2025版新教材高中數(shù)學單元素養(yǎng)測評卷四第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)新人教A版必修第一冊

PAGEPAGE1單元素養(yǎng)測評卷(四)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)一、單項選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．)1．下列運算中，正確的是()A．3log32＝9B．a(chǎn)2·eq\r(a3)＝a3(a>0)C．eq\r(3,（－3）3)＋8eq\f(2,3)＝1D．(eq\f(2,3))－2＋lgeq\f(1,100)＝－eq\f(22,9)2．[2024·廣東茂名高一期末]函數(shù)f(x)＝lgeq\r(2x－3)的定義域是()A．(0，eq\f(3,2))B．[eq\f(3,2)，＋∞)C．(－∞，eq\f(3,2)]D．(eq\f(3,2)，＋∞)3．[2024·北京師大附中高一期末]函數(shù)f(x)＝eq\f(4,x)－2x的零點所在的區(qū)間是()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)4．[2024·江蘇南通高一期末]已知指數(shù)函數(shù)f(x)＝a－x(a>0，且a≠1)，且f(－2)>f(－3)，則a的取值范圍()A．(0，1)B．(1，＋∞)C．(0，＋∞)D．(－∞，0)5．函數(shù)f(x)＝eq\f(ln|x|,x)的圖象大致為()6．[2024·廣東汕頭高一期末]已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lnx，x>0,ex，x≤0))，則函數(shù)feq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f（\f(1,3)）))＝()A．3B．－3C．eq\f(1,3)D．－eq\f(1,3)7．已知a＝log3eq\f(1,2)，b＝log2eq\r(3)，c＝0.3－0.5，則a，b，c的大小關系為()A．a(chǎn)<c<bB．a(chǎn)<b<cC．c<a<bD．b<c<a8．為了給地球減負，提高資源利用率，2024年全國掀起了垃圾分類的熱潮，垃圾分類已經(jīng)成為新時尚．假設某市2024年全年用于垃圾分類的資金為3000萬元，在此基礎上，以后每年投入的資金比上一年增長20%，則該市全年用于垃圾分類的資金起先超過1億元的年份是(參考數(shù)據(jù)：lg6≈0.78，lg5≈0.70，lg3≈0.48)()A．2026年B．2027年C．2028年D．2029年二、多項選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．)9.已知函數(shù)y＝loga(x＋c)(a，c為常數(shù)，其中a>0，a≠1)的圖象如圖，則下列結(jié)論成立的是()A．a(chǎn)>1B．0<a<1C．c>1D．0<c<110．[2024·廣東惠州高一期末]若10a＝4，10b＝25，則()A．a(chǎn)＋b＝2B．b－a＝1C．a(chǎn)b>8lg22D．b－a>lg611．下列結(jié)論中，正確的是()A．函數(shù)y＝2x－1是指數(shù)函數(shù)B．函數(shù)y＝ax2＋1(a>1)的值域是[1，＋∞)C．若am>an(a>0，a≠1)，則m>nD．函數(shù)f(x)＝ax－2－3(a>0，a≠1)的圖象必過定點(2，－2)12．[2024·河北石家莊高一期末]已知函數(shù)f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零點分別為a，b，c，以下說法正確的是()A．－1<a<0B．1<b<2C．b<c<aD．a(chǎn)＋b＋c＝0三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分．)13．若3a＝6，則eq\r(（2－π）2)＋a－log32＝________．14．[2024·廣東茂名高一期末]若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(g（x），x<0,（\f(1,3)）x，x>0))是奇函數(shù)，則g(－3)＝________．15．[2024·江蘇徐州高一期末]若函數(shù)f(x)＝logeq\f(1,2)(ax－x2)在(2，3)單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為________．16．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x，x≥0,－x2－2x＋1，x<0))，函數(shù)f(x)有________個零點，若函數(shù)y＝f(x)－m有三個不同的零點，則實數(shù)m的取值范圍是________．四、解答題(本題共6小題，共70分．