滬科版九年級數(shù)學(xué)上冊第22章相似形 集體備課教學(xué)設(shè)計

第二十二章相似形教學(xué)設(shè)計

22.1比例線段..............................................................-I-

22.2相似三角形的判定....................................................-13-

22.3相似三角形的性質(zhì)....................................................-25-

22.4圖形的位似變換.......................................................-30-

22.1比例線段

第1課時相似圖形

教學(xué)目標

【知識與能力】

知道相似圖形的兩個特征:對應(yīng)邊成比例,對應(yīng)角相等.掌握判斷兩個多邊形是否相似的方法

——“如果兩個多邊形滿足對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊的比相等,那么這兩個多邊形相似”。

【過程與方法】

經(jīng)歷從生活中的事物中抽象出幾何圖形的過程,體會由特殊到一般的思想方法,感受圖形世界

的豐富多彩。

【情感態(tài)度價值觀】

在探索中培養(yǎng)學(xué)生與他人交流、合作的意識和品質(zhì)。

教學(xué)重難點

【教學(xué)重點】

知道相似圖形的對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊的比相等。

【教學(xué)難點】

能運用相似圖形的性質(zhì)解決問題。

課前準備

課件、教具等。

教學(xué)過程

一、情境導(dǎo)入

觀察以下三組圖形：

(1)(2)(3)

每一組圖形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角有什么關(guān)系呢？

二、合作探究

探究點一：相似圖形

例1如下圖所示的四組圖形，相似的有()

A.1組B.2組C.3組D.4組

解析：由相似圖形的概念可知，只有(1)(3)(4)形狀相同.①形狀相同是指一模一樣，沒

有一點不同之處，(2)中的圖形雖然都是圓柱，但是形狀不相同，所以不是相似圖形；②只要

形狀相同，即使位置不同，也應(yīng)看成是相似圖形，如(4)組就是這樣.故選C.

易錯提醒：看圖形是否相似，要緊扣定義“形狀相同，大小可以不同”，但大小相同也是

相似的一種情形.

探究點二：相似多邊形與相似比

【類型一】相似多邊形

例2下列圖形都相似嗎？為什么？

(1)所有正方形；(2)所有矩形；(3)所有菱形；(4)所有等邊三角形；(5)所有等腰梯形;

(6)所有等腰三角形；(7)所有等腰直角三角形；(8)所有正五邊形.

解：(1)相似，因為正方形每個角都等于90°,所以對應(yīng)角相等，而每個正方形的四條

邊長都相等，所以對應(yīng)邊長度的比相等；

(2)不一定，雖然矩形的每個角都等于90°,對應(yīng)角相等，但是對應(yīng)邊長度的比不一定

相等，如圖①；

(3)不一定，每個菱形的四條邊長都相等，所以兩菱形的對應(yīng)邊長度的比相等，但是它們

的對應(yīng)角不一定相等，如圖②，顯然兩個菱形的對應(yīng)角是不相等的；

(4)相似，因為每個等邊三角形的三條邊都相等，所以兩個等邊三角形的對應(yīng)邊長度的比

相等，并且對應(yīng)角都等于60°；

(5)不一定，如圖③，對應(yīng)邊長度的比不相等，對應(yīng)角不相等;

圖③圖④

(6)不一定，如圖④，對應(yīng)邊長度的比不相等，對應(yīng)角不相等；

(7)相似，因為等腰直角三角形的三個角分別是45°,45°,90°,所以對應(yīng)角相等，

而且每一個三角形的三邊的比都是1：1：^2,所以對應(yīng)邊長度的比相等；

(8)相似，因為正五邊形的各角都等于108°,所以對應(yīng)角相等，而且正五邊形的各邊都

相等，所以對應(yīng)邊長度的比相等.

方法總結(jié)：相似多邊形的定義也是相似多邊形的判定方法，在判定兩個多邊形相似時，

必須同時具備兩點：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊長度的比相等.

【類型二】相似比

例3已知四邊形力版與四邊形同丘〃相似，試根據(jù)圖中所給出的數(shù)據(jù)求出四邊形牙紡

和四邊形4及力的相似比.

80。875。/,80。675]

解：：四邊形46切與四邊形價劭相似，且N4=N￡=80°,N片/6=75°,

...46與所1是對應(yīng)邊.

..EF63

?拓

3

...四邊形以切與四邊形/時的相似比為］

方法總結(jié)：找準相似多邊形的對應(yīng)邊是解決此類問題的關(guān)鍵，方法類似于找全等三角形

對應(yīng)邊和對應(yīng)角的方法.

三、板書設(shè)計

「相似圖形：形狀相同的兩個圖形

r相似多邊形：各角分別相等、各邊成

相比例的兩個多邊形

似＜相似比：相似多邊形對應(yīng)邊長度的比

圖相似多邊形《性質(zhì)：相似多邊形的對應(yīng)角相等，

形對應(yīng)邊長度的比相等

判定：各角分別相等，對應(yīng)邊長度的

、比相等，二者缺一不可

教學(xué)反思

在探索相似多邊形特征的過程中，讓學(xué)生運用“觀察一比較一猜想”分析問題，進一步發(fā)展

學(xué)生觀察、分析判斷、歸納、類比、反思、交流等方面的能力，提高數(shù)學(xué)思維水平，體會反

例的作用，培養(yǎng)與他人交流、合作的意識和品質(zhì).在解決問題過程中體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣。

