10.2 超靜定結構內(nèi)力計算方法-位移法講解

第九章超靜定結構內(nèi)力計算

內(nèi)容提要超靜定結構是工程中廣泛采用的結構型式。本章介紹超靜定結構的概念和超靜定次數(shù)的確定方法；重點介紹計算超靜定結構內(nèi)力的常用方法，即力法、位移法和力矩分配法的基本概念、解題思路和計算方法；最后分析總結超靜定結構的特性。9.3位移法

本節(jié)內(nèi)容9.3位移法力法計算超靜定結構是以多余未知力為基本未知量，當結構的超靜定次數(shù)較高時，用力法計算比較麻煩。而位移法則是以獨立的結點位移為基本未知量，未知量個數(shù)與超靜定次數(shù)無關，故一些高次超靜定結構用位移法計算比較簡便。9.3.1位移法的基本概念位移法是以結構的結點位移作為基本未知量，由平衡條件建立位移法方程求解結點位移，利用桿端位移和桿端內(nèi)力之間的關系計算桿件和結構的內(nèi)力，從而把超靜定結構的計算問題轉化為單跨超靜定梁的計算問題。。

為了說明位移法的基本概念，我們來研究圖（a）所示的等截面連續(xù)梁。此梁在均布荷載作用下的變形情況如圖虛線所示。由于B點為剛性結點，所以，匯交于此點的各桿在該端將發(fā)生相同的轉角

。在分析上述連續(xù)梁時，我們可以這樣考慮：把桿AB看作是兩端固定的梁在B端發(fā)生了轉角；把桿BC看作是B端固定C端鉸支的梁，在梁上受均布荷載作用，并在B端發(fā)生轉角

，如圖（b）所示。因此，如把結點B的轉角作為支座移動看待，則上述連續(xù)梁可轉化為兩個單跨超靜定梁。只要能夠計算出轉角的大小，就可以用力法計算出這兩個單跨超靜定梁的全部反力和內(nèi)力。下面分為四步討論如何計算轉角的問題。第一步，增加約束，將結點B鎖住。假設在結點B處加入一附加剛臂[圖(a)]，附加剛臂的作用是約束B點的轉動，而不能約束移動，即相當于固定端。A(a)基本結構BC于是圖（a）所示的等截面連續(xù)梁變成了由AB和BC兩個單跨超靜定梁組成的組合體。我們把加入附加剛臂后的結構稱為位移法計算的基本結構。在基本結構上受外荷載作用，并使B點附加剛臂轉過與實際變形相同的轉角Z1=

，使基本結構的受力和變形與原結構取得一致[圖(a)]，進而用基本結構代替原結構的計算。第二步，在基本結構中，只有荷載q的作用，無轉角Z1影響，如圖(b)所示。其彎矩圖可由力法計算如圖(b)所示，在附加剛臂上產(chǎn)生的約束力矩為R1F。(b)第三步，施加力偶，使基本結構的結點B產(chǎn)生角位移Z1如圖(c)所示。在B端發(fā)生轉角Z1的支座移動，其彎矩圖可由力法計算得到，如圖(c)所示，在附加剛臂上產(chǎn)生的約束力矩為R11

。（c）第四步，把基本結構的兩種情況疊加，計算轉角Z1。由疊加原理可得基本結構在兩種情況下引起的約束力矩為R11+R1F。由于基本結構的受力和變形與原結構相同，在原結構上沒有附加剛臂，故基本結構中附加剛臂上的約束力矩應為零。即R11+R1F=0。如在圖(c)中令r11表示當Z1=1時附加剛臂上的約束力矩，即R11=r11·Z1

