滬教版暑假新九年級數(shù)學(xué)考點講與練第12講二次函數(shù)的應(yīng)用(考點講與練)(原卷版+解析)

第12講二次函數(shù)的應(yīng)用（核心考點講與練）【基礎(chǔ)知識】二次函數(shù)的應(yīng)用（1）利用二次函數(shù)解決利潤問題在商品經(jīng)營活動中，經(jīng)常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題．解此類題的關(guān)鍵是通過題意，確定出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實際問題中自變量x的取值要使實際問題有意義，因此在求二次函數(shù)的最值時，一定要注意自變量x的取值范圍．（2）幾何圖形中的最值問題幾何圖形中的二次函數(shù)問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動態(tài)幾何中的最值的討論．（3）構(gòu)建二次函數(shù)模型解決實際問題利用二次函數(shù)解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實際問題時，要恰當(dāng)?shù)匕堰@些實際問題中的數(shù)據(jù)落實到平面直角坐標(biāo)系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測量問題或其他問題．【考點剖析】利潤問題1．(2023秋?虹口區(qū)校級期末）某品牌裙子，平均每天可以售出20條，每條盈利40元，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果該品牌每條裙子每降價1元，那么平均每天可以多售出2條，那么當(dāng)裙子降價元時，可獲得最大利潤元．2．(2023春?嘉定區(qū)校級期中）某超市從廠家購進(jìn)A、B兩種型號的水杯，兩次購進(jìn)水杯的情況如表：進(jìn)貨批次A型水杯（個）B型水杯（個）總費用（元）一1002008000二20030013000（1）求A、B兩種型號的水杯進(jìn)價各是多少元？（2）在銷售過程中，A型水杯因為物美價廉而更受消費者喜歡．為了增大B型水杯的銷售量，超市決定對B型水杯進(jìn)行降價銷售，當(dāng)銷售價為44元時，每天可以售出20個，每降價1元，每天將多售出5個，請問超市應(yīng)將B型水杯降價多少元時，每天售出B型水杯的利潤達(dá)到最大？最大利潤是多少？3．(2023春?徐匯區(qū)校級月考）某工廠設(shè)計了一款產(chǎn)品，成本為每件20元．投放市場進(jìn)行試銷，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該種產(chǎn)品每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間滿足一次函數(shù)的關(guān)系，其中20≤x≤40．（1）根據(jù)表格求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；銷售量y（件）…302010…銷售單價x（元）…253035…（2）設(shè)銷售這種產(chǎn)品每天的利潤為W（元），求W關(guān)于銷售單價x之間的函數(shù)解析式并求當(dāng)銷售單價定為多少元時，每天的利潤最大？最大利潤是多少元？4．(2023秋?奉賢區(qū)期中）某工廠生產(chǎn)一種火爆的網(wǎng)紅電子產(chǎn)品，每件產(chǎn)品成本16元，工廠將該產(chǎn)品進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)批發(fā)，批發(fā)單價y（元）與一次性批發(fā)量x（件）（x為正整數(shù)）之間滿足如圖所示的函數(shù)關(guān)系．（1）直接寫出y與x之間所滿足的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）若一次性批發(fā)量不低于20且不超過60件時，求獲得的利潤w與x的函數(shù)關(guān)系式，同時當(dāng)批發(fā)量為多少件時，工廠獲利最大？最大利潤是多少？5．(2023秋?普陀區(qū)期中）某商店如果將進(jìn)貨為8元的商品按每件10元售出，每天可銷售200件，通過一段時間的摸索，該店主發(fā)現(xiàn)這種商品每漲價0.5元，其銷售量就減少10件，每降價0.5元，其銷售量就增加10件．（1）如果每天的利潤要達(dá)到700元，售價應(yīng)定為每件多少元？（2）將售價定為每件多少元時，能使這天所獲利潤最大？最大利潤是多少？最值問題1．(2023秋?松江區(qū)期末）一位運動員投擲鉛球，如果鉛球運行時離地面的高度為y（米）關(guān)于水平距離x（米）的函數(shù)解析式為y=?112x2+232．(2023秋?