第2課時比例線段

教學(xué)目標

【知識與能力】

從生活中形狀相同的圖形的實例中認識成比例的線段，理解成比例線段的概念。

【過程與方法】

在成比例線段的探究過程中，讓學(xué)生運用“觀察一比較一猜想”的方法分析問題。

【情感態(tài)度價值觀】

在探究成比例線段的過程中，培養(yǎng)學(xué)生與他人交流、合作的意識。

教學(xué)重難點

【教學(xué)重點】

認識成比例的線段。

【教學(xué)難點】

理解成比例線段的概念。

課前準備

課件、教具等。

教學(xué)過程

一、情境導(dǎo)入

請觀察下列幾幅圖片，你能發(fā)現(xiàn)些什么？你能對觀察到的圖片特點進行歸納嗎？

旃醐3餐

Q&

這些例子都是形狀相同、大小不同的圖形.它們之所以大小不同，是因為它們圖上對應(yīng)

的線段的長度不同.

二、合作探究

探究點一：線段的比

【類型一】根據(jù)線段的比求長度

AMB

例1如圖所示，已知M為線段上一點，4"：M?=3：5,且/6=16cm,求線段4從

的長度.

解：線段4v與，監(jiān)的比反映了這兩條線段在全線段48中所占的份數(shù)，由4"：,監(jiān)=3:5

可知A卡JAB,MB=[AB.

oo

VJZ?=16cm,

3/、5/、

/.AIA=QX16=6(cm),MB=-X16=10(cm).

oo

方法總結(jié)：本題也可設(shè)4仁3%珈=5衣，利用34+55=16求解更簡便，這也是解這類

題常用的方法.

【類型二】比例尺

例2在比例尺為1：50000的地圖上，量得甲、乙兩地的距離是3cm,則甲、乙兩地的

實際距離是m.

解析：根據(jù)“比例尺=提黑”可求解.設(shè)甲、乙兩地的實際距離為xcm,則有1：50

000=3:x,解得x=150000cm=1500m.

方法總結(jié)：理解比例尺的意義，注意實際尺寸的單位要進行恰當?shù)霓D(zhuǎn)化.

探究點二：成比例線段

【類型一】判斷線段成比例

例3下列四組線段中，是成比例線段的是()

A.3cm,4cm,5cm,6cm

B.4cm,8cm,3cm,5cm

C.5cm,15cm,2cm,6cm

D.8cm,4cm,1cm,3cm

解析：將每組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，前兩條線段的比和后兩條線段的比相等的四

26

條線段成比例.四個選項中，只有C項排列后有三=了.故選C.

方法總結(jié)：判斷四條線段是否成比例的方法：

(1)把四條線段按從小到大順序排好，計算前兩條線段的比和后兩條線段的比，看是否相

等作出判斷；

(2)把四條線段按從小到大順序排好，計算前后兩個數(shù)的積與中間兩個數(shù)的積，看是否相

等作出判斷.

【類型二】由線段成比例求線段的長

例4已知三條線段的長分別為1cm,/cm,2cm,請你再給出一條線段，使得它的長與

前面三條線段的長能夠組成一個比例式.

解：因為本題中沒有明確告知是求1,正，2的第四比例項，因此所添加的線段長可能

是前三個數(shù)的第四比例項，也可能不是前三個數(shù)的第四比例項，因此應(yīng)進行分類討論.

設(shè)要求的線段長為x,若x：1=蛆：2,則*=坐

若1：x=W:2,則x=@；

若1：2,則戶卷

若1：y[2=2：x,則x=2*.

所以所添加的數(shù)有三種可能，可以是半，木,或2dl

方法總結(jié)：若使四個數(shù)成比例，則應(yīng)滿足其中兩個數(shù)的比等于另外兩個數(shù)的比，也可轉(zhuǎn)

化為其中兩個數(shù)的乘積恰好等于另外兩個數(shù)的乘積.

三、板書設(shè)計

〃線段的比：如果選用同一長度單位量得兩條線段

AB,CZ）的長度分別是/力，那么這兩

條線段的比就是它們長度的比，

比ABm

加即46：CD=m：，或?qū)懗煞绞?/p>

例?JCDn

線、成比例線段：四條線段&b,c,d,如果a與萬的比

段等于C與岫比，即a產(chǎn)力c那么這

四條線段a,b,c,MU做成比例線段，

、簡稱比例線段

教學(xué)反思

從豐富的實例入手，引導(dǎo)學(xué)生進行觀察、發(fā)現(xiàn)和概括.在自主探究和合作交流過程中，

適時引入新知識.并通過引導(dǎo)學(xué)生建立新的數(shù)學(xué)模型，開拓思維，提升學(xué)生認知能力

第3課時比例的性質(zhì)與黃金分割

教學(xué)目標

【知識與能力】

1.進一步理解并掌握比例、比例線段的概念.

2.會辨認比例式中的“項”.

3.會求常見圖形中的線段比.

4.會進行黃金分割的有關(guān)計算。

【過程與方法】

1.經(jīng)歷探究比例、比例線段的性質(zhì)的過程，體會類比的思想，促進探究、質(zhì)疑、歸納能力的發(fā)

展.

2.經(jīng)歷黃金分割的引入以及黃金分割點的探究過程.

