滬教版九年級數(shù)學(xué)考試滿分全攻略第06講二次函數(shù)解析式的確定(5種解題方法)(原卷版+解析)

第06講二次函數(shù)解析式的確定（5種解題方法）考點(diǎn)考向考點(diǎn)考向1.一般式當(dāng)題目給出函數(shù)圖像上的三個(gè)點(diǎn)時(shí)，設(shè)為一般式（，，為常數(shù)，），轉(zhuǎn)化成一個(gè)三元一次方程組，以求得a，b，c的值；2.頂點(diǎn)式若已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸、最值，則設(shè)為頂點(diǎn)式．這頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k），對稱軸直線x=h，最值為當(dāng)x=h時(shí)，y最值=k來求出相應(yīng)的系數(shù).3.交點(diǎn)式已知圖像與x軸交于不同的兩點(diǎn)，設(shè)二次函數(shù)的解析式為，根據(jù)題目條件求出a的值．4.平移變換型將一個(gè)二次函數(shù)的圖像經(jīng)過上下左右的平移得到一個(gè)新的拋物線．要借此類題目，應(yīng)先將已知函數(shù)的解析是寫成頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x–h)2+k，當(dāng)圖像向左（右）平移n個(gè)單位時(shí)，就在x–h上加上（減去）n；當(dāng)圖像向上（下）平移m個(gè)單位時(shí)，就在k上加上（減去）m．其平移的規(guī)律是：h值正、負(fù)，右、左移；k值正負(fù)，上下移．由于經(jīng)過平移的圖像形狀、大小和開口方向都沒有改變，所以a得值不變．5.對稱變換型根據(jù)對稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化，因此永遠(yuǎn)不變．求拋物線的對稱拋物線的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達(dá)式已知的拋物線）的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達(dá)式．考點(diǎn)精講考點(diǎn)精講解法一：一般式1.一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三點(diǎn)，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式．2.已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過（﹣1，10），（1，4），（2，7）三點(diǎn)．求這個(gè)二次函數(shù)的解析式，并求出它的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．3.二次函數(shù)圖象過A，C，B三點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)C在y軸正半軸上，且AB＝OC，求二次函數(shù)的表達(dá)式．4.如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，過點(diǎn)A、C，D作拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0），點(diǎn)A，B，D的坐標(biāo)分別為（﹣2，0），（3，0），（0，4），求拋物線的解析式．解法二：頂點(diǎn)式1.設(shè)二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，2），且過點(diǎn)（1，1），求這個(gè)函數(shù)的關(guān)系式．2.已知二次函數(shù)當(dāng)x＝1時(shí)有最大值是﹣6，其圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，﹣8），求二次函數(shù)的解析式．解法三：交點(diǎn)式1.拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣2和1，且過點(diǎn)（2，8），它的關(guān)系式為（）A．y＝2x2﹣2x﹣4 B．y＝﹣2x2+2x﹣4 C．y＝x2+x﹣2 D．y＝2x2+2x﹣42.如果二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，0），（3，0），（0，﹣6），求二次函數(shù)表達(dá)式．3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)B，點(diǎn)C分別為x軸，y軸正半軸上一點(diǎn)，其滿足OC＝OB＝2OA．求過A，B，C三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式；4.已知拋物線過A（1，0）和B（4，0）兩點(diǎn)，交y軸于C點(diǎn)，且BC＝5，求該二次函數(shù)的解析式．解法四：平移變換型1.將拋物線y＝x2﹣6x+5向上平移兩個(gè)單位長度，再向右平移一個(gè)單位長度后，求平移后的拋物線解析式．2.將拋物線y＝2x2先向下平移3個(gè)單位，再向右平移m（m＞0）個(gè)單位，所得新拋物線經(jīng)過點(diǎn)（1，5），求新拋物線的表達(dá)式及新拋物線與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)．3.已知a+b+c＝0且a≠0，把拋物線y＝ax2+bx+c向下平移一個(gè)單位長度，再向左平移5個(gè)單位長度所得到的新拋物線的頂點(diǎn)是（﹣2，0），求原拋物線的表達(dá)式．4.拋物線y＝x2+2x﹣3與x軸正半軸交于A點(diǎn)，M（﹣2，m）在拋物線上，AM交y軸于D點(diǎn)，拋物線沿射線AD方向平移2個(gè)單位，求平移后的解析式．解法五：對稱變換型1.已知拋物線y＝﹣2x2+8x﹣7．（1）二次函數(shù)的圖象與已知拋物線關(guān)于y軸對稱，求它的解析式；（2）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與已知拋物線關(guān)于原點(diǎn)對稱，求a，b，c的值．2.已知二次函數(shù)y=12x2﹣3（1）若把它的圖象向右平移1個(gè)單位，向下平移3個(gè)單位，求所得圖象的函數(shù)表達(dá)式．（2）若把它的圖象繞它的頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，求所得圖象的函數(shù)表達(dá)式．（3）若把它繞x軸翻折，求所得圖象的表達(dá)式．3.已知拋物線C1：y=59(x+2)2?5的頂點(diǎn)為P，與x軸正半軸交于點(diǎn)B，拋物線C2與拋物線C1關(guān)于x軸對稱，將拋物線C2向右平移，平移后的拋物線記為C3，C3的頂點(diǎn)為M，當(dāng)點(diǎn)P4.將拋物線C1：y=18（x+1）2﹣2繞點(diǎn)P（t，2）旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線C2，若拋物線C1的頂點(diǎn)在拋物線C2上，同時(shí)拋物線C2的頂點(diǎn)在拋物線C1上，求拋物線C鞏固提升鞏固提升一、單選題1．（2021·上海楊浦·九年級三模）將拋物線向左平移2個(gè)單位后，所得新拋物線的解析式是（）A． B． C． D．2．（2021·上海九年級專題練習(xí)）將二次函數(shù)的圖象向左平移1個(gè)單位，則平移后的二次函數(shù)的解析式為（）A． B． C． D．3．（2021·上海）拋物線先向右平移4個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位，得到拋物線的解析式為（）A． B． C． D．4．（2021·上海靜安·九年級一模）將拋物線平移后與拋物線重合，那么平移的方法可以是（）A．向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位B．向右平移1個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位C．向左平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位D．向左平移1個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位5．