2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時作業(yè)-平面向量的概念及其線性運算【含解析】

PAGE2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時作業(yè)-平面向量的概念及其線性運算【原卷版】(時間:45分鐘分值:85分)【基礎(chǔ)落實練】1.(5分)給出下列命題,正確的命題為()A.向量AB的長度與向量BA的長度相等B.若a=b,則a與b的方向相同或相反C.|a|+|b|=|a-b|?a與b方向相反D.若非零向量a與非零向量b的方向相同或相反,則a+b與a,b之一的方向相同2.(5分)(多選題)(2023·鄭州模擬)設(shè)a是非零向量,λ是非零實數(shù),下列結(jié)論中不正確的是()A.a與λ2a的方向相同B.a與-λa的方向相反C.λa=λaD.-λa=-λ3.(5分)(2023·汕頭模擬)在△ABC中,BD=13BC,若AB=a,AC=b,則AD=(A.23a+13b B.13aC.13a-23b D.23a4.(5分)(2023·鹽城模擬)在平行四邊形ABCD中,E是線段BD的中點,若AB=mAD+nEC,則m+n的值為()A.-1 B.0 C.1 D.25.(5分)在四邊形ABCD中,若AC=AB+AD,且|AB+AD|=|AB-AD|,則()A.四邊形ABCD是矩形B.四邊形ABCD是菱形C.四邊形ABCD是正方形D.四邊形ABCD是平行四邊形6.(5分)(多選題)(2023·哈爾濱模擬)在△ABC中,D為BC中點,AG=2GD,則下列等式中一定成立的是()A.AB+AC=2ADB.AG=13ABC.S△ABC=3S△GBCD.AG=13AB7.(5分)(2023·浦東模擬)設(shè)a,b是兩個不共線向量,AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a-2b,若A,B,D三點共線,則實數(shù)p的值為.

8.(5分)(2023·菏澤模擬)已知a,b是兩個不共線的向量,b-ta與12a-32b共線,則實數(shù)t=9.(5分)在銳角△ABC中,CM=3MB,AM=xAB+yAC(x,y∈R),則xy=10.(10分)設(shè)兩個非零向量a與b不共線.(1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),求證:A,B,D三點共線;(2)試確定實數(shù)k,使ka+b和a+kb反向共線.【能力提升練】11.(10分)(2023·滄州模擬)如圖,在△ABC中,點D為BC的中點,點E在線段AB上,AD與CE交于點O.(1)若AO=2OD,求證:OA+OB+OC=0;(2)若AE=2EB,AO=λAD,求實數(shù)λ的值.12.(5分)如圖所示,在正方形ABCD中,點E為BC的中點,點F為CD上靠近點C的四等分點,點G為AE上靠近點A的三等分點,則向量FG用AB與AD表示為.

13.(5分)如圖,點G為△ABC的重心,過點G的直線分別交直線AB,AC于D,E兩點,AB=3mAD(m>0),AC=3nAE(n>0),則m+n=;1m+1n的最小值為14.(10分)(2023·欽州模擬)如圖,在△ABC中,BC=4BD,AC=3CE,BE與AD相交于點M.(1)用AB,AC表示AD,BE;(2)若AM=mAB+nAC,求m+n的值.2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時作業(yè)-平面向量的概念及其線性運算【解析版】(時間:45分鐘分值:85分)【基礎(chǔ)落實練】1.(5分)給出下列命題,正確的命題為()A.向量AB的長度與向量BA的長度相等B.若a=b,則a與b的方向相同或相反C.|a|+|b|=|a-b|?a與b方向相反D.若非零向量a與非零向量b的方向相同或相反,則a+b與a,b之一的方向相同【解析】選A.對于A,向量AB與向量BA的長度相等,方向相反,命題成立;對于B,當(dāng)兩向量相等時,方向相同,不成立;對于C,當(dāng)a,b之一為零向量時,不成立;對于D,當(dāng)a+b=0時,a+b的方向是任意的,它可以與a,b的方向都不相同.2.(5分)(多選題)(2023·鄭州模擬)設(shè)a是非零向量,λ是非零實數(shù),下列結(jié)論中不正確的是()A.a與λ2a的方向相同B.a與-λa的方向相反C.λa=λaD.-λa=-λ【解析】選BCD.因為λ2>0,所以a與λ2a的方向相同,故A選項正確;當(dāng)λ<0時,a與-λa的方向相同,故B選項錯誤;當(dāng)λ<0時,λa<0,故C選項錯誤;當(dāng)λ>0時,-λa<0,故D選項錯誤.3.(5分)(2023·汕頭模擬)在△ABC中,BD=13BC,若AB=a,AC=b,則AD=(A.23a+13b B.13aC.13a-23b D.23a【解析】選A.AD=AB+BD=AB+13AB+13(AC-AB)=23AB+13AC=234.(5分)(2023·鹽城模擬)在平行四邊形ABCD中,E是線段BD的中點,若AB=mAD+nEC,則m+n的值為()A.-1 B.0 C.1 D.2【解析】選C.由AB=AD+DB=AD+DC+CB=AD+DA+AC+DA=2EC-AD,所以m=-1,n=2,則m+n=1.5.(5分)在四邊形ABCD中,若AC=AB+AD,且|AB+AD|=|AB-AD|,則()A.四邊形ABCD是矩形B.四邊形ABCD是菱形C.四邊形ABCD是正方形D.四邊形ABCD是平行四邊形【解析】選A.因為AC=AB+AD,所以四邊形ABCD為平行四邊形,又|AB+AD|=|AB-AD|,所以|AC|=|DB|,即對角線相等,所以四邊形ABCD為矩形.6.(5分)(多選題)(2023·哈爾濱模擬)在△ABC中,D為BC中點,AG=2GD,則下列等式中一定成立的是()A.AB+AC=2ADB.AG=13ABC.S△ABC=3S△GBCD.AG=13AB【解析】選ABC.對于A,由D為BC的中點,則AB+AC=2AD,故A正確;對于B,D,由AG=2GD,則AG=23AD=23(12AB+12對于C,如圖,AF⊥BC,GE⊥BC,由AG=2GD,則ADGD=31,由AF⊥BC,GE⊥BC,則△AFD∽△GED,即AFGE=ADGD=31,S△7.(5分)(2023·浦東模擬)設(shè)a,b是兩個不共線向量,AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a-2b,若A,B,D三點共線,則實數(shù)p的值為.

