考點02 與三角形有關(guān)的角及多邊形內(nèi)角和-2020-2021學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上學(xué)期高頻考點突破（人教版）（解析版）

考點2、與三角形有關(guān)的角及多邊形內(nèi)角和

知識框架

'三角形內(nèi)角和定理

三角形外角

基礎(chǔ)知識點，多邊形有關(guān)的概念

多邊形內(nèi)角和

多邊形外交和

<［垂直的性質(zhì)應(yīng)用

利用三角形的高和角平分線性質(zhì)求角

擊誑上的刖直角三角板中的求角度問題

八'"利用三角形的內(nèi)角和及外角的性質(zhì)解折疊問題

三角形的內(nèi)角和及外角的性質(zhì)（雙角平分線）

多邊形邊角的有關(guān)計算

基礎(chǔ)知識點

知識點2-1三角形內(nèi)角和定理

（1）定理：三角形三個內(nèi)角和等于180度

（2）直角三角形的兩個銳角互余

1.（2020?四川江油）如圖，在AABC中，點。是AA3C內(nèi)一點，且點。到小鉆。三邊的距離相等.若

NA=40。，則N30C的度數(shù)為（）

A.110°B.120°C.130°D.140°

【答案】A

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到NABC+NACB=140。，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到BO平分/ABC,CO

平分NACB,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算即可.

【解析】VZA=40°,AZABC+ZACB=180o-40°=140°,

?點O到AABC三邊的距離相等，.,.BO平分/ABC,CO平分/ACB,

.,.ZOBC+ZOCB=-x（ZABC+ZACB）=70°,AZBOC=180°-70°=110°,故選：A.

2

【點睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相

等是解題的關(guān)鍵.

2.（2019?湖北蔡甸初二期中）如圖，若AABC的三條角平分線A。、BE、CF交于點G，則與ZEGC互

余的角是（）

A.ZCGDB.ZFAGC.ZECGD.NFBG

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形角平分線的定義、互余的定義和垂直的定義逐一判斷即可.

【解析】解：???三角形的兩個角平分線不一定互相垂直，...NEGD不一定等于90°

二ZEGC與NCGO不一定互余，故A選項不符合題意；

VZBAC+ZABC+ZACB=180°,AA3C的三條角平分線AO、BE、C尸交于點G

III

，NFAG=-NBAC,ZGBC=-ZABC,ZGCB=-ZACB

222

AZFAG+ZGBC+ZGCB=-（ZBAC+ZABC+ZACB）=90°

2

ZEGC=/GBC+/GCBZEGC+ZFAG=90°,故B選項符合題意；

?.?三角形一個內(nèi)角的角平分線不一定垂直該角的對邊.\NGEC和NGFB不一定是直角

.??NEGC+NECG不一定等于90°,故C選項不符合題意；/FGB+NFBG不一定等于90°

???/FGB=NEGC，ZEGC+/FBG不一定等于90°,故D選項不符合題意.故選B.

【點睛】此題考查的是互余的判定，掌握角平分線的定義、互余的定義和垂直的定義是解決此題的關(guān)鍵.

3.（2019?河北石家莊初一期末）如圖，在△ZBC中，4。平分N54C.AELBC,N8=44。，/D4E=18。,

【答案】10°

【分析】根據(jù)題意可以求得NBAE和N1的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義和的和差角即可解決.

【解析】解：VAE1BC,...NAEB=90。，AZB+ZBAE=90°,

?.?/B=44°,AZBAE=46°,N1=/BAE—/DAE=46°—18°=28°,

；AD平分/BAC,AZCAD=Z1=28°,二N2=NCAD—NDAE=28°-18°=10°故填10°.

【點睛】本題考查了角平分線的定義，三角形的高，三角形內(nèi)角和定理等知識點，求出N1的度數(shù)及N2與

Z1的關(guān)系是解此題的關(guān)鍵.

4.（2020?江夏區(qū)月考）如圖，AE,OE分別平分N8/C和N8DC,NB=NBDC=45°,ZC=51°,求/

E的度數(shù).

【分析】根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義以及三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：；NB=NBDC=45°,：.AB//CD,ZC=5\0,AZBAC=ZC=5\a,

i11。i46°

'：AE,OE分別平分/84C和N8OC,：.ZBAE=^Z.BAC=―,NEDB=乙BDC=虧,

51。4S°

■:NAFB=NDFE,/.NE=NB+NBAE-NBDE=45°+勺一號=48°.

【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，平行線的判定和性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵.

5.（2020?保定市樂凱中學(xué)初一期末）如圖，已知^ABC中，ZBAC=135°,現(xiàn)將AABC進(jìn)行折疊，使頂點B、

C均與頂點A重合，則NDAE的度數(shù)為.

【答案】900.

【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算/B+NC的度數(shù)，再由折疊的性質(zhì)解題即可.

【解析】如圖，VZBAC=135°,.,.ZB+ZC=180°-135°=45°；

由折疊的性質(zhì)得：NB=NDAB（設(shè)為a）,NC=NEAC（設(shè)為。），

貝i]a+B=45。，ZADE=2a,ZAED=2p,AZDAE=180°-2（a+p）=180°-90°=90°.故答案為：90°.

