第8章 立體幾何初步 章末測(cè)試（提升）-2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)一隅三反系列（人教A版2019必修第二冊(cè)）（解析版）

第8章立體幾何初步章末測(cè)試（提升）

考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分

一、單選題（每題只有一個(gè)選擇為正確答案，每題5分，8題共40分）

1.（2022秋?四川）水平放置的ABC的斜二測(cè)直觀圖如圖所示，已知B'C'=4,A'C'=3,軸，則

中BC邊上的中線的長(zhǎng)度為（）

【答案】A

【解析】利用斜二測(cè)畫法將直觀圖還原如圖，易知此時(shí)3c=2B'C'=8,AC=AC'=3,

又由8'仁〃丫'軸得BC//y軸，故BCLAC,

不妨設(shè)。是BC的中點(diǎn)，則CZ）=g8C=4,

所以在RtZsACD中，AD=>jAC2+CD2=79+16=5>即一ABC中BC邊上的中線的長(zhǎng)度為5.

71

2.（2023吉林長(zhǎng)春）在三棱錐P-ABC中，R4_L平面A5C,PA=6,BC=3,=7?，則三棱錐尸-ABC

6

的外接球半徑為（）

A.3B.2GC.3&D.6

【答案】C

*71*--------￡

【解析】由正弦定理得,△ABC外接圓直徑為.兀一，得-3.

sin—

6

設(shè)球心到平面ABC的距離為d,則〃=324=3.

三棱錐P-ABC的外接球半徑為R=/儲(chǔ)+戶=舊+學(xué)=3夜.

故選：C

3.（2023上海浦東新?）用一個(gè)平面截正方體，截面圖形可能是（）

A.鈍角三角形B.直角梯形

C.有兩個(gè)內(nèi)角相等的五邊形D.正七邊形

【答案】C

【解析】用一個(gè)平面截正方體，截面圖形可能是三角形，四邊形，五邊形，六邊形.

對(duì)于A：截面圖形如果是三角形，只能是銳角三角形，不可能是直角三角形和鈍角三角形.

如圖所示的截面三角形ABC.

設(shè)DA=a,DB=b,DC=c,所以人。2=〃2+/,4笈二/+廿，呂^二從+自

2

4D?八02_DZ~?22.2

所以由余弦定理得：COSZCAB=————=I,/>0,所以，C4B為銳角.

2ABACZsjcr+b-+c

同理可求：1ACB為銳角，NCBA為銳角.

所以ABC為銳角三角形.故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：截面圖形如果是四邊形，可能是正方形，可能是矩形，可能是菱形，可能是一般梯形，也可能是等

腰梯形，不可能是直角梯形.

故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：如圖示的截面圖為五邊形，并且有兩個(gè)角相等.

對(duì)于D：因?yàn)檎襟w有六個(gè)面，所以一個(gè)平面截正方體，邊數(shù)最多為6.所以D錯(cuò)誤.

故選：C

4.（2023山東煙臺(tái)）米斗是古代官倉(cāng)、米行等用來(lái)稱量糧食的器具，鑒于其儲(chǔ)物功能以及吉祥富足的寓意，

現(xiàn)今多在超市、糧店等廣泛使用.如圖為一個(gè)正四棱臺(tái)形米斗（忽略其厚度），其上、下底面正方形邊長(zhǎng)分別

為30cm、20cm,側(cè)棱長(zhǎng)為5vHem，若將該米斗盛滿大米（沿著上底面刮平后不溢出），設(shè)每立方分米的

大米重0.8千克，則該米斗盛裝大米約（）

A.6.6千克B.6.8千克C.7.6千克D.7.8千克

【答案】C

【解析】設(shè)該正棱臺(tái)為ABC。-A耳￡0,其中上底面為正方形A3CD,取截面A41GC,如下圖所示:

