北京市昌平區(qū)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析

Page19北京市昌平區(qū)2024屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題（滿分：150分時(shí)間：120分鐘）一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分.在每小題中選出符合題目要求的一項(xiàng).）1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出集合后可求.【詳解】，故，故選：B.2.在復(fù)平面內(nèi)，與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則，簡(jiǎn)化復(fù)數(shù)，最終確定復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置.【詳解】,復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，它在第四象限，故本題選D.【點(diǎn)睛】本題考查通過(guò)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)后推斷復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置.3.圓與圓的位置關(guān)系為（）A.外離 B.內(nèi)切 C.相交 D.外切【答案】D【解析】【分析】依據(jù)題意，求出兩圓的圓心距，再結(jié)合圓與圓位置關(guān)系的推斷方法，即可求解.【詳解】因?yàn)閳A的圓心為，圓的圓心為，所以兩圓的圓心距為．因?yàn)閳A的半徑為，圓的半徑為，所以圓心距等于兩圓的半徑和，故兩圓外切．故選：D.4.在的綻開(kāi)式中，的系數(shù)為A.5 B. C.10 D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)二項(xiàng)式定理計(jì)算即可.【詳解】解：在的綻開(kāi)式中的項(xiàng)為的系數(shù)為-10，故選：D.5.設(shè)，為不重合的兩條直線，，為不重合的兩個(gè)平面，下列命題錯(cuò)誤的是（）A.若且，則 B.若且，則C.若且，則 D.若且，則【答案】C【解析】【分析】依據(jù)線面平行、面面平行的判定和性質(zhì)，線面垂直、面面垂直的判定分析推斷即可.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)且時(shí)，，所以A正確，對(duì)于B，當(dāng)且時(shí)，過(guò)作平面，交于直線，則∥，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以B正確，對(duì)于C，當(dāng)且時(shí)，，可能平行，可能異面，可能相交，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，當(dāng)且時(shí)，則，所以D正確，故選：C6.已知雙曲線的離心率為，則的漸近線方程為A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】，故，即，故漸近線方程.【考點(diǎn)】本題考查雙曲線的基本性質(zhì)，考查學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化實(shí)力.7.已知向量，，則“”是“與共線”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【詳解】當(dāng)時(shí)，，則與共線；當(dāng)與共線時(shí)，，，所以“”是“與共線”的充分不必要條件；故選:A.8.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，且，則線段的中點(diǎn)到軸的距離為（）A.1 B.4 C.3 D.7【答案】C【解析】【分析】設(shè)出，由拋物線焦點(diǎn)弦公式得到，進(jìn)而求出線段的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，得到答案.【詳解】由題意得：，設(shè)，則，解得：，則線段的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，故線段的中點(diǎn)到軸的距離為3.故選：C9.過(guò)直線上一點(diǎn)作圓：的切線，切點(diǎn)為，，則四邊形的面積的最小值為（）A. B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】求得圓C的圓心和半徑,由切線的性質(zhì)和四邊形的面積求法,結(jié)合勾股定理和點(diǎn)到直線的距離公式,計(jì)算可得所求最小值.【詳解】由圓方程可得：，則圓心為：，半徑又為圓的切線，則又當(dāng)四邊形的面積的取最小值時(shí)，最小又垂直于直線時(shí)，最小四邊形面積的最小值為：故選：B10.眾所周知的“太極圖”，其形態(tài)如對(duì)稱的陰陽(yáng)兩魚(yú)互抱在一起，因而也被稱為“陰陽(yáng)魚(yú)太極圖”.如圖是放在平面直角坐標(biāo)系中的“太極圖”，整個(gè)圖形是一個(gè)圓形，其中黑色陰影區(qū)域在軸右側(cè)部分的邊界為一個(gè)半圓，已知直線：.給出以下命題：①當(dāng)時(shí)，若直線截黑色陰影區(qū)域所得兩部分面積記為，（），則；②當(dāng)時(shí)，直線與黑色陰影區(qū)域有1個(gè)公共點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，直線與黑色陰影區(qū)域有2個(gè)公共點(diǎn).其中全部正確命題的序號(hào)是（）A①② B.①③ C.②③ D.①②③【答案】A【解析】【分析】由題知依據(jù)直線：橫過(guò)點(diǎn)，為直線的斜率依據(jù)直線和圓的位置關(guān)系作圖，數(shù)形結(jié)合逐項(xiàng)分析推斷即可得解【詳解】如圖1所示，大圓的半徑為2，小圓的半徑為1，所以大圓的面積為，小圓的面積為．對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，直線的方程為．此時(shí)直線將黑色陰影區(qū)域的面積分為兩部分，，，所以，故①正確．對(duì)于②，依據(jù)題意，黑色陰影區(qū)域在第一象限的邊界方程為當(dāng)時(shí)，直線的方程為，即，小圓圓心到直線的距離，所以直線與該半圓弧相切，如圖2所示，所以直線與黑色陰影區(qū)域只有一個(gè)公共點(diǎn)，故②正確．