靜安區(qū)校級月考）如圖，一小孩將一只皮球從A處拋出去，它所經(jīng)過的路線是某個二次函數(shù)圖象的一部分，如果他的出手處A距地面的距離OA為1m，當(dāng)球飛越的水平距離為8米時，球到達(dá)最高點B處，離地面高度為9米，則這個二次函數(shù)的表達(dá)式為，小孩將球拋出了約米（精確到0.1m）．3．(2023秋?楊浦區(qū)校級期中）某建筑工程隊在工地一邊的靠墻處，用120米長的鐵柵欄圍成一個所占面積為長方形的臨時倉庫，其中墻僅80米長，鐵柵欄只圍三邊，則所圍倉庫的最大面積為平方米．構(gòu)建二次函數(shù)模型解決實際問題1．(2023秋?虹口區(qū)期末）如圖所示，一座拋物線形的拱橋在正常水位時，水面AB寬為20米，拱橋的最高點O到水面AB的距離為4米．如果此時水位上升3米就達(dá)到警戒水位CD，那么CD寬為（）A．45米 B．10米 C．46米 D．12米2．(2023?寶山區(qū)二模）有一座拋物線拱型橋，在正常水位時，水面BC的寬為10米，拱橋的最高點D到水面BC的距離DO為4米，點O是BC的中點，如圖，以點O為原點，直線BC為x，建立平面直角坐標(biāo)系xOy．（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）如果水面BC上升3米（即OA＝3）至水面EF，點E在點F的左側(cè)，求水面寬度EF的長．四、二次函數(shù)與幾何圖形1．(2023?寶山區(qū)模擬）在一塊等腰直角三角形鐵皮上截一塊矩形鐵皮．如圖，已有的鐵皮是等腰直角三角形ABC，它的底邊AB長20厘米．要截得的矩形EFGD的邊FG在AB上，頂點E、D分別在邊CA、CB上．設(shè)EF的長為x厘米，矩形EFGD的面積為y平方厘米，試寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式及定義域，并求當(dāng)EF的長為4厘米時所截得的矩形的面積．2．(2023秋?浦東新區(qū)校級月考）將一條長20cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長做成一個正方形．（1）要使這兩個正方形的面積之和等于17cm2，那么這兩段鐵絲的長度分別為多少？（2）兩個正方形的面積之和可能等于12cm2嗎？若能，求出兩段鐵絲的長度；若不能，請說明理由．（3）兩個正方形的面積之和最小為cm2．3．(2023秋?浦東新區(qū)校級月考）如圖，在直角三角形ABC中，直角邊AC＝6cm，BC＝8cm，設(shè)P，Q分別為AB，BC上的動點，點P自點A沿AB方向向點B作勻速移動且速度為每秒2cm，同時點Q自點B沿BC方向向點C作勻速移動且速度為每秒1cm．當(dāng)P點到達(dá)B點時，Q點就停止移動，設(shè)P，Q移動的時間t秒．（1）寫出△PBQ的面積S（cm2）與時間t（s）之間的函數(shù)表達(dá)式，并寫出t的取值范圍．（2）當(dāng)t為何值時，△PBQ為等腰三角形？4．(2023春?金山區(qū)期末）如圖，正方形ABCD，AB＝4，點M是邊BC的中點，點E是邊AB上的一個動點，作EG⊥AM交AM于點G，EG的延長線交線段CD于點F．（1）如圖①，當(dāng)點E與點B重合時，求證：BM＝CF；（2）設(shè)BE＝x，梯形AEFD的面積為y，求y與x的函數(shù)解析式，并寫出定義域．5．(2023春?長寧區(qū)期末）已知在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝CD＝6厘米，∠B＝60°，點P在邊AD上以每秒2厘米的速度從D出發(fā)，向點A運動；點Q在邊AB上以每秒1厘米的速度從點B出發(fā)，向點A運動．已知P、Q兩點同時出發(fā)，當(dāng)其中一個點到達(dá)終點時，另外一個點也隨之停止運動，設(shè)兩個點的運動時間為t秒，聯(lián)結(jié)PC、QD．（1）如圖1，若四邊形BQDC的面積為S平方厘米，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式并寫出函數(shù)定義域；（2）若PC與QD相交于點E，且∠PEQ＝60°，求t的值．【過關(guān)檢測】1．(2023·上海九年級專題練習(xí)）如圖，已知△ABC中，BC＝10，BC邊上的高AH＝8，四邊形DEFG為內(nèi)接矩形．（1）當(dāng)矩形DEFG是正方形時，求正方形的邊長．（2）設(shè)EF＝x，矩形DEFG的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)x為何值時S有最大值，并求出最大值．2．(2023·上海九年級專題練習(xí)）商場購進(jìn)某種新商品在試銷期間發(fā)現(xiàn)，當(dāng)每件利潤為10元時，每天可銷售70件；當(dāng)每件商品每漲價1元，日銷售量就減少1件，但每天的銷售量不得低于35件．據(jù)此規(guī)律，請回答下列問題．（1）設(shè)每件漲了x元時，每件盈利_________元，商品每天可銷售______件；（2）在商品銷售正常的情況下，每件商品漲價多少元時，商場每天盈利為1500元？（3）若商場的每天盈利能達(dá)到最大，請直接寫出每天的最大盈利為______________．3．