈M；②若x，y∈M，則x－y∈M；③若x∈M且x≠0，則eq\f(1,x)∈M.下列結(jié)論中正確的是()A.eq\f(1,3)∈MB．－1?MC．若x，y∈M，則x＋y∈MD．若x，y∈M，則xy∈M答案ACD解析對(duì)于A，B，由①②，得0－1＝－1∈M，1－(－1)＝2∈M，2－(－1)＝3∈M，由③，得eq\f(1,3)∈M，故A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由①，知0∈M，∵y∈M，∴0－y＝－y∈M，∵x∈M，∴x－(－y)∈M，即x＋y∈M，故C正確；對(duì)于D，∵x，1∈M，則x－1∈M，由③，得eq\f(1,x)∈M，eq\f(1,x－1)∈M，∴eq\f(1,x)－eq\f(1,x－1)∈M，即eq\f(1,x(1－x))∈M，∴x(1－x)∈M，即x－x2∈M，∴x2∈M，同理y2∈M.由選項(xiàng)C可知，當(dāng)x，y∈M時(shí)，x＋y∈M，∴eq\f(1,x)＋eq\f(1,x)＝eq\f(2,x)∈M，∴eq\f(x,2)∈M，∴eq\f(x2,2)∈M，同理eq\f(y2,2)∈M，∴當(dāng)x，y∈M時(shí)，eq\f((x＋y)2,2)，eq\f(x2＋y2,2)∈M，∴eq\f((x＋y)2,2)－eq\f(x2＋y2,2)＝xy∈M，故D正確．故選ACD.18．(多選)(2024·浙江杭州第二中學(xué)高三月考)已知集合{x|x2＋ax＋b＝0，a>0}有且僅有兩個(gè)子集，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是()A．a(chǎn)2－b2≤4B．a(chǎn)2＋eq\f(1,b)≥4C．若不等式x2＋ax－b<0的解集為(x1，x2)，則x1x2>0D．若不等式x2＋ax＋b<c的解集為(x1，x2)，且|x1－x2|＝4，則c＝4答案ABD解析因?yàn)榧蟵x|x2＋ax＋b＝0，a>0}有且僅有兩個(gè)子集，所以Δ＝a2－4b＝0，a2＝4b，又a>0，所以b>0.對(duì)于A，因?yàn)閍2－b2＝4b－b2＝－(b－2)2＋4≤4，當(dāng)b＝2，a＝2eq\r(2)時(shí)等號(hào)成立，故A正確；對(duì)于B，a2＋eq\f(1,b)＝4b＋eq\f(1,b)≥2eq\r(4b·\f(1,b))＝4，當(dāng)且僅當(dāng)4b＝eq\f(1,b)，b＝eq\f(1,2)，a＝eq\r(2)時(shí)等號(hào)成立，故B正確；對(duì)于C，不等式x2＋ax－b<0的解集為(x1，x2)，則x1x2＝－b<0，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，不等式x2＋ax＋b<c的解集為(x1，x2)，即不等式x2＋ax＋b－c<0的解集為(x1，x2)，且|x1－x2|＝4，則x1＋x2＝－a，x1x2＝b－c，則|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝a2－4(b－c)＝4c＝16，則c＝4，故D正確．故選ABD.19．(2024·湖北高中名校聯(lián)合體高三診斷性考試)已知集合U＝{1，2，…，n}(n∈N*，n≥2)，對(duì)于集合U的兩個(gè)非空子集A，B，若A∩B＝?，則稱(A，B)為集合U的一組“互斥子集”．記集合U的所有“互斥子集”的組數(shù)為f(n)(視(A，B)與(B，A)為同一組“互斥子集”)，那么f(n)＝________．答案eq\f(1,2)(3n－2n＋1＋1)解析根據(jù)題意，任意一個(gè)元素只能在集合A，B，C＝?U(A∪B)之一中，則這n個(gè)元素在集合A，B，C中，共有3n種．其中A為空集的種數(shù)為2n，B為空集的種數(shù)為2n，故可得A，B均為非空子集的種數(shù)為3n－2n＋1＋1，又因?yàn)?A，B)與(B，A)為同一組“互斥子集”，故f(n)＝eq\f(1,2)(3n－2n＋1＋1)．第二節(jié)常用邏輯用語(yǔ)課標(biāo)解讀考向預(yù)測(cè)1.理解充分條件、必要條件、充要條件的意義；理解判定定理與充分條件、性質(zhì)定理與必要條件、數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系.2.理解全稱量詞與存在量詞的意義；能正確使用存在(或全稱)量詞對(duì)全稱(或存在)量詞命題進(jìn)行否定.