解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．)17．(本小題滿分10分)計算：(1)2log510＋log50.25；(2)(2eq\f(1,2))0＋2－2－27eq\f(2,3).18．(本小題滿分12分)[2024·湖北武漢高一期末]已知函數(shù)f(x)＝eq\f(3x＋a,3x＋1)為奇函數(shù)．(1)求a的值；(2)推斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并加以證明．19．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝loga(x－1)(a>0，且a≠1)，(1)求f(2)的值及函數(shù)f(x)的定義域；(2)若函數(shù)f(x)在[2，9]上的最大值與最小值之差為3，求實數(shù)a的值．20．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝logaeq\f(1＋mx,1－x)(a>1)是奇函數(shù)．(1)求實數(shù)m的值；(2)求不等式f(x)>0的解集．21．(本小題滿分12分)某地為踐行習總書記提出的“綠水青山就是金山銀山”的理念，大力開展植樹造林．假設一片森林原來的面積為a畝，安排每年種植一些樹苗，使森林面積的年平均增長率為20%，且x年后森林的面積為y畝．(1)列出y與x的函數(shù)解析式并寫出函數(shù)的定義域；(2)為使森林面積至少達到6a畝至少須要植樹造林多少年？(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)22．(本小題滿分12分)[2024·北京通州高一期末]已知函數(shù)f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的圖象經(jīng)過點(2，eq\f(1,4)).(1)求a的值；(2)求f(x)在區(qū)間[－eq\f(1,2)，1]上的最大值；(3)若g(x)＝f(x)－x，求證：g(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)存在零點．單元素養(yǎng)測評卷(四)1．答案：C解析：3log32＝2，故A錯誤；a2·eq\r(a3)＝a2·aeq\f(3,2)＝aeq\f(7,2)(a>0)，故B錯誤；eq\r(3,（－3）3)＋8eq\f(2,3)＝－3＋23×eq\f(2,3)＝－3＋4＝1，故C正確；(eq\f(2,3))－2＋lgeq\f(1,100)＝eq\f(9,4)－2＝eq\f(1,4)，故D錯誤．2．答案：D解析：要使函數(shù)有意義，則2x－3>0，即x>eq\f(3,2)，故函數(shù)的定義域為(eq\f(3,2)，＋∞).3．答案：B解析：因為函數(shù)y＝eq\f(4,x)，y＝－2x均為(0，＋∞)上的單調(diào)遞減函數(shù)，所以函數(shù)f(x)＝eq\f(4,x)－2x在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，因為f(1)＝2>0，f(2)＝－2<0，所以函數(shù)f(x)＝eq\f(4,x)－2x的零點所在的區(qū)間是(1，2).4．答案：A解析：由指數(shù)函數(shù)f(x)＝a－x＝(eq\f(1,a))x(a>0，且a≠1)，且f(－2)>f(－3)，依據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知eq\f(1,a)>1，所以0<a<1.5．答案：C解析：f(x)的定義域為{x|x≠0}，f(－x)＝eq\f(ln|x|,－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，所以AD選項錯誤．f(1)＝0，f(2)＝eq\f(ln2,2)>0，所以B選項錯誤．6．答案：C解析：由題意可知，f(eq\f(1,3))＝lneq\f(1,3)＝－ln3，所以f[f(eq\f(1,3))]＝f(－ln3)＝e－ln3＝eq\f(1,3).7．答案：B解析：a＝log3eq\f(1,2)<log31＝0，b＝log2eq\r(3)>log21＝0且b＝log2eq\r(3)<log22＝1，故b∈(0，1)，c＝0.3－0.5>0.30＝1，故a<b<c.8．答案：B解析：設經(jīng)過n年之后，投入資金為y萬元，則y＝3000(1＋0.2)n，由題意可得y＝3000(1＋0.2)n>10000，即1.2n>eq\f(10,3)，所以nlg1.2>lgeq\f(10,3)，即n>eq\f(lg\f(10,3),lg1.2)＝eq\f(lg\f(10,3),lg\f(6,5))＝eq\f(1－lg3,lg6－lg5)≈eq\f(1－0.48,0.78－0.70)＝6.5，又因為n∈N*，所以n≥7，即從2027年起先該市全年用于垃圾分類的資金超過1億元．9．答案：BD解析：由圖象知0<a<1，可以看作是y＝logax向左移動c個單位得到的，因此0<c<1.10．