浙江省嘉興市八校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省嘉興市八校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題Ⅰ（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.函數(shù)的圖象如圖所示，它的導(dǎo)函數(shù)為，下列導(dǎo)數(shù)值排序正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由圖象可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即，，，又因?yàn)榍€在點(diǎn)處切線的斜率隨著的增大而減小，即在點(diǎn)處切線的斜率隨著的增大而減小，故.故選：A.2.從6名同學(xué)中選出正、副組長(zhǎng)各1名，不同的選法種數(shù)是（）A.30種 B.11種 C.15種 D.35種〖答案〗A〖解析〗由題意可得不同的選法種數(shù)是種.故選：A.3.的展開(kāi)式的第項(xiàng)的系數(shù)是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為（且），所以展開(kāi)式的第項(xiàng)的系數(shù)是.故選：A4.設(shè)隨機(jī)變量，則（）A.2 B.3 C.6 D.7〖答案〗C〖解析〗由題意得，故.故選：C.5.一個(gè)盒內(nèi)有五個(gè)月餅，其中兩個(gè)為果漿餡，三個(gè)為五仁餡，現(xiàn)從盒內(nèi)隨機(jī)取出兩個(gè)月餅，若事件“取到的兩個(gè)月餅為同一種餡”，“取到的兩個(gè)月餅都是五仁餡”，則概率（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意，，所以.故選：D6.甲?乙?丙等七人相約到電影院看電影《長(zhǎng)津湖》，恰好買到了七張連號(hào)的電影票，若甲?乙兩人必須相鄰，且丙坐在七人的正中間，則不同的坐法的種數(shù)為（）A.240 B.192 C.96 D.48〖答案〗B〖解析〗丙在正中間（4號(hào)位）；甲?乙兩人只能坐12，23或56，67號(hào)位，有4種情況，考慮到甲?乙的順序有種情況；剩下的4個(gè)位置其余4人坐有種情況；故不同的坐法的種數(shù)為.故選：B.7.函數(shù)的圖象如圖所示，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由圖可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以時(shí)，時(shí)，時(shí)，時(shí)，所以不等式的解集為.故選：C8.已知函數(shù)，若，其中，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)椋?，所以，所以?dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且時(shí)，或，又，，整理得：，所以的對(duì)稱中心為，如圖所示：令，則由圖可知：且，，，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，又因?yàn)椋?，且，所以，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，故，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，，，所以，由，知，，由B知，，所以，故，又，所以，所以C正確；對(duì)于D，因?yàn)榈膶?duì)稱中心為，當(dāng)時(shí)，所以，或者根據(jù)三次方程的韋達(dá)定理知，，所以D錯(cuò)誤.故選：C二、選擇題Ⅱ（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分，有選錯(cuò)的得0分．）9.設(shè)隨機(jī)變量的分布列如表所示，則下列選項(xiàng)中正確的為（）0?123A. B. C. D.〖答案〗BCD〖解析〗依題意，解得，即，故D正確；，故A錯(cuò)誤；，故B正確；，故C正確.故選：BCD10.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗令，則①，故B正確；令，則②，由①②得，故A正確；展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，則，所以，故C錯(cuò)誤；令，則，所以，故D正確.故選：ABD.11.已知直線與曲線相交于不同兩點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線與在點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)，則（）A. B. C. D.〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)A，令，則，故時(shí)，單調(diào)遞增；時(shí)，單調(diào)遞減，所以的極大值，且，，因直線與曲線相交于?兩點(diǎn)，所以與圖象有個(gè)交點(diǎn)，所以，故A正確；對(duì)B，設(shè)，且，可得，在點(diǎn)處的切線程為，得，即，因?yàn)椋?，即，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，因?yàn)?，所以，因?yàn)闉閮汕芯€的交點(diǎn)，所以，即，所以，所以，故C正確；對(duì)D，因?yàn)?，，所以，又因?yàn)?，所以，所以，同理得，得，即，因?yàn)椋?，所以，即，故D正確.其中不等式①的證明如下：不等式①（其中），構(gòu)造函數(shù)，則．因?yàn)?，所以，所以函?shù)在上單調(diào)遞減，故，從而不等式①成立.故選：ACD.非選擇題部分三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是___________.〖答案〗〖解析〗故〖答案〗為：13.