高一數學知識點（考前必看）

高一數學知識點（考前必看）

期末到了，同學們都在緊張的復習當中，那么高一數學復習呢？有哪些知識

點？今天小編在這給大家整理了高一數學知識點總結（考前必看）一高一數學復

習要點，接下來隨著小編一起來看看吧！

高一數學知識點總結（一）

一、指數函數

（一）指數與指數幕的運算

1.根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根（nthroot）,其中＞1,且

G*.

當是奇數時，正數的次方根是一個正數，負數的次方根是一個負數.此時，

的次方根用符號表示.式子叫做根式（radical）,這里叫做根指數

（radicalexponent）,叫做被開方數（radicand）.

當是偶數時，正數的次方根有兩個，這兩個數互為相反數.此時，正數的正

的次方根用符號表示，負的次方根用符號-表示.正的次方根與負的次方根可以

合并成±（〉0）.由此可得：負數沒有偶次方根;0的任何次方根都是0,記作。

注意：當是奇數時，當是偶數時，

2.分數指數累

正數的分數指數基的意義，規(guī)定：

0的正分數指數幕等于0,0的負分數指數幕沒有意義

指出：規(guī)定了分數指數累的意義后，指數的概念就從整數指數推廣到了有

理數指數，那么整數指數基的運算性質也同樣可以推廣到有理數指數幕.

3.實數指數塞的運算性質

（二）指數函數及其性質

1、指數函數的概念：一般地，函數叫做指數函數（exponential）,其中x

是自變量，函數的定義域為R.

注意：指數函數的底數的取值范圍，底數不能是負數、零和L

2、指數函數的圖象和性質

高一數學知識點總結（二）

奇偶性

定義

一般地，對于函數f(x):

(1)如果對于函數定義域內的任意一個X,都有f(-x)=-f(x),那么函數f(x)

就叫做奇函數。

(2)如果對于函數定義域內的任意一個x,都有f(x)=f(-x),那么函數f(x)

就叫做偶函數。

⑶如果對于函數定義域內的任意一個X,f(-x)=-f(x)與f(x)=f(-x)同時

成立，那么函數f(x)既是奇函數又是偶函數，稱為既奇又偶函數。

(4)如果對于函數定義域內的任意—個x,f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)都不

能成立，那么函數f(x)既不是奇函數又不是偶函數，稱為非奇非偶函數。

高一數學知識點總結(三)

幕函數定義：

形如y=x%(a為常數)的函數，即以底數為自變量累為因變量，指數為常量

的函數稱為幕函數。

定義域和值域：

當a為不同的數值時，幕函數的定義域的不同情況如下：如果a為任意實

數，則函數的定義域為大于0的所有實數;如果a為負數，則x肯定不能為0,

不過這時函數的定義域還必須根［據q的奇偶性來確定，即如果同時q為偶數，

則x不能小于0,這時函數的定義域為大于0的所有實數;如果同時q為奇數，

則函數的定義域為不等于0的所有實數。當x為不同的數值時，哥函數的值域

的不同情況如下：在x大于0時，函數的值域總是大于0的實數。在x小于0

時，則只有同時q為奇數，函數的值域為非零的實數。而只有a為正數，0才

進入函數的值域

幕函數性質：

對于a的取值為非零有理數，有必要分成幾種情況來討論各自的特性：

首先我們知道如果a=p/q,q和p都是整數，則x-(p/q)=q次根號(x的p次

方)，如果q是奇數，函數的定義域是R,如果q是偶數，函數的定義域是［0,

+°°)O當指數n是負整數時，設a=-k,則x=l/(x-k),顯然x^O,函數的定義

域是(-8,0)U(0,+8).因此可以看到x所受到的限制來源于兩點，一是有可

能作為分母而不能是0,一是有可能在偶數次的根號下而不能為負數，那么我

們就可以知道：

排除了為0與負數兩種可能，即對于x>0,則a可以是任意實數;

排除了為0這種可能，即對于x

排除了為負數這種可能，即對于x為大于且等于0的所有實數，a就不能是

負數。

總結起來，就可以得到當a為不同的數值時，幕函數的定義域的不同情況

如下：

如果a為任意實數，則函數的定義域為大于0的所有實數；

如果a為負數，則x肯定不能為0,不過這時函數的定義域還必須根據q的

奇偶性來確定，即如果同時q為偶數，則x不能小于0,這時函數的定義域為

大于0的所有實數;如果同時q為奇數，則函數的定義域為不等于0的所有實

數。

在X大于0時，函數的值域總是大于0的實數。

在x小于0時，則只有同時q為奇數，函數的值域為非零的實數。

而只有a為正數，0才進入函數的值域。

由于x大于0是對a的任意取值都有意義的，因此下面給出幕函數在第一

象限的各自情況.