新高考對(duì)常用邏輯用語(yǔ)直接考查的頻率比較低，一般與其他知識(shí)交匯考查，難度為中等偏易.2025年備考仍以選擇題為主訓(xùn)練，主要涉及與函數(shù)、數(shù)列、三角的有關(guān)性質(zhì)、不等式的解法及直線與平面位置關(guān)系的判定等相關(guān)知識(shí)結(jié)合考查.必備知識(shí)——強(qiáng)基礎(chǔ)1．充分條件、必要條件與充要條件的概念p與q的關(guān)系結(jié)論p?qp是q的eq\x(\s\up1(01))充分條件，q是p的eq\x(\s\up1(02))必要條件p?q且qpp是q的eq\x(\s\up1(03))充分不必要條件pq且q?pp是q的eq\x(\s\up1(04))必要不充分條件p?qp是q的eq\x(\s\up1(05))充要條件pq且qpp是q的eq\x(\s\up1(06))既不充分也不必要條件2.充分、必要條件與集合的子集之間的關(guān)系設(shè)A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，則(1)若A?B，則p是q的eq\x(\s\up1(07))充分條件；(2)若A?B，則p是q的eq\x(\s\up1(08))必要條件；(3)若A＝B，則p是q的eq\x(\s\up1(09))充要條件；(4)若AB，則p是q的eq\x(\s\up1(10))充分不必要條件；(5)若AB，則p是q的eq\x(\s\up1(11))必要不充分條件．3．全稱量詞命題與存在量詞命題及其否定名稱形式全稱量詞命題存在量詞命題結(jié)構(gòu)對(duì)M中eq\x(\s\up1(12))任意一個(gè)x，p(x)成立eq\x(\s\up1(13))存在M中的元素x，p(x)成立簡(jiǎn)記eq\x(\s\up1(14))?x∈M，p(x)eq\x(\s\up1(15))?x∈M，p(x)否定eq\x(\s\up1(16))?x∈M，?p(x)eq\x(\s\up1(17))?x∈M，?p(x)1．在判斷充分、必要條件時(shí)，小范圍可以推大范圍，大范圍不可以推小范圍．2．含有一個(gè)量詞的命題的否定規(guī)律是“改量詞，否結(jié)論”．對(duì)省略了全稱量詞的命題否定時(shí)，要對(duì)原命題先加上全稱量詞再對(duì)其否定．1．概念辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)當(dāng)q是p的必要條件時(shí)，p是q的充分條件．()(2)已知集合A，B，A∪B＝A∩B的充要條件是A＝B.()(3)“?x∈M，p(x)”與“?x∈M，?p(x)”的真假性相反．()答案(1)√(2)√(3)√2．小題熱身(1)(2024·四川綿陽(yáng)南山中學(xué)模擬)“sinα＝sinβ”是“α＝β”的________條件．(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”填空)答案必要不充分解析若α＝eq\f(π,6)，β＝eq\f(5π,6)，則滿足sinα＝sinβ，而不滿足α＝β；當(dāng)α＝β時(shí)，sinα＝sinβ一定成立，所以“sinα＝sinβ”是“α＝β”的必要不充分條件．(2)已知p：x>a是q：2<x<3的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案(－∞，2]解析由已知可得{x|2<x<3}{x|x>a}，所以a≤2.(3)(人教A必修第一冊(cè)習(xí)題1.5T6改編)已知“若x＞1，則2x＋1＞λ”是假命題，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是________．答案(3，＋∞)解析因?yàn)椤叭魓＞1，則2x＋1＞λ”是假命題，所以“?x＞1，使2x＋1≤λ”是真命題．因?yàn)楫?dāng)x＞1時(shí)，2x＋1＞3，所以實(shí)數(shù)λ的取值范圍是(3，＋∞)．(4)設(shè)命題p：?x∈R，x2－2x＋m－3＝0；命題q：?x∈R，x2－2(m－5)x＋m2＋19≠0，若p，q均為真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)_______．答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，4))解析若命題p：?x∈R，x2－2x＋m－3＝0為真命題，則Δ＝4－4(m－3)≥0，解得m≤4；若命題q：?x∈R，x2－2(m－5)x＋m2＋19≠0為真命題，則Δ＝4(m－5)2－4(m2＋19)＜0，解得m∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，＋∞)).