(2023·上海九年級專題練習(xí)）某電動機(jī)加工廠以400元/個的價格新接了一批電動機(jī)加工業(yè)務(wù)．根據(jù)工廠以往的制造能力，該工廠每天制造電動機(jī)的數(shù)量為x（個）(200≤x≤500)，且每個電動機(jī)的制造成本y(元)與每天制造電動機(jī)的數(shù)量x(個)之間的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖所示．（1）求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；（2）已知該工廠每天各項消耗的費用是2萬元，每天的利潤為w元，請求出w與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并求出當(dāng)x為多少時，w最大，最大日利潤是多少．4．(2023秋?浦東新區(qū)月考）閱讀材料：配方法可以用來解一元二次方程，還可以用它來解決一些最值問題，比如：因為3a2≥0，所以3a2+1就有個最小值1，即3a2+1≥1，只有當(dāng)a＝0時，才能得到這個式子的最小值1．同樣，因為﹣3a2≤0，所以﹣3a2+1有最大值1，即﹣3a2+1≤1，只有在a＝0時，才能得到這個式子的最大值1．請解決下列問題：（1）當(dāng)x＝時，代數(shù)式3（x﹣2）2﹣1有最（填“大”或“小”）值為；（2）當(dāng)x＝時，代數(shù)式﹣2x2﹣4x+3有最（填“大”或“小”）值為；（3）矩形花園的一面靠墻，另外三面的柵欄所圍成的總長度16m，求：當(dāng)花園與墻相鄰（即垂直于墻）的邊長為多少時，花園的面積最大？最大面積是多少？第12講二次函數(shù)的應(yīng)用（核心考點講與練）【基礎(chǔ)知識】二次函數(shù)的應(yīng)用（1）利用二次函數(shù)解決利潤問題在商品經(jīng)營活動中，經(jīng)常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題．解此類題的關(guān)鍵是通過題意，確定出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實際問題中自變量x的取值要使實際問題有意義，因此在求二次函數(shù)的最值時，一定要注意自變量x的取值范圍．（2）幾何圖形中的最值問題幾何圖形中的二次函數(shù)問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動態(tài)幾何中的最值的討論．（3）構(gòu)建二次函數(shù)模型解決實際問題利用二次函數(shù)解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實際問題時，要恰當(dāng)?shù)匕堰@些實際問題中的數(shù)據(jù)落實到平面直角坐標(biāo)系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測量問題或其他問題．【考點剖析】利潤問題1．(2023秋?虹口區(qū)校級期末）某品牌裙子，平均每天可以售出20條，每條盈利40元，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果該品牌每條裙子每降價1元，那么平均每天可以多售出2條，那么當(dāng)裙子降價15元時，可獲得最大利潤1250元．分析：設(shè)每件裙子應(yīng)降價x元，則每件盈利（40﹣x）元，平均每天的銷售量為（20+2x）件，根據(jù)總利潤＝每件盈利×平均每天的銷售量，即可得出關(guān)于x的二次函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．【解答】解：設(shè)每件裙子應(yīng)降價x元，則每件盈利（40﹣x）元，平均每天的銷售量為（20+2x）件，依題意得利潤w＝（40﹣x）（20+2x）＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x﹣15）2+1250．所以當(dāng)裙子降價15元時，可以獲得最大利潤為1250元，故答案為：15，1250．【點評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意列出二次函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵．2．(2023春?嘉定區(qū)校級期中）某超市從廠家購進(jìn)A、B兩種型號的水杯，兩次購進(jìn)水杯的情況如表：進(jìn)貨批次A型水杯（個）B型水杯（個）總費用（元）一1002008000二20030013000（1）求A、B兩種型號的水杯進(jìn)價各是多少元？（2）在銷售過程中，A型水杯因為物美價廉而更受消費者喜歡．為了增大B型水杯的銷售量，超市決定對B型水杯進(jìn)行降價銷售，當(dāng)銷售價為44元時，每天可以售出20個，每降價1元，每天將多售出5個，請問超市應(yīng)將B型水杯降價多少元時，每天售出B型水杯的利潤達(dá)到最大？最大利潤是多少？