【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，折疊的性質(zhì)等知識，是常見考點，熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

6.（2019?重慶巴川中學(xué)校初二期中）如圖，AA3C中，AO是高，AE、8F是角平分線，它們相交于點。，

N84c=60°,NC=70°,

求NC4D,ZBO4的度數(shù).

【答案】20°,125°

【分析】根據(jù)垂直的定義得到/ADC=9（T根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論；根據(jù):角形的內(nèi)角和和角平

分線的定義即可得到結(jié)論.

oo

【解析】VAD±BC,AZADC=90°,VZC=70°,/.ZCAD=180°-90-70=20°;

VZBAC=60°,ZC=70°,AE是/BAC的角平分線，.".ZBAO=30°,ZABC=1800-ZBAC-ZC=50°,

BF是ZABC的角平分線，ZABO=25°,Z.ZBOA=180°-ZBAO-ZABO=180°-30°-25°=125°.

故NCAD,/BOA的度數(shù)分別是20。，125。.

【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、角平分線定義.關(guān)鍵是利用角平分線的性質(zhì)解出NABO、ZBAO.

7.（2020?湖北棗陽初二期末）如圖是一副三角尺拼成圖案，則/AEB=度.

【答案】75°

【分析】根據(jù)三角板的特殊角和三角形的內(nèi)角和是180度求解即可.

【解析】由圖知，ZA=60°,ZABE=ZABC-ZDBC=90°-45°=45°,

ZAEB=180°-（ZA+ZABE）=180o-（60°+45o）=75°.故答案為：75

8.（2020?遼寧文圣初一期末）已知：如圖，在△Z8C中，NACB=9Q°,CDLAB,垂足為點。，圖形中相

等的角有對，互余的角有對.

D

【答案】53.

【分析】根據(jù)垂直的定義得到NCDA=NBDC=/ZC3=90。，推出/A+/B=NA+NACD=NB+/BCD=90。,

即可得到答案.

【解析】VCD1AB,；.NCDA=/BDC=N/C8=90°,AZA+ZB=ZA+ZACD=ZB+ZBCD=90°,

二圖形中相等的角有NB=NACD,NACB=NBDC,NACB=NCDA,4BDC=NCDA,一共5

對，互余的角有NN和N2,N/和NX。，N8和N8CZ）,一共3對.故答案為：5；3.

【點睛】此題考查了垂直的定義，宜角三角形兩個銳角互余，同角的余角相等，正確理解直角三角形兩個

銳角互余的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9.（2020?山西孝義初一期末）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)任務(wù).

三角形的內(nèi)角和

小學(xué)*時候我們就知道三角形內(nèi)角和是180度，學(xué)習(xí)了平行線之后，可以證明三角形內(nèi)角和是180度，證明

方法如下：

如圖1,已知：三角形A8C.求證NABC+NAC6+N5AC=18O°.

證法一：如圖2,過點A作直線DE〃8c

DE//BCZABC=NDAB/ACB=NCAE

ZDAB+ABAC+ZCAE=180°/.ZABC+ZACB+ABAC=180°

即三角形內(nèi)角和是180°

證法二：如圖3,延長BC至M，過點C作。V〃AB

任務(wù)：（1）證法一的思路是用平行線的性質(zhì)得到ZABC=NDAB,ZACB=ZCAE,將三角形內(nèi)角和問題轉(zhuǎn)

化為一個平角，進(jìn)而得到三角形內(nèi)角和是180。，這種方法主要體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（將正確選項代碼

填入空格處）

A.數(shù)形結(jié)合思想B.分類思想C.轉(zhuǎn)化思想

（2）將證法二補(bǔ)充完整.

【答案】（1）C；（2）見解析.

【分析】（1）由題意三角形內(nèi)角和問題轉(zhuǎn)化為一個平角，可知運用了轉(zhuǎn)化思想；（2）根據(jù)題意可知CN〃AB,

進(jìn)而利用平行線的性質(zhì)以及轉(zhuǎn)化思想進(jìn)行等量代換得出NABC+/ACB+NBAC=180。即可.

【解析】（1）由題意三角形內(nèi)角和問題轉(zhuǎn)化為一個平角，可知運用了轉(zhuǎn)化思想，故答案為：C；

（2）證明：VCN//AB/.ZA=CAN,ZB=ZNCM,

VZACB+ZCAN+ZNCM=180°,/.ZABC+ZACB+ZBAC=180°.

【點睛】本題考查三角形的內(nèi)角和以及平行線的性質(zhì)，熟練掌握行線的性質(zhì)以及運用轉(zhuǎn)化思想進(jìn)行分析是

解題的關(guān)鍵.

知識點2-2三角形的外角

（1）外角：三角形的一邊和另一邊的延長線組成的角（一個角的外角有2個）

（2）外交性質(zhì)：

性質(zhì)一：三角形的外角等于它不相鄰兩內(nèi)角和

性質(zhì)二：三角形外角和相鄰內(nèi)角和為180度

性質(zhì)三：三角形外角和為360度

1.（2020?內(nèi)蒙古科爾沁右翼前旗?初一期末）從A沿北偏東60°的方向行駛到3,再從8沿南偏西20。方

向行駛到C,則NA3C=.

【答案】40

【分析】根據(jù)方位角的概念，畫圖正確表示出行駛的過程，再根據(jù)已知轉(zhuǎn)向的角度結(jié)合三角形的內(nèi)角和與

外角的關(guān)系求解.