（2021·上海）如果將拋物線y＝x2+2向左平移1個(gè)單位，那么所得新拋物線的解析式為（）A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x+1）2+2 C．y＝x2+1 D．y＝x2+36．（2010·上海浦東新·七年級競賽）如表所示，則x與y的關(guān)系式為（）x12345y37132131A．y=4x-1 B．y=x2+x+1C．y=（x2+x+1）（x-1） D．非以上結(jié)論7．（2021·上海九年級專題練習(xí)）如果A(-2，n)，B(2，n),C(4，n+12)這三個(gè)點(diǎn)都在同一個(gè)函數(shù)的圖像上，那么這個(gè)函數(shù)的解析式可能是()A． B． C． D．二、填空題8．（2011·上海浦東新區(qū)·中考模擬）請寫出一個(gè)圖像的對稱軸為y軸，且經(jīng)過點(diǎn)(2，－4)的二次函數(shù)解析式，這個(gè)二次函數(shù)的解析式可以是____________9．（2021·上海九年級專題練習(xí)）用“描點(diǎn)法”畫二次函數(shù)的圖像時(shí)，列出了如下的表格：…01234……010…那么當(dāng)時(shí)，該二次函數(shù)的值為___________．10．（2020·崇明縣大同中學(xué)九年級月考）已知二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣1，﹣6），并且該圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，3）表達(dá)式為_______．11．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)）若函數(shù)過點(diǎn)(1，-4)，則m=_______．12．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級課時(shí)練習(xí)）已知拋物線的頂點(diǎn)為，且與軸交于點(diǎn)，則拋物線的解析式為______.13．（2021·上海九年級專題練習(xí)）如果拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，那么該拋物線的開口方向______．（填“向上”或“向下”）14．（2021·上海九年級專題練習(xí)）如果將二次函數(shù)的圖像平移，有一個(gè)點(diǎn)既在平移前的函數(shù)圖像上又在平移后的函數(shù)圖像上，那么稱這個(gè)點(diǎn)為“平衡點(diǎn)”．現(xiàn)將拋物線：向右平移得到新拋物線，如果“平衡點(diǎn)”為(3，3)，那么新拋物線的表達(dá)式為______．15．（2021·上海青浦·九年級二模）如果將拋物線y＝﹣x2向下平移，使其經(jīng)過點(diǎn)（0，﹣2），那么所得新拋物線的表達(dá)式是__________．16．（2021·上海崇明·九年級二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，等腰直角三角形OAB的斜邊OA在x軸上，且OA＝4，如果拋物線y＝ax2+bx+c向下平移4個(gè)單位后恰好能同時(shí)經(jīng)過O、A、B三點(diǎn)，那么a+b+c＝_____．三、解答題17．（2021·上海寶山·九年級期中）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，（1）求該拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）將拋物線平移，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，點(diǎn)落在點(diǎn)處，求的面積；（3）如果點(diǎn)在軸上，與相似，求點(diǎn)的坐標(biāo)．18．（2021·上海寶山區(qū)·九年級三模）如圖，在直角坐標(biāo)平面xOy內(nèi)，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，且∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，OB＝4.，二次函數(shù)y＝﹣x2＋bx的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，頂點(diǎn)為點(diǎn)C．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式，并寫出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）設(shè)這個(gè)二次函數(shù)圖象的對稱軸l與OB相交于點(diǎn)D，與x軸相交于點(diǎn)E，求的值；（3）設(shè)P是這個(gè)二次函數(shù)圖象的對稱軸l上一點(diǎn)，如果△POA的面積與△OCE的面積相等，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．19．（2021·上海）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．（1）求該拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)：（2）如果點(diǎn)的坐標(biāo)為，聯(lián)結(jié)、，求的正切值；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．20．（2017·上海楊浦區(qū)·九年級一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線交y軸于點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為D，對稱軸與x軸交于點(diǎn)H．（1）求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)拋物線過點(diǎn)（1，-2），且不經(jīng)過第一象限時(shí)，平移此拋物線到拋物線的位置，求平移的方向和距離；（3）當(dāng)拋物線頂點(diǎn)D在第二象限時(shí)，如果∠ADH=∠AHO，求m的值．21．（2021·上海普陀區(qū)·）在平面直角坐標(biāo)系xOy中（如圖），已知拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）、B（6，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是在第四象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線AD與直線BC交于點(diǎn)E．（1）求b、c的值和直線BC的表達(dá)式；（2）設(shè)∠CAD＝45°，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為d，用含d的代數(shù)式表示△ACE與△DCE的面積比．22．（2021·上海青浦·九年級二模）已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2＋bx＋3的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，對稱軸是直線x＝1，頂點(diǎn)是點(diǎn)D．（1）求該拋物線的解析式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P為該拋物線第三象限上的一點(diǎn)，當(dāng)四邊形PBDC為梯形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)E為x軸正半軸上的一點(diǎn)，當(dāng)tan（∠PBO＋∠PEO）＝時(shí)，求OE的長．23．（2021·上海中考真題）已知拋物線過點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)A在直線上且在第一象限內(nèi)，過A作軸于B，以為斜邊在其左側(cè)作等腰直角．①若A與Q重合，求C到拋物線對稱軸的距離；②若C落在拋物線上，求C的坐標(biāo)．第06講二次函數(shù)解析式的確定（5種解題方法）考點(diǎn)考向考點(diǎn)考向1.一般式當(dāng)題目給出函數(shù)圖像上的三個(gè)點(diǎn)時(shí)，設(shè)為一般式（，，為常數(shù)，），轉(zhuǎn)化成一個(gè)三元一次方程組，以求得a，b，c的值；2.