易知四邊形A41GC為等腰梯形，且AC=30后，AG=2O0，AA=C￡=5而，

分別過(guò)點(diǎn)A、C在平面用GC內(nèi)作4E_LAC,QF1AC,垂足分別為點(diǎn)E、F,

由等腰梯形的幾何性質(zhì)可得M=CC,,又因?yàn)?AE=ZQCF,/A嗎=ZCFQ=90,

所以，RtAA^E^RtACCjF,所以，AE=CF,

因?yàn)锳C//AC,易知NEA.G=NAEF=ZEFQ=Z^QF=90,

故四邊形AG/E為矩形，則跖=AC=2O0,，AE=CF=---=5友，

所以，\E=-AE1=15,故該正四棱臺(tái)的高為15cm,

所以，該米斗的體積為V=1x（202+302+A/202X302）X15=9500cm3,

所以，該米斗所盛大米的質(zhì)量為9.5x0.8=7.6kg.

故選：C.

5.（2022秋?廣西）在ABC中，AB=BC=1,ZABC=120°,現(xiàn)以AC為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)360得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)

體，則該旋轉(zhuǎn)體的體積為（）

A.-B.-C.叵D.叵

842412

【答案】D

【解析】取AC中點(diǎn)為。，則；ABC可看作兩個(gè)直角三角形RtAAOB和RtZiCOB,將二A5C以AC為旋轉(zhuǎn)軸，

旋轉(zhuǎn)360得到的旋轉(zhuǎn)體相當(dāng)于將Rt^AOB和Rt^CQB,分別以直角邊AO和CO為軸旋轉(zhuǎn)360,可得到兩

個(gè)同底等高的圓錐構(gòu)成的組合體.

A

VAB=BC=1,ZABC=120°,

：.ZBAC=ZBCA=30°,OB=-,OA^—,

22

圓錐ABD的底面圓面積S=7t,=—,而為h=OA=走~,

42

體積V=—sh=—x—x^-,

3342

故所求旋轉(zhuǎn)體體積為2V=且nV=叵.

1224

故選：D.

6.（江西省吉安市2023屆）已知PC是圓錐P。的一條母線，A3是底面圓。的一條直徑,為正三角

形，ZABC=30,則PC與AB所成角的余弦值為（）

A.—B.—C.7?D.一

4328

【答案】A

【解析】如圖，延長(zhǎng)co交圓。于。，連接PD,取尸D的中點(diǎn)E,連接OE,則OE〃PC,

則NEOB為PC與AB所成的角，

不妨設(shè)圓。的半徑為1,則PC=PD=P3=2,OE=gpC=l,

因?yàn)?。為AC、3。的中點(diǎn)，則四邊形ACBD為平行四邊形，

,NABC=30,ABAC=6Q,則！?=AC=1,

22+22-12_7

在△吶中，2然丁

2;2x2x28

73

由余弦定理可得BE2=PB2+PE2-2PB-PEcosZDPB=22+12-2x2xlx-=-,

82

所以,OB2+OE2-BE21.

cosZEOB=

2OBOE2x1x14

故選：A.

7.（2022秋?黑龍江大興安嶺地）如圖,在正方體A3CD—481GA中，M,N,P分別是G2，BC,4。

的中點(diǎn)，有下列四個(gè)結(jié)論:

①AP與CM是異面直線;

②AP,CM,相交于一點(diǎn);

③MNI/BD、；

④M7V//平面班QD.

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（）

A.①④B.②④C.①③④D.②③④

【答案】B

【解析】對(duì)于①，因?yàn)锳G〃AC,MP/AG，所以MH/AC,又MPwAC,所以AP與CM是相交直線，則

①不正確；

對(duì)于②，設(shè)C"AP=Q,^AiADDl面ACMP="，面GC。，面ACMP=CM,所以Qe平面AAD',

Qe平面C1CDDl,又面AlADDl面CXCDDX=DD},

所以"，CM,相交于一點(diǎn)，②正確；

對(duì)于③，令A(yù)CBD=O,連接2。、NO,

因?yàn)镸,N分別是G2，8C的中點(diǎn),

所以O(shè)NUD\M〃CD,ON=DtM=^CD,則MNOR為平行四邊形,

所以MN//O。，而ORRB=R,所以③不正確；

對(duì)于④，因?yàn)镸N<Z平面B。。，。2u平面8Z）［。，

所以MN〃平面④正確.