對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，如圖3所示，直線與黑色陰影區(qū)域的邊界曲線有2個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線與黑色陰影區(qū)域的邊界曲線有1個(gè)公共點(diǎn)，故③錯(cuò)誤．綜上所述，①②正確．故選：A．二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分.）11.已知單位向量滿意，則的值為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】由得，求須要平方轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運(yùn)算.【詳解】..故答案為:.12.角以為始邊，它的終邊與單位圓相交于第四象限點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則的值為_(kāi)_____.【答案】##-0.75【解析】【分析】由角的終邊與單位圓交于，故將的坐標(biāo)求出，利用定義就可以求出的值.【詳解】由交的終邊與單位圓相交于第四象限點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，所以，有定義可得故答案為：.13.已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是________.【答案】【解析】【詳解】試題分析：正四棱柱的高是4，體積是16，則底面邊長(zhǎng)為2，底面正方形的對(duì)角線長(zhǎng)度為，所以正四棱柱體對(duì)角線的長(zhǎng)度為，四棱柱體對(duì)角線為外接球的直徑，所以球的半徑為，所以球的表面積為．考點(diǎn)：正四棱柱外接球表面積．14.已知函數(shù)，則___________；若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【答案】①.②.【解析】【分析】依據(jù)分段函數(shù)解析式，先求出，即可得解，證明函數(shù)是上的減函數(shù)，再解關(guān)于的一元二次不等式即可.【詳解】解：由，得，所以，因?yàn)槎际菧p函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)是上的減函數(shù)，則，即為，解得.故答案為：；.15.如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方體中，是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①三棱錐的體積為定值；②存在點(diǎn)，使得平面；③對(duì)每一個(gè)點(diǎn)，在棱上總存在一點(diǎn)，使得平面；④是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的截面垂直于，則截面的面積的最小值為．其中全部正確結(jié)論的序號(hào)是____________．【答案】①④【解析】【分析】依據(jù)題意作圖，并嘗試特別位置，進(jìn)行檢驗(yàn)證明.【詳解】對(duì)于①，如下圖所示：在邊長(zhǎng)為1的正方體中，易知平面，因?yàn)辄c(diǎn)是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，可設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，且，則三棱錐的體積，故①正確；對(duì)于②，連接，，因?yàn)樵谄叫兴倪呅沃?，，所以不垂直，所以使得不垂直平面，所以②不正確.對(duì)于③，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，無(wú)論點(diǎn)在何位置，直線與平面相交，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，依據(jù)題意，作圖如下：因?yàn)檎襟w中，易知平面，所以，設(shè)，則，，在中，，，則該截面面積，由，當(dāng)時(shí)，，故④正確；故答案為：①④.三、解答題：本大題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.16.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先利用三角函數(shù)恒等變換，把函數(shù)的解析式變形為，進(jìn)一步求出函數(shù)的最小正周期．（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值問(wèn)題，求最大值時(shí)先求的范圍即可得到的最大值．【小問(wèn)1詳解】因所以的最小正周期為【小問(wèn)2詳解】“對(duì)恒成立”等價(jià)于“”因?yàn)樗援?dāng)，即時(shí)的最大值為.所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.17.在中，．（1）求大?。唬?）以下三組條件中恰有一組條件使得三角形存在且唯一確定，請(qǐng)選出該組條件并求的面積．條件①：，；條件②：，；條件③：，．注：條件選擇錯(cuò)誤，第（2）問(wèn)得0分．【答案】（1）（2）選擇條件②，三角形面積為【解析】【分析】（1）由余弦定理與已知條件結(jié)合可得，再由，所以得；（2）由，再結(jié)合，，可推斷出條件②能使三角形存在且唯一確定，然后由正弦定理計(jì)算，，再代入三角形面積公式計(jì)算.【小問(wèn)1詳解】由余弦定理，又，可得，所以，又因?yàn)?，所以【小?wèn)2詳解】由（1）知，，依據(jù)條件②中，，所以也是唯一確定的，從而可得也是唯一確定的，再由，代入正弦定理計(jì)算可得邊也是唯一確定的，故選擇條件②.因?yàn)?，，所以．由正弦定理，可得，所以所以三角形面積【點(diǎn)睛】關(guān)于解三角形的問(wèn)題，須要推斷清晰選用合適的公式求解，一般涉及二次方以及三邊一角的關(guān)系時(shí)都用余弦定理，涉及兩邊兩角的關(guān)系一般用正弦定理.18.已知拋物線（）的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，且.（1）求拋物線的方程；（2）不過(guò)原點(diǎn)的直線：與拋物線交于不同兩點(diǎn)，，若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)拋物線過(guò)點(diǎn)，且，利用拋物線的定義求解；（2）設(shè)，聯(lián)立，依據(jù)，由，結(jié)合韋達(dá)定理求解.