又p，q均為真命題，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為{m|m≤4}∩eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(m>\f(3,5)))))＝eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，4)).考點(diǎn)探究——提素養(yǎng)考點(diǎn)一充分條件、必要條件的判斷例1(1)(2023·全國(guó)甲卷)“sin2α＋sin2β＝1”是“sinα＋cosβ＝0”的()A．充分條件但不是必要條件B．必要條件但不是充分條件C．充要條件D．既不是充分條件也不是必要條件答案B解析當(dāng)sin2α＋sin2β＝1時(shí)，例如α＝eq\f(π,2)，β＝0，但sinα＋cosβ≠0，即sin2α＋sin2β＝1推不出sinα＋cosβ＝0；當(dāng)sinα＋cosβ＝0時(shí)，sin2α＋sin2β＝(－cosβ)2＋sin2β＝1，即sinα＋cosβ＝0能推出sin2α＋sin2β＝1.綜上可知，“sin2α＋sin2β＝1”是“sinα＋cosβ＝0”的必要條件但不是充分條件．故選B.(2)(2023·河北石家莊模擬)已知a，b，c∈R，則“a＝b＝c”是“a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ac”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案C解析若a＝b＝c，則a2＋b2＋c2＝3a2，ab＋bc＋ac＝3a2，即a＝b＝c?a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ac，滿足充分性；若a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ac，則2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2bc＋2ac，所以a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋a2－2ac＋c2＝0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝0，則a＝b＝c，滿足必要性．故選C.(3)(多選)下列四個(gè)條件中，能成為x>y的充分不必要條件的是()A．xc2>yc2 B.eq\f(1,x)<eq\f(1,y)<0C．|x|>|y| D．lnx>lny答案ABD解析對(duì)于A，若xc2>yc2，則c2≠0，則x>y，反之x>y，當(dāng)c＝0時(shí)得不出xc2>yc2，所以“xc2>yc2”是“x>y”的充分不必要條件，故A符合題意．對(duì)于B，由eq\f(1,x)<eq\f(1,y)<0可得y<x<0，即能推出x>y，但x>y不能推出eq\f(1,x)<eq\f(1,y)<0(因?yàn)閤，y的正負(fù)不確定)，所以“eq\f(1,x)<eq\f(1,y)<0”是“x>y”的充分不必要條件，故B符合題意．對(duì)于C，由|x|>|y|可得x2>y2，則(x＋y)(x－y)>0，不能推出x>y；由x>y也不能推出|x|>|y|(如x＝1，y＝－2)，所以“|x|>|y|”是“x>y”的既不充分也不必要條件，故C不符合題意．對(duì)于D，若lnx>lny，則x>y>0，反之x>y得不出lnx>lny，所以“l(fā)nx>lny”是“x>y”的充分不必要條件，故D符合題意．【通性通法】充分、必要條件的兩種常用判斷方法【鞏固遷移】1．(2023·北京高考)若xy≠0，則“x＋y＝0”是“eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)＝－2”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案C解析因?yàn)閤y≠0，且eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)＝－2，所以x2＋y2＝－2xy，即x2＋y2＋2xy＝0，即(x＋y)2＝0，所以x＋y＝0.