專題六 空間向量與立體幾何（2020-2024）五年高考《數(shù)學(xué)》真題分類匯編（解析版）

第第頁專題六空間向量與立體幾何考點(diǎn)五年考情（2020-2024）命題趨勢考點(diǎn)01旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征與面積、體積計(jì)算2021年新高考I卷：圓錐；2021年新高考II卷：新科技、球面積；2023年新課標(biāo)Ⅱ卷：圓錐、面積、體積、二面角；2024年新課標(biāo)Ⅰ卷：圓柱、圓錐、面積與體積.關(guān)于空間向量與立體幾何的考查，題量維持在2-3道，必有一道主觀題.應(yīng)注意以下幾個(gè)方面的問題：1.幾何體的結(jié)構(gòu)特征及面積、體積的計(jì)算；2.多面體、旋轉(zhuǎn)體與球的切、接問題，綜合考查幾何體結(jié)構(gòu)特征、面積或體積的計(jì)算，以及線面關(guān)系的應(yīng)用；3.空間點(diǎn)線面位置關(guān)系的判斷，包括各種角的簡單計(jì)算；4.以棱錐、棱柱為載體，證明線線關(guān)系、線面或面面關(guān)系，求線面角的函數(shù)值；5.以棱錐、棱柱為載體，證明線線關(guān)系、線面或面面關(guān)系，求二面角的函數(shù)值；6.以棱錐、棱柱為載體，證明線線關(guān)系、線面或面面關(guān)系，根據(jù)線面角或二面角求其它量；7.適當(dāng)注意距離的計(jì)算問題.考點(diǎn)02多面體結(jié)構(gòu)特征與面積、體積計(jì)算2021年新高考II卷：正四棱臺(tái)、體積；2022年新高考I卷：南水北調(diào)、四棱臺(tái)、體積.考點(diǎn)03幾何體與球的切接問題2020年新高考Ⅰ卷：直四棱柱側(cè)面與球交線；2022年新高考I卷：正四棱錐、球、體積范圍；2022年新高考II卷：正三棱臺(tái)、球、面積.考點(diǎn)04空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系2020年新高考Ⅰ卷：日晷、線面角；2021年新高考II卷：正方體中線線垂直關(guān)系；2022年新高考I卷：正方體中線線角、線面角、二面角；2024年新高考II卷：正三棱臺(tái)體積、線面角.考點(diǎn)05空間向量及其應(yīng)用2021年新高考I卷：正三棱柱、三角形周長、體積、垂直關(guān)系考點(diǎn)06空間位置關(guān)系的證明與線面角的函數(shù)值2020年新高考Ⅰ卷：四棱錐、線面垂直、線面角；2020年新高考Ⅱ卷：四棱錐、線面垂直、線面角；考點(diǎn)07空間位置關(guān)系的證明與二面角的函數(shù)值2021年新高考II卷：四棱錐、面面垂直、二面角；2022年新高考I卷：直三棱柱、點(diǎn)到平面的距離、二面角；2022年新高考II卷：三棱錐、線面平行、二面角；2023年新課標(biāo)Ⅱ卷：三棱錐、線線垂直、二面角；2024年新課標(biāo)Ⅱ卷：平行四邊形翻折、線線垂直、二面角.考點(diǎn)08空間位置關(guān)系的證明、由二面角求其它量2021年新高考I卷：三棱錐、線線垂直、二面角求體積；2023年新課標(biāo)Ⅰ卷：正四棱柱、線線平行、二面角求線段長；2024年新課標(biāo)Ⅰ卷：四棱錐、線面平行、二面角正弦值求線段長.考點(diǎn)01旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征與面積、體積計(jì)算1．（2021年全國新高考I卷數(shù)學(xué)試題）已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)圓錐的母線長為，根據(jù)圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長可求得的值，即為所求.【詳解】設(shè)圓錐的母線長為，由于圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長，則，解得.故選：B.2．（2021年全國新高考II卷數(shù)學(xué)試題）北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果．在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）．將地球看作是一個(gè)球心為O，半徑r為的球，其上點(diǎn)A的緯度是指與赤道平面所成角的度數(shù)．地球表面上能直接觀測到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點(diǎn)的緯度最大值為，記衛(wèi)星信號覆蓋地球表面的表面積為（單位：），則S占地球表面積的百分比約為（