綜上所述，②④正確，

故選：B.

(1

8.（2021秋?吉林長(zhǎng)春）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。-4SGS中，E,歹分別是。。/,的中點(diǎn),

則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是（）

B.EF1BjC

C.跖與A0所成角為60。

D.EF與平面BBCC所成角的正弦值為且

3

【答案】C

【解析】對(duì)于A,連接86,在—DRB中，E、尸分別為。山、。8的中點(diǎn)，則EF〃。［8,

又「D/Bu平面ABC/。/,EFO平面ABC/。/,：.EF//^ABC1D1,故A正確；

對(duì)于B,/平面BCG4，81Cu平面BCC|B|,：.BiC±AB,

又BiCtBCi,ABu平面ABC/Q,ABCiDi,ABBCi=B,，B/C_L平面ABC/D/,

又?.?BO/u平面42。。/,而EF//BD1,：.EF±BiC,故B正確;

對(duì)于C,由班7/皿,得EF與AG所成角為/A。氏

在RtaBA2中，AB=2,AD,=272,所以tanZA^B=壺=孝w百,

所以所與4。/所成角不為60。，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由Ef7/BR,且。G，平面2與GC，所以/R2G為與平面BSGC所成的角,

2A/3

在Rt^RGB中,D.q=2,BC[=2V2,BD=2A/3,所以sinNRBG故D正確.

[2百一3

故選：C.

二.多選題（每題至少有兩個(gè)選項(xiàng)為正確答案，少選且正確得2分，每題5分。4題共20分）

9.（2022秋?云南）折扇是我國(guó)古老文化的延續(xù)，在我國(guó)已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也

寓意“善良”“善行”、它常以字畫的形式體現(xiàn)我國(guó)的傳統(tǒng)文化，也是運(yùn)籌帷幄、決勝千里、大智大勇的象征（如

圖1甲），圖乙是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖（扇形的一部分），若兩個(gè)圓弧DE,AC所在圓的半徑分別是3和6,

且NABC=120,則該圓臺(tái)的（）

A

B.體積為史農(nóng)兀

A.IWJ為2正

3

C.表面積為14兀D.內(nèi)切球的半徑為夜

【答案】ACD

【解析】設(shè)圓臺(tái)的上底面半徑為"，下底面半徑為R,

則2兀廠=—x3,即廠=1；271H——x6,即H=2；

33

圓臺(tái)的母線長(zhǎng)/=6-3=3,所以圓臺(tái)的高力=J/2—（R—r）2=20,故A正確；

圓臺(tái)的體積V=%x2應(yīng)（22+F+2xl）=當(dāng)1兀，故B錯(cuò)誤；

圓臺(tái)的表面積S=J（27i+47i）x3+7ixl2+兀x2?=14兀，所以C正確；

由于圓臺(tái)的母線長(zhǎng)等于上下底面半徑和，所以圓臺(tái)的高即為內(nèi)切球的直徑，所以內(nèi)切球的半徑為血，即D

正確.

故選：ACD.