，則上式改寫為

r11·Z1+R1F=0上式稱為位移法方程。式中的r11稱為系數(shù)；R1F稱為自由項。它們的方向規(guī)定與Z1方向相同為正，反之為負。

為了由位移法方程求解Z1，可由圖(b)中取結點B為隔離體，由力矩平衡條件得出；由圖(c)中取結點B為隔離體，并令Z1=1，由力矩平衡條件得出

。代入位移法方程，得（c）（b）求出Z1后，將圖(b，c)兩種情況疊加，即得原結構的彎矩圖如圖(d)所示。ABC(d)總結以上分析過程，可以把位移法計算的解題思路歸納如下：（1）以獨立的結點位移作為位移法的基本未知量。（2）以增加附加約束后的一系列單跨超靜定梁的組合體作為位移法的基本結構。（3）以基本結構在附加約束處的受力與原結構一致的平衡條件建立位移法方程。（4）原結構的內(nèi)力是荷載和結點位移共同下，在基本結構中產(chǎn)生的內(nèi)力。在位移法計算中，要用力法對每個單跨超靜定梁的桿端彎矩和桿端剪力進行計算。為了使用方便，對各種約束的單跨超靜定梁由荷載及支座移動引起的桿端彎矩和桿端剪力數(shù)值均列于表9.1中，以備查用。在表9.1中，i=EI/l，稱為桿件的線剛度。表9.1中桿端彎矩的正、負號規(guī)定為：對桿端而言彎矩以順時針轉向為正（對支座或結點而言，則以逆時針轉向為正），反之為負[如圖所示]。至于剪力的正、負號仍與以前規(guī)定相同。轉角以順時針轉動為正，反之為負。表9.1等截面直桿的桿端彎矩和剪力

續(xù)表9.1等截面直桿的桿端彎矩和剪力

續(xù)表9.1等截面直桿的桿端彎矩和剪力

續(xù)表9.1等截面直桿的桿端彎矩和剪力

續(xù)表9.1等截面直桿的桿端彎矩和剪力

續(xù)表9.1等截面直桿的桿端彎矩和剪力

9.3.2位移法基本未知量與基本體系1．位移法的基本未知量在力法計算中，是以超靜定結構的多余未知力為基本未知量，而在位移法計算中，則是以結構中剛結點的角位移（鉸結點的角位移可由桿件另一端的位移求出，故不作為基本位知量）和獨立的結點線位移作為基本未知量。在結構中，一般情況下剛結點的角位移數(shù)目和剛結點的數(shù)目相同，但結構獨立的結點線位移的數(shù)目則需要分析判斷后才能確定。下面舉例說明如何確定位移法的基本未知量。圖（a）所示剛架有兩個剛結點，現(xiàn)在兩個剛結點都發(fā)生了角位移和線位移，但在忽略桿件的軸向變形時，這兩個線位移相等，即獨立的結點線位移只有一個，因此用位移法求解時，該結構的基本未知量是兩個角位移和以及一個線位移Δ。

(b)同理，圖（b）所示排架有三個鉸結點，其水平線位移相同，故該結構的基本未知量是一個線位移Δ。

當結構的獨立結點線位移的數(shù)目由直觀的方法難以判斷時，則可以采用“鉸化結點、增加鏈桿”的方法判斷。即在確定結構獨立的結點線位移時，先把所有的結點和支座都換成鉸結點和鉸支座，得到一個鉸結體系。若此體系是幾何不變體系，則由此知道結構的所有結點均無獨立結點線位移。如果此體系是幾何可變體系或瞬變體系，則可以通過增加鏈桿使其變?yōu)閹缀尾蛔凅w系，所增加的最少鏈桿的數(shù)目，就是原結構的獨立結點線位移的數(shù)目。例如圖(a)所示結構，鉸化結點后增加一根鏈桿可變?yōu)閹缀尾蛔凅w系[圖(b)]，所以結點獨立線位移的數(shù)目為一，整個結構的基本未知量為兩個角位移和一個獨立結點線位移。2.位移法基本結構由前述可知，用位移法計算超靜定結構時，是以一系列單跨超靜定梁的組合體作為基本結構的。因此，在確定了基本未知量后，就要增加附加約束以限制所有結點的位移，把原結構轉化為一系列相互獨立的單跨超靜定梁的組合體。即在產(chǎn)生角位移的剛結點處附加剛臂約束轉動；在產(chǎn)生線位移的結點處附加支座鏈桿約束其線位移。圖(a)所示剛架有兩個剛結點D和E，在忽略各桿件自身軸向變形的情況下，兩結點有相同的線位移，所以只要在結點D和E處附加兩個剛臂，以阻止兩個剛結點的轉動，在結點E處附加支座鏈桿以限制其線位移。(b)基本結構(a)原結構這樣就使得原結構變成為無結點線位移及角位移的一系列單跨超靜定梁的組合體，即位移法的基本結構[圖(b)]。(b)基本結構(a)原結構