）A．26% B．34% C．42% D．50%【答案】C【分析】由題意結(jié)合所給的表面積公式和球的表面積公式整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.【詳解】由題意可得，S占地球表面積的百分比約為：.故選：C.3．（2024年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為，則圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為，根據(jù)圓錐和圓柱的側(cè)面積相等可得半徑的方程，求出解后可求圓錐的體積.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，則圓錐的母線長為，而它們的側(cè)面積相等，所以即，故，故圓錐的體積為.故選：B.4．（多選）（2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角為45°，則（

）．A．該圓錐的體積為 B．該圓錐的側(cè)面積為C． D．的面積為【答案】AC【分析】根據(jù)圓錐的體積、側(cè)面積判斷A、B選項(xiàng)的正確性，利用二面角的知識(shí)判斷C、D選項(xiàng)的正確性.【詳解】依題意，，，所以，A選項(xiàng)，圓錐的體積為，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，圓錐的側(cè)面積為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，設(shè)是的中點(diǎn)，連接，則，所以是二面角的平面角，則，所以，故，則，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，，所以，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.

考點(diǎn)02多面體結(jié)構(gòu)特征與面積、體積計(jì)算5．（2021年全國新高考II卷數(shù)學(xué)試題）正四棱臺(tái)的上?下底面的邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，則其體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由四棱臺(tái)的幾何特征算出該幾何體的高及上下底面面積，再由棱臺(tái)的體積公式即可得解.【詳解】作出圖形，連接該正四棱臺(tái)上下底面的中心，如圖，因?yàn)樵撍睦馀_(tái)上下底面邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，所以該棱臺(tái)的高，下底面面積，上底面面積，所以該棱臺(tái)的體積.故選：D.6．（2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔時(shí)，相應(yīng)水面的面積為；水位為海拔時(shí)，相應(yīng)水面的面積為，將該水庫在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫水位從海拔上升到時(shí)，增加的水量約為（）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意只要求出棱臺(tái)的高，即可利用棱臺(tái)的體積公式求出．【詳解】依題意可知棱臺(tái)的高為(m)，所以增加的水量即為棱臺(tái)的體積．棱臺(tái)上底面積，下底面積，∴．故選：C．考點(diǎn)03幾何體與球的切接問題7．（2022年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題）已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可求出正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑，再根據(jù)球心距，圓面半徑，以及球的半徑之間的關(guān)系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積．【詳解】設(shè)正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑，所以，即，設(shè)球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，所以，，故或，即或，解得符合題意，所以球的表面積為．故選：A．

8．（2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)正四棱錐的高為，由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長與高的關(guān)系，由此確定正四棱錐體積的取值范圍.【詳解】∵球的體積為，所以球的半徑,[方法一]：導(dǎo)數(shù)法設(shè)正四棱錐的底面邊長為，高為，則，,所以，所以正四棱錐的體積，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，正四棱錐的體積取最大值，最大值為，又時(shí)，，時(shí)，,所以正四棱錐的體積的最小值為，所以該正四棱錐體積的取值范圍是.故選：C.[方法二]：基本不等式法由方法一故所以當(dāng)且僅當(dāng)取到，當(dāng)時(shí)，得，則當(dāng)時(shí)，球心在正四棱錐高線上，此時(shí)，，正四棱錐體積，故該正四棱錐體積的取值范圍是9．（2020年新高考全國卷Ⅰ數(shù)學(xué)試題）已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱長均為2，∠BAD=60°．以為球心，為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長為．【答案】.【分析】根據(jù)已知條件易得，側(cè)面，可得側(cè)面與球面的交線上的點(diǎn)到的距離為，可得側(cè)面與球面的交線是扇形的弧，再根據(jù)弧長公式可求得結(jié)果.【詳解】如圖：取的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，因?yàn)?0°，直四棱柱的棱長均為2，所以△為等邊三角形，所以，，又四棱柱為直四棱柱，所以平面，所以，因?yàn)?，所以?cè)面，設(shè)為側(cè)面與球面的交線上的點(diǎn)，則，因?yàn)榍虻陌霃綖?，，所以，所以?cè)面與球面的交線上的點(diǎn)到的距離為，因?yàn)椋詡?cè)面與球面的交線是扇形的弧，因?yàn)?，所以，所以根?jù)弧長公式可得.故答案為：.考點(diǎn)04空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系10．（多選）（2021年全國新高考II卷數(shù)學(xué)試題）如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M，N為正方體的頂點(diǎn)．則滿足的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理可得BC的正誤，平移直線構(gòu)造所考慮的線線角后可判斷AD的正誤.【詳解】設(shè)正方體的棱長為，對于A，如圖（1）所示，連接，則，故（或其補(bǔ)角）為異面直線所成的角，在直角三角形，，，故，故不成立，故A錯(cuò)誤.對于B，如圖（2）所示，取的中點(diǎn)為，連接，，則，，由正方體可得平面，而平面，故，而，故平面，又平面，，而，所以平面，而平面，故，故B正確.對于C，如圖（3），連接，則，由B的判斷可得，故，故C正確.對于D，如圖（4），取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)椋?，故，所以或其補(bǔ)角為異面直線所成的角，因?yàn)檎襟w的棱長為2，故，，，，故不是直角，故不垂直，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11．（2020年新高考全國卷Ⅰ數(shù)學(xué)試題）日晷是中國古代用來測定時(shí)間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時(shí)間．把地球看成一個(gè)球(球心記為O)，地球上一點(diǎn)A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點(diǎn)A處的水平面是指過點(diǎn)A且與OA垂直的平面.在點(diǎn)A處放置一個(gè)日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點(diǎn)A處的緯度為北緯40°，則晷針與點(diǎn)A處的水平面所成角為（