10.（2022?云南）如圖，在三棱柱ABC-4耳。1中，已知點(diǎn)G,“分別在人與，AG上，且GH經(jīng)過(guò)△A笈G

的重心，點(diǎn)E,尸分別是48,AC的中點(diǎn)，且2、C、G、X四點(diǎn)共面，則下列結(jié)論正確的是（）

A.EF//GHB.G/7〃平面4所

八GH4

C.二一D.平面4所〃平面8CG耳

EF3

【答案】ABC

［解析】對(duì)于A,因?yàn)槠矫?/平面ABC,平面ABCC平面BCHG=HG,平面ABCc平面BCHG=BC,

FF1

所以用〃BC,因?yàn)镋,尸分別是AB,AC的中點(diǎn)，所以E尸〃8C,—所以EF〃GH,所以A正

BC2

確，

對(duì)于B,由選項(xiàng)A可知E/〃G”,因?yàn)镚H<Z平面AEF,EFu平面4E/,所以G"〃平面片后產(chǎn)，所以

B正確，

GH2

對(duì)于C,因?yàn)橛谩˙C,Bg〃BC,所以龍〃4G，因?yàn)镚H經(jīng)過(guò)耳a的重心，所以三方=不，因?yàn)?/p>

Bg=BC,所以以=■，因?yàn)槿?：,所以嗎=；,所以C正確，

BC3BC2EF3

對(duì)于D,因?yàn)镕C=；AC,AC=AG，所以尸c=gdG，因?yàn)槭珻〃AG，所以四邊形4歹CG為梯形，且人尸

與CG為腰，所以A尸與CG必相交，因?yàn)锳Pu平面AEF,CGu平面JBCG瓦，所以平面AEF與平面

BCC再相交，所以D錯(cuò)誤，

故選：ABC

11.（2022秋?江西宜春）長(zhǎng)方體ABCD-44GR的長(zhǎng)、寬、高分別為3,2,1,貝|（）

A.長(zhǎng)方體的表面積為20

B.長(zhǎng)方體的體積為6

C.沿長(zhǎng)方體的表面從A到G的最短距離為3啦

D.沿長(zhǎng)方體的表面從A到G的最短距離為26

【答案】BC

【解析】長(zhǎng)方體的表面積為2x（3x2+3xl+2xl）=22,A錯(cuò)誤.長(zhǎng)方體的體積為3x2xl=6,8正確.如圖⑴

所示，長(zhǎng)方體中，AB=3,BC=2,8與=1.求表面上最短（長(zhǎng)）距離可把幾何體展開(kāi)成平

面圖形，如圖（2）所示，將側(cè)面ABA4和側(cè)面8CG耳展開(kāi)，

則有即經(jīng)過(guò)側(cè)面山珥4和側(cè)面8CG4時(shí)的最短距離是底；如圖（3）所示，將側(cè)

面ABB^和底面AAG，展開(kāi)，則有AC|=V32+32=30，即經(jīng)過(guò)側(cè)面A網(wǎng)A和底面4旦G9時(shí)的最短距

離是3正；如圖（4）所示，將側(cè)面ADRA和底面A瓦GA展開(kāi)，

則有AQ=V42+22=2^/5，即經(jīng)過(guò)側(cè)面ADDJA和底面4月。.時(shí)的最短距離是2?.因?yàn)?后<2君<莊,

所以沿長(zhǎng)方體表面由A到C1的最短距離是3亞，C正確，。不正確.

故選：BC.

12.（2022秋?江西撫州）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-ABC中，AA^=AB=4,BC=2,M,N分別為棱CQ,CG

A.M,N,A,8四點(diǎn)共面B.直線BN與平面ADM相交

C.直線BN和耳M所成的角為60。D.平面ADM和平面AJB|G2的夾角的正切值為2

【答案】BCD

【解析】A：連接A￡>1，8C1，如下圖AMu面ABG2，而B(niǎo)e面ABG2，N6面ABGR,

所以M,N,A,3四點(diǎn)不共面，錯(cuò)誤;

B：若F為D、中點(diǎn)、,連接AF,N為棱CG的中點(diǎn)，

由長(zhǎng)方體性質(zhì)知：AF//BN,顯然BNa面ADM,

若3N〃面ADM,而面ADM=A,顯然有矛盾,

所以直線BN與平面ADM相交，正確；

C：若”,G分別是中點(diǎn)，連接HA，GA，

由長(zhǎng)方體性質(zhì)易知：HDyUAF,GD\//B\M,

而AF//BN,故HD'UBN,即直線BN和gM所成的角為,

由題設(shè)AG=A〃=A2=2,易用HD\=GD、=AG=2叵,即△小乂;為等邊三角形,

所以NG2H為60。，正確;

D：若G分別是A4中點(diǎn)，顯然MG〃A2〃AD，易知A,n,M,G共面,

所以平面ADM和平面481GA的夾角，即為面ADMG和面AMGR的夾角,

而面ADMG'面A4GQ="G,長(zhǎng)方體中AA,±MG,

AA,

如下圖，/4G4,為ADA/G和面481GA夾角的平面角，tan/4GA=GA^=2,正確.

