高中數(shù)學(xué)：圓錐曲線復(fù)習(xí)題附答案

圓錐曲線復(fù)習(xí)題

1.在平面直角坐標(biāo)系中，A(-1,0),B(1,0),設(shè)△ZBC的內(nèi)切圓分別與邊AC,BC,

48相切于點(diǎn)P,Q,R,已知|CP|=1,記動點(diǎn)C的軌跡為曲線E.

(1)求曲線E的方程：

(2)過點(diǎn)8(1,0)作直線/交曲線E于M,N兩點(diǎn)，且點(diǎn)M位于x軸上方，已知4

(-2,0),A2(2,0)記直線小“，A2N,N1N的斜率分別為力,k2,fe.

k

①證明：依依，J■為定值；

②設(shè)點(diǎn)N關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為Ni，求ABMNi面積的最大值.

【分析】(1)利用三角形內(nèi)切圓的幾何性質(zhì)，得到|C4|+|CB|=4>H8],由橢圓的定義可

得曲線E為橢圓，然后利用待定系數(shù)法求解即可.；

(2)①設(shè)直線I的方程,與橢圓方程聯(lián)立,得到韋達(dá)定理，由兩點(diǎn)間距離公式表示出kg,

F，結(jié)合韋達(dá)定理以及點(diǎn)在橢圓上以及點(diǎn)在直線上，化簡求解即可；

k2

②求出M的坐標(biāo)，得到直線的方程，令y=0,求解x的值，可得直線恒過點(diǎn)

D(4,0),然后利用三角形的面積公式化簡，再利用基本不等式求解最值即可.

【解答】(1)解:由題意可知，|C/|+|C8|=|CP|+|C0|+MP|+00|=2|CP|+|Z8|=4>M8],

所以曲線E是以48為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓(除去與x軸的交點(diǎn))，

X2V2

設(shè)曲線E：—+77=l(G>b>0,y。0),

則c=L2a=4,

解得a=2,b2=a1-c2=3,

x2y2

所以曲線E的方程為丁+y=l(y￥：0)；

(2)①證明：設(shè)直線/的方程為x=my+l,M(xi，y\),N(%2?1y2)(yi>0,j^2<0),

x=my+1

聯(lián)立方程組七2yi_，可得(3川+4)丁+6町一9=0,

T+T=1

則+丫2=-->吸:'7172=_n2?>

幾3m2+4JW3m2+4

9

ffl葉爪k、=%,力=______________________________3m2+4______=_1

12

交+2%i+27ny1y2+3m(y1+y2)+99m?(,3x6m2)?°4，

3m2+4,3m2+4J

fcl_工2+2_(久l-282_(叩1-1)為_my，2y2_犯打丫2-('1+、2)+丫1

(x+2)yi(my+3)yi-3>1-

42-一2一2小為乃+my1y2+3y1

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9m,6m

1

3

②解：由題意點(diǎn)NI的坐標(biāo)為（X2，-二），

則直線MN\的方程為y-yi=Ji：?(%-X1),

xl-x2

令y=0,可得”=與等1+/

上丫1+%。2

V1+V2

0、2+1）、1+（僧當(dāng)+1）、2

yi+y2

二2見八乃?]

_為+及

乙〃，I7-2T77

_____3m4+411-4

_6m十！?一'，

3nl2+4

故直線MM恒過點(diǎn)。（4,0）,

所以5曲%=/3|%|一?3|%11

3

=1llyil-|y2||

3.,,

=]1乃+、2l

_3617nl

237n2+4

9V9二3」

一3|m|+高_(dá)2狗刑扁一丁'

當(dāng)且僅當(dāng)/=孑即加=±竽時(shí)取等號，

此時(shí)△8A/M面積的最大值為史三

4

【點(diǎn)評】本題考查了動點(diǎn)軌跡方程的求解，待定系數(shù)法求解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用，橢圓

定義的運(yùn)用，直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，在解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問題時(shí)，

一般會聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，利用韋達(dá)定理和“設(shè)而不求”的方法進(jìn)行研究，屬

于中檔題.

2.已知拋物線C：爐=4x的焦點(diǎn)為尸，經(jīng)過尸傾斜角為60°的直線/與拋物線C交于力,

8兩點(diǎn).求弦力B的長.

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【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合拋物線的性質(zhì)，即可求解.

【解答】解：?.?拋物線C：y2=4x,

.?.拋物線的焦點(diǎn)尸（1,0）,p=2,

設(shè)點(diǎn)4（xi，yi）,B（X2，夕2），

；直線/經(jīng)過尸傾斜角為60°,

直線/的方程為產(chǎn)V3（x—1）,

聯(lián)立方程卜；-1）,化簡整理可得，3x2-i（）x+3=0,

U=4x

由韋達(dá)定理可得，匕+小=學(xué)，

".\AB\=|71F|+\BF\=x1+^+x2+^=x1+x2+p=^-+2=竽.

【點(diǎn)評】本題主要考查拋物線的性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.已知4（2,&）為橢圓~7+J=1（a>d>0）與拋物線丁=2度的交點(diǎn)，設(shè)橢圓的左右

azDZ

焦點(diǎn)為Fi，F(xiàn)i，拋物線的焦點(diǎn)為尸，直線/F將AZaFz的面積分為9：7兩部分.

（1）求橢圓及拋物線的方程；

12y2

（2）若直線/：y=kx+m與橢圓-7+77=1相交于尸、0兩點(diǎn)，且△OP。的重心恰好在

圓。：x^+y2—1±,求〃?的取值范圍.

【分析】（1）利用點(diǎn)工為橢圓和拋物線的交點(diǎn)，代入兩個(gè)方程，即可求出拋物線的方程，

再利用直線4F將A/B乃的面積分為9：7兩部分，求出c的值，由此得到“，6的值,

從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程,得到韋達(dá)定理和判別式大于0,由△PO。重心恰好在圓ft/

2

—1上，得到（尤1+x2）+Si+%）2=9,利用韋達(dá)定理進(jìn)行化簡變形，表示出渥的表

達(dá)式，由基本不等式求解即可得到答案.

【解答】解：（1）由題意可知，點(diǎn)4（2,夜）為橢圓與拋物線的交點(diǎn)，

42

—+-=1且2=4。

a2t）z

解得p=；,則j/=x；

又直線/尸將△/為尸2的面積分為9：7兩部分，

所以c+[=3（c—｝，解得c=2,

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則a2-y=4,解得b=2,a=2vL

22

拋物線的方程為/=x；橢圓的方程為云+、■=1；

(2)設(shè)尸(xi，y\),Q(X2?”)，

由卜+卷=1,可得(1+2后)x2+4kmx+2m2-8=0,

(y=fcx+m

由A〉。，可得4(2廬+1)>m2(X),

4km

且％1+g=-

1+2戶

由△PO0重心恰好在圓W+)2=1上,

可得(%1+%2)2+(為+丫2)2=9,

22

即(%i+x2)+4-x2)+2m]=9,

2

即(1+k2)(%1+x2)+4km(%i+x2)+4m2=9,

16(l+/c2)/c2m216k27n2

所以?+4m2=9,

(l+2/c2)21+2/c2

22

化簡得病=9(1+^),代入(※)中可得在R,

4(4/cz+l)

設(shè)4k2+1=t=必=寧?21),

則機(jī)2=空±江=組鏟1

G