【解析】如圖，A沿北偏東60。的方向行駛到B,則NBAC=90°-60°=30。,

B沿南偏西20。的方向行駛到C,則/88=90。-20。=70。，

又VZABC=ZBCO-ZBAC,二ZABC=70°-30°=40°.故答案為40°

【點睛】解答此類題需要從運動的角度，正確畫出方位角，再結(jié)合三角形的內(nèi)角和與外角的關(guān)系求解.

2.（2020?廣西蒙山縣二中初二月考）如圖，點D是AABC內(nèi)的一點，延長BD交AC于點E,則（）

Z1>ZA>Z2；C.Z2>Z1>ZA；D.Z2>ZA>Z1；

【分析】根據(jù)三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角求解即可.

【解析】解：在4CDE中，Z2>Z1,在4ABE中，Z1>ZA,

.?.N2>N1>NA.故選C.

【點睛】本題考查三角形的外角性質(zhì)，三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角是解題的關(guān)鍵.

3.（2019?重慶榮昌初二月考）如圖，CE是AABC的外角NACD的平分線，若/B=35°,ZACE=60°,

則NA=

【答案】85°

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可知NACD,進(jìn)而根據(jù)三角形外角定理，即可求得NA.

【解析】：CE是角NACD的平分線，ZACE=60°.\ZACD=120°

又「/ACD是AABC的外角/.ZA=ZACD-ZB=85°故答案為85°.

【點睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì)和三角形外角定理，熟知上述知識點是解答本題的關(guān)鍵.

4.（2020?山東鄴城初一期末）如圖，直線a〃b,則NZ=度.

【答案】25

【分析】本題主要利用平行線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角與外角之間的關(guān)系解題.

【解析】解：’.?直線2〃忙.?.N1=NECD=55。，是4ABD的外角，.?.N1=NABD+NA,

即55°=30°+NA,ZA=55°-30°=25°.故/A=25°.故答案為：25

【點睛】本題應(yīng)用的知識點為：兩直線平行，內(nèi)錯角相等及三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.

5.（2020?甘肅玉門?初一期末）如圖，點。是△/BC邊8c延長線上的一點，NZ=70。，N/CD=105。，則

/B=.

【分析】由NA=70。，NACD=105°,根據(jù)二角形任意一個外角等于與之不相鄰的兩內(nèi)角的和得到

ZACD=ZB+ZA,則NB=NAC￡>-/4,然后代值計算即可.

【解析】解：???ZACD=NB+ZA,而NA=70°,ZACZ）=105°,

.-.ZB=105°-70°=35°.故答案為35°.

【點睛】本題考查「三角形的外角定理：三角形任意一個外角等于與之不相鄰的兩內(nèi)角的和.

6.（2020?全國初二課時練習(xí)）如圖，DABC中，ZA=75°,4=65°,將紙片的一角折疊，使點C落

在口ABC內(nèi)，若Nl=20°,則N2的度數(shù)是.

【答案】60°

【分析】根據(jù)題意，已知NA=65。，ZB=75°,可結(jié)合三角形內(nèi)角和定理和折疊變換的性質(zhì)求解.

【解析】解：VZA=75°，ZB=65",INC=18O°-(65°+75°)=40°,

.,.ZCDE+ZCED=180o-ZC=140°,.\Z2=360°-(ZA+ZB+Z1+ZCED+ZCDE)=360°-300°=60°.

故答案為:60°.

【點睛】本題通過折疊變換考查三角形、四邊形內(nèi)角和定理.注意折疊前后圖形全等;三角形內(nèi)角和為180。；

四邊形內(nèi)角和等于360度.

7.(2020?全國初二課時練習(xí))如圖，在直角△ABC,NC=90°，BO平分NA8C交AC于點O，AP平

分N/MC交50于點尸.⑴NAPD的度數(shù)為.(2)若ZBZ)C=58°,求ZBAP的度數(shù).

【答案】⑴45。；(2)ZBAP=13°.

【分析】⑴根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°可得NBAC+NABC=90。，再根據(jù)角平分線的定義可得NPAB+N

PBA=45。，然后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可得解；

(2)因為/BDC是AADP的外角，由(1)可求得NDAP,根據(jù)角平分線的定義即可得解.

【解析】(l)；NC=90°，??./BAC+/ABC=90。，

：3。平分ZABC，AP平分ZBAC,AZPAB+ZPBA=-(ZBAC+ZABC)=45°,

2

，ZAP￡>=/PAB+NPBA=45°；

(2)7ZSZ)C=58°,：.ZDAP^5S°-ZAPD=13°.

：AP平分NS4C，，ZR4P=NZMP=13°.

【點睛】本題主要考查角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)等，解此題的關(guān)鍵在于熟練掌握知識點.

9.(2020?山西翼城初一期末)探索三角形的內(nèi)(外)角平分線形成的角的規(guī)律.

在三角形中，由三角形的內(nèi)角平分線、外角平分線所形成的角存在一定的規(guī)律.

規(guī)律1：三角形的兩個內(nèi)角的平分線形成的鈍角等于90。加上第三個內(nèi)角度數(shù)的一半.

規(guī)律2：三角形的兩個外角的平分線形成的銳角等于90°減去與這兩個外角不相鄰的內(nèi)角度數(shù)的一半.