所以“x＋y＝0”是“eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)＝－2”的充要條件．故選C.2．(多選)(2023·廣東廣州華南師大附中模擬)函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋φ＋\f(π,6)))為偶函數(shù)的一個(gè)充分條件是()A．φ＝－eq\f(5π,6) B．φ＝－eq\f(2π,3)C．φ＝eq\f(π,6) D．φ＝eq\f(π,3)答案BD解析由題意得φ＋eq\f(π,6)＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，解得φ＝kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z，令k＝－1，則φ＝－eq\f(2π,3)；令k＝0，則φ＝eq\f(π,3).故選BD.考點(diǎn)二根據(jù)充分條件、必要條件求參數(shù)的取值范圍例2已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．(1)若p是q的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)_______；(2)若p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)_______．答案(1)(0，3](2)[9，＋∞)解析(1)因?yàn)閜是q的必要不充分條件，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m≥－2，,1＋m<10))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m>－2，,1＋m≤10，))解得m≤3，又m>0，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為(0，3]．(2)因?yàn)閜是q的充分不必要條件，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m≤－2，,1＋m>10))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m<－2，,1＋m≥10，))解得m≥9，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為[9，＋∞)．【通性通法】由充分、必要條件求參數(shù)范圍的策略巧用轉(zhuǎn)化求參數(shù)把充分、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合的包含、相等關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出有關(guān)參數(shù)的不等式(組)求解，注意條件的等價(jià)變形端點(diǎn)值慎取舍在求參數(shù)范圍時(shí)，要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn)，從而確定取舍注意：考慮空集的情況．【鞏固遷移】3．(2023·福建福州四校聯(lián)考)已知p：A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x－2,1－x)≤0))))，q：B＝{x|x－a<0}，若p是q的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)C．(－∞，1) D．(－∞，1]答案D解析由題意得A＝{x|(x－2)(x－1)≥0且x≠1}＝{x|x≥2或x<1}，B＝{x|x<a}，∵p是q的必要不充分條件，∴BA，∴a≤1.故選D.考點(diǎn)三含有量詞的命題的否定及真假判斷例3(1)設(shè)命題p：平行四邊形對(duì)角線相等，則?p為()A．平行四邊形對(duì)角線不相等B．有的平行四邊形對(duì)角線相等C．有的平行四邊形對(duì)角線不相等D．不是平行四邊形對(duì)角線就不相等答案C解析因?yàn)槊}p為省略了全稱量詞“所有”的全稱量詞命題，所以?p：有的平行四邊形對(duì)角線不相等．故選C.(2)(2024·湖北百校高三聯(lián)考)設(shè)命題p：?x∈(0，4)，2x＋eq\r(x)＝18；命題q：每個(gè)三角形都有內(nèi)切圓，則()A．命題p的否定：?x∈(0，4)，2x＋eq\r(x)＝18B．