分析：（1）設(shè)A種型號的水杯進(jìn)價為x元，B種型號的水杯進(jìn)價為y元，根據(jù)兩次進(jìn)貨情況表，可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)：利潤＝（每臺實際售價﹣每臺進(jìn)價）×銷售量，列函數(shù)關(guān)系式，配方成二次函數(shù)的頂點式可得函數(shù)的最大值；【解答】解：（1）設(shè)A種型號的水杯進(jìn)價為x元，B種型號的水杯進(jìn)價為y元，根據(jù)題意得：100x+200y=8000200x+300y=13000解得：x=20y=30答：A種型號的水杯進(jìn)價為20元，B種型號的水杯進(jìn)價為30元；（2）設(shè)超市應(yīng)將B型水杯降價m元時，每天售出B型水杯的利潤為W元，根據(jù)題意，得：W＝（44﹣m﹣30）（20+5m）＝﹣5m2+50m+280＝﹣5（m﹣5）2+405，∴當(dāng)m＝5時，W取得最大值，最大值為405元，答：超市應(yīng)將B型水杯降價5元時，每天售出B型水杯的利潤達(dá)到最大，最大利潤為405元．【點評】本題主要考查二元一次方程組及二次函數(shù)的實際應(yīng)用，理解題意準(zhǔn)確抓住相等關(guān)系，據(jù)此列出方程或函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．3．(2023春?徐匯區(qū)校級月考）某工廠設(shè)計了一款產(chǎn)品，成本為每件20元．投放市場進(jìn)行試銷，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該種產(chǎn)品每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間滿足一次函數(shù)的關(guān)系，其中20≤x≤40．（1）根據(jù)表格求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；銷售量y（件）…302010…銷售單價x（元）…253035…（2）設(shè)銷售這種產(chǎn)品每天的利潤為W（元），求W關(guān)于銷售單價x之間的函數(shù)解析式并求當(dāng)銷售單價定為多少元時，每天的利潤最大？最大利潤是多少元？分析：（1）用待定系數(shù)法即可得y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2）根據(jù)總利潤＝每件利潤×銷售量可列出W關(guān)于銷售單價x的函數(shù)解析式，由二次函數(shù)性質(zhì)可得答案．【解答】解：（1）設(shè)一次函數(shù)的解析式為y＝kx+b（k≠0），把x＝25、y＝30；x＝30、y＝2代入y＝kx+b得：25k+b=3030k+b=20，解得k=∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝﹣2x+80；（2）根據(jù)題意得：W＝y(tǒng)（x﹣20）＝（x﹣20）（﹣2x+80）＝﹣2x2+120x﹣1600＝﹣2（x﹣30）2+200，∵﹣2＜0，∴當(dāng)x＝30時，W取最大值200，答：W關(guān)于銷售單價x的函數(shù)解析式為W＝＝﹣2x2+120x﹣1600，當(dāng)銷售單價定為30元時，工廠每天獲得的利潤最大，最大利潤是200元．【點評】本題考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，掌握總利潤＝每件利潤×銷售量列出W關(guān)于銷售單價x的函數(shù)解析式．4．(2023秋?奉賢區(qū)期中）某工廠生產(chǎn)一種火爆的網(wǎng)紅電子產(chǎn)品，每件產(chǎn)品成本16元，工廠將該產(chǎn)品進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)批發(fā)，批發(fā)單價y（元）與一次性批發(fā)量x（件）（x為正整數(shù)）之間滿足如圖所示的函數(shù)關(guān)系．（1）直接寫出y與x之間所滿足的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）若一次性批發(fā)量不低于20且不超過60件時，求獲得的利潤w與x的函數(shù)關(guān)系式，同時當(dāng)批發(fā)量為多少件時，工廠獲利最大？最大利潤是多少？分析：（1）認(rèn)真觀察圖象，分別寫出該定義域下的函數(shù)關(guān)系式，定義域取值全部是整數(shù)；（2）根據(jù)利潤＝（售價﹣成本）×件數(shù)，列出利潤的表達(dá)式，求出最值．【解答】解：（1）當(dāng)0＜x≤20且x為整數(shù)時，y＝40；當(dāng)20＜x≤60且x為整數(shù)時，y=?1當(dāng)x＞60且x為整數(shù)時，y＝20；（2）設(shè)所獲利潤w（元），∴當(dāng)20＜x≤60且x為整數(shù)時，y=?1∴w＝（y﹣16）x＝（?12x+50﹣16）∴w=?12x2∴w=?12（x∵?1∴當(dāng)x＝34時，w最大，最大值為578元．