3.通過問題情境的創(chuàng)設(shè)和解決過程進一步體會數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)的思維方式,

增進數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情感。

【情感態(tài)度價值觀】

在交流協(xié)作中，體會生生交往與師生交往的樂趣;在解決問題的過程中接受挑戰(zhàn)、戰(zhàn)勝困難,

增強學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

教學(xué)重難點

【教學(xué)重點】

比例及比例線段的性質(zhì);黃金分割點的有關(guān)計算。

【教學(xué)難點】

比例及比例線段的應(yīng)用；黃金分割點的有關(guān)計算。

課前準備

課件、教具等。

教學(xué)過程

一、情境導(dǎo)入

配制糖水時，通過確定糖和水的比例來確保配制糖水的濃度.

勝糖水糖水

若有含糖a千克的糖水6千克，含糖c千克的糖水d千克，含糖e千克的糖水F千克

它們的濃度相等，把這些糖水混合到一起后，濃度不變.可表示為蕓蕓:

力十"十…十〃b

二、合作探究

探究點一：比例的性質(zhì)

【類型一】比例的基本性質(zhì)

勺7A

例I已知-^=5,求％的值.

解：解法一：由比例的基本性質(zhì),

得2(a+30=7X26.

:?a=4b,???日=4.

b

左力、上一.a+3/27力己+3b

解法一：由2b='得b=7'

方法總結(jié)：利用比例的基本性質(zhì)，把比例式轉(zhuǎn)化成等積式，再用含有其中一個字母的代

數(shù)式表示另一個字母，然后利用代入法或化成方程求解，這是解決比例問題常見的方法.

【類型二】合比性質(zhì)

,?ABAC

例2如圖，已知肅=育

UDCL

/、ADAE

求證:(1)—=—?

、“DBEC

解析：我們可以運用證明合比性質(zhì)的方法，在已知等式的兩邊同時減去1,便可證明(1)

成立；先運用合比性質(zhì)，然后用比例的基本性質(zhì)把等式變形，即可證明(2)成立.

,.AB_AC.AB-DBAC-EC叩亞—也

證明:⑴'~DB=~EC'"DB=EC'即無=擊

,、

ADAEDBECDB+ADEC+AE^,,liUCCX.獨="即世=〃

⑵；獷立..獷布'F=F(合比性質(zhì))?/1AC~AE

方法總結(jié)：本題主要運用合比性質(zhì)進行證明，理解比例的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

【類型三】等比性質(zhì)

例3已知正數(shù)a、b、c,且4一=/一=一長=〃，則下列四個點中，在正比例函數(shù)y

b+cc+aa-rb

=在才圖象上的點是()

A.(1,1)B.(1,2)

C.(1,—g)D.(1,—1)

o—|—A—|—

解析：求出在的值是關(guān)鍵.???a、汰。為正數(shù)，???d+6+?！?.由等比性質(zhì)，得,(、

2(.a+b+c)

=k,即當x=\時，y=Jx1=［,??.點(1,1)在正比例函數(shù)的圖象上.故

乙乙乙乙乙

選A.

方法總結(jié)：當已知條件中有連等式時，可考慮運用等比性質(zhì)，前提條件是分母之和不為

0.在解題時需注意這一點.

探究點二：黃金分割

【類型一】利用黃金分割進行計算

例4如果點C是線段45的黃金分割點，且4O8GBC^mAB,求皿的值.

4CBC、/B—1

解：；點。是線段4?的黃金分割點，.??■^=齊=上=.又?；%=勿區(qū)."。=(1一血初

/iLjZICN

.(1—AB:一［m一］.3—

??一而2'即Bn1-〃=丁,..勿=廿亞?

方法總結(jié)：運用黃金分割的概念，得出線段4C,BC,48之間的表達式，再利用比、=麻18

變形，求出位的值.

【類型二】黃金分割的實際應(yīng)用

I???

ADCB

例5如圖所示，樂器上有一根弦AB,兩個端點A,8固定在樂器的面板上，支撐點C

是靠近點8的黃金分割點，支撐點〃是靠近點力的黃金分割點，若小的長度為4試求這根

弦的長度.

解：根據(jù)黃金分割的定義，可知備妥曜二，："C=BD=亞/加，：.AD=AB-BD

ADADZ/

=AB~y^~1AB.

CD=AC—AD=^^—AB—（AB-鄧2［陰=（m一2）AB=d.

."8=詬七7=(m+2)d

三、板書設(shè)計

'基本性質(zhì)

比例的性質(zhì)合比性質(zhì)

［等比性質(zhì)

比例

的性「定義

質(zhì)與V黃金分割點：一條線段有兩個黃金

黃金分割點

黃金分割＜

分割黃金比：較長線段：原線段=

耳：1

教學(xué)反思

經(jīng)歷探究比例的性質(zhì)和黃金分割的過程,體會類比的思想，提高學(xué)生探究、歸納的能力.通

過問題情境的創(chuàng)設(shè)和解決過程進一步體會數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)的思維方式，增

強學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣

第4課時平行線分線段成比例及其推論

教學(xué)目標

【知識與能力】

1.使學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上掌握平行線分線段成比例定理及其推論,并會靈活應(yīng)用.

2.使學(xué)生掌握三角形一邊的平行線的判定定理。

【過程與方法】

通過學(xué)習(xí)定理再次鍛煉類比的數(shù)學(xué)思想,能把一個稍復(fù)雜的圖形分成幾個基本圖形,通過應(yīng)用

鍛煉識圖能力和推理論證能力。

【情感態(tài)度價值觀】

通過定理的學(xué)習(xí)知道認識事物的一般規(guī)律是從特殊到一般,并能欣賞數(shù)學(xué)表達式的對稱美,提

高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

教學(xué)重難點

【教學(xué)重點】

平行線分線段成比例定理和推論及其應(yīng)用。

【教學(xué)難點】

平行線分線段成比例定理的正確性的說明及推論應(yīng)用。

課前準備

課件、教具等。

教學(xué)過程

一、情境導(dǎo)入

梯子是我們生活中常見的工具.