命題p是真命題C．命題q的否定：存在一個(gè)三角形沒(méi)有內(nèi)切圓D．命題q是假命題答案C解析命題p的否定應(yīng)為“?x∈(0，4)，2x＋eq\r(x)≠18”，所以A錯(cuò)誤；因?yàn)閒(x)＝2x＋eq\r(x)在x∈(0，4)上單調(diào)遞增，所以f(x)<f(4)＝18，所以當(dāng)x∈(0，4)時(shí)，2x＋eq\r(x)<18，所以命題p為假命題，所以B錯(cuò)誤；命題q的否定為“存在一個(gè)三角形沒(méi)有內(nèi)切圓”，所以C正確；任何三角形都有內(nèi)切圓，所以命題q為真命題，所以D錯(cuò)誤．故選C.【通性通法】1．含有量詞命題的否定與不含量詞命題的否定含有量詞命題的否定與不含量詞命題的否定有一定的區(qū)別，含有量詞命題的否定是將全稱量詞改為存在量詞(或存在量詞改為全稱量詞)，并把結(jié)論否定；而不含量詞命題的否定需先將量詞加上再按照含有量詞命題的否定解答即可．2．含有量詞命題真假判斷的策略判定全稱量詞命題是真命題，需證明都成立；判定存在量詞命題是真命題，只要找到一個(gè)成立即可．當(dāng)一個(gè)命題的真假不易判定時(shí)，可以先判斷其否定的真假．【鞏固遷移】4．(多選)(2024·河北滄州部分學(xué)校高三聯(lián)考)命題p：?x∈(0，2)，x3>x6；命題q：每個(gè)大于2的素?cái)?shù)都是奇數(shù)．關(guān)于這兩個(gè)命題，下列判斷正確的是()A．p是真命題B．?p：?x∈(0，2)，x3<x6C．q是真命題D．?q：存在一個(gè)大于2的素?cái)?shù)不是奇數(shù)答案ACD解析若x＝eq\f(1,2)，則x3>x6，所以p是真命題，A正確；?p：?x∈(0，2)，x3≤x6，B錯(cuò)誤；每個(gè)大于2的素?cái)?shù)都是奇數(shù)，q是真命題，C正確；?q：存在一個(gè)大于2的素?cái)?shù)不是奇數(shù)，D正確．故選ACD.5．(2024·湖北部分學(xué)校高三聯(lián)考)已知p：?m∈{m|－2<m<3}，使關(guān)于x的方程2x2－m＝0有解，則?p：________．答案?m∈{m|－2<m<3}，使關(guān)于x的方程2x2－m＝0無(wú)解解析根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，可得?p：?m∈{m|－2<m<3}，使關(guān)于x的方程2x2－m＝0無(wú)解．考點(diǎn)四根據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍例4(1)已知p：?x∈[3，4)，x2－a≥0，則p成立的一個(gè)充分不必要條件可以是()A．a(chǎn)<9 B．a(chǎn)>9C．a(chǎn)<16 D．a(chǎn)>16答案A解析若p為真命題，則a≤x2在區(qū)間[3，4)上恒成立，所以a≤9，所以p成立的一個(gè)充分不必要條件可以是a<9.故選A.(2)(2024·山東聊城一中高三期中)若命題“?x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案(－2，1)解析因?yàn)槊}“?x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”是假命題，所以命題“?x∈R，x2＋2ax＋2－a≠0”是真命題，所以Δ＝4a2－4(2－a)<0，即a2＋a－2<0，所以－2<a<1.【通性通法】由命題真假求參數(shù)范圍的本質(zhì)是恒成立問(wèn)題或有解問(wèn)題，一是直接由命題的含義，利用函數(shù)的最值求參數(shù)的范圍；二是利用等價(jià)命題，即p與?p的關(guān)系，轉(zhuǎn)化成?p的真假求參數(shù)的范圍．【鞏固遷移】6．若命題“?x∈[1，4]，x2－4x－m≠0”是假命題，則m的取值范圍是()A．[－4，－3] B．(－∞，－4)C．[－4，＋∞) D．[－4，0]答案D解析若“?x∈[1，4]，x2－4x－m≠0”是假命題，則“?x∈[1，4]，x2－4x－m＝0”是真命題，即m＝x2－4x，設(shè)y＝x2－4x＝(x－2)2－4，因?yàn)閥＝x2－4x在[1，2)上單調(diào)遞減，在(2，4]上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝2時(shí)，ymin＝－4；當(dāng)x＝4時(shí)，ymax＝0，故當(dāng)1≤x≤4時(shí)，－4≤y≤0，則－4≤m≤0.7．