頂點(diǎn)式若已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸、最值，則設(shè)為頂點(diǎn)式．這頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k），對稱軸直線x=h，最值為當(dāng)x=h時(shí)，y最值=k來求出相應(yīng)的系數(shù).3.交點(diǎn)式已知圖像與x軸交于不同的兩點(diǎn)，設(shè)二次函數(shù)的解析式為，根據(jù)題目條件求出a的值．4.平移變換型將一個(gè)二次函數(shù)的圖像經(jīng)過上下左右的平移得到一個(gè)新的拋物線．要借此類題目，應(yīng)先將已知函數(shù)的解析是寫成頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x–h)2+k，當(dāng)圖像向左（右）平移n個(gè)單位時(shí)，就在x–h上加上（減去）n；當(dāng)圖像向上（下）平移m個(gè)單位時(shí)，就在k上加上（減去）m．其平移的規(guī)律是：h值正、負(fù)，右、左移；k值正負(fù)，上下移．由于經(jīng)過平移的圖像形狀、大小和開口方向都沒有改變，所以a得值不變．5.對稱變換型根據(jù)對稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化，因此永遠(yuǎn)不變．求拋物線的對稱拋物線的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達(dá)式已知的拋物線）的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達(dá)式．考點(diǎn)精講考點(diǎn)精講解法一：一般式1.一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三點(diǎn)，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式．【解題思路】設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為y＝ax2+bx+c（a≠0），再把（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）代入函數(shù)解析式，得到關(guān)于a、b、c的三元一次方程組，解方程組即可求a、b、c，進(jìn)而可得函數(shù)解析式．【解答過程】解：設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為y＝ax2+bx+c（a≠0），根據(jù)題意，得c=0a解得a=4b=5∴所求二次函數(shù)的解析式為y＝4x2+5x．2.已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過（﹣1，10），（1，4），（2，7）三點(diǎn)．求這個(gè)二次函數(shù)的解析式，并求出它的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．【解題思路】設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝ax2+bx+c，把（﹣1，10），（1，4），（2，7）三點(diǎn)坐標(biāo)代入，列方程組求a、b、c的值，確定函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)解析式可知拋物線的對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)．【解答過程】解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝ax2+bx+c，把（﹣1，10），（1，4），（2，7）各點(diǎn)代入上式得a?解得a=2b=則拋物線解析式為y＝2x2﹣3x+5；由y＝2x2﹣3x+5＝2（x?34）2+318可知，拋物線對稱軸為直線x=33.二次函數(shù)圖象過A，C，B三點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)C在y軸正半軸上，且AB＝OC，求二次函數(shù)的表達(dá)式．【解題思路】根據(jù)A．B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及點(diǎn)C在y軸正半軸上，且AB＝OC．求出點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，5），然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得．【解答過程】解：∵A（﹣1，0），B（4，0）∴AO＝1，OB＝4，AB＝AO+OB＝1+4＝5，∴OC＝5，即點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，5），設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝ax2+bx+c，∵二次函數(shù)圖象過A，C，B三點(diǎn)，∴a?解得a=?∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=?54x24.如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，過點(diǎn)A、C，D作拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0），點(diǎn)A，B，D的坐標(biāo)分別為（﹣2，0），（3，0），（0，4），求拋物線的解析式．【解題思路】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式．【解答過程】解：∵點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)分別為（﹣2，0）、（3，0）、（0，4），且四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD＝5，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（5，4）．∵拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）過點(diǎn)A、C、D，∴4a?解得a=?故拋物線的解析式為y=?27x2解法二：頂點(diǎn)式1.設(shè)二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，2），且過點(diǎn)（1，1），求這個(gè)函數(shù)的關(guān)系式．【解題思路】由于已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，則可設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a（x+2）2+2，然后把點(diǎn)（1，1）代入求出a的值即可．【解答過程】解：設(shè)這個(gè)函數(shù)的關(guān)系式為y＝a（x+2）2+2，把點(diǎn)（1，1）代入y＝a（x+2）2+2得9a+2＝1，解得a=?所以這個(gè)函數(shù)的關(guān)系式為y=?19（x2.已知二次函數(shù)當(dāng)x＝1時(shí)有最大值是﹣6，其圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，﹣8），求二次函數(shù)的解析式．【解題思路】由于已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，則可設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a（x﹣1）2﹣6，然后把（2，﹣8）代入求出a的值即可．【解答過程】解：設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣1）2﹣6，把（2，﹣8）代入得a（2﹣1）2﹣6＝﹣8，解得a＝﹣2．所以拋物線解析式為y＝﹣2（x﹣1）2﹣6．解法三：交點(diǎn)式1.拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣2和1，且過點(diǎn)（2，8），它的關(guān)系式為（）A．y＝2x2﹣2x﹣4 B．y＝﹣2x2+2x﹣4 C．y＝x2+x﹣2 D．