2021-2022學年江蘇省無錫市江陰市直屬學校八年級（上）期中數(shù)學試卷

第1頁（共1頁）2021-2022學年江蘇省無錫市江陰市直屬學校八年級（上）期中數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題所給出的四個選項中，只有一項是正確的，請用2B鉛筆把答題卡上相應(yīng)的選項標號涂黑）1．（3分）16的平方根是（）A．8 B．±8 C．±4 D．42．（3分）下列圖形是四家電信公司的標志，其中是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（3分）給出下列長度的四組線段：①1，2，2；②5，13，12；③6，7，8；④3，4，5其中能組成直角三角形的有（）A．①② B．②③ C．②④ D．③④4．（3分）已知等腰三角形的周長為21，其中一邊長為5，則該等腰三角形的底邊長是（）A．5 B．8 C．11 D．5或115．（3分）如圖，已知AB＝AD，那么添加下列一個條件后，仍無法判定△ABC≌△ADC的是（）A．CB＝CD B．∠BCA＝∠DCA C．∠BAC＝∠DAC D．∠B＝∠D＝90°6．（3分）到三角形三個頂點距離相等的點是此三角形（）A．三條角平分線的交點 B．三條中線的交點 C．三條高的交點 D．三邊中垂線的交點7．（3分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AD平分∠BAC．若CD＝3，則△ABD的面積為（）A．15 B．24 C．30 D．488．（3分）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，若AB＝3，BD＝2，CD＝1，則AC的長為（）A．6 B． C． D．49．（3分）如圖，將一個直角三角形紙片ABC（∠ACB＝90°），沿線段CD折疊，使點B落在B′處，若∠ACB′＝70°，則∠ACD的度數(shù)為（）A．30° B．20° C．15° D．10°10．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D為BC邊上一點，CD＝1，E為AC邊上一動點，連接DE，以DE為邊并在DE的右側(cè)作等邊△DEF，連接BF，則BF的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．二、填空題（本大題共8小題，10個空，每小空3分，共30分．不需寫出解答過程，只需把答案直接填寫在答題卡上相應(yīng)的位置）11．（6分）化簡＝，＝．12．（3分）已知△ABC≌△DEF，∠A＝40°，∠B＝70°，則∠F＝°．13．（3分）如果等腰三角形的頂角等于50°，那么它的底角為°．14．（3分）如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，若AB＝10，則CD＝．15．（3分）如圖，∠AOB＝90°，OA＝OB，直線l經(jīng)過點O，分別過A、B兩點作AC⊥l于點C，BD⊥l于點D，若AC＝5，BD＝3，則CD＝．16．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，點M為BC中點，MN⊥AC于點N，則MN的長是．17．（6分）如圖所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，AD是∠CAB的平分線，若P、Q分別是AD和AC上的動點，則AC＝，PC+PQ的最小值是．18．（3分）如圖，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，E為BC邊上一動點（不與點B、點C重合），連接AE并延長，在AE延長線上取點D，使CD＝CA，連接CD，過點C作CF⊥AD交AD于點F，交DB的延長線于點G，若CD＝3，BG＝1，則DB＝．三、解答題（本大題共10小題，共60分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（6分）求下列各式的x的值（1）4x2﹣121＝0；（2）（x﹣5）3+8＝020．（6分）如圖，在長度為1個單位長度的小正方形組成的正方形中，點A、B、C在小正方形的頂點（格點）上．（1）在圖中畫出與△ABC關(guān)于直線l成軸對稱的△A′B′C′；（2）三角形ABC的面積為；（3）頂點在格點，與△ABC全等且僅有1條公共邊，這樣的三角形共能畫出個．21．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，角平分線BD，CE相交于點O，求證：OB＝OC．22．（4分）已知：如圖，點E、F在線段BD上，BE＝DF，AB∥CD，∠A＝∠C．