三、填空題（每題5分，4題共20分）

13.（2022秋?上海黃浦）如圖，在三棱柱ABC-4與G中，ZACB=90°,ZACC,=60°,ZBCQ=45°,

側(cè)棱CG的長(zhǎng)為1,則該三棱柱的高等于

【答案】|

【解析】過(guò)Ci作平面ACB、直線3C、AC的垂線，交點(diǎn)分別為O,D,E,連接O。、OC、OE,則G。即為

三棱柱的高，

由CQ_L平面ACS,ACu平面ACB,可得GO_LAC,

又AC_LC|E,Cfi。也=。1,6。（=平面6。￡,。4<=平面6?！?

所以ACJ_平面CQE,又OEu平面GOE,

所以AC10E,同理可得OD_L3C,又NACB=90。，

所以四邊形OECD為矩形，

在直角三角形ECG和。CG中，ZACQ=60°,ZBCC,=45°,側(cè)棱CG的長(zhǎng)為1,

則CE=gcC1=g,CD=GD=3,

所以。O=CE=1,

2

所以0G=JDC：_C>D2=g,

即三棱柱的高等于3.

故答案為：-

14.（2022秋?安徽六安）正三棱錐P-A5C的側(cè)棱長(zhǎng)為2,M為AB的中點(diǎn)，且尸加,尸。，則三梭錐尸-A5c

外接球的表面積為.

【答案】12兀

【解析】/為A3中點(diǎn)，PA=PB,CA^CB,:.CM±AB,PMLAB,

又CMPM=M,CM,PMu平面PCM,AB上平面PCM,

尸。<=平面「。屈，；.鉆_1_尸。，又PM1PC,PMcAB=M,PMABu平面RW,

，尸CL平面上4B,又三棱錐P-ABC為正三棱錐，，側(cè)面為全等的等腰直角三角形，

三棱錐P-ABC為如圖所示的棱長(zhǎng)為2的正方體的一角，

???該正方體的外接球即為三棱錐P-ABC的外接球,

正方體外接球半徑R=/2-2=73，:.所求外接球表面積S=4欣2=12兀.

故答案為：12兀.

15.（2022?四川雅安）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A與CQ中，底面ABC。為正方形，E,尸分別為用G，CD

的中點(diǎn)，點(diǎn)G是棱G2上靠近G的三等分點(diǎn)，直線BE與平面484A所成角為45。.給出以下4個(gè)結(jié)論:

①班〃平面叫DQ；②所"LAG；

③平面EFC，平面32E；@B,E,F,G四點(diǎn)共面.

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)為.

【答案】①②③

【解析】設(shè)ACBD=O,連接。尸,。用，則。P//BC，。尸=g8C,

又B[E//BC,BiE=；BC,

所以。尸//4瓦。尸=4E,

所以四邊形。瓦EF為平行四邊形,

所以O(shè)BJ/EF,又。B]U平面B8QD,EFU平面BBiRD,

所以EF〃平面38QD,故①正確；

連接44,8夕，因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形，

所以A四=BC，

所以_LAC,又AC〃AG，OB,//EF,

所以E尸，4G，故②正確;

由題可知EB[1平面ABBlA{,

所以ZB.BE為直線BE與平面ABBX\所成角，即ZB.BE=45°,

則BB}=EB\=EC、=gB￡,ZBtEB=ZQEC=45,

所以BE工EC,又PC_L平面BCCg,BEu平面BCC內(nèi),

所以BE_LPC,又FCCE=C，產(chǎn)Cu平面￡FC,CEu平面EFC,

所以BE平面EFC,又驅(qū)u平面BjE,

所以平面跖CL平面BjE,故③正確；

連接交G2于/，連接所，則2,E,尸確定平面

罷=:，又點(diǎn)G是棱GA上靠近G的三等分點(diǎn),

r/C2

所以Ge平面BHF,故④錯(cuò)誤,

所以所有正確結(jié)論的序號(hào)為①②③.