）A．20° B．40°C．50° D．90°【答案】B【分析】畫出過球心和晷針?biāo)_定的平面截地球和晷面的截面圖，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理和線面垂直的定義判定有關(guān)截線的關(guān)系，根據(jù)點(diǎn)處的緯度，計(jì)算出晷針與點(diǎn)處的水平面所成角.【詳解】畫出截面圖如下圖所示，其中是赤道所在平面的截線；是點(diǎn)處的水平面的截線，依題意可知；是晷針?biāo)谥本€.是晷面的截線，依題意依題意,晷面和赤道平面平行，晷針與晷面垂直，根據(jù)平面平行的性質(zhì)定理可得可知、根據(jù)線面垂直的定義可得..由于，所以，由于，所以，也即晷針與點(diǎn)處的水平面所成角為.故選：B12．（2024年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）已知正三棱臺(tái)的體積為，，，則與平面ABC所成角的正切值為（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】解法一：根據(jù)臺(tái)體的體積公式可得三棱臺(tái)的高，做輔助線，結(jié)合正三棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征求得，進(jìn)而根據(jù)線面夾角的定義分析求解；解法二：將正三棱臺(tái)補(bǔ)成正三棱錐，與平面ABC所成角即為與平面ABC所成角，根據(jù)比例關(guān)系可得，進(jìn)而可求正三棱錐的高，即可得結(jié)果.【詳解】解法一：分別取的中點(diǎn)，則，可知，設(shè)正三棱臺(tái)的為，則，解得，如圖，分別過作底面垂線，垂足為，設(shè)，則，，可得，結(jié)合等腰梯形可得,即，解得，所以與平面ABC所成角的正切值為；解法二：將正三棱臺(tái)補(bǔ)成正三棱錐，則與平面ABC所成角即為與平面ABC所成角，因?yàn)?，則，可知，則，設(shè)正三棱錐的高為，則，解得，取底面ABC的中心為，則底面ABC，且，所以與平面ABC所成角的正切值.故選：B.13．（多選）（2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題）已知正方體，則（

）A．直線與所成的角為 B．直線與所成的角為C．直線與平面所成的角為 D．直線與平面ABCD所成的角為【答案】ABD【分析】數(shù)形結(jié)合，依次對所給選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】如圖，連接、，因?yàn)?，所以直線與所成的角即為直線與所成的角，因?yàn)樗倪呅螢檎叫危瑒t，故直線與所成的角為，A正確；連接，因?yàn)槠矫?，平面，則，因?yàn)?，，所以平面，又平面，所以，故B正確；連接，設(shè)，連接，因?yàn)槠矫?，平面，則，因?yàn)?，，所以平面，所以為直線與平面所成的角，設(shè)正方體棱長為，則，，，所以，直線與平面所成的角為，故C錯(cuò)誤；因?yàn)槠矫?，所以為直線與平面所成的角，易得，故D正確.故選：ABD考點(diǎn)05空間向量及其應(yīng)用14．（多選）（2021年全國新高考I卷數(shù)學(xué)試題）在正三棱柱中，，點(diǎn)滿足，其中，，則（