答：一次批發(fā)34件時所獲利潤最大，最大利潤是578元．【點評】本題主要考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意列出函數(shù)表達(dá)式并熟練運用性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．5．(2023秋?普陀區(qū)期中）某商店如果將進(jìn)貨為8元的商品按每件10元售出，每天可銷售200件，通過一段時間的摸索，該店主發(fā)現(xiàn)這種商品每漲價0.5元，其銷售量就減少10件，每降價0.5元，其銷售量就增加10件．（1）如果每天的利潤要達(dá)到700元，售價應(yīng)定為每件多少元？（2）將售價定為每件多少元時，能使這天所獲利潤最大？最大利潤是多少？分析：（1）如果設(shè)每件商品提高x元，可先用x表示出單件的利潤以及每天的銷售量，然后根據(jù)總利潤＝單價利潤×銷售量列出關(guān)于x的方程，進(jìn)而求出未知數(shù)的值．（2）首先設(shè)應(yīng)將售價提為x元時，才能使得所賺的利潤最大為y元，根據(jù)題意可得：y＝（x﹣8）[200﹣20（x﹣10）]，然后化簡配方，即可得y＝﹣20（x﹣14）2+720，即可求得答案．【解答】解：（1）設(shè)每件商品提高x元，則每件利潤為（10+x﹣8）＝（x+2）元，每天銷售量為（200﹣20x）件，依題意，得：（x+2）（200﹣20x）＝700．整理得：x2﹣8x+15＝0．解得：x1＝3，x2＝5．∴把售價定為每件13元或15元能使每天利潤達(dá)到700元；若設(shè)每件商品降價x元，則（2﹣x）（200+20x）＝700．整理得：x2+8x+15＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝﹣5，∴把售價定為每件13元或15元能使每天利潤達(dá)到700元．（2）設(shè)利潤為y：則y＝（x﹣8）[200﹣20（x﹣10）]＝﹣20x2+560x﹣3200＝﹣20（x﹣14）2+720，則當(dāng)售價定為14元時，獲得最大利潤；最大利潤為720元．答：把售價定為每件13元或15元能使每天利潤達(dá)到700元，將售價定位每件14元時，能使每天可獲的利潤最大，最大利潤是720元．【點評】此題考查的是二次函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是理解題意，找到等量關(guān)系，求得二次函數(shù)解析式．最值問題1．(2023秋?松江區(qū)期末）一位運動員投擲鉛球，如果鉛球運行時離地面的高度為y（米）關(guān)于水平距離x（米）的函數(shù)解析式為y=?112x2+23分析：直接利用配方法求出二次函數(shù)最值即可．【解答】解：由題意可得：y==?112（x2﹣8=?112（x故鉛球運動過程中最高點離地面的距離為：3m．故答案為：3．【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，正確利用配方法求出最值是解題關(guān)鍵．2．(2023秋?靜安區(qū)校級月考）如圖，一小孩將一只皮球從A處拋出去，它所經(jīng)過的路線是某個二次函數(shù)圖象的一部分，如果他的出手處A距地面的距離OA為1m，當(dāng)球飛越的水平距離為8米時，球到達(dá)最高點B處，離地面高度為9米，則這個二次函數(shù)的表達(dá)式為y=?18（x﹣8）2+9，小孩將球拋出了約16.5分析：設(shè)出函數(shù)解析式的頂點式，把點A代入求得解析式，進(jìn)一步求出與x軸交點坐標(biāo)，即可解答．【解答】解：根據(jù)題意知，拋物線的頂點B的坐標(biāo)為（8，9），圖象經(jīng)過點A（0，1），設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣8）2+9，把點A代入解析式得a=?因此這個二次函數(shù)的表達(dá)式為y=?18（x當(dāng)y＝0時，?18x2+2解得x1≈16.5，x2＝﹣0.5（不合題意，舍去）；因此小孩將球拋出了約16.5米．故答案為：y=?18（x﹣8）2【點評】此題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用頂點式求函數(shù)解析式，以及二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系．3．(2023秋?楊浦區(qū)校級期中）某建筑工程隊在工地一邊的靠墻處，用120米長的鐵柵欄圍成一個所占面積為長方形的臨時倉庫，其中墻僅80米長，鐵柵欄只圍三邊，則所圍倉庫的最大面積為1800平方米．分析：由題意得y＝x（120﹣2x）＝﹣2x（x﹣60），而120﹣2x≤80，即x≥20，根據(jù)函數(shù)的增減性即可求解．