y＝2x2+2x﹣4【解題思路】由拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣2和1設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣1）（x+2），再將（2，8）代入求得a的值即可．【解答過程】解：由題意，設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣1）（x+2），將（2，8）代入，可得8＝a（2﹣1）（2+2），解得a＝2，∴拋物線的解析式為：y＝2（x﹣1）（x+2），化簡得，y＝2x2+2x﹣4．故選：D．2.如果二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，0），（3，0），（0，﹣6），求二次函數(shù)表達(dá)式．【解題思路】設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)＝a（x﹣3）（x+1），然后把（0，﹣6）代入求出a即可．【解答過程】解：設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣3）（x+1）把（0，﹣6）代入得﹣3a＝﹣6，解得a＝2，所以此函數(shù)的解析式為y＝2（x﹣3）（x+1），即y＝2x2﹣4x﹣6．3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)B，點(diǎn)C分別為x軸，y軸正半軸上一點(diǎn)，其滿足OC＝OB＝2OA．求過A，B，C三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式；【解題思路】由線段長度求出三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求解即可；【解答過程】解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），OC＝OB＝2OA．∴B（2，0），C（0，2），設(shè)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y＝a（x﹣2）（x+1），把點(diǎn)C（0，2）代入，解得：a＝﹣1，所以拋物線的解析式為：y＝﹣（x﹣2）（x+1）＝﹣x2+x+2；4.已知拋物線過A（1，0）和B（4，0）兩點(diǎn)，交y軸于C點(diǎn)，且BC＝5，求該二次函數(shù)的解析式．【解題思路】由于已知拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，則可設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)＝a（x﹣1）（x﹣4），再利用B點(diǎn)坐標(biāo)和BC＝5得到C點(diǎn)坐標(biāo)，然后把C點(diǎn)坐標(biāo)代入可求出a的值，從而得到兩個(gè)解析式．【解答過程】解：設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）（x﹣4），∵B（4，0）兩點(diǎn)，交y軸于C，BC＝5，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）或（0，﹣3），當(dāng)C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），把（0，3）代入得a?（﹣1）?（﹣4）＝3，解得a=3所以此時(shí)拋物線的解析式為y=34（x﹣1）（x﹣4）=34x當(dāng)C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣3），把（0，﹣3）代入得a?（﹣1）?（﹣4）＝﹣3，解得a=?所以此時(shí)拋物線的解析式為y=?34（x﹣1）（x﹣4）=?3所以該二次函數(shù)的解析式為y=34x2?154x+3或y=?解法四：平移變換型1.將拋物線y＝x2﹣6x+5向上平移兩個(gè)單位長度，再向右平移一個(gè)單位長度后，求平移后的拋物線解析式．【解題思路】先把y＝x2﹣6x+5配成頂點(diǎn)式，得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，﹣4），再把點(diǎn)（3，﹣4）向上平移2個(gè)單位長度，再向右平移1個(gè)單位長度得到點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，﹣2），然后根據(jù)頂點(diǎn)式寫出平移后的拋物線解析式．【解答過程】解：y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，即拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，﹣4），把點(diǎn)（3，﹣4）向上平移2個(gè)單位長度，再向右平移1個(gè)單位長度得到點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，﹣2），所以平移后得到的拋物線解析式為y＝（x﹣4）2﹣2．2.將拋物線y＝2x2先向下平移3個(gè)單位，再向右平移m（m＞0）個(gè)單位，所得新拋物線經(jīng)過點(diǎn)（1，5），求新拋物線的表達(dá)式及新拋物線與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)．【解題思路】（1）根據(jù)平移規(guī)律和待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式；（2）將x＝0代入到新拋物線中，得到：y＝15，即可得到該拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是15．【解答過程】解：（1）∵平移后，設(shè)新拋物線的表達(dá)式為y＝2（x﹣m）2﹣3，∴新拋物線經(jīng)過點(diǎn)（1，5），∴將x＝1，y＝5代入：2（1﹣m）2﹣3＝5，∴（1﹣m）2＝4，∴1﹣m＝±2，∴m1＝﹣1，m2＝3．∵m＞0，∴m＝﹣1（舍去），得到m＝3．∴新拋物線的表達(dá)式為y＝2（x﹣3）2﹣3．（2）∵與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，∴設(shè)交點(diǎn)為（0，y），∴將x＝0代入到新拋物線中，得到：y＝15，∴與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，15）．3.已知a+b+c＝0且a≠0，把拋物線y＝ax2+bx+c向下平移一個(gè)單位長度，再向左平移5個(gè)單位長度所得到的新拋物線的頂點(diǎn)是（﹣2，0），求原拋物線的表達(dá)式．【解題思路】先確定出拋物線經(jīng)過點(diǎn)（1，0），再根據(jù)向左平移橫坐標(biāo)減，向下平移縱坐標(biāo)減求出原拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后設(shè)出拋物線頂點(diǎn)式形式，再把點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出a的值，即可得解．【解答過程】解：∵a+b+c＝0，∴拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（1，0），∵向下平移1個(gè)單位長度，再向左平移5個(gè)單位長度后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，0），∴原拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1），設(shè)拋物線頂點(diǎn)式形式y(tǒng)＝a（x﹣3）2+1，則a（1﹣3）2+1＝0，解得a=?所以，原拋物線的解析式為y=?14（x4.拋物線y＝x2+2x﹣3與x軸正半軸交于A點(diǎn)，M（﹣2，m）在拋物線上，AM交y軸于D點(diǎn)，拋物線沿射線AD方向平移2個(gè)單位，求平移后的解析式．