）A．當(dāng)時(shí)，的周長為定值B．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值C．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得D．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得平面【答案】BD【分析】對于A，由于等價(jià)向量關(guān)系，聯(lián)系到一個(gè)三角形內(nèi)，進(jìn)而確定點(diǎn)的坐標(biāo)；對于B，將點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡考慮到一個(gè)三角形內(nèi)，確定路線，進(jìn)而考慮體積是否為定值；對于C，考慮借助向量的平移將點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來求解點(diǎn)的個(gè)數(shù)；對于D，考慮借助向量的平移將點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來求解點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【詳解】易知，點(diǎn)在矩形內(nèi)部（含邊界）．對于A，當(dāng)時(shí)，，即此時(shí)線段，周長不是定值，故A錯(cuò)誤；對于B，當(dāng)時(shí)，，故此時(shí)點(diǎn)軌跡為線段，而，平面，則有到平面的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確．對于C，當(dāng)時(shí)，，取，中點(diǎn)分別為，，則，所以點(diǎn)軌跡為線段，不妨建系解決，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，，，，則，，，所以或．故均滿足，故C錯(cuò)誤；對于D，當(dāng)時(shí)，，取，中點(diǎn)為．，所以點(diǎn)軌跡為線段．設(shè)，因?yàn)椋?，，所以，此時(shí)與重合，故D正確．故選：BD．考點(diǎn)06空間位置關(guān)系的證明與線面角的函數(shù)值15．（2020年新高考全國卷Ⅰ數(shù)學(xué)試題）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l．（1）證明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q為l上的點(diǎn)，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證得平面，利用線面平行的判定定理以及性質(zhì)定理，證得，從而得到平面；（2）方法一：根據(jù)題意，建立相應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系，得到相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)，之后求得平面的法向量以及向量的坐標(biāo)，求得的最大值，即為直線與平面所成角的正弦值的最大值.【詳解】（1）證明：在正方形中，，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫矫嫫矫?，所以，因?yàn)樵谒睦忮F中，底面是正方形，所以且平面，所以因?yàn)?，所以平面．?）［方法一］【最優(yōu)解】：通性通法因?yàn)閮蓛纱怪?，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：因?yàn)?，設(shè)，設(shè)，則有，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以平面的一個(gè)法向量為，則根據(jù)直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對值即為直線與平面所成角的正弦值，所以直線PB與平面QCD所成角的正弦值等于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為.［方法二］：定義法如圖2，因?yàn)槠矫?，，所以平面．在平面中，設(shè)．在平面中，過P點(diǎn)作，交于F，連接．因?yàn)槠矫嫫矫?，所以．又由平面，平面，所以平面．又平面，所以．又由平面平面，所以平面，從而即為與平面所成角．設(shè)，在中，易求．由與相似，得，可得．所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立．［方法三］：等體積法如圖3，延長至G，使得，連接，，則，過G點(diǎn)作平面，交平面于M，連接，則即為所求．設(shè)，在三棱錐中，．在三棱錐中，．由得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立．在中，易求，所以直線PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值為．16．（2020年新高考全國卷Ⅱ數(shù)學(xué)試題）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為．（1）證明：平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q為上的點(diǎn)，QB=，求PB與平面QCD所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）利用線面平行的判定定理以及性質(zhì)定理，證得，利用線面垂直的判定定理證得平面，從而得到平面；（2）根據(jù)題意，建立相應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系，得到相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)，之后求得平面的法向量以及向量的坐標(biāo)，求得，即可得到直線與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）證明：在正方形中，，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，平面平面，所以，因?yàn)樵谒睦忮F中，底面是正方形，所以且平面，所以因?yàn)樗云矫?；?）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，則有，設(shè)，則有，因?yàn)镼B=，所以有設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以平面的一個(gè)法向量為，則根據(jù)直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對值即為直線與平面所成角的正弦值，所以直線與平面所成角的正弦值等于所以直線與平面所成角的正弦值為.考點(diǎn)07空間位置關(guān)系的證明與二面角的函數(shù)值17．（2021年全國新高考II卷數(shù)學(xué)試題）在四棱錐中，底面是正方形，若．（1）證明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）取的中點(diǎn)為，連接，可證平面，從而得到面面.（2）在平面內(nèi)，過作，交于，則，建如圖所示的空間坐標(biāo)系，求出平面、平面的法向量后可求二面角的余弦值.【詳解】（1）取的中點(diǎn)為，連接.因?yàn)?，，則，而，故.在正方形中，因?yàn)?，故，故，因?yàn)?，故，故為直角三角形且，因?yàn)?，故平面，因?yàn)槠矫妫势矫嫫矫?（2）在平面內(nèi)，過作，交于，則，結(jié)合（1）中的平面，故可建如圖所示的空間坐標(biāo)系.則，故.設(shè)平面的法向量，則即，取，則，故.而平面的法向量為，故.二面角的平面角為銳角，故其余弦值為.18．（2022年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題）如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點(diǎn)．