【解答】解：設(shè)長方形的寬為x米，則平行于墻的一邊為（120﹣2x）米，設(shè)圍成倉庫的面積為y平方米，根據(jù)題意得y＝x（120﹣2x）＝﹣2x（x﹣60），而120﹣2x≤80，即x≥20，函數(shù)y的對稱軸為x＝30，∵a＝﹣2＜0，故拋物線開口向下，當(dāng)x＜30時，y隨x的增大而增大，故當(dāng)x＝30（米）時，y有最大值，最大值為1800（平方米）；故所圍倉庫的最大面積為1800平方米，故答案為1800．【點評】本題考查的是二次函數(shù)的應(yīng)用的運用，要注意靠墻的那面不需要柵欄，不要把平行于墻的一邊算成是12（120﹣2x構(gòu)建二次函數(shù)模型解決實際問題1．(2023秋?虹口區(qū)期末）如圖所示，一座拋物線形的拱橋在正常水位時，水面AB寬為20米，拱橋的最高點O到水面AB的距離為4米．如果此時水位上升3米就達(dá)到警戒水位CD，那么CD寬為（）A．45米 B．10米 C．46米 D．12米分析：以O(shè)點為坐標(biāo)原點，AB的垂直平分線為y軸，過O點作y軸的垂線，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2，由此可得A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），即可求函數(shù)解析式為y=?125x2，再將y＝﹣1代入解析式，求出C、D【解答】解：以O(shè)點為坐標(biāo)原點，AB的垂直平分線為y軸，過O點作y軸的垂線，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2，∵O點到水面AB的距離為4米，∴A、B點的縱坐標(biāo)為﹣4，∵水面AB寬為20米，∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），將A代入y＝ax2，﹣4＝100a，∴a=?∴y=?125∵水位上升3米就達(dá)到警戒水位CD，∴C點的縱坐標(biāo)為﹣1，∴﹣1=?125∴x＝±5，∴CD＝10，故選：B．【點評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意建立合適的直角坐標(biāo)系，在該坐標(biāo)系下求二次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．2．(2023?寶山區(qū)二模）有一座拋物線拱型橋，在正常水位時，水面BC的寬為10米，拱橋的最高點D到水面BC的距離DO為4米，點O是BC的中點，如圖，以點O為原點，直線BC為x，建立平面直角坐標(biāo)系xOy．（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）如果水面BC上升3米（即OA＝3）至水面EF，點E在點F的左側(cè)，求水面寬度EF的長．分析：（1）直接假設(shè)出二次函數(shù)解析式進(jìn)而得出答案；（2）根據(jù)題意得出y＝3進(jìn)而求出x的值，即可得出答案．【解答】解：（1）設(shè)拋物線解析式為：y＝ax2+c，由題意可得圖象經(jīng)過（5，0），（0，4），則c=425a+4=0解得：a=?故拋物線解析為：y=?425（2）由題意可得：y＝3時，3=?425解得：x＝±52故EF＝5，答：水面寬度EF的長為5m．【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，正確得出函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．四、二次函數(shù)與幾何圖形1．(2023?寶山區(qū)模擬）在一塊等腰直角三角形鐵皮上截一塊矩形鐵皮．如圖，已有的鐵皮是等腰直角三角形ABC，它的底邊AB長20厘米．要截得的矩形EFGD的邊FG在AB上，頂點E、D分別在邊CA、CB上．設(shè)EF的長為x厘米，矩形EFGD的面積為y平方厘米，試寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式及定義域，并求當(dāng)EF的長為4厘米時所截得的矩形的面積．分析：由題意得，矩形的面積等于相鄰兩邊之積，根據(jù)圖中幾何關(guān)系把ED邊用x表示出來，再由矩形EFGD在等腰直角三角形內(nèi)，求出定義域，最后把EF的長為4厘米，代入函數(shù)關(guān)系式，求得矩形面積．【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，四邊形EFGD是矩形，∴△AFE和△DGB都是等腰直角三角形，∴AF＝EF＝x，GB＝DG＝x，F(xiàn)G＝AB﹣AF﹣GB＝20﹣2x，矩形EFGD的面積y＝x（20﹣2x）＝﹣2x2+20x，由0＜20﹣2x＜20，解得0＜x＜10，∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是y＝﹣2x2+20x，定義域是0＜x＜10，當(dāng)x＝4時，y＝﹣2×42+20×4＝48，即當(dāng)EF的長為4厘米時，所截得的矩形的面積為48平方厘米．