求證：△ABF≌△CDE．23．（6分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分線分別交AB、AC于點D、E．（1）若∠A＝42°，求∠DCB的度數(shù)．（2）若AE＝5，△DCB的周長為16，求△ABC的周長．24．（6分）如圖，CD是△ABC的高，點D在AB邊上，若AD＝16，CD＝12，BD＝9．（1）求AC，BC的長．（2）判斷△ABC的形狀并加以說明．25．（6分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中點，AC的垂直平分線交AC、AD、AB于點E、F、G，連接CF，BF．（1）點F到△ABC的邊和的距離相等．（2）若AF＝3，∠BAC＝45°，求∠BFC的度數(shù)和BC的長．26．（6分）如圖，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝5，點D是邊AB上的一個動點，連接CD，過C點在上方作CE⊥CD，且CE＝CD，點P是DE的中點．（1）如圖①，連接AP，判斷線段AP與線段DE的數(shù)量關(guān)系并說明理由；（2）如圖②，連接CP并延長交AB邊所在直線于點Q，若AQ＝2，求BD的長．27．（8分）如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，EA⊥AB于點A，EB交AC于點D，且AD＝AE．（1）求證：BD平分∠ABC；（2）如圖2，過E作EF⊥AC于點F．①求證：AF＝CD；②若BC＝6，AB＝10，則線段DE的長為．28．（8分）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，過點A作射線l∥BC，若點P從點A出發(fā)，以每秒2cm的速度沿射線l運動，設(shè)運動時間為t秒（t＞0），作∠PCB的平分線交射線l于點D，記點D關(guān)于射線CP的對稱點是點E，連接AE、PE、BP．（1）求證：PC＝PD；（2）當△PBC是等腰三角形時，求t的值；（3）是否存在點P，使得△PAE是直角三角形，如果存在，請直接寫出t的值，如果不存在，請說明理由．

2021-2022學年江蘇省無錫市江陰市直屬學校八年級（上）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題所給出的四個選項中，只有一項是正確的，請用2B鉛筆把答題卡上相應(yīng)的選項標號涂黑）1．（3分）16的平方根是（）A．8 B．±8 C．±4 D．4【解答】解：∵（±4）2＝16，∴16的平方根是±4．故選：C．2．（3分）下列圖形是四家電信公司的標志，其中是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：選項A、B、D不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形，選項C能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形，故選：C．3．（3分）給出下列長度的四組線段：①1，2，2；②5，13，12；③6，7，8；④3，4，5其中能組成直角三角形的有（）A．①② B．②③ C．②④ D．③④【解答】解：①12+22＝5≠22，故不是直角三角形，故A錯誤；②122+52＝132，故是直角三角形，故B正確；③62+72＝85≠82，故不是直角三角形，故C錯誤；④42+32＝52，故是直角三角形，故D正確．故選：C．4．（3分）已知等腰三角形的周長為21，其中一邊長為5，則該等腰三角形的底邊長是（）A．5 B．8 C．11 D．5或11【解答】解：當腰長為5時，底邊長為21﹣2×5＝11，三角形的三邊長為5，5，11，不能構(gòu)成三角形；當?shù)走呴L為5時，腰長為（21﹣5）÷2＝8，三角形的三邊長為8，8，5，構(gòu)成等腰三角形；所以等腰三角形的底邊為5．故選：A．5．（3分）如圖，已知AB＝AD，那么添加下列一個條件后，仍無法判定△ABC≌△ADC的是（）A．CB＝CD B．∠BCA＝∠DCA C．∠BAC＝∠DAC D．∠B＝∠D＝90°【解答】解：在△ABC和△ADC中∵AB＝AD，AC＝AC，∴當CB＝CD時，滿足SSS，可證明△ABC≌△ACD，故A可以；當∠BCA＝∠DCA時，滿足SSA，不能證明△ABC≌△ACD，故B不可以；當∠BAC＝∠DAC時，滿足SAS，可證明△ABC≌△ACD，故C可以；當∠B＝∠D＝90°時，滿足HL，可證明△ABC≌△ACD，故D可以；故選：B．6．（3分）到三角形三個頂點距離相等的點是此三角形（）A．三條角平分線的交點 B．