可以看到：

(1)所有的圖形都通過(1,1)這點。

(2)當a大于0時，幕函數為單調遞增的，而a小于0時，密函數為單調遞

減函數。

(3)當a大于1時，幕函數圖形下凹；當a小于1大于0時，幕函數圖形上

凸。

(4)當a小于0時，a越小，圖形傾斜程度越大。

(5)a大于0,函數過(0,0);a小于0,函數不過(0,0)點。

(6)顯然幕函數無界。

高一數學知識點總結(四)

圓錐曲線性質:

一、圓錐曲線的定義

1.橢圓：到兩個定點的距離之和等于定長(定長大于兩個定點間的距離)的

動點的軌跡叫做橢圓.

2.雙曲線：到兩個定點的距離的差的絕對值為定值(定值小于兩個定點的距

離)的動點軌跡叫做雙曲線.即.

3.圓錐曲線的統(tǒng)一定義：到定點的距離與到定直線的距離的比e是常數的

點的軌跡叫做圓錐曲線.當01時為雙曲線.

二、圓錐曲線的方程

1.橢圓：+=l(a〉b〉0)或+=l(a>b>0)(其中，a2=b2+c2)

2.雙曲線：-=l(a>0,b>0)或-=l(a>0,b>0)(其中，c2=a2+b2)

3.拋物線:y2=±2px(p>0),x2=±2py(p>0)

三、圓錐曲線的性質

1.橢圓：+=l(a>b>0)

⑴范圍：|x|Wa,|y|Wb⑵頂點:(±a,0),(0,土b)⑶焦點:(+c,0)(4)

離心率：e=e(0,1)(5)準線：x=±

2.雙曲線：-=l(a>0,b〉0)(1)范圍：|x|2a,y￡R(2)頂點：(土a,0)(3)焦

點：(土c,0)(4)離心率：e=e(1,+8)(5)準線：x=±(6)漸近線：y=±x

3.拋物線：y2=2px(p>0)(1)范圍：x20,yCR(2)頂點：(0,0)(3)焦點：

(,0)(4)離心率:e=l(5)準線：x=-

高一數學知識點總結(五)

問題提出

1.函數是研究兩個變量之間的依存關系的一種數量形式.對于兩個變量，如

果當一個變量的取值一定時，另一個變量的取值被惟一確定，則這兩個變量之

間的關系就是一個函數關系.

2.在中學校園里，有這樣一種說法：“如果你的數學成績好,那么你的物理

學習就不會有什么大問題.”按照這種說法，似乎學生的物理成績與數學成績之

間存在著某種關系，我們把數學成績和物理成績看成是兩個變量，那么這兩個變

量之間的關系是函數關系嗎？

3.我們不能通過一個人的數學成績是多少就準確地斷定其物理成績能達到

多少，學習興趣、學習時間、教學水平等，也是影響物理成績的一些因素，但這兩

個變量是有一定關系的，它們之間是一種不確定性的關系.類似于這樣的兩個變

量之間的關系，有必要從理論上作些探討，如果能通過數學成績對物理成績進行

合理估計,將有著非常重要的現實意義.

知識探究(一)：變量之間的相關關系

思考1：考察下列問題中兩個變量之間的關系：

(1)商品銷售收入與廣宣支出經費；

(2)糧食產量與施肥量；

(3)人體內的脂肪含量與年齡.

這些問題中兩個變量之間的關系是函數關系嗎？

思考2：“名師出高徒”可以解釋為教師的水平越高，學生的水平就越高，

那么學生的學業(yè)成績與教師的教學水平之間的關系是函數關系嗎？你能舉出類似

的描述生活中兩個變量之間的這種關系的成適嗎？

思考3:上述兩個變量之間的關系是一種非確定性關系，稱之為相關關系，那

么相關關系的含義如何？

自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關

系，叫做相關關系.