【解析】由題意BD=BC+CD=2a-b,因為A,B,D三點共線,所以AB,BD共線,所以存在實數(shù)λ,使得2a+pb=λ(2a-b),所以2=2λ,p=-λ,所以λ=1,p=-1.答案:-18.(5分)(2023·菏澤模擬)已知a,b是兩個不共線的向量,b-ta與12a-32b共線,則實數(shù)t=【解析】因為b-ta與12a-32所以b-ta=λ(12a-32b),b-ta=λ2a-又a,b是兩個不共線的向量,所以-t=λ21=答案:19.(5分)在銳角△ABC中,CM=3MB,AM=xAB+yAC(x,y∈R),則xy=【解析】由題設(shè)可得CA+AM=3(AB-AM),即4AM=3AB+AC,即AM=34AB+又AM=xAB+yAC,則x=34,y=1故xy=3答案:310.(10分)設(shè)兩個非零向量a與b不共線.(1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),求證:A,B,D三點共線;【解析】(1)因為AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),所以BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5AB,所以AB,BD共線,又因為它們有公共點B,所以A,B,D三點共線.(2)試確定實數(shù)k,使ka+b和a+kb反向共線.【解析】(2)因為ka+b與a+kb反向共線,所以存在實數(shù)λ(λ<0),使ka+b=λ(a+kb),即ka+b=λa+λkb,所以(k-λ)a=(λk-1)b.因為a,b是不共線的兩個非零向量,所以k-λ=0λk-1=0因為λ<0,所以k=-1.【能力提升練】11.(10分)(2023·滄州模擬)如圖,在△ABC中,點D為BC的中點,點E在線段AB上,AD與CE交于點O.(1)若AO=2OD,求證:OA+OB+OC=0;【解析】(1)因為點D為BC的中點,所以BD+CD=0,因為OD=OB+BD,OD=OC+CD,兩式相加得2OD=OB+OC,所以AO=2OD=OB+OC,即OA+OB+OC=OA+AO=0.(2)若AE=2EB,AO=λAD,求實數(shù)λ的值.【解析】(2)由AE=2EB,得AE=23設(shè)AB=a,AC=b,OC=μEC,則EC=AC-AE=AC-23AB=b-2又OC=AC-AO=AC-λAD=AC-λ(AB+AC)2=(1-λ所以(1-λ2)b-λ2a=μ(b-23因為a,b不共線,所以1-解得λ=45【解題指南】(1)由點D為BC的中點可得2OD=OB+OC,再結(jié)合已知條件即可證明;(2)設(shè)AB=a,AC=b,OC=μEC,利用向量減法法則可得EC=b-23a,OC=(1-λ2)b-λ從而可得1-λ12.(5分)如圖所示,在正方形ABCD中,點E為BC的中點,點F為CD上靠近點C的四等分點,點G為AE上靠近點A的三等分點,則向量FG用AB與AD表示為.

【解析】由題意可得:AE=AB+BE=AB+12AD,FE=FC+CE=14所以FG=FE+EG=FE-2=(14AB-12AD)-23=-512AB-答案:FG=-512AB13.(5分)如圖,點G為△ABC的重心,過點G的直線分別交直線AB,AC于D,E兩點,AB=3mAD(m>0),AC=3nAE(n>0),則m+n=;1m+1n的最小值為【解題指南】利用重心的性質(zhì)以及平面的線性運算可知AG=mAD+nAE,設(shè)DG=λGE,由D,G,E三點共線可知AG=1λ+1AD故可知m+n=1,利用1的妙用以及基本不等式求出1m+1n【解析】由重心的性質(zhì)可知AG=23×12(AB+AC)=13(3mAD+3nAE)=mAD+nAE(m>0,n>0),設(shè)DG=由已知得AG=AD+DG,AG=AE+EG,兩式相加得2AG=AD+AE+(1-1λ)DG=AD+AE+(1-1λ)(AG-AD),整理得AG=1λ+1AD+λλ+1AE,所以m=1λ+1,n=λλ+1,則m+n=1λ+1+λλ+1=1,1m+1n當(dāng)且僅當(dāng)nm=mn,即m=n=1答案:1414.(10分)(2023·欽州模擬)如圖,在△ABC中,BC=4BD,AC=3CE,BE與AD相交于點M.(1)用AB,AC表示AD,BE;【解析】(1)因為BC=4BD,所以BD=14BC=14(AC-AB)=1