離散型隨機變量的期望

(1)pi≥0，i＝1，2，…；(2)p1＋p2＋…＝1．1、離散型隨機變量的分布列和性質(zhì)一、復(fù)習(xí)回顧2、特殊的分布列之一－－－二項分布（重點掌握）3、特殊的分布列之二－－－幾何分布（了解）“ξ=k”表示在第k次獨立重復(fù)試驗時事件第一次發(fā)生?！唉?k”表示在第n次獨立重復(fù)試驗中事件恰好發(fā)生的次數(shù)。4、超幾何分布：1.期望定義：一般地，若離散型隨機變量的概率分布為

…………則稱為的數(shù)學(xué)期望或平均數(shù)、均值，數(shù)學(xué)期望又簡稱為期望．2.期望的性質(zhì)：3、隨機變量ξ服從二項分布的期望4、隨機變量ξ服從幾何分布的期望則若問題1：某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列下：思考：如何衡量該射手的射擊水平？假設(shè)該射手進(jìn)行了n次射擊試驗得4環(huán)的次數(shù)約為：得5環(huán)的次數(shù)約為：得10環(huán)的次數(shù)約為：0.220.290.280.090.060.040.02P10987654射手n次射擊的平均環(huán)數(shù)類似地，對任一射手，若已知其射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列，即已知各個P(ξ＝i)(i＝0，1，2，…，10)，則可預(yù)計他任意n次射擊的平均環(huán)數(shù)是:Eξ＝0×P(ξ＝0)＋1×P(ξ＝1)＋…＋10×P(ξ＝10)．定義：一般地，若離散型隨機變量ξ的概率分布為:…pi…p2p1P…xi…x2x1ξ稱為ξ的數(shù)學(xué)期望或平均數(shù)、均值，數(shù)學(xué)期望又簡稱為期望．二、期望的定義它刻劃了隨機變量ξ所取的平均值，從一個方面反映了射手的射擊水平．例1：籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分．已知某運動員罰球命中的概率為0.7，求他罰球1次的得分ξ的期望．解：ξ的可能取值為：1，0

則有：P(ξ＝1)＝0.7，P(ξ＝0)＝0.3，所以Eξ＝1×0.7＋0×0.3＝0.7．變式：某商場在國慶節(jié)搞促銷活動，若在室內(nèi)進(jìn)行，可以獲利2萬元，若在室外進(jìn)行，若不下雨可獲利10萬元，若下雨則損失4萬元，已知國慶節(jié)下雨的概率為0.4，判斷商場應(yīng)在室內(nèi)還是室外進(jìn)行促銷活動？

甲和乙打賭，甲拋三枚硬幣，若全是正面向上或反面向上，甲都給乙10元，若是其他情況，則乙給甲5元。乙心想：三枚硬幣中一定有兩枚的正反面相同，第三枚硬幣和它們相同的可能與不相等的可能各一半，我贏了得10元，輸了給5元，劃得來，于是就答應(yīng)了。大家判斷乙明智嗎？三、期望的性質(zhì)：…………于是即若η=aξ+b，其中a，b為常數(shù)，則η也是隨機變量．因為P(η＝axi＋b)＝P(ξ＝xi)，i＝1，2，3，…所以，η的分布列為（1）當(dāng)

a=0時，E(b)=b，即常數(shù)的數(shù)學(xué)期望就是這個常數(shù)本身；（2）當(dāng)

a=1時，E(ξ+b)=Eξ+

b，即隨機變量ξ與常數(shù)之和的期望等于ξ

的期望與這個常數(shù)的和；（3）當(dāng)

b=0時，E(aξ)=aEξ，即常數(shù)與隨機變量乘積的期望等于這個常數(shù)與隨機變量期望的乘積；依題意，可得ξ的分布列為ξ0525100P例2、在有獎摸彩中，一期(發(fā)行10000張彩票為一期)有200個獎品是5元的，20個獎品是25元的，5個獎品是100元的．在不考慮獲利的前提下，一張彩票的合理價格是多少元？解：設(shè)一張彩票中獎額為隨機變量ξ，則ξ所有可能取的值為0，5，25，100。變式：（06四川）設(shè)離散型隨機變量ξ可能取的值為1，2，3，4.P(ξ＝k)＝ak+b(k=1，2，3，4)，又ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ＝3，則a+b＝______________。例3：袋子中裝有3個白球4個黑球，現(xiàn)甲、乙兩人輪流取出一個球，甲先取，取后不放回，直到兩人中有一人取出白球為止，求取球次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望。三、一種特殊的分布列－－－二項分布……pn…k…10ξ當(dāng)n取1時：當(dāng)n取2時：當(dāng)n取n時：思考：證明服從二項分布的隨機變量的期望是：思考：證明服從二項分布的隨機變量的期望是：所以，證明：幾何分布的期望：例4、一次英語單元測驗由20個選擇題構(gòu)成，每個選擇題有4個選項，其中有且僅有一個選項是正確答案，每題選擇正確答案得5分，不作出選擇或選錯不得分，滿分100分．學(xué)生甲選對任一題的概率為0.9，學(xué)生乙則在測驗中對每題都從4個選項中隨機地選擇一個．求學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次英語單元測驗中的成績的期望．解：設(shè)學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次英語測驗中選擇了正確答案的選擇題個數(shù)分別是ξ和η，則ξ～B(20，0.9)，η～B(20，0.25)，所以，Eξ＝20×0.9＝18，Eη＝20×0.25＝5．由于答對每題得5分，學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次英語測驗中的成績分別是5ξ和5η．所以，他們在測驗中的成績的期望分別是E(5ξ)E(5η)＝5Eη＝5×5＝25．＝5Eξ＝5×18＝90，例5、有一批數(shù)量很大的產(chǎn)品，其次品率是15%．對這批產(chǎn)品進(jìn)行抽查，每次抽出1件，如果抽出次品，則抽查終止，否則繼續(xù)抽查，直到抽出次品，但每次抽查次數(shù)最多不超過10次.求抽查次數(shù)ξ的期望（結(jié)果保留三個有效數(shù)字）．解：抽查次數(shù)取1~10的整數(shù)，從這批數(shù)量很大的產(chǎn)品中每次抽取一件檢查的試驗可以認(rèn)為是彼此獨立的，取次品的概率是0.15，取正品的概率是0.85，前k-1次取出正品而第k次（k=1,2…9)取出次品的概