如圖是一個梯子的筒圖，經(jīng)測量，AB=BC,AD//BE//CF-,那么如和原相等嗎？

二、合作探究

探究點一：平行線分線段成比例的基本事實

例1如圖，直線Z〃/2〃A,直線｛。分別交這三條直線于點4,B,C,直線加分別交

7

這三條直線于點以E,F,若46=3,DE^~,跖=4,求8C的長.

7

解：?.?直線人〃且/8=3,應(yīng)=5，EF=4,

???根據(jù)平行線分線段成比例可得彩需

130EF

424

即BC=~*AB=-X3=—

DE1_1

2

方法總結(jié)：利用平行線分線段成比例求線段長的方法：先確定圖中的平行線，由此聯(lián)想

到線段之間的比例關(guān)系，結(jié)合待求線段和已知線段寫出一個含有它們的比例關(guān)系式，構(gòu)造出

方程，解方程求出待求線段長.

探究點二：平行線分線段成比例基本事實的推論

例2如圖所示，在△板中，點〃Z?分別在/昆4c邊上，DE//BC,若/〃：4?=3：4,

4f=6,則力。等于（）

A.3

B.4

C.6

D.8

解析：由庇〃BC可得為即:=*."C=8.故選D.

易錯提醒：在由平行線推出成比例的線段的比例式時，要注意它們的相互位置關(guān)系，比

例式不能寫錯，要把對應(yīng)的線段寫在對應(yīng)的位置上.

探究點三：運用平行線分線段成比例基本事實作圖

例3如圖，已知線段力尻求作線段的四等分點.

.41---------------------------小

解析：這里的四等分點的作法，不是用刻度尺去量取，而是采用尺規(guī)作圖的方法，所以

可考慮平行線等分線段定理去作圖.

解:作法：(1)作射線4G⑵在射線然上順次截取力4=44=44=44=任意長；⑶

連接46；⑷過點4、4、4分別作46的平行線，交4?于點笈、民、&,點&、氏、氏即為

所求的四等分點.

三、板書設(shè)計

基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所

平行線

得的對應(yīng)線段成比例

分線段

推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊

成比例

(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成

及其推論

比例

教學(xué)反思

通過教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析和概括能力，了解特殊與一般的辯證關(guān)系.再次鍛煉

類比的數(shù)學(xué)思想，能把一個稍復(fù)雜的圖形分成幾個基本圖形，鍛煉識圖能力和推理論證能

力.在探索過程中，體驗探索結(jié)論的方法和過程，發(fā)展學(xué)生的推理能力和有條理的說理表達

能力

22.2相似三角形的判定

第1課時平行線與相似三角形

教學(xué)目標

1、經(jīng)歷兩個三角形相似的探索過程，體驗分析歸納得出數(shù)學(xué)結(jié)論的過程.

2、會運用“兩個三角形相似的判定條件”和“三角形相似的預(yù)備定理”解決簡單的問題。

教學(xué)重難點

【教學(xué)重點】

相似三角形的定義與三角形相似的預(yù)備定理。

【教學(xué)難點】

三角形相似的預(yù)備定理的應(yīng)用。

課前準備

課件、教具等。

教學(xué)過程

一、情境導(dǎo)入

如圖，從放大鏡里看到的三角尺和原來的三角尺相似嗎？

二、合作探究

探究點一：相似三角形

【類型一】利用定義判定相似三角形

例1與△〃價,的各角度數(shù)和邊長如圖所示，則與△比尸能否相似？說明理

由.

解：因為/力=70°,N6=60°,所以/850°.

因為/尸=60°,N￡=50°,所以N470°.

所以//=/〃，NB=NF,NC=/￡

rm且AB36c3AC3.63

又E為蘇■=]而=]，應(yīng)=二=,

ADDCAr

所以清濟正所以△wS△小

方法總結(jié)：判斷兩個三角形相似，一定要具備兩個條件：一是對應(yīng)角相等，二是對應(yīng)邊

成比例.另外在書寫兩個三角形相似時，一定要將對應(yīng)的頂點寫在對應(yīng)的位置上.

【類型二】相似三角形的性質(zhì)

例2如圖，已知AABCS/\ADE,4￡=50cm,￡C=30cm,5(7=58cm,ZBAC=45°,ZACB

=40°,求:

⑴N/fi?和//施的度數(shù);

(2)龍的長.

解：/\ABCS/\ADE,

:.NAED=NACB=4Q°.

在a,中，N49f=180°-40°-45°=95°；

AEDE50DE50X58

⑦?：XABCsMADE,，而=而艮?50+30=58->',"=50+30=36.25(cm).

方法總結(jié)：當題目中有相似三角形(或能證明出相似三角形)時，首先考慮用相似三角形

的性質(zhì)，由性質(zhì)既能得到相等的角，又能得到成比例的線段.

探究點二：平行線與相似三角形

例3如圖，已知在ABCD中,￡為46延長線上一點，AB=3BE,然與比相交于點￡

請找出圖中各對相似三角形，并求出相應(yīng)的相似比.

解：?.?四邊形4%/是平行四邊形,

：.AB//CD,AD//BC,

:.XBEFsACDF,XBEFsXAED,

：.△郎s△CDF^/XAED.