【點評】此題考查等腰直角三角形和矩形的性質(zhì)，在等腰直角三角形和矩形中解題，要注意幾何關(guān)系．2．(2023秋?浦東新區(qū)校級月考）將一條長20cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長做成一個正方形．（1）要使這兩個正方形的面積之和等于17cm2，那么這兩段鐵絲的長度分別為多少？（2）兩個正方形的面積之和可能等于12cm2嗎？若能，求出兩段鐵絲的長度；若不能，請說明理由．（3）兩個正方形的面積之和最小為12.5cm2．分析：（1）這段鐵絲被分成兩段后，圍成正方形．其中一個正方形的邊長為xcm，則另一個正方形的邊長為（5﹣x），根據(jù)“兩個正方形的面積之和等于17cm2”作為相等關(guān)系列方程，解方程即可求解；（2）設(shè)兩個正方形的面積和為y，可得二次函數(shù)y＝x2+（5﹣x）2＝2（x?52）2+252，利用二次函數(shù)的最值的求法可求得y（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案．【解答】解：（1）設(shè)其中一個正方形的邊長為xcm，則另一個正方形的邊長為（5﹣x）cm，依題意列方程得x2+（5﹣x）2＝17，整理得：x2﹣5x+4＝0，（x﹣1）（x﹣4）＝0，解方程得x1＝1，x2＝4，1×4＝4，20﹣4＝16；因此這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是4cm、16cm；（2）兩個正方形的面積之和不可能等于12cm2．理由：設(shè)兩個正方形的面積和為y，則y＝x2+（5﹣x）2＝2（x?52）2∵a＝2＞0，∴當(dāng)x=52時，∴兩個正方形的面積之和不可能等于12cm2；（3）設(shè)兩個正方形的面積和為y，則y＝x2+（5﹣x）2＝2（x?52）2∵a＝2＞0，∴當(dāng)x=52時，y的最小值＝12.5cm∴兩個正方形的面積之和最小為12.5cm2．故答案為：12.5．【點評】此題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，等量關(guān)系是：兩個正方形的面積之和＝17或12．讀懂題意，找到等量關(guān)系準(zhǔn)確地列出方程是解題的關(guān)鍵．3．(2023秋?浦東新區(qū)校級月考）如圖，在直角三角形ABC中，直角邊AC＝6cm，BC＝8cm，設(shè)P，Q分別為AB，BC上的動點，點P自點A沿AB方向向點B作勻速移動且速度為每秒2cm，同時點Q自點B沿BC方向向點C作勻速移動且速度為每秒1cm．當(dāng)P點到達(dá)B點時，Q點就停止移動，設(shè)P，Q移動的時間t秒．（1）寫出△PBQ的面積S（cm2）與時間t（s）之間的函數(shù)表達(dá)式，并寫出t的取值范圍．（2）當(dāng)t為何值時，△PBQ為等腰三角形？分析：（1）過點P作PH⊥BC，垂足為H，從而得到△BPH∽△ABC，根據(jù)相似比例求出PH的長，可以得到用t表示面積的函數(shù)解析式；（2）分三種情況討論三角形PBQ為等腰三角形，即BP＝BQ，BQ＝PQ和BP＝PQ，再分別求t的值．【解答】解：（1）∵Rt△ABC中直角邊AC＝6，BC＝8，∴AB=6∴BP＝10﹣2t，BQ＝t．如圖1，過點P作PH⊥BC，垂足為H，∵AC⊥BC，∴△BPH∽△ABC，∴ACPH=ABBP，即6PH=∴S=12BQ?PH=12t?（6?65t）=?（2）①當(dāng)BP＝BQ時，10﹣2t＝t，解得t=10②如圖2，當(dāng)BQ＝PQ時，作QE⊥BD，垂足為E，∵BQ＝PQ，QE⊥BD，∴BE=12BP=12（10﹣2∵∠B＝∠B，∠ACB＝∠QEB＝90°，∴△BQE∽△BAC，∴BQAB=BE解得t=25③如圖3，當(dāng)BP＝PQ時，作PF⊥BC，垂足為F，∵BP＝PQ，PF⊥BC，∴BF=12BQ=∵∠B＝∠B，∠PFB＝∠C＝90°，∴△BPF∽△BAC，∴BPAB=BF解得t=80∴當(dāng)t=103秒，t=259秒，t【點評】此題的是相似形綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，此類問題是近幾年中考中較常見的題目，在解答時要注意進(jìn)行分類討論，不要漏解．4．(2023春?金山區(qū)期末）如圖，正方形ABCD，AB＝4，點M是邊BC的中點，點E是邊AB上的一個動點，作EG⊥AM交AM于點G，EG的延長線交線段CD于點F．（1）如圖①，當(dāng)點E與點B重合時，求證：BM＝CF；（2）設(shè)BE＝x，梯形AEFD的面積為y，求y與x的函數(shù)解析式，并寫出定義域．分析：（1）證明△BAM≌△CBF（ASA）即可；（2）按照（1）的思路，作EH⊥CD于H得：△BAM≌△即可求解．【解答】（1）證明：∵GE⊥AM，∴∠BAM+∠ABG＝90°，又∠CBF+∠ABG＝90°，在△BAM和△CBF中，∠BAM＝∠CBF，AB＝BC，∠ABM＝∠BCF，∴△BAM≌△CBF（ASA），∴BM＝CF；（2）作EH⊥CD于H，由（1）得：△BAM≌△HEF，∴HF＝BM＝2，∴DF＝4﹣2＝x＝2﹣x，∴y=1答：y與x的函數(shù)解析式為∴y=1【點評】本題考查的是二次函數(shù)的應(yīng)用，涉及到三角形全等的知識，此類題目通常（1）為（2）提供思路．