根據(jù)支座情況的不同，常見的單跨超靜定梁可分為如圖所示的三種。

需要強調(diào)說明：力法中的基本結構是從原結構中拆除多余約束而代之以多余未知力的靜定結構。而位移法的基本結構是在原結構上增加約束構成若干個單跨超靜定梁的組合體。雖然它們的形式不同，但都是原結構的代表，其受力和變形與原結構是一致的。9.3.3位移法典型方程及計算舉例

1.位移法典型方程在前面我們以只有一個基本未知量的結構介紹了位移法的基本概念，對于具有多個基本未知量的結構，仍然應用上述思路，建立位移法方程的典型形式。圖(a)所示剛架有兩個基本未知量，即結點B的轉角Z1和結點C的水平位移Z2。在結點B處施加限制轉動的約束——附加剛臂，在結點C加一控制水平線位移的約束——附加支座鏈桿，得到的基本結構如圖(b)所示。(b)基本結構(a)原結構下面利用疊加原理建立位移法方程。(1)計算基本結構在荷載單獨作用時各附加約束上的約束力。先求出各桿的桿端力，然后求約束中存在的約束力R1F、R2F[圖(a)]。

圖(a)FR1FR2FF（2）計算基本結構在結點B發(fā)生轉角Z1時各附加約束上的約束力。使基本結構在結點B發(fā)生單位轉角Z1=1，但結點C仍被鎖住。這時，可求出基本結構在桿件AB、BC和CD的桿端力，以及在兩個約束中分別存在的約束力r11和r21[圖(b)]。于是我們把圖(b)擴大Z1倍，即乘以Z1

。(b)(c)（3）計算基本結構在結點C發(fā)生水平位移Z2時各附加約束上的約束力。使基本結構在結點C發(fā)生單位水平位移Z2=1，但結點B仍被鎖住。這時，可求出基本結構在桿件AB、BC和CD的桿端力，以及在兩個約束中分別存在的約束力r12和r22[圖(c)]。于是我們把圖(c)擴大Z2倍，即乘以Z2。疊加以上三種情況，得基本結構在荷載和結點位移Z1、Z2共同作用下的結果。根據(jù)以上各種因素引起的附加約束上的約束力疊加后應與原結構一致，即各附加約束上的總約束力應等于零的條件。可列出兩個位移法方程

r11Z1+r12Z2+r13Z3+R1F=0

r21Z1+r22Z2+r23Z3+R2F=0式中的系數(shù)和自由項，是由荷載和結點位移Z1、Z2共同作用下，在附加約束上引起的約束力。可由結點隔離體和桿件隔離體的平衡條件確定，得到各系數(shù)及自由項后，代入位移法方程中，即可解出各結點位移Z1、Z2的值。最后可按下式疊加繪出最后彎矩圖：式中：、和MF——結點位移Z1=1、Z2=1和荷載單獨作用于下，基本結構的彎矩。對于具有n個基本未知量的結構，則附加約束（附加剛臂或附加鏈桿）也有n個，由n個附加約束上的受力與原結構一致的平衡條件，可建立n個位移法方程:r11Z1+r12Z2+…+r1nZn+R1F=0r21Z1+r22Z2+…+r2nZn+R2F=0…rn1Z1+rn2Z2+…+rnnZn+RnF=0上式稱為位移法的典型方程。式中的rii>0稱為主系數(shù)，其物理意義為Zi=1時，基本結構中附加約束i上的反力，它恒為正值；rij稱為副系數(shù)，其物理意義為Zj=1時，基本結構中附加約束i上的反力，副系數(shù)可為正、可為負或為零；由反力互等定理且有rij=rji；RiF為自由項，其物理意義為荷載作用于基本結構上時，附加約束i上的反力，自由項可為正、為負或為零。

2．位移法計算舉例上面討論了用位移法典型方程解算超靜定結構的解題思路和方法，根據(jù)前面所述，用位移法解超靜定結構的步驟可歸納如下：（1）首先確定基本未知量，增加阻止剛結點轉動和結點移動的附加約束，從而形成基本結構；（2）使基本結構承受原荷載，并令附加約束發(fā)生與原結構相同的位移，根據(jù)附加約束上的反力矩或反力等于零的條件，建立位移法的典型方程；（3）繪出