某區(qū)學(xué)生參加模擬大聯(lián)考，假如聯(lián)考的數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布，其總體密度函數(shù)為：，且，若參加此次聯(lián)考的學(xué)生共有人，則數(shù)學(xué)成績(jī)超過(guò)分的人數(shù)大約為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗因?yàn)榭傮w密度函數(shù)為：，所以，即，由，所以所以數(shù)學(xué)成績(jī)超過(guò)分的人數(shù)大約為人，故〖答案〗：.14.用這九個(gè)正整數(shù)組成無(wú)重復(fù)數(shù)字且任意相鄰的三個(gè)數(shù)字之和是的倍數(shù)的九位數(shù)，這樣的九位數(shù)有______個(gè)（用數(shù)學(xué)作答）〖答案〗1296〖解析〗若任意相鄰的三個(gè)數(shù)字之和是的倍數(shù)，因此第三個(gè)數(shù)與第個(gè)數(shù)的余數(shù)也必然相同，故第一，四，七個(gè)數(shù)和第二，五，八個(gè)數(shù)第三，六，九個(gè)數(shù)必為，因此有個(gè).故〖答案〗為：1296四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）15.已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求的極值.解：（1）的定義域?yàn)?，，所以，又因?yàn)?，所以切點(diǎn)為，所以曲線在處的切線方程為（2），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，且極小值為，無(wú)極大值.16.已知的展開(kāi)式中，所有項(xiàng)的系數(shù)之和是512．（1）求展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)；（2）求的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng).解：（1）因?yàn)榈恼归_(kāi)式中，所有項(xiàng)的系數(shù)之和是512．所以令，得，所以，所以的展開(kāi)式通項(xiàng)公式為，令，解得，所以展開(kāi)式中含項(xiàng)為，所以展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為27.（2）由（1）知，，從而，因?yàn)榈恼归_(kāi)式的通項(xiàng)為，所以的常數(shù)項(xiàng)為，又的常數(shù)項(xiàng)為，所以的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.17.為落實(shí)“堅(jiān)持五育并舉，全面發(fā)展素質(zhì)教育，強(qiáng)化體育鍛煉”精神，某高中學(xué)校鼓勵(lì)學(xué)生自發(fā)組織各項(xiàng)體育比賽活動(dòng)．甲、乙兩名同學(xué)利用課余時(shí)間進(jìn)行乒乓球比賽．規(guī)定：每局比賽中獲勝方記1分，失敗方記0分，沒(méi)有平局．首先獲得5分者獲勝，比賽結(jié)束．假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率都是．（1）求比賽結(jié)束時(shí)恰好打了6局的概率；（2）若甲以的比分領(lǐng)先，記X表示到結(jié)束比賽時(shí)還需要比賽的局?jǐn)?shù)，求X的分布列．解：（1）比賽結(jié)束時(shí)，恰好打了6局，甲獲勝的概率為，恰好打了6局，乙獲勝的概率為，所以比賽結(jié)束時(shí)恰好打了6局的概率為；（2）X的可能取值為2，3，4，5，，，，，所以X的分布列如下：234518.甲箱的產(chǎn)品中有5個(gè)正品和3個(gè)次品，乙箱的產(chǎn)品有4個(gè)正品和3個(gè)次品．（1）從甲箱中任取2個(gè)產(chǎn)品，求這2個(gè)產(chǎn)品都是次品的概率；（2）如果依次不放回地從乙箱中抽取2個(gè)產(chǎn)品，每次取1個(gè)，已知第二個(gè)是次品的條件下，求第一個(gè)是正品的概率；（3）若先從甲箱中任取2個(gè)產(chǎn)品放入乙箱中，再?gòu)囊蚁渲腥稳∫粋€(gè)產(chǎn)品，求取出這個(gè)產(chǎn)品是正品的概率．解：（1）記“這個(gè)產(chǎn)品都是次品”為事件，則.（2）令事件“第次從乙箱中取到次品”，則“第次從乙箱中取到正品”，，則，，，，因此，所以.（3）令事件=“從乙箱取一個(gè)正品”，事件=“從甲箱中取出兩個(gè)正品”，事件=“從甲箱中取出一個(gè)正品一個(gè)次品”，事件=“從甲箱中取出兩個(gè)次品”，互斥，且，，，則，所以從乙箱中取出的這個(gè)產(chǎn)品是正品的概率是.19.已知函數(shù)（1）是的極值點(diǎn)，有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；（2）令，討論的單調(diào)性；（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)和為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：．解：（1），因?yàn)槭堑臉O值點(diǎn)，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，則，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又當(dāng)時(shí)，且，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的大致圖象，如圖所示，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，由圖可知，所以；（2），，函數(shù)為減函數(shù)，令，則，當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)