5．(2023春?長寧區(qū)期末）已知在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝CD＝6厘米，∠B＝60°，點P在邊AD上以每秒2厘米的速度從D出發(fā)，向點A運動；點Q在邊AB上以每秒1厘米的速度從點B出發(fā)，向點A運動．已知P、Q兩點同時出發(fā)，當(dāng)其中一個點到達(dá)終點時，另外一個點也隨之停止運動，設(shè)兩個點的運動時間為t秒，聯(lián)結(jié)PC、QD．（1）如圖1，若四邊形BQDC的面積為S平方厘米，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式并寫出函數(shù)定義域；（2）若PC與QD相交于點E，且∠PEQ＝60°，求t的值．分析：（1）由S四邊形BQDC＝S梯形ABCD﹣SADQ即可求出表達(dá)式；（2）當(dāng)且∠PEQ＝60°時，可證△CDP≌△ADQ，則PD＝AQ，即可求解．【解答】（1）過點A作AH⊥BC，垂足為H，過點D作DF⊥AB，垂足為F，在Rt△ABH中，∠B＝60°，AB＝6，可得：AH＝33、DF＝33，S四邊形BQDC＝S梯形ABCD﹣SADQ＝273?（93?323t答：求S關(guān)于t的函數(shù)解析式為S＝183+32（2）當(dāng)且∠PEQ＝60°時，可證△CDP≌△ADQ（AAS），∴PD＝AQ，即：6﹣t＝2t，t＝2．答：t的值為2．【點評】本題考查的是二次函數(shù)的應(yīng)用，（1）中S四邊形BQDC＝S梯形ABCD﹣SADQ這種面積拆分的辦法是此類題目常用的方法．【過關(guān)檢測】1．(2023·上海九年級專題練習(xí)）如圖，已知△ABC中，BC＝10，BC邊上的高AH＝8，四邊形DEFG為內(nèi)接矩形．（1）當(dāng)矩形DEFG是正方形時，求正方形的邊長．（2）設(shè)EF＝x，矩形DEFG的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)x為何值時S有最大值，并求出最大值．答案:（1）；（2），當(dāng)x＝4時，S有最大值20分析：（1）GF∥BC得△AGF∽△ABC，利用相似三角形對應(yīng)邊上高的比等于相似比，列方程求解；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出GF＝10?x，求出矩形的面積，運用二次函數(shù)性質(zhì)解決問題．【詳解】（1）設(shè)HK＝y(tǒng)，則AK＝AH﹣KH＝AH﹣EF＝8﹣y，∵四邊形DEFG為矩形，∴GF∥BC，∴△AGF∽△ABC，∴AK：AH＝GF：BC，∵當(dāng)矩形DEFG是正方形時，GF＝KH＝y(tǒng)，∴(8﹣y)：8＝y(tǒng)：10，解得：y＝；（2）設(shè)EF＝x，則KH＝x．∴AK＝AH﹣EF＝8﹣x，由（1）可知：，解得：GF＝10﹣x，∴s＝GF?EF＝（10﹣x）x＝﹣（x﹣4）2+20，∴當(dāng)x＝4時S有最大值，并求出最大值20．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，矩形的性質(zhì)的應(yīng)用，注意：矩形的對邊相等且平行，相似三角形的對應(yīng)高的比等于相似比，題目是一道中等題，難度適中．2．(2023·上海九年級專題練習(xí)）商場購進(jìn)某種新商品在試銷期間發(fā)現(xiàn)，當(dāng)每件利潤為10元時，每天可銷售70件；當(dāng)每件商品每漲價1元，日銷售量就減少1件，但每天的銷售量不得低于35件．據(jù)此規(guī)律，請回答下列問題．（1）設(shè)每件漲了x元時，每件盈利_________元，商品每天可銷售______件；（2）在商品銷售正常的情況下，每件商品漲價多少元時，商場每天盈利為1500元？（3）若商場的每天盈利能達(dá)到最大，請直接寫出每天的最大盈利為______________．答案:（1），；（2）20；（3）1600分析：（1）用售價減去進(jìn)價即可求得每件利潤；銷售量等于原來銷售量減去減少的銷售量即可；（2）利用總利潤=單件利潤×銷量列出方程求解即可；（3）配方后即可確定最大利潤；【詳解】解：（1）設(shè)每件漲了x元時，每件盈利（10+x）元，商品每天可銷售（70-x）件；（2）根據(jù)題意得：（10+x）（70-x）=1500，解得：x=20或x=40（不合題意，舍去），答：每件商品漲20元時商場每天盈利可達(dá)1500元．（3）設(shè)總利潤為w元，則w=（10+x）（70-x）=-（x-30）2+1600，∴總利潤的最大值為1600元．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用及二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)題意