如圖，已知點P是口43。的內(nèi)角平分線5P與CP的交點，點M是口43。的外角平分線8M與CM的交

點，則NP=90°+,NANM=90。一

22

C

'3

M

證明規(guī)律1:

QBP、CP是DABC的角平分線，.?.Nl=；NABC,/2=g/ACB,(l)

二ZA=180°-2(Nl+N2),(2)Zl+Z2=90°-1NA,

/.NP=180?！?Z1+N2)=90。+gNA.

證明規(guī)律2：

QZ3=-(ZA+ZACB),Z4=-(ZA+ZABC),

Z3+Z4=^(ZA+ZACB+ZABC)+^ZA=90°+^ZA,

：.NM=180。-(N3+Z4)=90°-1zA.

請解決以下問題：(1)寫出上述證明過程中步驟(2)的依據(jù)是:；（2）如圖，已知點。是n4sc的

內(nèi)角平分線8。與DABC的外角（NACO）平分線CQ的交點，請猜想N。和NA的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【答案】（1）三角形的內(nèi)角和等于180°；（2）NQ=；/A.

【分析】（1）經(jīng)過認(rèn)真閱讀推理過程，再結(jié)合三角形的有關(guān)知識可以得到解答；（2）根據(jù)外角定理及角平

分線定義，可以用/A表示出來，也可以用/Q表示出來，利用等量代換即可求得N。和NA的數(shù)量關(guān)系.

【解析】（1）三角形的內(nèi)角和等于18（）。；

（2）NQ=g/A理由如下：

A

收71

BCD

圖(2)

QCQ平分ZACDZl=-ZACD=-(ZA+ZABC)

一22

???BQ平分ZABC.N2=gZABCN1=N2+N。=gZABC+NQ

.?.g(NA+ZA8C)=gNABC+NQ.?.NQ=；NA.

【點睛】本題考查三角形內(nèi)外角的有關(guān)知識和應(yīng)用，在正確作圖的基礎(chǔ)上利用內(nèi)角和定理、外角定理以及

角平分線定義是解題關(guān)鍵.

知識點2-3多邊形的有關(guān)概念

(1)多邊形：在平面內(nèi)，由一些線段首位順次連接線段組成的圖形。有〃條邊組成，我們就稱為〃邊形。

(2)內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角?！ㄟ呅尉陀小▊€內(nèi)角

(3)外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角

(4)對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點組成的線段。\n(n-3)

解釋：〃個頂點，每個頂點不相鄰頂點有(〃-3)個，重復(fù)計數(shù)一次，乘今

(5)凸多邊形：畫出多邊形的任何一條邊的直線，整個多邊形都在直線同一側(cè)。反之，則叫凹多邊形。

(6)正多邊形：各個角都相等，且各條邊相等的多邊形。

知識點2-4多邊形的內(nèi)角和

〃邊形內(nèi)角和為(n-2)*180.

解釋：〃邊形可分解為(n-2)個三角形，三角形內(nèi)角和為180度.

知識點2-5多邊形的外角和

1)定理：多邊形外角和為360°.

注：①多邊形內(nèi)角和與邊〃有關(guān)，等于(〃-2)X180度.

②多邊形外角和與邊“無關(guān)，都等于360度.

1.(2020?全國初一課時練習(xí))下列說法不正確的是()

A.各邊相等的多邊形是正多邊形B.等邊三角形是正多邊形

C.正多邊形的各個內(nèi)角都相等D.正多邊形的各條邊都相等

【答案】A

【分析】根據(jù)正多邊形的定義：各個邊相等，各個角相等的多邊形是正多邊形，除正三邊形以外，各邊相

等，各角相等，兩個條件必須同時成立.

【解析】A.各個邊相等，各個角相等的多邊形是正多邊形，故選項A錯誤；

B.等邊三角形三條邊相等，三個角相等，是正多邊形，故選項B正確；

C.正多邊形的各個內(nèi)角都相等，故選項C正確；

D.正多邊形的各條邊都相等，故選項D正確.故選A.

【點睛】本題考查了正多邊形的定義，注意各邊相等，各角相等，兩個條件必須同時成立.

2.（2020?江蘇省泰興市黃橋初級中學(xué)初一期中）若一個〃邊形的每一個外角都是36。，則這個〃邊形對角線

的條數(shù)是（）

A.30B.32C.35D.38

【答案】C

分析：多邊形的外角和是固定的360。，依此可以求出多邊形的邊數(shù)，進(jìn)而求得對角線的條數(shù).

【解析】；一個多邊形的每個外角都等于36。，.?.多邊形的邊數(shù)為360。+36。=10.

二對角線的條數(shù)是LxlOx（10-3）=35（條）.故選C.

2

點睛：本題主要考查了多邊形的外角和定理：多邊形的外角和是360。，正確理解n邊形的對角線條數(shù)是,n

2

（n-3）是關(guān)鍵.

3.（2020?廣西福綿初一期末）若一個多邊形的內(nèi)角和為720°,則這個多邊形是（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【答案】D

【分析】利用n邊形的內(nèi)角和可以表示成（n-2）T80。，結(jié)合方程即可求出答案.

【解析】設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n*,由題意，得（n-2）180°=720°,解得：n=6,

則這個多邊形是六邊形.故選D.