三條中線的交點 C．三條高的交點 D．三邊中垂線的交點【解答】解：∵垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等，∴到三角形三個頂點的距離相等的點是三角形三邊垂直平分線的交點．故選：D．7．（3分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AD平分∠BAC．若CD＝3，則△ABD的面積為（）A．15 B．24 C．30 D．48【解答】解：過D點作DE⊥AB于E，如圖，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC＝3，∴S△ABD＝×10×3＝15．故選：A．8．（3分）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，若AB＝3，BD＝2，CD＝1，則AC的長為（）A．6 B． C． D．4【解答】解：如圖，∵在△ABC中，AD⊥BC于點D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∵在Rt△ADB中，AB＝3，BD＝2，∴AD＝＝＝在Rt△ADC中，AD＝，CD＝1，∴AC＝＝＝故選：B．9．（3分）如圖，將一個直角三角形紙片ABC（∠ACB＝90°），沿線段CD折疊，使點B落在B′處，若∠ACB′＝70°，則∠ACD的度數(shù)為（）A．30° B．20° C．15° D．10°【解答】解：∵∠B'CB＝∠ACB+∠ACB'∴∠B'CB＝160°∵折疊∴∠B'CD＝∠BCD＝∠B'CB＝80°∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝10°故選：D．10．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D為BC邊上一點，CD＝1，E為AC邊上一動點，連接DE，以DE為邊并在DE的右側(cè)作等邊△DEF，連接BF，則BF的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．【解答】解：以BD為邊，在BD右側(cè)作等邊三角形BDM，連接EM，如圖：∵△BDM和△DEF是等邊三角形，∴DE＝DF，DM＝BD，∠BDM＝∠FDE＝60°，∴∠BDM﹣∠MDF＝∠FDE﹣∠MDF，即∠BDF＝∠MDE，∴△BDF≌△MDE（SAS），∴BF＝ME，∴當ME最小時，BF最小，此時ME⊥AC，如圖：過M作MN⊥BC于N，∵BC＝3，CD＝1，∴BD＝2，∴ND＝BD＝1，NC＝2，而∠MNC＝∠NCE＝∠CEM＝90°，∴四邊形MNCE是矩形，∴ME＝NC＝2，而BF＝ME，∴BF最小值是2．故選：B．二、填空題（本大題共8小題，10個空，每小空3分，共30分．不需寫出解答過程，只需把答案直接填寫在答題卡上相應(yīng)的位置）11．（6分）化簡＝2，＝3．【解答】解：＝2，＝3．故答案為：2，3．12．（3分）已知△ABC≌△DEF，∠A＝40°，∠B＝70°，則∠F＝70°．【解答】解：∵∠A＝40°，∠B＝70°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝70°，∵△ABC≌△DEF，∴∠F＝∠C＝70°，故答案是：70．13．（3分）如果等腰三角形的頂角等于50°，那么它的底角為65°．【解答】解：∵等腰三角形的頂角等于50°，又∵等腰三角形的底角相等，∴底角等于（180°﹣50°）×＝65°．故答案為：65．14．（3分）如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，若AB＝10，則CD＝5．【解答】解：在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，則AB＝2CD＝10，∴CD＝5．故答案為：5．15．（3分）如圖，∠AOB＝90°，OA＝OB，直線l經(jīng)過點O，分別過A、B兩點作AC⊥l于點C，BD⊥l于點D，若AC＝5，BD＝3，則CD＝2．【解答】解：如圖，∵AC⊥l于點C，BD⊥l于點D，∴∠ACO＝∠ODB＝90°，∵∠AOB＝90°，∴∠A＝90°﹣∠AOC＝∠BOD，在△ACO和△ODB中，，∴△ACO≌△ODB（AAS），∴AC＝OD＝5，OC＝BD＝3，∴CD＝OD﹣OC＝5﹣3＝2，故答案為：2．16．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，點M為BC中點，MN⊥AC于點N，則MN的長是．