已知命題p：?x>0，x＋a－1＝0，若p為假命題，則a的取值范圍是________．答案[1，＋∞)解析因?yàn)閜為假命題，所以命題p的否定：?x>0，x＋a－1≠0是真命題，所以x≠1－a，所以1－a≤0，所以a≥1.課時(shí)作業(yè)一、單項(xiàng)選擇題1．(2023·天津高考)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分又不必要條件答案B解析解法一：若a2＝b2，則當(dāng)a＝－b≠0時(shí)，有a2＋b2＝2a2，2ab＝－2a2，即a2＋b2≠2ab，所以a2＝b2a2＋b2＝2ab；若a2＋b2＝2ab，則有a2＋b2－2ab＝0，即(a－b)2＝0，所以a＝b，則有a2＝b2，即a2＋b2＝2ab?a2＝b2.所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分條件．故選B.解法二：因?yàn)閍2＝b2?a＝－b或a＝b，a2＋b2＝2ab?a＝b，所以本題可以轉(zhuǎn)化為判斷a＝－b或a＝b與a＝b的關(guān)系，又“a＝－b或a＝b”是“a＝b”的必要不充分條件，所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分條件．故選B.2．(2024·浙江名校協(xié)作體高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試)設(shè)命題p：?n∈N，n2<3n＋4，則p的否定為()A．?n∈N，n2>3n＋4B．?n∈N，n2≤3n＋4C．?n∈N，n2≥3n＋4D．?n∈N，n2>3n＋4答案C解析因?yàn)槊}p：?n∈N，n2<3n＋4，所以p的否定為?n∈N，n2≥3n＋4.故選C.3．下列各項(xiàng)中是“四邊形是矩形”的充分條件的是()A．四邊形的對(duì)角線相等B．四邊形的兩組對(duì)邊分別相等C．四邊形有兩個(gè)內(nèi)角都為直角D．四邊形的兩組對(duì)邊分別平行且有一組對(duì)角互補(bǔ)答案D解析對(duì)于A，四邊形的對(duì)角線相等且平分才是矩形，故A不符合題意；對(duì)于B，四邊形的兩組對(duì)邊分別相等為平行四邊形，故B不符合題意；對(duì)于C，四邊形有三個(gè)內(nèi)角為直角才是矩形，故C不符合題意；對(duì)于D，四邊形的兩組對(duì)邊分別平行則為平行四邊形，則相鄰兩角互補(bǔ)，又有一組對(duì)角互補(bǔ)，故相鄰兩角相等，又相鄰兩角之和為180°，故相鄰兩角均為直角，故該平行四邊形是矩形，故D符合題意．故選D.4．(2024·福建百校高三上學(xué)期第一次聯(lián)考)命題“?x∈Q，eq\r(x2＋1)∈Q”的否定是()A．?x∈Q，eq\r(x2＋1)?QB．?x?Q，eq\r(x2＋1)∈QC．?x∈Q，eq\r(x2＋1)?QD．?x∈Q，eq\r(x2＋1)∈Q答案A解析因?yàn)槊}“?x∈Q，eq\r(x2＋1)∈Q”為存在量詞命題，所以命題“?x∈Q，eq\r(x2＋1)∈Q”的否定是“?x∈Q，eq\r(x2＋1)?Q”．故選A.5．(2023·湖南邵陽(yáng)高三二模)已知集合A＝[－2，5]，B＝[m＋1，2m－1]．若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要條件，則m的取值范圍是()A．(－∞，3] B．(2，3]C．? D．[2，3]答案B解析因?yàn)椤皒∈B”是“x∈A”的充分不必要條件，所以BA，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1<2m－1，,m＋1≥－2，,2m－1<5))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1<2m－1，,m＋1>－2，,2m－1≤5，))則2<m≤3，即m的取值范圍是(2，3]．故選B.6．(2024·湖南長(zhǎng)郡中學(xué)高三月考)若命題p：“?x∈R，ax2＋2ax－4≥0”為假命題，則a的取值范圍是()A．(－4，0] B．[－4，0)C．[－3，0] D．[－4，0]答案A解析命題p：“?x∈R，ax2＋2ax－4≥0”為假命題，即命題?p：“?x∈R，ax2＋2ax－4<0”為真命題．