【點睛】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和公式，比較容易，熟記n邊形的內(nèi)角和為（n-2）?180。是解題的關(guān)鍵.

4.（2020?湖北全國?初二課時練習(xí)）一個正十邊形的某一邊長為8cm,其中一個內(nèi)角的度數(shù)為144°,則這個

正十邊形的周長和內(nèi)角和分別為（）

A.64cm,1440°B.80cm,1620°C.80cm,1440°D.88cm,1620°

【答案】C

【解析】因為正十邊形的各個邊都相等，則它的周長為8x|0=80（cm）

因為正十邊形的各內(nèi)角都相等，則它的內(nèi)角之和為144。/10=1440。.故選C.

5.（2020?全國初二課時練習(xí)）把一個多邊形紙片沿一條直線截下一個三角形后，變成一個18邊形，則原多

邊形紙片的，邊數(shù)不可能是（）

A.16B.17C.18D.19

【答案】A

【解析】一個n邊形剪去一個角后，剩下的形狀可能是n邊形或（n+1）邊形或（n-l）邊形.故當(dāng)剪去一個

角后，剩下的部分是一個18邊形，則這張紙片原來的形狀可能是18邊形或17邊形或19邊形，不可能是

16邊形.故選A.

【點睛】此題主要考查了多邊形，減去一個角的方法可能有三種：經(jīng)過兩個相鄰點，則少了一條邊；經(jīng)過

一個頂點和一邊，邊數(shù)不變；經(jīng)過兩條鄰邊，邊數(shù)增加一條.

6.（2020?江蘇宿豫初一期中）過一個多邊形的一個頂點的所有對角線把多邊形分成4個三角形，則這個多

邊形的邊數(shù)為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【分析】根據(jù)多邊形的性質(zhì)，n邊形中過一個頂點的所有對角線有（n—3）條，把這個多邊形分成（n-2）個

三角形，根據(jù)這一點即可“解答.

【解析】這個多邊形的邊數(shù)是4+2=6.故選：I）.

【點睛】本題考查多邊形的對角線規(guī)律,解題的關(guān)鍵是利用多邊形的對角線把多邊形分成（n-2）個三角形，

本題屬于基礎(chǔ)題型.

7.（2020?吉林寬城初一期末）如圖，六邊形ABC0EE內(nèi)部有一點G,連結(jié)BG、DG.若

Nl+N2+N3+N4+N5=44（）。，則的大小為（）

CD

A.60°B.70°C.80°D.90°

【答案】C

【分析】利用多邊形的內(nèi)角和定理計算出六邊形內(nèi)角和，計算出/6+N7+/C的度數(shù)，然后可得/BGD的

大小.

【解析】解：如圖，標(biāo)注角，：多邊形ABCDEF是六邊形，

.*.Zl+Z5+Z4+Z3+Z2+Z6+Z7+ZC=18-0°x（6-2）=720°,

Zl+Z2+Z3+Z4+Z5=440°,,Z6+Z7+ZC=720°-440°=280°,

多邊形BCDG是四邊形，，ZC+Z6+Z7+ZG=360°,

ZG=360°-（Z6+Z7+ZC）=360°-280°=80°,故選：C.

【點睛】此題主要考查了多邊形內(nèi)角和，關(guān)鍵是掌握多邊形內(nèi)角和定理：（n-2）"80。（n*且n為整數(shù)）.

8.（2020?重慶萬州初一期末）在下列正多邊形瓷磚中，若僅用一種正多邊形瓷磚鋪地面，則不能將地面密

鋪的是（）

A.正三角形B.正四邊形C.正六邊形D.正八邊形

【答案】D

【分析】看哪個正多邊形的一個內(nèi)角的度數(shù)不是360。的約數(shù)，就不能密鋪平面.

【解析】解：A.正三角形的一個內(nèi)角為60。，是360。的約數(shù)，能密鋪平面，不符合題意；

B.正四邊形的一個內(nèi)角度數(shù)為180-360+4=90。，是360。的約數(shù)，能密鋪平面，不符合題意；

C.正六邊形的一個內(nèi)角度數(shù)為180-360+6=60。，是360。的約數(shù)，能密鋪平面，不符合題意；

D.正八邊形的一個內(nèi)角度數(shù)為180-360+8=135。，不是360。的約數(shù)，不能密鋪平面，符合題意；

故選：D.

【點睛】本題主要考查平面密鋪的問題，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握知識點：一種正多邊形能鑲嵌平面，

這個正多邊形的一個內(nèi)角的度數(shù)是360°的約數(shù)；正多邊形一個內(nèi)角的度數(shù)=180°-360°+邊數(shù).

9.（2020?河北邢臺初三二模）如圖，有〃個全等的正五邊形按如下方式拼接，使相鄰的兩個正五邊形有公

共頂點，所夾的銳角為24。，拼接一圈后，中間形成一個正多邊形，則〃的值為（）

A.5B.6C.8D.10

24°

【答案】B

【分析】根據(jù)正多邊形的內(nèi)角公式列出方程即可求出答案.

【解析】解：正五邊形的內(nèi)角度數(shù)=180°x；5—2）=]08。,則正五邊形每個內(nèi)角的度數(shù)為108。，

由圖可知：中間形成的正多邊形的內(nèi)角度數(shù)=360°-108°x2-24°=120°，

則設(shè)中間形成的正多邊形的邊數(shù)為m,則有：再四二2=120。

m

oo

180°/??x-180x2=120m60°加=360°力=6

因此這"個正五邊形拼接一圈圍成的內(nèi)部為正六邊形.故選：B.