【解題思路】先確定A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），M點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣3），頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，﹣4），作MH⊥x軸于H，可得到△AMH為等腰直角三角形，則△AOD為等腰直角三角形，于是有D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣1），AD=2，所以點(diǎn)A沿射線AD方向平移2個(gè)單位后與點(diǎn)D重合，即點(diǎn)A平移到點(diǎn)D，這樣拋物線沿射線AD方向平移2個(gè)單位相當(dāng)于先向左平移1個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，然后求出點(diǎn)P【解答過程】解：令y＝0，則x2+2x﹣3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，則A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），把x＝﹣2代入y＝x2+2x﹣3得y＝4﹣4﹣3＝﹣3，則M點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣3），y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，則P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣4），作MH⊥x軸于H，∵AH＝1﹣（﹣2）＝3，MH＝3，∴△AMH為等腰直角三角形，∴∠OAD＝45°，∴△AOD為等腰直角三角形，∴OA＝OD＝1，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣1），AD=2∴點(diǎn)A沿射線AD方向平移2個(gè)單位后與點(diǎn)D重合，即點(diǎn)A平移到點(diǎn)D，∴拋物線沿射線AD方向平移2個(gè)單位相當(dāng)于先向左平移1個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，∵點(diǎn)P（﹣1，﹣4）先向左平移1個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位得到的點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，﹣5），∴平移后的拋物線解析式為y＝（x+2）2﹣5＝y(tǒng)＝x2+4x﹣1．解法五：對稱變換型1.已知拋物線y＝﹣2x2+8x﹣7．（1）二次函數(shù)的圖象與已知拋物線關(guān)于y軸對稱，求它的解析式；（2）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與已知拋物線關(guān)于原點(diǎn)對稱，求a，b，c的值．【解題思路】（1）直接根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于y軸對稱的特點(diǎn)得出答案；（2）直接根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱的特點(diǎn)得出答案．【解答過程】解：（1）拋物線y＝﹣2x2+8x﹣7的圖象關(guān)于y軸對稱的拋物線x互為相反數(shù)，y不變，得y＝﹣2（﹣x）2+8（﹣x）﹣7＝﹣2x2﹣8x﹣7；（2）拋物線y＝﹣2x2+8x﹣7的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱的拋物線x、y均互為相反數(shù)，得﹣y＝﹣2（﹣x）2+8（﹣x）﹣7＝﹣2x2﹣8x﹣7，即y＝2x2+8x+7所以二次函數(shù)y＝ax2+bx+c中的a＝2，b＝8，c＝7．2.已知二次函數(shù)y=12x2﹣3（1）若把它的圖象向右平移1個(gè)單位，向下平移3個(gè)單位，求所得圖象的函數(shù)表達(dá)式．（2）若把它的圖象繞它的頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，求所得圖象的函數(shù)表達(dá)式．（3）若把它繞x軸翻折，求所得圖象的表達(dá)式．【解題思路】（1）先利用配方法將二次函數(shù)整理為用頂點(diǎn)式表示的形式，再根據(jù)平移的規(guī)律即可得出新拋物線的解析式；（2）根據(jù)圖象繞它的頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后，其對稱軸與頂點(diǎn)坐標(biāo)均不變，只是圖象開口向下，即可得出圖象的函數(shù)解析式；（3）根據(jù)圖象繞x軸翻折后，其頂點(diǎn)與原頂點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，得出所求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再由圖象翻折后開口向下，得出二次項(xiàng)系數(shù)a的值，即可求出所求的解析式．【解答過程】解：（1）∵y=12x2﹣3x+1=12（x2﹣6x）+1=12∴把它的圖象向右平移1個(gè)單位，向下平移3個(gè)單位得到的函數(shù)的解析式為：y=12（x﹣3﹣1）2?72?3，即y=12（x﹣4）2（2）因?yàn)閳D象繞它的頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后，其對稱軸與頂點(diǎn)坐標(biāo)均不變，只是圖象開口向下，所以所得圖象的函數(shù)解析式為y=?12（x﹣3）2?72（3）∵y=12x2﹣3x+1=12（x﹣3）2∴頂點(diǎn)為（3，72∵圖象翻折后開口向下，∴所求解析式為y=?12（x﹣3）2+723.已知拋物線C1：y=59(x+2)2?5的頂點(diǎn)為P，與x軸正半軸交于點(diǎn)B，拋物線C2與拋物線C1關(guān)于x軸對稱，將拋物線C2向右平移，平移后的拋物線記為C3，C3的頂點(diǎn)為M，當(dāng)點(diǎn)P【解題思路】先求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再令y＝0，解方程求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后根據(jù)中心對稱求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后根據(jù)對稱性利用頂點(diǎn)式形式寫出C3的解析式即可．【解答過程】解：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，﹣5），令y＝0，則59（x+2）2解得x1＝1，x2＝﹣5，所以，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），∵點(diǎn)P、M關(guān)于點(diǎn)B對稱，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，5），∵拋物線C2與拋物線C1關(guān)于x軸對稱，拋物線C2向右平移得到C3，∴拋物線C3的解析式為y=?59（x4.將拋物線C1：y=18（x+1）2﹣2繞點(diǎn)P（t，2）旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線C2，若拋物線C1的頂點(diǎn)在拋物線C2上，同時(shí)拋物線C2的頂點(diǎn)在拋物線C1上，求拋物線C【解題思路】先求出拋物線C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)對稱性求出拋物線C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)寫出拋物線C2的頂點(diǎn)式形式解析式，再把拋物線C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)代入進(jìn)行即可得解．【解答過程】解：∵y=18（x+1）∴繞點(diǎn)P（t，2）旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2t+1，6），∴拋物線C2的解析式為y=?18（x﹣2t∵拋物線C1的頂點(diǎn)在拋物線C2上，∴?18（﹣1﹣2t﹣1）解得t1＝3，t2＝﹣5，∴拋物線C2的解析式為y=?18（x﹣7）2+6或y=?1鞏固提升鞏固提升一、單選題1．（2021·上海楊浦·九年級三模）將拋物線向左平移2個(gè)單位后，所得新拋物線的解析式是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平移的規(guī)律：左加右減，求出得到的拋物線的解析式即可．【詳解】解：由“左加右減”的原則可知，將拋物線y=x2向左平移2個(gè)單位，所得拋物線的解析式為：y=（x+2）2，故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了函數(shù)圖象的平移，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．