故當△戚's△如'時，相似比為跖：CD=BE,.AB=\：3；

當/\BEFs叢AEDK,相似比為跖：力￡=1：4；

當△CZ*s△/初時、相似比為切：4￡=3：4.

例4已知：如圖是一束光線射入室內(nèi)的平面圖，上檐邊緣射入的光線照在距窗戶2.5m

處，己知窗戶48高為2m,6點距地面高為1.2m,求下檐光線的落地點”與窗戶的距離AC

BeNC12NC15

解：'：AM//BN,:.△NBCs/XMAC,即六7==，."仁

ACMC3.22.5lo

三、板書設(shè)計

平行「相似三角形的定義：三角分別相等、三邊對應(yīng)成

線與比例的兩個三角形

相似《結(jié)論：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊（或

三角兩邊的延長線）相交，截得的三角形與原

形三角形相似

教學(xué)反思

感受相似三角形與相似多邊形、相似三角形與全等三角形的區(qū)別與聯(lián)系，體驗事物間特

殊與一般的關(guān)系.讓學(xué)生經(jīng)歷從實驗探究到歸納證明的過程，發(fā)展學(xué)生的推理能力，培養(yǎng)學(xué)

生的觀察、動手探究、歸納總結(jié)的能力

第2課時相似三角形的判定定理1

教學(xué)目標

1.經(jīng)歷兩個三角形相似的探索過程，進一步發(fā)展學(xué)生的探究、交流能力.

2.掌握“兩角對應(yīng)相等，兩個三角形相似”的判定方法.

3.能夠運用三角形相似的條件解決簡單的問題。

教學(xué)重難點

【教學(xué)重點】

三角形相似的判定方法lo

【教學(xué)難點】

三角形相似的判定方法1的運用。

課前準備

課件、教具等。

教學(xué)過程

一、情境導(dǎo)入

根據(jù)相似三角形的定義，三角分別相等、三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形叫做相似三角

形.那么，兩個三角形至少要滿足哪些條件就相似呢？能否類比兩個三角形全等的條件尋找

判定兩個三角形相似的條件呢？

二、合作探究

探究點一：相似三角形的判定定理1

例1在△4%'和△/!'B'C中，//=//=80°,N6=70°,ZC=30°,這兩

個三角形相似嗎？請說明理由.

解：XABCsX』ffC.

理由：由三角形的內(nèi)角和是180。，

得NC=180°-N4-N6=180°-80°一70°=30°,

所以,AC=AC'.

WXABCsXNB'C（兩角分別相等的兩個三角形相似）.

方法總結(jié)：兩個三角形已有一對角相等，故只要看是否還有一對角相等即可.一般地，

在解題過程中要特別注意“公共角”“對頂角”“同角（或等角）的余角”等隱含條件.

探究點二：相似三角形的判定定理1的應(yīng)用

【類型一】由三角形相似計算對應(yīng)邊的長

例2如圖所示，已知DE〃BC,DF//AC,Af=4cm,BD=8cm,如=5cm,求線段跖的長.

解：解法一：因為DE〃BC,所以ZA/fD^ZC,所以△ADESAABC,

.ADDE45

所以茄=初即an百百=市

所以旌=15cm.

又因為DF//AC,

所以四邊形"還是平行四邊形，

即FC^DE^cm,

所以BF=BC-FC=15-5=10（cm）.

解法二：因為DE〃BC,所以//應(yīng)三/笈

又因為加所以NA=NBDF,

所以△/應(yīng)'s△儂；

…ADDE45

所以礪=而即§=而

所以母、=10cm.

方法總結(jié)：求線段的長，常通過找三角形相似得到成比例線段而求得，因此選擇哪兩個

三角形就成了解題的關(guān)鍵，這就需要通過已知的線段和所求的線段分析得到.

【類型二】由相似三角形確定對應(yīng)邊的比例關(guān)系

AFEF

例3已知：如圖，△腦的高被緲相交于點凡求證：

A

B^c

Bf)C

證明：'：BEVAC,ADVBC,

:.NAEF=/BDF=9Q°.

又,：NAFE=NBFD,

AFEF

ARFR

方法總結(jié)：要證明獷質(zhì)可以考慮比例式中四條線段所在的三角形是否相似，即考慮

△力也與46劃是否相似，利用兩個角對應(yīng)相等的三角形相似可以證明這個結(jié)論.

三、板書設(shè)計

'判定定理1：兩角分別對應(yīng)相等的兩個

相似三角形的

■三角形相似

判定定理1

.判定定理1的應(yīng)用

教學(xué)反思

在探索活動中，要增強學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的意識和養(yǎng)成合作交流的習(xí)慣.進一步

培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力和初步邏輯推理意識.

第3課時相似三角形的判定定理2

教學(xué)目標

1、掌握并會推導(dǎo)相似三角形的判定定理2.

2、會用相似三角形的判定定理2進行一些簡單的判斷、證明和計算。

教學(xué)重難點

【教學(xué)重點】

三角形相似的判定方法2。

【教學(xué)難點】

三角形相似的判定方法2的運用。

課前準備

課件、教具等。

教學(xué)過程

一、情境導(dǎo)入

ARAC

畫△四，與B'C',使,jrk和rk都等于給定的值上設(shè)法比較/

ADAC

B與NB'的大小（或/。與/C的大?。?，判斷與B'C相似嗎？

二、合作探究

探究點一：相似三角形的判定定理2

例1如圖，已知點。是△力a1的邊4C上的一點，根據(jù)下列條件，可以得到

的是（）

A.AB-CD^BD-BC

B.AC-CB=CA?CD

C.Bd=AJDC

D.B4=CD,DA

解析：有兩邊對應(yīng)成比例，并不能說明兩個三角形相似，若再知道成比例的兩邊的夾角

相等，則這兩個三角形才相似.本題中，/C是歐和△頗7的公共角，關(guān)鍵是找出NC的

CD

兩邊對應(yīng)成比例，即=力。?DC.故選C.