【點睛】本題考查了正多邊形的內(nèi)角問題，熟練掌握正多邊形的內(nèi)角公式及常見的正多邊形的內(nèi)角度數(shù)是

解題的關(guān)鍵.

10.（2020?山東陵城初二期末）小明同學(xué)在計算一個多邊形（每個內(nèi)角小于180。）的內(nèi)角和時，由于粗心少算

一個內(nèi)角，結(jié)果得到的和是2020。，則少算了這個內(nèi)角的度數(shù)為.

【答案】140°

【分析】n邊形的內(nèi)角和是（n-2）-180°,少計算了一個內(nèi)角，結(jié)果得2020。，則內(nèi)角和是（n-2）?180。與

2020。的差一定小于180度，并且大于0度.因而可以解方程（n-2）TgOo^OZO。，多邊形的邊數(shù)n一定是

最小的整數(shù)值，從而求出多邊形的邊數(shù)，內(nèi)角和，進(jìn)而求出少計算的內(nèi)角.

2

【解析】設(shè)多邊形的邊數(shù)是n,依題意有（n-2）?180—2020。，解得：n>13-,

則多邊形的邊數(shù)n=14；多邊形的內(nèi)角和是（14-2）?180=2160°；則未計算的內(nèi)角的大小為2160。-2020。

=140°.故答案為：140。.

【點睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和定理，正確確定多邊形的邊數(shù)是解題的關(guān)鍵.

重難點題型

題型1垂直的性質(zhì)應(yīng)用

解題技巧：解決此類問題的關(guān)鍵是掌握同角（等角）的余角相等.

1.（2020?江蘇崇川初一期末）如圖，/。是的角分平線,CE是△48C的高，NR4c=60°,NBCE=50°,

點廠為邊N8上一點，當(dāng)△8。尸為直角三角形時，則NNOF的度數(shù)為.

【答案】20?；?0°.

【分析】分情況討論：①當(dāng)NBFD=90。時，②當(dāng)尸=90。時，根據(jù)定義分別求解即可.

【解析】如圖所示，當(dāng)N8ED=90°時，

是△45C的角分平線，ZBAC=60°,ZBAD=30a,尸中，ZADF=60D；

如圖，當(dāng)N8OF=90°時，同理可得.

：CE是△Z8C的高，NBCE=50°,：.ZBFD=ZBCE=50Q,AZADF=ZBFD-ZBAD=2Q°,

綜上所述：乙4。尸的度數(shù)為20°或60°.故答案為：20?；?0°.

【點睛】本題考查角平分線和高線、垂直的定義，掌握分類討論的思想是解題的關(guān)鍵.

2.（2019?濱海縣期中）如圖，ADLBC,垂足為。，點E在ZC上，且NZ=30°,NB=40°.求NBFD

和//EF的度數(shù).

【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出/C,根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論.

【解答】解：'：ADLBC,：.ZADC^ZADB=90°,

/.ZC=90°-/Z=90"-30°=60°,NBFD=90°-N8=50°,

在△8CE中，NBEC=180°-ZEBC-ZC=180°-40°-60°=80°,/.ZJEF=1800-ZBfC=100°.

【點評】本題考查直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟記性質(zhì)準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵.

3.（2020?道里區(qū)期末）如圖，CZ）是直角△/BC斜邊42上的高，CB>CA,圖中相等的角共有（）

A.2對B.3對C.4對D.5對

【分析】根據(jù)直角和高線可得三對相等的角，根據(jù)同角的余角相等得：NA=NDCB,NB=NACD.

【解答】解：是直角△/8C斜邊上的高，...N{C8=N/OC=NCQ8=90°,

AZA+ZACD=ZACD+ZDCB=90Q,'.ZA=ZDCB,

同理得：.?.相等的角一共有5對，故選：D.

【點評】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握同角的余角相等是解題的關(guān)鍵.

4.（2019?豐臺區(qū)期末）在△48C中，NACB=9Q°,N4BC=40°,尸是射線上一動點（與8,C點不

重合），連接NP.過點。作81尸于點￡）,交直線N8于點E,設(shè)/4PC=a.（1）若點P在線段8c上，

且a=60°,如圖1,直接寫出的大??；（2）若點P在線段8c上運動，如圖2,求N/ED的大?。ㄓ?/p>

含a表示）；（3）若點尸在8c的延長線上運動，且aW50°,直接寫出N4EQ的大小（用含a的式子表示）.

【分析】（1）根據(jù)三角形外角的的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和直角三角形兩銳角互余可

得結(jié)論；(3)分情況討論：a>50°或a<50°根據(jù)三角形內(nèi)角和可得結(jié)論.

【解答】解：(1)如圖1.當(dāng)a=60°時，NZPC=60°,

△NP8中，NR4B=NAPC-NB=60°-40°=20°,

(2)如圖2,同(1)得：ZPAB=a-40°,,:CELAP,/.ZADE=90°,；.NR4B+N4ED=90°,

AZAED=90°-N為8=90°-(a-40°)=130°-a,

(3)如圖3,當(dāng)a>50°時，ZX/IPC中，N/CP=90",NAPC=a,/C4P=90°-a,

CDLAP,ZAED=900-ND4E=90°-(50°+90°-a)=a-50°,

②如圖4,當(dāng)a<50°時，AZAED=900-ZR4E=90°-(a+40°)=50°-a,

綜上，ZAEDa-50°或50°-a.