故答案為：①②③.

16.（2022秋?遼寧）正方體ABCD-Aq的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)P是內(nèi)不包括邊界的動(dòng)點(diǎn)，若BDLAP,

則線段AP長(zhǎng)度的最小值為.

【答案】竽

【解析】4G與耳已相交于。，連接A。，AC,BD,

AA^LBD,AC.LBD,MAC=A,故BDJ,平面A40C,BD±AP,

故APu平面。4C,P是AC。內(nèi)不包括邊界的動(dòng)點(diǎn)，故尸在OC上,

當(dāng)APLOC時(shí)，AP最小

AOC中，AC=>/2，AO=CO=

根據(jù)等面積法：AP=￡1=拽.

OC3

故答案為：空

3

四、解答題（17題10分，其余每題12分，6題共70分）

17.（2022春?上海浦東新）已知在直角三角形A3C中，AC1BC,BC=2,tanZABC=2形（如圖所示）

（1）若以AC為軸，直角三角形ABC旋轉(zhuǎn)一周，求所得幾何體的表面積.

（2）一只螞蟻在問(wèn)題（1）形成的幾何體上從點(diǎn)B繞著幾何體的側(cè)面爬行一周回到點(diǎn)5,求螞蟻爬行的最短距

離.

【答案】（1）16萬(wàn)（2）6石

【解析】（1）在直角三角形ABC中，由8c=2,tan/ABC=2A^

f—

即tan/A2C=M；=2忘，得AC=4&，若以AC為軸旋轉(zhuǎn)一周，

形成的幾何體為以BC=2為半徑，高AC=40的圓錐，

則AB=百+(4后2=6,其表面積為S="x22+gx2;rx2x6=16;r.

(2)由問(wèn)題(1)的圓錐，要使螞蟻爬行的最短距離，

則沿點(diǎn)B的母線把圓錐側(cè)面展開(kāi)為平面圖形，

O-TTVOO-TT

最短距離就是點(diǎn)8到點(diǎn)耳的距離，/&區(qū)=吟二=9,

o3

在AB四中，由余弦定理得Bq={6?+6?-2x6x6xcosg=66.

18.(2023?云南)如圖所示，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面PAD為正三角形，M

為線段PD上一點(diǎn)，N為8c的中點(diǎn).

(1)當(dāng)Af為尸口的中點(diǎn)時(shí)，求證：〃平面

(2)當(dāng)P3//平面AMN,求出點(diǎn)M的位置，說(shuō)明理由.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；

(2)存在點(diǎn)M,點(diǎn)M為PD上靠近尸點(diǎn)的三等分點(diǎn)，理由見(jiàn)解析.

【解析】(1)取AP中點(diǎn)為E,連接5M，歷，

p.

在,上4。中，M為PD的中點(diǎn)，E為釬中點(diǎn),

:.EM//AD,EM=-AD,

2

在平行四邊形ABCD中，N為8C的中點(diǎn)，

:.BN//AD,BN^-AD,

2

:.BN//ME,BN=ME,

，四邊形3MWE為平行四邊形,

:.MN//BE,MNa面PAB,BEu面PAB,

MN//平面R4B；

(2)連接4V,即，相交于0,連接加，

PB“面AMN,面尸8。湎AAW=0A/,PBu面尸

PMOBBN1

:.PB//OM,

MD~OD~AD~2

即存在點(diǎn)M,M為尸。上靠近尸點(diǎn)的三等分點(diǎn).

19.(2022秋廣西玉林)如圖，已知正三棱柱ABC-A4C的底面邊長(zhǎng)是2,。是側(cè)棱CG的中點(diǎn)，直線4。

與側(cè)面BB&C所成的角為45°.

(1)求此正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)；

(2)求二面角A—2。一C的正切值;

⑶求點(diǎn)C到平面ABD的距離.