【小問(wèn)1詳解】由拋物線過(guò)點(diǎn)，且，得所以拋物線方程為；【小問(wèn)2詳解】由不過(guò)原點(diǎn)的直線：與拋物線交于不同兩點(diǎn)，設(shè)，聯(lián)立得，所以，所以，所以因?yàn)?，所以，則，，即，解得或，又當(dāng)時(shí)，直線與拋物線的交點(diǎn)中有一點(diǎn)與原點(diǎn)重合，不符合題意，故舍去；所以實(shí)數(shù)的值為.19.如圖,在三棱柱中,平面為正三角形,側(cè)面是邊長(zhǎng)為的正方形,為的中點(diǎn).（1）求證平面;（2）求二面角的余弦值;（3）試推斷直線與平面的位置關(guān)系,并加以證明.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）直線與平面相交.證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）依據(jù)線面平行的判定定理,在面內(nèi)找一條直線平行于即可．所以連接交與點(diǎn)，再連接，由中位線定理可得，即可得證；（2）取的中點(diǎn)，連接．分別以，，為軸，軸，軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，再依據(jù)二面角的向量方法即可求出；（3）依據(jù)平面的法向量與直線的方向向量的關(guān)系，即可推斷直線與平面的位置關(guān)系．【詳解】（1）由題意，三棱柱為正三棱柱．連接．設(shè)，則是的中點(diǎn)．連接，由，分別為和的中點(diǎn)，得．又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面．?）取的中點(diǎn)，連接．因?yàn)闉檎切?，且為中點(diǎn)，所以．由，分別為和的中點(diǎn)，得，又因?yàn)槠矫?，所以平面，即有，．分別以，，為軸，軸，軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，，設(shè)平面的法向量，由，，得令，得．設(shè)平面的法向量，由，，得令，得．設(shè)二面角的平面角為，則．由圖可得二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為．（3）結(jié)論：直線與平面相交．證明：因?yàn)?，，且，所以．又因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄?，且，所以與不垂直，因?yàn)槠矫?，且與平面不平行，故直線與平面相交．【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的判定定理的應(yīng)用，二面角的求法，以及直線與平面的位置關(guān)系推斷，意在考查學(xué)生的直觀想象實(shí)力、邏輯推理實(shí)力和數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力，屬于中檔題．20.已知橢圓：（）的離心率為，是橢圓的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上隨意一點(diǎn)且滿意.（1）求橢圓方程；（2）設(shè)為橢圓右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（異于），直線，分別交直線于，兩點(diǎn).求證：，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）由題知，，進(jìn)而解方程即可求得答案；（2）先探討直線的斜率不存在時(shí)得，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為，再探討直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，進(jìn)而得，再聯(lián)立方程，結(jié)合韋達(dá)定理求解即可.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)槭菣E圓的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上隨意一點(diǎn)且滿意，所以，解得，因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，解得.所以，，所以，橢圓方程為.【小問(wèn)2詳解】解：由（1）知，，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，方程為，此時(shí)，，直線方程為，直線方程為，所以，，所以，，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（異于），所以直線的斜率不為，設(shè)直線的方程為，設(shè)，則直線方程為，直線方程為，因?yàn)橹本€，分別交直線于，兩點(diǎn)所以，聯(lián)立直方程得，所以，，所以，，所以，，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為所以，，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值.21.已知數(shù)列滿意：，，且．記集合．（Ⅰ）若，寫出集合的全部元素；（Ⅱ）若集合存在一個(gè)元素是3的倍數(shù)，證明：的全部元素都是3的倍數(shù)；（Ⅲ）求集合的元素個(gè)數(shù)的最大值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見(jiàn)解析；（III）8．【解析】【分析】（Ⅰ），利用可求得集合的全部元素為6，12，24；（Ⅱ）因?yàn)榧洗嬖谝粋€(gè)元素是3的倍數(shù)，所以不妨設(shè)是3的倍數(shù)，由，2，，可歸納證明對(duì)隨意，是3的倍數(shù)；（Ⅲ）分是3的倍數(shù)與不是3的倍數(shù)探討，即可求得集合的元素個(gè)數(shù)的最大值．【詳解】解：（Ⅰ）若，由于，2，，．故集合的全部元素為6，12，24，；（Ⅱ）因?yàn)榧洗嬖谝粋€(gè)元素是3的倍數(shù)，所以不妨設(shè)是3的倍數(shù)，由，2，，可歸納證明對(duì)隨意，是3的倍數(shù)．假如，的全部元素都是3的倍數(shù)；假如，因?yàn)椋?，所以?的倍數(shù)；于是是3的倍數(shù)；類似可得，，，都是3的倍數(shù)；從而對(duì)隨意，是3的倍