CDAC

方法總結(jié)：判定兩個三角形相似時，應(yīng)根據(jù)條件適當選擇方法，如本題已知有一個公共

角，而它的兩條夾邊都能成比例，則應(yīng)選擇判定定理2加以判斷.

探究點二：相似三角形的判定定理2的應(yīng)用

例2如圖所示，零件的外徑為a,要求它的厚度x,需求出內(nèi)孔的直徑4?,但不能直接

量出46,現(xiàn)用一個交叉長鉗（兩條尺長”■和物相等）去量，若如：*=如：勿=〃，且量得

CD^b,求厚度x.

解：因為OA：OC=OB：OD,AAOB=ZCOD,所以AAOBs/\COD,故為尸刀;=〃，可得力8

tzZzL/C

.a—bn

bn>所以x=?

方法總結(jié)：欲求厚度x,根據(jù)題意較易推出△/@s^CW,利用相似三角形的對應(yīng)邊成

比例，列出關(guān)于x的比例式，解之即可.

例3如圖，在△/8C中，46=8cm,6C=16cm,求點一從點力開始沿四向點6以lcm/s

的速度移動，點0從點6開始沿回向點。以2cm/s的速度移動.如果點R。同時出發(fā)，經(jīng)

過多長時間后△月%與△46C相似？

,、“BPBQ」

⑴當瓦=瓦時,

APBg4ABC.

此時*=需解得Z=4.

816

即經(jīng)過4s后△如。與△/況■相似；

⑵當胃=筆時，/XPBgXCBA.

此時］J=三,解得t=l.6.

即經(jīng)過1.6s后△"%與△力比1相似.

綜上所述可知，點凡0同時出發(fā)，經(jīng)過1.6s或4s后與△48。相似.

易錯提醒：在點運動的情況下尋找相似的條件，隨著點的位置的變化，△哪的形狀也

會發(fā)生變化，因此既要考慮△/WS/X4笫的情況，還要考慮△陽0s△煙的情況.要證明△

哪與比■相似，很顯然Z5為公共角，因此可運用兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等列方程求

解，同時要注意分類討論.

三、板書設(shè)計

相似三角形的判定定理2：兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似

教學(xué)反思

經(jīng)歷兩個三角形相似的探索過程,體驗分析歸納得出數(shù)學(xué)結(jié)論的過程，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、

發(fā)現(xiàn)、比較、歸納能力，進一步發(fā)展學(xué)生的探究、交流能力.感受兩個三角形相似的判定定

理2與全等三角形判定方法（S/S的區(qū)別與聯(lián)系，體驗事物間特殊與一般的關(guān)系.

第4課時相似三角形的判定定理3

教學(xué)目標

1、掌握并會推導(dǎo)相似三角形的判定定理3.

2、會用相似三角形的判定定理1、2、3進行一些簡單的判斷、證明和計算。

教學(xué)重難點

【教學(xué)重點】

三角形相似的判定方法3。

【教學(xué)難點】

三角形相似的判定方法3的推導(dǎo)和運用。

課前準備

課件、教具等。

教學(xué)過程

一、情境導(dǎo)入

如圖，如果要判定△49C與B'C相似，是不是一定需要一一驗證所有的對應(yīng)角和

對應(yīng)邊的關(guān)系？

可否用類似于判定三角形全等的方法（SSS,通過一個三角形的三條邊與另一個三角形的

三條邊對應(yīng)的比相等來判定兩個三角形相似呢？任意畫一個三角形，再畫一個三角形，使它

的各邊長都是原來三角形各邊長的％倍，度量這兩個三角形的對應(yīng)角，它們相等嗎？這兩個

三角形相似嗎？

二、合作探究

探究點：三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似

【類型一】利用三邊長來判定三角形相似

例1如圖所示，在△/8C中，點〃、￡分別是a1的邊/8/C上的點，/〃=3,AE=6,

DE=5,龍=15,龍=3,船=15.根據(jù)以上條件，你認為/8=/力劭嗎？并說明理由.

解：NB=/AED.

理由：由題意得

/8=<〃+刃=3+15=18,

仍=4?+龍=6+3=9,

AC9AB18CB15

---==z—==.---=---=Q,---=---=Q

AD36DE5

ACABCB八

所以拓=拓=^謨故.叢ABCs/XAED,

所以NB=NAED.

方法總結(jié)：要說明只需要得到根據(jù)三邊對應(yīng)成比例的兩個

三角形相似可證得△川以

【類型二】網(wǎng)格中相似三角形的判定

例2如圖甲，小正方形的邊長均為1,則乙圖中的三角形（陰影部分）與相似的是

哪一個圖形？

EEhH匚二

BC①②③④

甲乙

解：由甲圖可知/。=肝釬=*,BC=2,48="+33=弧

同理，圖①中，三角形的三邊長分別為1,乖,272:

同理，圖②中，三角形的三邊長分別為1,小,乖;

同理，圖③中，三角形的三邊長分別為乖，乖,3；

同理，圖④中，三角形的三邊長分別為2,#,V13.