【答案】(D20

(2)3

⑶粵

【解析】（1）設(shè)正三棱柱ABC-的側(cè)棱長(zhǎng)為無(wú)，取中點(diǎn)E,連接AE,

：,ABC是正三角形，AELBC,

又底面ABC1側(cè)面24clC,且兩平面交線為8C,.?./正，側(cè)面

連接ED,則ZADE為直線AD與側(cè)面84cle所成的角，二/ADE=45°,

tan45。-出-

在用△AED中，ED“了，解得了=2及，，此正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為2拒?

（2）過(guò)E作EF_LBD于凡連接AF,

可知AF_L3D,.??/AFE為二面角A—2。一。的平面角.

CD72_A/3：

在及ABEF中,EF=BEsin/EBF,又BE=LsinZEBF=-.EF=^~

DU3

AP

又AE=，**?在Rt△AE7*1中，tanNAFE=----=3.

EF

（3）由（2）可知，3￡）上平面AEF平面AEF_L平面A8D,且交線為AF.

過(guò)E作EG八A尸于G,則EGJ_平面ABD.：.EG的長(zhǎng)為點(diǎn)E到平面ABD的距離.

在Rt△AEF中,

為8C中點(diǎn),二點(diǎn)C到平面ABD的距離為2EG=-—

5

CD”

20.（2022天津）如圖，在四棱錐尸—ABC。中，AD!IBC,AD1DC,BC=CDAD=2,E為棱AD的中

2

點(diǎn)，PA_L平面A3CD

(1)證明：AB〃平面尸CE

(2)求證：平面RIB_L平面PSD

(3)若二面角尸-CD-A的大小為45。，求直線AD與平面尸5。所成角的正切值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

⑶4

【解析】(1)：3C〃AE且BC=AE,.?.四邊形BCE4為平行四邊形，

?.AB//EC,又ABO平面尸CE,ECu平面PCE,

所以A2〃平面PCE.

(2):24_L平面ABCD,叨匚平面4￡口)，，24_13。，

連接BE,,:BC"DE且BC=DE,四邊形3CDE為平行四邊形，

VDEJ.CD,BC=CD=2,，平行四邊形BCDE為正方形，：.BD±EC,

又ABHEC,：.BDJ.AB,

又PAAB^A,PAABu面R4B,5D工面PAB,

BDu面PBD,：.平面PABJ_平面PBD.

(3)：P4_L平面A3CD,CDu平面ABC。，Z.PALCD,

又CD_LAD,PAoAD^A,「AAOu平面pa。，CD_L平面PAT),

因?yàn)镻Du平面PAD,CD_LPD,

—PDA為二面角尸-CD—A的平面角，從而/PCM=45。，所以上4=45=4,

作A"_LPB于〃，連接MD,

???平面上4B_L平面尸砒＞,AWu平面B4B,平面上4Bc平面尸3￡)=尸3,

，A/上面PBD,所以/ADM為直線AD與平面PBD所成角，

+擊工.I—/—,PA.,AZ?4x2A/24A/3

在直角?PAB中，A,B=CE=2A/2，-4，PB=2^6，??AM-----------=-----尸-=-----，

PB2763

因?yàn)槊鍼RD,DMu面PBD,所以AM_L￡)M,

在直角中，AD=4,AM=—,DM=^AD2-AM2=—,

33

/.tanZADM=—,

2

則直線AD與平面沏所成角的正切值為變.

2

21.(2022春?新疆?高一兵團(tuán)第一師高級(jí)中學(xué)校考期末)如圖，在四棱錐P-AFCD中，底面48。。是菱形,

ZABC=60,AB=2,AC\BD=O,尸0人底面ABC。，尸0=2,點(diǎn)E在棱尸。上，且CELPD.

(1)證明：平面尸平面ACE；

(2)求二面角尸-AC-E的余弦值.

⑶求四面體A-CDE的體積.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析；

⑵叵;

7

⑶空.

7

【解析】(1)：尸。［平面ABC。，ACu平面ABC。，Z.PO1,AC,

:在菱形ABCD中，AC1BD,且BDPO=O,B。、POu平面PBD,

AC_L平面PSD,,；ACu平面ACE