當(dāng)a＝0時(shí)，－4<0恒成立，符合題意；當(dāng)a≠0時(shí)，則a<0且Δ＝(2a)2＋16a<0，即－4<a<0.綜上可知，－4<a≤0.故選A.7．命題“?1≤x≤2，x2－2a≤0”是真命題的一個(gè)必要不充分條件是()A．a(chǎn)≥1 B．a(chǎn)≥3C．a(chǎn)≥2 D．a(chǎn)≤4答案A解析因?yàn)槊}“?1≤x≤2，x2－2a≤0”是真命題，所以a≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)))eq\s\do7(max)＝2，則一個(gè)必要不充分條件是a≥1.故選A.8．(2023·山東濟(jì)南模擬)若“?x∈(0，π)，sin2x－ksinx<0”為假命題，則k的取值范圍為()A．(－∞，－2] B．(－∞，2]C．(－∞，－2) D．(－∞，2)答案A解析由題意，知“?x∈(0，π)，sin2x－ksinx<0”為假命題，則“?x∈(0，π)，sin2x－ksinx≥0”為真命題，所以2sinxcosx≥ksinx，則k≤2cosx，解得k≤－2，所以k的取值范圍為(－∞，－2]．故選A.二、多項(xiàng)選擇題9．(2024·安徽六安實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上學(xué)期質(zhì)量檢測(cè))下列命題正確的是()A．命題“?x∈R，y＞1”的否定是“?x∈R，y≤1”B．“至少有一個(gè)x，使x2＋2x＋1＝0成立”是全稱量詞命題C．“?x∈R，x－2>eq\r(x)”是真命題D．“?x∈R，x2>0”的否定是真命題答案ACD解析對(duì)于A，因?yàn)榇嬖诹吭~命題的否定為全稱量詞命題，所以命題“?x∈R，y＞1”的否定是“?x∈R，y≤1”，故A正確；對(duì)于B，“至少有一個(gè)x，使x2＋2x＋1＝0成立”是存在量詞命題，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)x＝9時(shí)，9－2＝7>eq\r(9)＝3，所以“?x∈R，x－2>eq\r(x)”是真命題，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)楫?dāng)x＝0時(shí)，x2＝0，所以“?x∈R，x2>0”是假命題，其否定是真命題，故D正確．故選ACD.10．(2024·廣東東莞東華高級(jí)中學(xué)高三模擬)若“?x∈M，|x|>x”為真命題，“?x∈M，x>3”為假命題，則集合M可以是()A．{x|x<－5} B．{x|－3<x<－1}C．{x|x>3} D．{x|0≤x≤3}答案AB解析因?yàn)椤?x∈M，x>3”為假命題，所以“?x∈M，x≤3”為真命題，可得M?{x|x≤3}，又“?x∈M，|x|>x”為真命題，可得M?{x|x<0}，所以M?{x|x<0}．故選AB.11．(2024·江蘇南京師范大學(xué)附屬中學(xué)高三模擬)設(shè)a，b，c都是實(shí)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是()A．“ac2>bc2”是“a>b”的充要條件B．“l(fā)na>lnb”是“a2>b2”的充分不必要條件C．△ABC中，角A，B，C的對(duì)應(yīng)邊分別為a，b，c，則“sinA>sinB”是“a>b”的充要條件D．“tanθ＝eq\f(\r(3),3)”是“sin2θ＝eq\f(\r(3),2)”的必要不充分條件答案BC解析對(duì)于A，由ac2>bc2可得a>b，當(dāng)c＝0時(shí)，由a>b，得ac2＝bc2，所以“ac2>bc2”是“a>b”的充分不必要條件，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)閘na>lnb，所以a>b>0，則a2>b2，由a2>b2，得|a|>|b|，若a>0>b，則lnb無(wú)意義，即推不出lna>lnb，所以“l(fā)na>lnb”是“a2>b2”的充分不必要條件，故B正確；對(duì)于C，根據(jù)正弦定理，得sinA>sinB?eq\f(a,2R)>eq\f(b,2R)?a>b，所以“sinA>sinB”是“a>b”的充要條件，故C正確；對(duì)于D，由tanθ＝eq\f(\r(3),3)，得θ＝eq\f(π,6)＋kπ(k∈Z)，故sin2θ＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋2kπ))＝eq\f(\r(3),2)，由sin2θ＝eq\f(\r(3),2)，得2θ＝eq\f(π,3)＋2kπ(k∈Z)或2θ＝eq\f(2π,3)＋2kπ(k∈Z)，即θ＝eq\f(π,6)＋kπ(k∈Z)或θ＝eq\f(π,3)＋kπ(k∈Z)，故tanθ＝eq\f(\r(3),3)或eq\r(3)，所以“tanθ＝eq\f(\r(3),3)”是“sin2θ＝eq\f(\r(3),2)”的充分不必要條件，故D錯(cuò)誤．