/.圖②中的三角形與△48。相似.

方法總結(jié)：（1）各個圖形中的三角形均為格點三角形，可以根據(jù)勾股定理求出各邊的長,

然后根據(jù)三角形三邊的長度是否對應(yīng)成比例來判斷兩個三角形是否相似；（2）判定三邊是否對

應(yīng)成比例，可以將三角形的三邊長按大小順序排列，然后分別計算他們對應(yīng)邊的比，最后由

比值是否相等來確定兩個三角形是否相似.

三、板書設(shè)計

相似三角形的判定定理3：三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似

教學(xué)反思

從學(xué)生已掌握的知識入手，通過設(shè)置問題，引導(dǎo)學(xué)生進行計算、推理和歸納，提高分析

問題和解決問題的能力.感受兩個三角形相似的判定定理3與全等三角形判定方法（SS。的區(qū)

別與聯(lián)系，體會事物間一般到特殊、特殊到一般的關(guān)系.讓學(xué)生經(jīng)歷從實驗探究到歸納證明

的過程，發(fā)展學(xué)生的推理能力，培養(yǎng)學(xué)生與他人交流、合作的意識.

第5課時判定兩個直角三角形相似

教學(xué)目標

【知識與能力】

了解直角三角形相似定理的證明方法并會應(yīng)用。

【過程與方法】

1.類比證明兩個直角三角形全等的方法,繼續(xù)滲透和培養(yǎng)學(xué)生對類比思想的認識和理解.

2.通過了解定理的證明方法培養(yǎng)和提高學(xué)生利用已學(xué)知識證明新命題的能力。

【情感態(tài)度價值觀】

通過學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生類比的意識，了解由特殊到一般的唯物辯證法的觀點。

教學(xué)重難點

【教學(xué)重點】

直角三角形相似定理的應(yīng)用。

【教學(xué)難點】

了解直角三角形相似判定定理的證題方法與思路。

課前準備

課件、教具等。

教學(xué)過程

一、情境導(dǎo)入

1.到目前為止我們總共學(xué)過幾種判定兩個三角形相似的方法？

答：（1）兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；（2）兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形

相似；（3）三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似.

2.判定兩個直角三角形相似有幾種方法？

答：一個銳角對應(yīng)相等或兩直角邊對應(yīng)成比例.

還有沒有其他的方法證明直角三角形相似？

二、合作探究

探究點一：判定兩個直角三角形相似

【類型一】判定兩個直角三角形相似的特殊方法

例1如圖，在RtZ\46C中，/49G=90°"6=4,47=5.在m4卬B'C中，N/'CB'

=90°,A'C=6,A'B'=10.求證：△/吐△夕CA'.

解析：先求兩直角三角形的斜邊4。和/'9的比，再求兩直角邊回和HC的比.

證明：在RtZX/a1中，BC=y/A(^AE>=^5"4"=3,.".~p一一~^~2*'~一~B'~=T3=5'

Be1°

k=又,：NABC=NA'CB'=90°，：,RtAASC^RtAB'CA'.

ACAD

D

解析：根據(jù)網(wǎng)格的特點，利用勾股定理求出各邊的長度，求出三邊的比，然后結(jié)

合四個選項即可得解.設(shè)網(wǎng)格的邊長是1,則力6=護1=/，勿=后兩=①,然=

yl22+2~=2y[2,：.AB：AC：BC=@:2?。核?1：2：木,是直角三角形...,選

項A、D中的三角形不是直角三角形，.?.排除A、D選項；：4？：氐7=1：2,B選項中的三角

形的兩直角邊的邊長比為1：2,C選項中的三角形的兩直角邊的邊長比為3:2,.?.選項B正

確.

方法總結(jié)：以網(wǎng)格圖考查的題目，要應(yīng)用勾股定理分別求出各圖形的三角形的三邊之比,

這是解題的關(guān)鍵.

探究點二：直角三角形相似的計算

例3如圖，在△四C中，/C=90°，比'=16cm,4C=12cm,點。從6出發(fā)沿比1以2cm/s

的速度向C移動，點。從C出發(fā)，以lcm/s的速度向力移動，若只。分別從6、C同時出發(fā)，

設(shè)運動時間為飴，當t為何值時，△。過與△曲相似？

解析：分和％是對應(yīng)邊，少和。是對應(yīng)邊兩種情況，利用相似三角形對應(yīng)邊成比

例列式計算即可得解.

CpCQ]621t

解：當"和龍是對應(yīng)邊時，XCPgXCBA,所以方=7?，即一^-=而，解得力=4.8；

L/JDlz/i101Lt

CPrni—o/t64

當少和。是對應(yīng)邊時，XCPgXCAB,所以不=為即一記一=而，解得t=TT綜上所述，

64

當i=4.8或打時，與△曲相似.

方法總結(jié)：本題考查了相似三角形的判定，主要利用了相似三角形對應(yīng)邊成比例，難點

在于分情況討論.

三、板書設(shè)計

1.如何判定兩個直角三角形相似呢？

一個銳角對應(yīng)相等或兩邊對應(yīng)成比例的兩個直角三角形相似.

2.直角三角形相似的判定定理的簡單應(yīng)用.