答案：ACD解析：由題設，10a＋b＝100，即a＋b＝2，A正確；10b－a＝eq\f(25,4)，即b－a＝lgeq\f(25,4)>lgeq\f(24,4)＝lg6，B錯誤，D正確；由a＝2lg2，b＝2lg5，則ab＝4lg2lg5>4lg2lg4＝8lg22，C正確．11．答案：BD解析：選項A.依據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義，可得y＝2x－1不是指數(shù)函數(shù)，故A不正確．選項B.當a>1時，y＝ax2＋1≥1，故B正確．選項C.當0<a<1時，函數(shù)y＝ax單調(diào)遞減，由am>an，則m<n，故C不正確．選項D.由f(2)＝a2－2－3＝－2，可得f(x)的圖象恒過點(2，－2)，故D正確．12．答案：AD解析：由題設，2a＝－a，log2b＝－b，c3＝－c，所以，問題可轉(zhuǎn)化為y＝－x與y＝2x、y＝log2x、y＝x3的交點問題，函數(shù)圖象如下：由圖及y＝2x、y＝log2x對稱性知a＋b＝0，c＝0，且－1<a<c＝0<b<1，所以A、D正確，B、C錯誤．13．答案：π－1解析：由3a＝6，可得a＝log36＝log33＋log32＝1＋log32，則eq\r(（2－π）2)＋a－log32＝(π－2)＋1＋log32－log32＝π－1.14．答案：－eq\f(1,27)解析：因為f(x)是奇函數(shù)，可得g(－3)＝f(－3)＝－f(3)＝－(eq\f(1,3))3＝－eq\f(1,27).15．答案：[3，4]解析：令t＝ax－x2，則y＝logeq\f(1,2)t，因為y＝logeq\f(1,2)t為減函數(shù)，所以f(x)在(2，3)上單調(diào)遞增等價于t＝ax－x2在(2，3)上單調(diào)遞減，且ax－x2>0，即eq\f(a,2)≤23a－9≥0，解得3≤a≤4.16．答案：1(1，2)解析：由題，當x≥0時，f(x)＝2x，當x<0時，y＝－x2－2x＋1為二次函數(shù)，對稱軸為x＝－1，且過(0，1)開口向下．故畫出圖象有故函數(shù)f(x)有1個零點．又f(x)＝m有三個不同的交點則有圖象有y＝－x2－2x＋1最大值為eq\f(4×（－1）×1－（－2）2,4×（－1）)＝2.故m∈(1，2).17．解析：(1)2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2.(2)(2eq\f(1,2))0＋2－2－27eq\f(2,3)＝1＋eq\f(1,4)－(33)eq\f(2,3)＝1＋eq\f(1,4)－9＝－eq\f(31,4).18．解析：(1)因為函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且f(x)的定義域為R，所以f(0)＝eq\f(1＋a,1＋1)＝0，所以a＝－1，經(jīng)檢驗滿意題意．(2)f(x)＝eq\f(3x－1,3x＋1)＝1－eq\f(2,3x＋1)，函數(shù)f(x)在定義域R上單調(diào)遞增．理由：設隨意的x1，x2，且x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝eq\f(2（3x1－3x2）,（3x1＋1）（3x2＋1）).因為x1<x2，所以3x1<3x2，所以3x1－3x2<0，所以f(x1)<f(x2)，所以函數(shù)f(x)在定義域R上單調(diào)遞增．19．解析：(1)函數(shù)f(x)＝loga(x－1)，則f(2)＝loga1＝0，由x－1>0解得x>1，所以f(2)的值是0，f(x)的定義域是(1，＋∞).(2)當0<a<1時，f(x)＝loga(x－1)在[2，9]上單調(diào)遞減，f(x)max＝f(2)＝0，f(x)min＝f(9)＝loga8，于是得0－loga8＝3，即a－3＝8，解得a＝eq\f(1,2)，當a>1時，f(x)＝loga(x－1)在[2，9]上單調(diào)遞增，f(x)min＝f(2)＝0，f(x)max＝f(9)＝loga8，于是得loga8－0＝3，即a3＝8，解得a＝2，所以實數(shù)a的值為eq\f(1,2)或2.20．解析：(1)因為函數(shù)f(x)＝logaeq\f(1＋mx,1－x)(a>1)是奇函數(shù)，所以f(－x)＋f(x)＝loga(eq\f(1－mx,1＋x)·eq\f(1＋mx,1－x))＝0對隨意定義域內(nèi)的x恒成立，所以eq\f(1－mx,1＋x)·eq\f(1＋mx,1－x)＝1即(m2－1)x2＝0對隨意定義域內(nèi)的x恒成立，所以m2＝1，所以m＝±1，當m＝－1時，定義域為{x|x≠1}，不關于原點對稱，舍去，當m＝1時，f(x)＝logaeq\f(1＋x,1－x)符合題意，所以m＝1.(2)f(x)>0?logaeq\f(1＋x,1－x)>0(a>1)，故eq\f(1＋x,1－x)>1，解得0<x<1.所以不等式的解集為(0，1).21．解析：(1)森林原來的面積為a畝，森林面積的年平均增長率為20%，x年后森林的面積為y畝，則y＝a(1＋20%)x(x>0且x∈N*).(2)設為使森林面積至少達到6a畝，至少須要