并用規(guī)律求函數(shù)解析式．2．（2021·上海九年級專題練習(xí)）將二次函數(shù)的圖象向左平移1個(gè)單位，則平移后的二次函數(shù)的解析式為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，0)，再利用點(diǎn)平移的規(guī)律得到點(diǎn)(0，0)平移后對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣1，0)，然后根據(jù)頂點(diǎn)式寫出平移后的拋物線解析式．【詳解】解：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，0)，把(0，0)向左平移1個(gè)單位所得對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣1，0)，所以平移后的拋物線解析式為．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．3．（2021·上海）拋物線先向右平移4個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位，得到拋物線的解析式為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由二次函數(shù)圖像的平移規(guī)律：左加右減，上加下減，從而可得答案．【詳解】解：把向右平移4個(gè)單位，可得：即再把向上平移4個(gè)單位，可得：即故選B．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖像的平移，掌握二次函數(shù)的圖像的平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵．4．（2021·上海靜安·九年級一模）將拋物線平移后與拋物線重合，那么平移的方法可以是（）A．向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位B．向右平移1個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位C．向左平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位D．向左平移1個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位【答案】A【分析】根據(jù)“左加右減，上加下減”的平移原則選出正確選項(xiàng)．【詳解】拋物線要通過平移得到，需要先向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，即．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的平移，解題的關(guān)鍵是掌握拋物線的平移方法．5．（2021·上海）如果將拋物線y＝x2+2向左平移1個(gè)單位，那么所得新拋物線的解析式為（）A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x+1）2+2 C．y＝x2+1 D．y＝x2+3【答案】B【分析】先利用二次函數(shù)的性質(zhì)得到拋物線y＝x2+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），再根據(jù)點(diǎn)平移的規(guī)律得到點(diǎn)（0，2）平移后所得對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，2），然后根據(jù)頂點(diǎn)式寫出平移后的拋物線的解析式．【詳解】解：拋物線y＝x2+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)（0，2）向左平移1個(gè)單位長度所得對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，2），所以平移后的拋物線的解析式為y＝（x+1）2+2，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式．6．（2010·上海浦東新·七年級競賽）如表所示，則x與y的關(guān)系式為（）x12345y37132131A．y=4x-1 B．y=x2+x+1C．y=（x2+x+1）（x-1） D．非以上結(jié)論【答案】B【分析】首先設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c，代入表中x、y的值，求出a、b、c的值，最后驗(yàn)證所有點(diǎn)都滿足關(guān)系式．【詳解】解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c，∵點(diǎn)（1，3）（2，7）（3，13）滿足關(guān)系式，∴，解得：a=1，b=1，c=1，∴二次函數(shù)的解析式為y=x2+x+1，當(dāng)x=4時(shí)，y=21，當(dāng)x=5時(shí)，y=31，∴x與y的關(guān)系式為y=x2+x+1．故選B．本題主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式的知識(shí)點(diǎn)，本題比較簡單，但容易忽略的是要把所有的點(diǎn)都要代入解析式中進(jìn)行驗(yàn)證．7．（2021·上海九年級專題練習(xí)）如果A(-2，n)，B(2，n),C(4，n+12)這三個(gè)點(diǎn)都在同一個(gè)函數(shù)的圖像上，那么這個(gè)函數(shù)的解析式可能是()A． B． C． D．【答案】D【分析】分析給出的三個(gè)點(diǎn)的特點(diǎn)，可知A,B關(guān)于y軸對稱，所以排除關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)A，B選項(xiàng)，然后再利用函數(shù)的增減性可得出答案.【詳解】∵A(-2，n)，B(2，n)∴點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于y軸對稱∵、的圖像都關(guān)于原點(diǎn)對稱∴選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤∵由B(2，n)、C(4，n+12)得，在對稱軸右側(cè)y隨x增大而增大∴a＞0∴選擇D：故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的增減性和對稱性，掌握函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.二、填空題8．（2011·上海浦東新區(qū)·中考模擬）請寫出一個(gè)圖像的對稱軸為y軸，且經(jīng)過點(diǎn)(2，－4)的二次函數(shù)解析式，這個(gè)二次函數(shù)的解析式可以是____________【答案】等（滿足即可）【分析】根據(jù)對稱軸為y軸可設(shè)二次函數(shù)解析式為：y=ax2+c，再把點(diǎn)（2，－4）代入解析式，可得a與c之間的關(guān)系，然后由a的取值可得c的取值，問題即得解決.【詳解】解：∵對稱軸為y軸，∴可設(shè)二次函數(shù)解析式為：y=ax2+c，將（2，－4）代入解析式，得4a+c=－4，不妨取a=－1，則－4+c=0，∴c=0，∴解析式為y=－x2（答案不唯一）．故答案為y=－x2等（滿足4a+c=－4即可）．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解答時(shí)要熟悉對稱軸公式和二次函數(shù)成立的條件，要注意此題具有開放性，答案不唯一．9．（2021·上海九年級專題練習(xí)）用“描點(diǎn)法”畫二次函數(shù)的圖像時(shí)，列出了如下的表格：…01234……010…那么當(dāng)時(shí)，該二次函數(shù)的值為___________．【答案】【分析】根據(jù)待定系數(shù)法將表格中任意三個(gè)點(diǎn)代入中，列出含a,b,c的方程組，求解a，b，c即可確定函數(shù)表達(dá)式.【詳解】解：將點(diǎn)(0,-3),(1,0),(2,1)代入中得，，解得，，∴拋物線表達(dá)式為.∴當(dāng)x=5時(shí)，y=-8.故答案為：-8.