教學(xué)反思

由于直角三角形是特殊的三角形，因而它具備一般三角形所沒有的特殊性質(zhì).通過本節(jié)

課的學(xué)習(xí)，要求理解己經(jīng)學(xué)過的判定相似三角形的三種方法均可以用來判定兩個直角三角形

相似，同時通過探索得出“有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形相似”這一重要

而又特殊的判定方法，并能熟練地利用這些方法判定兩個直角三角形相似.在研究的過程中，

注意滲透由一般到特殊的數(shù)學(xué)思想方法.為了實現(xiàn)教學(xué)目標，本節(jié)課改變了教材的情境設(shè)置，

擇取了一個更便于學(xué)生理解、更能激發(fā)學(xué)生興趣的實例，使學(xué)生能在生活中找到數(shù)學(xué)原型，

在思考中找到解決問題的辦法.教學(xué)中鼓勵學(xué)生大膽猜想，大膽辯駁，教師始終是一位引導(dǎo)

者、組織者，學(xué)生的積極性得到充分發(fā)揮，取得了很好的教育效果.

22.3相似三角形的性質(zhì)

第1課時相似三角形性質(zhì)定理1、2及其應(yīng)用

教學(xué)目標

【知識與能力】

理解并掌握相似三角形的對應(yīng)線段（高、中線、角平分線）之間的關(guān)系，理解并掌握相似三角形

周長的比等于相似比，掌握定理的證明方法,并能靈活運用相似三角形的判定定理和性質(zhì)，提

高分析和推理能力。

【過程與方法】

在對性質(zhì)定理的探究中，學(xué)生經(jīng)歷“觀察一猜想一論證一歸納”的過程，培養(yǎng)學(xué)生主動探究、

合作交流的習(xí)慣和嚴謹治學(xué)的態(tài)度,并在其中體會類比的數(shù)學(xué)思想,培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想、勇于

探索、勤于思考的數(shù)學(xué)品質(zhì)，提高分析問題和解決問題的能力。

【情感態(tài)度價值觀】

1.在學(xué)習(xí)和探討的過程中,體驗特殊到一般的認識規(guī)律.

2.通過學(xué)生之間的合作交流使學(xué)生體驗到成功的喜悅,樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心。

教學(xué)重難點

【教學(xué)重點】

相似三角形性質(zhì)定理的探究及應(yīng)用。

【教學(xué)難點】

綜合應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)與判定定理探索相似三角形中對應(yīng)線段之間的關(guān)系，理解并掌握

相似三角形周長的比等于相似比。

課前準備

課件、教具等。

教學(xué)過程

一、情境導(dǎo)入

在前面我們學(xué)習(xí)了相似多邊形的性質(zhì)，知道相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，

相似三角形是相似多邊形中的一種，因此三對對應(yīng)角相等，三對對應(yīng)邊成比例.那么，在兩

個相似三角形中是否只有對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例這個性質(zhì)呢？本節(jié)課我們將研究相似三

角形的其他性質(zhì).

二、合作探究

探究點一：相似三角形性質(zhì)定理1

【類型一】相似三角形對應(yīng)高的比

例1如圖，中，DE//BC,于點//,/〃交應(yīng)于點G.已知小=10,60=15,

46=12.求67/的長.

解：'：DE//BC,

:.XADESMABC.

又，：AHLBC,DE//BC,

：.AHLDE.

.DEAG1012

''BC~AH115~AH

.?.{〃=18.

，GH=AH-AG=18-12=6.

方法總結(jié)：利用相似三角形的性質(zhì)：對應(yīng)高的比等于相似比；將所求線段轉(zhuǎn)化為求對應(yīng)

高的差.

【類型二】相似三角形對應(yīng)角平分線的比

例2兩個相似三角形的兩條對應(yīng)邊的長分別是6cm和8cm,如果它們對應(yīng)的兩條角平分

線的和為42cm,那么這兩條角平分線的長分別是多少？

解：（方法一）設(shè)其中較短的角平分線的長為xcm,則另一條角平分線的長為（42—才）cm.

x6

根據(jù)題意，得互不=6解得x=18.

所以42-x=42-18=24（cm）.

x6

（方法二）設(shè)較短的角平分線長為xcm,則由相似性質(zhì)有數(shù)=工.解得x=18.較長的角平分

線長為24cm.

故這兩條角平分線的長分別為18cm,24cm.

方法總結(jié)：在利用相似三角形的性質(zhì)解題時，一定要注意“對應(yīng)”二字，只有對應(yīng)線段

的比才等于相似比，而相似比即為對應(yīng)邊的比.列比例式時，盡可能回避復(fù)雜方程的變形.

【類型三】相似三角形對應(yīng)中線的比

例3已知笫s△/ffC,"=1A?邊上的中線切=4cm,求/B'邊上的

ADO

中線C'D'的長.

解：B'C,必是四邊上的中線，CD'是"B'邊上的中線，

.CDAB2

"CD'=A'B'=?

又..?34cm,

：.CD'=券等4=6(cm).

即/B'邊上的中線rD'的長是6cm.

方法總結(jié)：相似三角形對應(yīng)中線的比等于相似比.

探究點二：相似三角形性質(zhì)定理1的應(yīng)用

例4如圖所示，路邊有兩根電線桿，分別在高為3m的｛處和6m的。處用鐵絲將兩電

線桿固定，求鐵絲/〃與鐵絲力的交點M距地面的高.

解析：如圖所示，過點"作物小物于點〃由題意得相〃"〃勿，散AABMs叢DCM,△

時AB1MHBM“—

BMH^/AXBCD,故7^=加故"可求.

MLLUZLUDC

解：過點M作MLLBD于點、伍YABLBD,CD工BD,：.AB//MH//CD,J優(yōu)△

BMAB31BM1『BMMH