【點評】本題考查了三角形外角的性質(zhì)、直角三角形的兩銳角互余、垂線的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)是關(guān)

鍵.

5.（2019?沐陽縣期末）已知I：如圖，在△ZSC中，ZACB=90°,是高，/E是△/BC內(nèi)部的一條線

段，4E交CD于點F,交CB于點、E,且NCFE=NCEF.求證：/E平分NC/8.

【分析】在中，利用三角形內(nèi)角和定理結(jié)合對頂角相等可得出ND4F=90°-N47）=90°-ZCFE,

在中，利用三角形內(nèi)角和定理可得出NC4E=90°-ZCEF,再結(jié)合NCF￡=/CEF可得出尸

=ZCAE,即/E平分/C/8.

【解答】證明：'：CD±AB,.?.在/中，ND4尸=90°-N4FD=90°-ZCFE.

VZ/4C￡=90°,.?.在△/EC中，NC4E=90°-NCEF.

VZCFE=ZCEF,:.NDAF=NCAE,即ZE平分NO8.

【點評】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義，利用三角形內(nèi)角和定理,

找出乙0/尸=90°-NCFE及NCAE=90°-/CE尸是解題的關(guān)鍵.

題型2利用三角形的高和角平分線性質(zhì)求角

1.（2020?鎮(zhèn)江市江南學(xué)校初一月考）如圖，在aABC中，AD是高，AE是角平分線，ZB=28°,ZC=60°,

則/DAE=__。.

【答案】16°

【解析】；/企28°,/e60°,二/班小180°-28°-60°=92°.

是角平分線，:.NBA芹［/協(xié)華46°,AEA/B+NBA-4。.

2

是高，.../4叱90°,如田90°-ZAED=90°-74°=16°.故答案為16°.

2.（2020?海南臨高初一期末）如圖，口ABC中，AO是高，AE是NBAC的平分線，NB=70°,NZME=19°，

則NC的度數(shù)是.

【答案】32。

【分析】根據(jù)高定義求出NA￡>8=90°,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NBA。=20°,求出N&4￡=39。，根

據(jù)角平分線的定義求出4AC,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NC即可.

【解析】解：?.?AD是高，.,.NADB=90°,?.?/8=70°,.??/54￡>=180。一/403—N5=2O。，

-,-ZDAE=19°,/.ZBAE=ABAD+ZDAE=39°,

,.-AE是NBAC的平分線，ABAC=2NBAE=78°,

.?.ZC=1800-ZB-ZR4C=180o-70o-78o=32°,故答案為：32°.

【點睛】本題考查了三角形的高，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理等知識點，能根據(jù)知識點求出各

個角的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵.

3.（2020?云南昆明三中初一期末）在AABC中，如果NA=1/B=；NACB.（l）Z^ABC是什么三角形？

并證明.（2）CD是AABC的高，CE是/ACB的平分線，求/DCE的度數(shù).

【答案】（1）直角三角形，理由見解析；（2）15°

【分析】（1）用/A表示出NB、/ACB,然后利用三角形的內(nèi)角和等于180。列方程求出NA,再求出/ACB；

（2）根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出NACD,根據(jù)角平分線的定義求出ZACE,再根據(jù)

ZDCE=ZACD-ZACE計算即可得解.

【解析】解：（1）直角三角形，理由是：?..NA=』NB=』NACB,，/B=2/A,ZACB=3ZA,

23

VZA+ZB+ZACB=180°,AZA+2ZA+3ZA=180°,

解得NA=30。，ZB=60°,/ACB=90。，.,△ABC是直角三角形;

(2)；CD是AABC的高，,...NACD=90O-30<5=60。,

VCE是/ACB的角平分線，ZACE=-x90°=45°,AZDCE=ZACD-ZACE=60°-45°=15°.

2

【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，直角三角形兩銳角互余，角平分線的定義，熟記概念并準(zhǔn)確識

圖是解題的關(guān)鍵.

4.（2020?云南師大附中初一期末）在四邊形ABCD中，。與NBCD的角平分線交于點E,

NDEC=115。,過點8作3///AD交CE于點/，CE=2BF,ZCBF^-ZBCE,連接

4

25

S&BCE=1，則CE-...-

【答案】5

【分析】設(shè)NBCE=4x,ZCBF=5x,設(shè)/ADE=/EDC=y,構(gòu)建方程組求出x,y,證明/CFB=90°,再利

用三角形的面積公式構(gòu)建方程即可解決問題.

【解析】解：：NC8b=2/5CE,.?.可以假設(shè)NBCE=4x,則NCBF=5x,

4

：DE平分/ADC,CE平分NDCB,AZADE=ZEDC,ZECD=ZECB=4x,設(shè)NADE=NEDC=y,

VAD/7BF,.\ZA+ZABF=180°,AZADC+ZDCB+ZCBF=I80°,.\2y+13x=180<,①，

VZDEC=115",.,.ZEDC+ZECD=65°,即y+4x=65°②，

聯(lián)立①②解得x=10°,y=25°,.*.ZBCF=40o,ZCBF=50°,

AZCFB=90°,ABFIEC,；.CE=2BF,設(shè)BF=m,則CE=2m,

125125

S.RCF=—xECxBF=—,—x2mxm--,

ABCE2424

解得m=g（負(fù)值舍去），.?.CE=2〃?=5,故答案為5.