【解答】解：連接AM，∵AB＝AC，點M為BC中點，∴AM⊥CM（三線合一），BM＝CM，∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BM＝CM＝3，在Rt△ABM中，AB＝5，BM＝3，∴根據(jù)勾股定理得：AM＝＝＝4，又S△AMC＝MN?AC＝AM?MC，∴MN＝＝．17．（6分）如圖所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，AD是∠CAB的平分線，若P、Q分別是AD和AC上的動點，則AC＝5，PC+PQ的最小值是．【解答】解：過點D作DE⊥AB于點E，過點E作EQ⊥AC于點Q，EQ交AD于點P，連接CP，此時PC+PQ＝EQ取最小值，如圖所示．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，∴AC＝＝＝5．∵AD是∠BAC的平分線，∴∠CAD＝∠EAD，在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（AAS），∴AE＝AC＝5．∵EQ⊥AC，∠ACB＝90°，∴EQ∥BC，∴＝，即＝，∴EQ＝，故答案為：5，．18．（3分）如圖，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，E為BC邊上一動點（不與點B、點C重合），連接AE并延長，在AE延長線上取點D，使CD＝CA，連接CD，過點C作CF⊥AD交AD于點F，交DB的延長線于點G，若CD＝3，BG＝1，則DB＝﹣1．【解答】解：如圖，連接AG．設(shè)∠DCB＝x．設(shè)∠DCB＝x．∵CA＝CB＝CD，∴∠CAD＝∠CDA＝（180°﹣90°﹣x）＝45°﹣x，∠CDB＝∠CBD＝（180°﹣x）＝90°﹣x，∴∠ADB＝∠CDB﹣∠CDA＝90°﹣x﹣（45°﹣x）＝45°，∵CG⊥AD，CA＝CD，∴DF＝AF，∴GA＝BG，∴∠GAD＝∠GDA＝45°，∴∠AGB＝90°，設(shè)BD＝m，則AG＝DG＝m+1，∵AB＝＝＝3，∴（3）2＝12+（m+1）2，解得m＝﹣1．故答案為：﹣1．三、解答題（本大題共10小題，共60分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（6分）求下列各式的x的值（1）4x2﹣121＝0；（2）（x﹣5）3+8＝0【解答】解：（1）4x2﹣121＝0，4x2＝121，，；（2）（x﹣5）3+8＝0，（x﹣5）3＝﹣8，，x＝3．20．（6分）如圖，在長度為1個單位長度的小正方形組成的正方形中，點A、B、C在小正方形的頂點（格點）上．（1）在圖中畫出與△ABC關(guān)于直線l成軸對稱的△A′B′C′；（2）三角形ABC的面積為3；（3）頂點在格點，與△ABC全等且僅有1條公共邊，這樣的三角形共能畫出4個．【解答】解：（1）如圖，△A′B′C′為所作；（2）△ABC的面積＝2×4﹣×4×1﹣×1×2﹣×2×2＝3；故答案為3；（3）如圖，頂點在格點，與△ABC全等且僅有1條公共邊，這樣的三角形共能畫出4個；故答案為4．21．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，角平分線BD，CE相交于點O，求證：OB＝OC．【解答】證明：∵AB＝AC，∴∠EBC＝∠DCB，∵BD，CE是角平分線，∴∠DBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB，∴∠DBC＝∠ECB，∴OB＝OC．22．（4分）已知：如圖，點E、F在線段BD上，BE＝DF，AB∥CD，∠A＝∠C．求證：△ABF≌△CDE．【解答】證明：∵BE＝DF，∴BE+EF＝DF+EF，即BF＝DE，∵AB∥CD，∴∠B＝∠D，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（AAS）．23．（6分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分線分別交AB、AC于點D、E．（1）若∠A＝42°，求∠DCB的度數(shù)．（2）若AE＝5，△DCB的周長為16，求△ABC的周長．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠A＝42°，∴∠ACB＝∠ABC＝69°，∵DE垂直平分AC，∵AD＝CD，∴∠ACD＝∠A＝42°，∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝69°﹣42°＝27°，（2）∵DE垂直平分AC，∴AC＝2AE＝10，∴AB＝AC＝10，∵△DCB的周長＝CD+BD+BC＝AD+BD+BC＝AB+BC＝16，BC＝16﹣AB＝16﹣10＝6，∴△ABC的周長＝AB+AC+BC＝26．