故選BC.三、填空題12．(2023·山東濰坊高三二模)若“x＝α”是“sinx＋cosx>1”的一個(gè)充分條件，則α的一個(gè)可能值是________．答案eq\f(π,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(只需滿足α∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)即可))解析由sinx＋cosx>1，得eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))>1，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))>eq\f(\r(2),2)，所以2kπ＋eq\f(π,4)<x＋eq\f(π,4)<2kπ＋eq\f(3π,4)(k∈Z)，解得2kπ<x<2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，因?yàn)椤皒＝α”是“sinx＋cosx>1”的一個(gè)充分條件，所以α的一個(gè)可能值為eq\f(π,4).13．(2024·福建廈門(mén)第六中學(xué)高三檢測(cè))已知命題“?x∈R，x2－2x＋m>0”為假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)_______．答案(－∞，1]解析因?yàn)槊}“?x∈R，x2－2x＋m>0”為假命題，所以命題“?x∈R，x2－2x＋m≤0”為真命題，所以Δ＝(－2)2－4m≥0，解得m≤1.故實(shí)數(shù)m的取值范圍為(－∞，1]．14．若f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，?x1∈[－1，2]，?x2∈[－1，2]，使g(x1)＝f(x2)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______．答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))解析問(wèn)題等價(jià)于函數(shù)g(x)的值域是函數(shù)f(x)值域的子集．因?yàn)閒(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[－1，2]，所以f(x)∈[－1，3]，即函數(shù)f(x)的值域是[－1，3]，因?yàn)閍>0，所以函數(shù)g(x)的值域是[2－a，2＋2a]，則2－a≥－1且2＋2a≤3，即a≤eq\f(1,2).故實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).15．(2024·江蘇揚(yáng)州中學(xué)高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試)若“?x∈[1，2]，使2x2－λx＋1<0成立”是假命題，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是()A．(－∞，2eq\r(2)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(9,2)))C．(－∞，3] D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)，＋∞))答案C解析若“?x∈[1，2]，使2x2－λx＋1<0成立”是假命題，則“?x∈[1，2]，使2x2－λx＋1≥0成立”是真命題，即?x∈[1，2]，λ≤2x＋eq\f(1,x)，令f(x)＝2x＋eq\f(1,x)，x∈[1，2]，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知，f(x)在[1，2]上單調(diào)遞增，故f(x)min＝f(1)＝3，則λ≤3.故選C.16．(2021·全國(guó)甲卷)等比數(shù)列{an}的公比為q