【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，遵循待定系數(shù)法求解析式的步驟即可，即“一設(shè)”、“二代”、“三求解”、“四確定”.10．（2020·崇明縣大同中學(xué)九年級月考）已知二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣1，﹣6），并且該圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，3）表達(dá)式為_______．【答案】y＝x2+2x﹣5【分析】根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出拋物線的解析式為：y＝a（x+1）2﹣6，再把（2，3）代入，求出a的值，即可得出二次函數(shù)的解析式．【詳解】解：設(shè)拋物線的解析式為：y＝a（x+1）2﹣6，把（2，3）代入解析式得：3＝a（2+1）2﹣6，解得：a＝1，則拋物線的解析式為：y＝（x+1）2﹣6，即y＝x2+2x﹣5．故答案為：y＝x2+2x﹣5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，在已知拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)的情況下，通常用頂點(diǎn)式設(shè)二次函數(shù)的解析式．11．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)）若函數(shù)過點(diǎn)(1，-4)，則m=_______．【答案】-1【分析】直接把代入中求出即可．【詳解】解：把代入得，解得，故答案是：-1．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級課時(shí)練習(xí)）已知拋物線的頂點(diǎn)為，且與軸交于點(diǎn)，則拋物線的解析式為______.【答案】【分析】設(shè)出拋物線的頂點(diǎn)式解析式，再代入點(diǎn)（0，1），利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可．【詳解】解：設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式為，把點(diǎn)（0，1）代入得，，，所以，故答案為．【點(diǎn)睛】考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，根據(jù)題目給出的條件，設(shè)出不同的函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求得函數(shù)表達(dá)式．13．（2021·上海九年級專題練習(xí)）如果拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，那么該拋物線的開口方向______．（填“向上”或“向下”）【答案】向上．【分析】把原點(diǎn)代入函數(shù)解析式，先求解拋物線的解析式，再根據(jù)的值判斷開口方向即可得到答案．【詳解】解：拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，在拋物線上，拋物線為：由＞拋物線的開口向上．故答案為：向上．【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式，拋物線的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．14．（2021·上海九年級專題練習(xí)）如果將二次函數(shù)的圖像平移，有一個(gè)點(diǎn)既在平移前的函數(shù)圖像上又在平移后的函數(shù)圖像上，那么稱這個(gè)點(diǎn)為“平衡點(diǎn)”．現(xiàn)將拋物線：向右平移得到新拋物線，如果“平衡點(diǎn)”為(3，3)，那么新拋物線的表達(dá)式為______．【答案】【分析】先求拋物線：向右平移（＞）個(gè)單位的函數(shù)解析式，再把代入平移后的解析式，求解即可得到答案．【詳解】解：拋物線：向右平移（＞）個(gè)單位可得：：把代入或或經(jīng)檢驗(yàn)：不合題意，取故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是拋物線的平移，拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，一元二次方程的解法，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．15．（2021·上海青浦·九年級二模）如果將拋物線y＝﹣x2向下平移，使其經(jīng)過點(diǎn)（0，﹣2），那么所得新拋物線的表達(dá)式是__________．【答案】y＝﹣x2﹣2【分析】設(shè)平移后的拋物線解析式為，把點(diǎn)(0，-2)代入進(jìn)行求值，即可得到b的值，即得出平移后的拋物線解析式．【詳解】解：設(shè)平移后的拋物線解析式為，把點(diǎn)(0，-2)代入，得0-b=-2，解得b=2，則平移后的函數(shù)解析式為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)圖象的平移．熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．并會(huì)用規(guī)律求函數(shù)解析式是解答本題的關(guān)鍵．16．（2021·上海崇明·九年級二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，等腰直角三角形OAB的斜邊OA在x軸上，且OA＝4，如果拋物線y＝ax2+bx+c向下平移4個(gè)單位后恰好能同時(shí)經(jīng)過O、A、B三點(diǎn)，那么a+b+c＝_____．【答案】【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求得A（4，0），B（2，﹣2），拋物線y＝ax2+bx+c向下平移4個(gè)單位后得到y(tǒng)＝ax2+bx+c﹣4，然后把O、A、B的坐標(biāo)代入，根據(jù)待定系數(shù)法即可求得a、b、c的值，進(jìn)而即可求得a+b+c的值．【詳解】解：∵等腰直角三角形OAB的斜邊OA在x軸上，且OA＝4，∴A（4，0），B（2，﹣2），拋物線y＝ax2+bx+c向下平移4個(gè)單位后得到y(tǒng)＝ax2+bx+c﹣4，∵平移后恰好能同時(shí)經(jīng)過O、A、B三點(diǎn)，∴，解得，∴a+b+c2+4，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象與幾何變換，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，求得點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．三、解答題17．（2021·上海寶山·九年級期中）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，（1）求該拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）將拋物線平移，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，點(diǎn)落在點(diǎn)處，求的面積；（3）如果點(diǎn)在軸上，與相似，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1），；（2）；（3）【分析】（1）由待定系數(shù)法可求出解析式，由拋物線解式可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）求出E點(diǎn)坐標(biāo)，畫出圖形，過作軸交于由三角形面積公式可得出答案；（3）由點(diǎn)的坐標(biāo)得出∠ABC=∠OCD=45°，若△PCD與△ABC相似，分兩種情況：①當(dāng)∠BAC=∠CDP時(shí)，△DCP∽△ABC；②當(dāng)∠BAC=∠DPC時(shí)，△PCD∽△ABC，得出比例線段，則可求出答案．