1、球的體積和球的半徑具有0

A函數關系B相關關系

C不確定關系D無任何關系

2、下列兩個變量之間的關系不是

函數關系的是0

A角的度數和正弦值

B速度一定時，距離和時間的關系

C正方體的棱長和體積

D日照時間和水稻的畝產量AD練:知識探究

(-):散點圖

【問題】在一次對人體脂肪含量和年齡關系的研究中，研究人員獲得了一組

樣本數據：

其中各年齡對應的脂肪數據是這個年齡人群脂肪含量的樣本平均數.

思考1:對某一個人來說，他的體內脂肪含量不一定隨年齡增長而增加或減少,

但是如果把很多個體放在一起，就可能表現出一定的規(guī)律性.觀察上表中的數據,

大體上看，隨著年齡的增加，人體脂肪含量怎樣變化？

思考2:為了確定年齡和人體脂肪含量之間的更明確的關系，我們需要對數據

進行分析,通過作圖可以對兩個變量之間的關系有一個直觀的印象.以x軸表示

年齡，y軸表示脂肪含量，你能在直角坐標系中描出樣本數據對應的圖形嗎？

思考3：上圖叫做散點圖，你能描述一下散點圖的含義嗎？

在平面直角坐標系中，表示具有相關關系的兩個變量的一組數據圖形，稱

為散點圖.

思考4:觀察散點圖的大致趨勢，人的年齡的與人體脂肪含量具有什么相關關

系？

思考5：在上面的散點圖中，這些點散布在從左下角到右上角的區(qū)域，對于兩

個變量的這種相關關系，我們將它稱為正相關.一般地，如果兩個變量成正相關，

那么這兩個變量的變化趨勢如何？

思考6：如果兩個變量成負相關，從整體上看這兩個變量的變化趨勢如何？

其散點圖有什么特點？

一個變量隨另一個變量的變大而變小，散點圖中的點散布在從左上角到右

下角的區(qū)域.

一般情況下兩個變量之間的相關關系成正相關或負相關，類似于函數的單

調性.

知識探究(一)：回歸直線

思考1:一組樣本數據的平均數是樣本數據的中心，那么散點圖中樣本點的中

心如何確定？它一定是散點圖中的點嗎？

思考2:在各種各樣的散點圖中，有些散點圖中的點是雜亂分布的，有些散點

圖中的點的分布有一定的規(guī)律性，年齡和人體脂肪含量的樣本數據的散點圖中的

點的分布有什么特點？

這些點大致分布在一條直線附近.

思考3:如果散點圖中的點的分布，從整體上看大致在一條直線附近，則稱這

兩個變量之間具有線性相關關系，這條直線叫做回歸直線.對具有線性相關關系

的兩個變量，其回歸直線一定通過樣本點的中心嗎？

思考4:對一組具有線性相關關系的樣本數據，你認為其回歸直線是一條還是

幾條？

思考5:在樣本數據的散點圖中，能否用直尺準確畫出回歸直線？借助計算機

怎樣畫出回歸直線？

知識探究(二)：回歸方程

在直角坐標系中，任何一條直線都有相應的方程，回歸直線的方程稱為回

歸方程.對一組具有線性相關關系的樣本數據，如果能夠求出它的回歸方程，那

么我們就可以比較具體、清楚地了解兩個相關變量的內在聯系，并根據回歸方

程對總體進行估計.

思考1：回歸直線與散點圖中各點的位置應具有怎樣的關系？

整體上最接近

思考2:對于求回歸直線方程，你有哪些想法？

思考4：為了從整體上反映n個樣本數據與回歸直線的接近程度，你認為選

用哪個數量關系來刻畫比較合適？20.9%某小賣部為了了解熱茶銷售量與氣溫之

間的關系，隨機統(tǒng)計并制作了某6天，賣出熱茶的杯數與當天氣溫的對照表：

如果某天的氣溫是-50C,你能根據這些數據預測這天小賣部賣出熱茶的杯

數嗎？

實例探究

為了了解熱茶銷量與氣溫的大致關系，我們以橫坐標x表示氣溫，縱坐標y

表示熱茶銷量，建立直角坐標系.將表

中數據構成的6個數對表示的點在坐標系內標出，得到下圖。

你發(fā)現這些點有什么規(guī)律？

今后我們稱這樣的圖為散點圖(scatterplot).

建構數學

所以，我們用類似于估計平均數時的思想，考慮離差的平方和當x=-5時，熱

茶銷量約為66杯，線性回歸方程：

一般地，設有n個觀察數據如下:當a,b使2.三點(3,10),(7,