24．（6分）如圖，CD是△ABC的高，點D在AB邊上，若AD＝16，CD＝12，BD＝9．（1）求AC，BC的長．（2）判斷△ABC的形狀并加以說明．【解答】解：（1）∵CD是△ABC的高，∴∠ADC＝∠CDB＝90°，△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝16，CD＝12，由勾股定理可得：AC＝＝20，△CDB中，∠CDB＝90°，BD＝9，CD＝12，由勾股定理可得：CB＝＝15；（2）△ABC是直角三角形．∵AD＝16，BD＝9，∴AB2＝（AD+BD）2＝252＝625，∵AC＝20，BC＝15，∴AC2+BC2＝400+225＝625，∴AB2＝AC2+BC2，∴△ABC是直角三角形．25．（6分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中點，AC的垂直平分線交AC、AD、AB于點E、F、G，連接CF，BF．（1）點F到△ABC的邊AB和AC的距離相等．（2）若AF＝3，∠BAC＝45°，求∠BFC的度數(shù)和BC的長．【解答】解：（1）∵AB＝AC，D是BC中點，∴∠CAD＝∠BAD，∴點F到△ABC的邊AB和AC的距離相等；故答案為：AB和AC（或AC和AB）；（2）∵AB＝AC，D是BC中點，∴AD垂直平分BC，∴CF＝BF，∵EG垂直平分BC，∴AF＝CF，∴AF＝CF＝BF＝3，∵AF＝CF，∴∠FAC＝∠FCA，∴∠CFD＝∠FAC+∠FCA＝2∠CAD，同理可得：∠BFD＝2∠BAD，∴∠BFC＝2∠CAD+2∠BAD＝2∠BAC＝90°，在Rt△BFC中，∠BFC＝90°，∴BC＝＝＝3．26．（6分）如圖，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝5，點D是邊AB上的一個動點，連接CD，過C點在上方作CE⊥CD，且CE＝CD，點P是DE的中點．（1）如圖①，連接AP，判斷線段AP與線段DE的數(shù)量關(guān)系并說明理由；（2）如圖②，連接CP并延長交AB邊所在直線于點Q，若AQ＝2，求BD的長．【解答】解：（1）AP＝DE，理由：連接AE，如圖，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°．∵∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠ECA＝∠DCB．在△BCD和△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（SAS）．∴∠EAC＝∠B＝45°．∴∠EAD＝∠EAC+∠BAC＝90°．又∵P為DE中點，∴AP＝DE．（2）情況（一），當Q在線段AB上時，連接AE，EQ，如圖，∵CE⊥CD，且CE＝CD，點P是DE的中點，∴CP⊥DE．即CQ垂直平分DE，∴EQ＝DQ．設(shè)BD＝AE＝x，由（1）知：∠EAB＝90°，∴EA2+AQ2＝EQ2．∵DQ＝AB﹣AQ﹣BD＝3﹣x，∴x2+22＝（3﹣x）2，解得x＝．情況（二），當Q在線段BA延長線上時，連接AE，EQ，如圖，∵CE⊥CD，且CE＝CD，點P是DE的中點，∴CP⊥DE．即CQ垂直平分DE，∴EQ＝DQ．設(shè)BD＝AE＝x，同理可得方程：x2+22＝（7﹣x）2，解得x＝．綜上：BD＝或．27．（8分）如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，EA⊥AB于點A，EB交AC于點D，且AD＝AE．（1）求證：BD平分∠ABC；（2）如圖2，過E作EF⊥AC于點F．①求證：AF＝CD；②若BC＝6，AB＝10，則線段DE的長為2．【解答】（1）證明：如圖1，∵AD＝AE，∴∠E＝∠ADE，∵∠ADE＝∠BDC，∴∠E＝∠BDC，∵EA⊥AB，∴∠BAE＝90°，∴∠E+∠ABE＝90°，∵∠C＝90°，∴∠BDC+∠DBC＝90°，∴∠DBC＝∠ABE，∴BD平分∠ABC；（2）①證明：如圖2，過D作DH⊥AB于H，∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，∴CD＝DH，∵EA⊥AB，EF⊥AC，∴∠EAF＝∠AFE＝∠AHD＝90°，∴∠AEF+∠EAF＝∠EAF+∠DAH＝90°，∴∠AEF＝∠DAH，在△ADH與△EAF中，，∴△ADH≌△EAF（AAS），∴AF＝DH，∴AF＝CD；②解：∵BC＝6，AB＝10，∴AC＝8，∵CD＝DE，BD＝BD，∴Rt△BCD≌Rt△BHD（HL），∴BH＝BC＝6，∴AH＝4，∵△ADH≌△EAF，∴EF＝AH＝4，設(shè)AF