【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，二元一次方程組等知識，解題

的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程或方程組組解決問題.

5.(2020?旺胎縣期末)如圖①，力。平分NA4C,AE1BC,/8=38°,ZC=64°.

圖①圖②

(1)求ND4E的度數(shù)；(2)如圖②，若把'ZEJ_8C”變成“點尸在D4的延長線上，F(xiàn)ELBC",NB=a,

NC=0(a<p),請用a、0的代數(shù)式表示NZ)FE.

【分析】(1)求出的度數(shù)，利用ND4E=90°-N4DE即可求出/D4E的度數(shù).

(2)求出N/O51的度數(shù)，利用N￡>FE=90°-■即可求出ND4E的度數(shù).

【解答】解：(1)VZ5=38°,ZC=64°,：.ZBAC=78°,

?.1。平分/8/C,:.NBAD=NCAD=39°,:./ADE=/B+NBAD=T7°,

"：AE1.BC,：.ZAEB=90",：.ZDAE=90°-乙4?！?13°.

(2)'：B=a,ZC=p,：.ZBAC=\S00-a-p,

,.70平分/8NC,AZBAD^ZCAD=90Q-1(a+0),

i

ZADE=ZB+ZBAD=a+90°-*(a+0),

1

,：AEA.BC,：.ZAEB=9Q°,:.NDFE=90°-ZADE=(p-a).

【點評】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形內(nèi)角和是180°是解答此題的關(guān)鍵.

6.(2019?織金縣期末)如圖，在△/8C中，NBVN4CB,4。平分N8ZC,P為線段力。上的一個動點，

PEL4D交直線BC于點、E.(1)若NB=35°,//。=85°,求NE的度數(shù)；(2)當(dāng)點尸在線段NO上運

動時，求證：NE=*(N4CB-4B).

【分析】(1)首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得N84C的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求得/D4c的度數(shù),

從而根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出N/1OC的度數(shù)，進(jìn)一步求得NE的度數(shù)；

(2)根據(jù)第(1)小題的思路即可推導(dǎo)這些角之間的關(guān)系.

【解答】(1)解：VZB=35°,ZACB=S5°,：.ZBAC=60a.

平分/8/C,：.ZDAC^30".：.ZJDC=65°.

又,：NDPE=90°,，/E=25°

(2)證明：'：ZB+ZBAC+ZACB=\SO°,AZ5/1C=180°-(NB+NACB).

平分/8/C,:.NBAD=^NBAC=9G。(ZB+ZACB).

：.ZADC=ZB+ZBAD=90a-1(NACB-ZS).

■:PELAD,:.NDPE=9Q°.//DC+/E=90°.

.,.NE=90。-ZADC,即NE=*(N/C8-N8).

【點評】此題考查三角形的內(nèi)角和定理以及角平分線的定義.掌握三角形的內(nèi)角和為180°,以及角平分線

的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

題型3.直角三角板中的求角度問題

1.(2019?河北石家莊初一期末)小明把一副含45°,30°角的直角三角板如圖擺放，其中NC=NF=90°,

【答案】210°

【分析】由三角形外角定理可得N1=N3+NO，N2=N6+NE,故N1+N2=N3+ND+N6+NF=

Z4+ZD+Z5+ZF,根據(jù)角的度數(shù)代入即可求得.

【解析】：N1=N3+ZD，N2=N6+N尸，

Nl+N2=N3+ZD+N6+N尸=N4+NO+N5+N/=N4+N5+30°+90°=210°.

故答案為:210°.

【點睛】本題主要考查了三角形外角性質(zhì)，熟練掌握三角形中角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

2.（2020?北京豐臺初一期末）一副三角尺按如圖所示的位置擺放，那么/￡=.

【答案】60°.

【分析】根據(jù)直角三角尺的特點，可以得到NB的度數(shù)，再根據(jù)NFDB=90。，從而可以得到Na的度數(shù).

【解析】由圖可知，ZB=30°,ZFDB=90°,

故/（1=90。-/8=90。-30。=60。，故答案為：60°.

【點睛】本題考查解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

3.（2020?重慶市渝北中學(xué)校初一月考）將一幅三角板拼成如圖所示的圖形，過點C作CF平分/DCE交DE

于點F,（1）求證：CF〃AB,（2）求/DFC的度數(shù).

【答案】（1）證明見解析；（2）105°

【分析】（1）首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得/1=45。，再有N3=45。，再根據(jù)內(nèi)錯角相等兩直線平行可判定出

AB〃CF：（2）利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計算即可.

【解析】解：（1）證明：：CF平分NDCE,.?./1=/2=L/DCE.

2

VZDCE=90°,；.N1=45°.VZ3=45°,.\Z1=Z3.，AB〃CF.

(2)VZD=30°,Zl=45°,AZDFC=180°-30°-45°=105°.

【點睛】本題考查平行線的判定，角平分線的定義及三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是本題的

解題關(guān)鍵.

4.(2020?定興縣期末)如圖所示，有一塊