【詳解】解：（1）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（-2，0），B（1，0）和D（-3，n），∴，解得：，∴拋物線解析式為：；∴∴D（-3，2）；（2）令則∵將拋物線平移，使點(diǎn)C落在點(diǎn)B處，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，，∴E（-2，3），過作軸交于設(shè)為則則為∴（3）如圖，連接CD，AC，CB，過點(diǎn)D作DE⊥y軸于點(diǎn)E，∵A（-2，0），B（1，0），C（-1，0），D（-3，2），∴OB=OC，DE=CE=3，AB=3，，∴∠ABC=∠OCD=45°，∵△PCD與△ABC相似，點(diǎn)P在y軸上，∴分兩種情況討論：①如圖，當(dāng)∠BAC=∠CDP時(shí)，△DCP∽△ABC，∴，∴，∴PC=2，經(jīng)檢驗(yàn)：符合題意，∴P（0，1），②如圖，當(dāng)∠BAC=∠DPC時(shí)，△PCD∽△ABC，∴，∴，∴PC=9，經(jīng)檢驗(yàn)：符合題意，∴P（0，8）．∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，8）或（0，1）時(shí)，△PCD與△ABC相似．【點(diǎn)睛】本題二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些知識(shí)解決問題是解題的關(guān)鍵．18．（2021·上海寶山區(qū)·九年級三模）如圖，在直角坐標(biāo)平面xOy內(nèi)，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，且∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，OB＝4.，二次函數(shù)y＝﹣x2＋bx的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，頂點(diǎn)為點(diǎn)C．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式，并寫出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）設(shè)這個(gè)二次函數(shù)圖象的對稱軸l與OB相交于點(diǎn)D，與x軸相交于點(diǎn)E，求的值；（3）設(shè)P是這個(gè)二次函數(shù)圖象的對稱軸l上一點(diǎn)，如果△POA的面積與△OCE的面積相等，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）；（，3）；（2）；（3）（，）或（，）【分析】（1）由∠OAB=90°，在直角三角形OAB中求得點(diǎn)A，代入函數(shù)式解得．（2）直角三角形OAB中求得AB的長度，由拋物線的對稱軸可知DE∥AB，OE=AE．求得DE，進(jìn)而求得CD，從而求得；（3）利用三角形OCE和三角形POA的面積相等即求得．【詳解】解：（1）∵∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，OB＝4，∴AB=2∴∴A（，0）．∵二次函數(shù)y＝﹣x2+bx的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，∴．解得，．∴二次函數(shù)的解析式為．∴∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（，3）．（2）∵DE是二次函數(shù)的圖象的對稱軸，∴DE∥AB，OE＝AE．∴．∵AB=2，OE＝OA=∴DE＝1．又∵C（，3），∴CE＝3．即得CD＝2．∴．（3）根據(jù)題意，可設(shè)P（，n）．∵，CE＝3，∴．∴．解得,．∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）或（，）【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，對稱軸，面積公式，平行線分線段成比例，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．19．（2021·上海）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．（1）求該拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)：（2）如果點(diǎn)的坐標(biāo)為，聯(lián)結(jié)、，求的正切值；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）拋物線為，；（2）；（3）【分析】（1）將兩個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式即可求出，令x為0，求得C點(diǎn)坐標(biāo)；（2）過D作CA延長線的垂線，通過證明求出DE和EC的長度，再求出正切值；（3）設(shè)，通過可求出參數(shù)t，從而得出P點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】解：（1）將，代入拋物線，解得：，∴拋物線為，令x=0，得y=4，故．（2）過作交延長線于，因?yàn)?，，∴，∵AD=4，DE=AE，由勾股定理得，DE=AE=2，∴，∴，，EC=6，∴．（3）設(shè)，連接DP、AP，∵，∴，∴，∴，∴，∴，解得∴．【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，相似三角形的證明和解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考常考題型．20．（2017·上海楊浦區(qū)·九年級一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線交y軸于點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為D，對稱軸與x軸交于點(diǎn)H．（1）求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)拋物線過點(diǎn)（1，-2），且不經(jīng)過第一象限時(shí)，平移此拋物線到拋物線的位置，求平移的方向和距離；（3）當(dāng)拋物線頂點(diǎn)D在第二象限時(shí)，如果∠ADH=∠AHO，求m的值．【答案】（1）頂點(diǎn)D（m，1-m）；（2）向左平移了1個(gè)單位，向上平移了2個(gè)單位；（3）m=－1或m=－2．試題分析：把拋物線的方程配成頂點(diǎn)式，即可求得頂點(diǎn)坐標(biāo).把點(diǎn)代入求出拋物線方程，根據(jù)平移規(guī)律，即可求解.分兩種情況進(jìn)行討論.試題解析：（1）∵，∴頂點(diǎn)D（m，1-m）．（2）∵拋物線過點(diǎn)（1，-2），∴．即，∴或（舍去），∴拋物線的頂點(diǎn)是（2，-1）．∵拋物線的頂點(diǎn)是（1，1），∴向左平移了1個(gè)單位，向上平移了2個(gè)單位．（3）∵頂點(diǎn)D在第二象限，∴．情況1，點(diǎn)A在軸的正半軸上，如圖（1）．作于點(diǎn)G，∵A（0，），D（m，-m+1），∴H（），G（），∴．∴．整理得：．∴或（舍）．情況2，點(diǎn)A在軸的負(fù)半軸上，如圖（2）．作于點(diǎn)G，∵A（0，），D（m，-m+1），∴H（），G（），∴．∴．整理得：．∴或（舍），或21．（2021·上海普陀區(qū)·）在平面直角坐標(biāo)系xOy中（如圖），已知拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）、B（6，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是在第四象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線AD與直線BC交于點(diǎn)E．（1）求b、c的值和直線BC的表達(dá)式；（2）設(shè)∠CAD＝45°，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為d，用含d的代數(shù)式表示△ACE與△DCE的面積比．【答案】（1），直線BC解析式為y＝x﹣6；（2）；（3）【分析】（1）利用待定系數(shù)法可求解析式；（2）通過證明△ACE∽△BCA，可得，即可求解；（3）過點(diǎn)D作DF∥AB交BC于點(diǎn)F，由相似三角形的性質(zhì)可得，即可求解．【詳解】解：（1）∵拋物線y＝+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）、B（6，0），∴，解得，∴拋物線解析式為y＝-2x﹣6，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣6，∴點(diǎn)C（0，﹣