(1)證明：平面；(2)若，，，求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接并延長交于點(diǎn)，連接、，根據(jù)三角形全等得到，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，即可得到為的中點(diǎn)從而得到，即可得證；（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦的絕對值，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得.【詳解】（1）證明：連接并延長交于點(diǎn)，連接、，因?yàn)槭侨忮F的高，所以平面，平面，所以、，又，所以，即，所以，又，即，所以，，所以所以，即，所以為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面

（2）解：過點(diǎn)作，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，所以，又，所以，則，，所以，所以，，，，所以，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以；設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以；所以.設(shè)二面角的大小為，則，所以，即二面角的正弦值為.

19．（2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題）如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．(1)求A到平面的距離；(2)設(shè)D為的中點(diǎn)，，平面平面，求二面角的正弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由等體積法運(yùn)算即可得解；（2）由面面垂直的性質(zhì)及判定可得平面，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法即可得解.【詳解】（1）在直三棱柱中，設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為h，則，解得，所以點(diǎn)A到平面的距離為；（2）取的中點(diǎn)E,連接AE,如圖，因?yàn)?，所?又平面平面，平面平面，且平面，所以平面，在直三棱柱中，平面，由平面，平面可得，，又平面且相交，所以平面，所以兩兩垂直，以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，由（1）得，所以，，所以，則,所以的中點(diǎn)，則，,設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，可取，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，可取，則，所以二面角的正弦值為.20．（2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)點(diǎn)F滿足，求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）根據(jù)題意易證平面，從而證得；（2）由題可證平面，所以以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，再求出平面的一個(gè)法向量，根據(jù)二面角的向量公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系即可解出．【詳解】（1）連接，因?yàn)镋為BC中點(diǎn)，，所以①，因?yàn)椋?，所以與均為等邊三角形，，從而②，由①②，，平面，所以，平面，而平面，所以．（2）不妨設(shè)，，．，，又，平面平面．以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

設(shè)，設(shè)平面與平面的一個(gè)法向量分別為，二面角平面角為,而，因?yàn)?，所以，即有，，取，所以；，取，所以，所以，，從而．所以二面角的正弦值為?1．（2024年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)滿足，，將沿EF翻折至，使得．(1)證明：；(2)求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由題意，根據(jù)余弦定理求得，利用勾股定理的逆定理可證得，則，結(jié)合線面垂直的判定定理與性質(zhì)即可證明；（2）由（1），根據(jù)線面垂直的判定定理與性質(zhì)可證明，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解面面角即可.【詳解】（1）由，得，又，在中，由余弦定理得,所以，則，即，所以，又平面，所以平面，又平面，故；（2）連接，由，則，在中，，得，所以，由（1）知，又平面，所以平面，又平面，所以，則兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，由是的中點(diǎn)，得，所以，設(shè)平面和平面的一個(gè)法向量分別為，則，，令，得，所以，所以，設(shè)平面和平面所成角為，則，即平面和平面所成角的正弦值為.考點(diǎn)08空間位置關(guān)系的證明、由二面角求其它量22．（2021年全國新高考I卷數(shù)學(xué)試題）如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn).（1）證明：；（2）若是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】(1)由題意首先證得線面垂直，然后利用線面垂直的定義證明線線垂直即可；(2)方法二：利用幾何關(guān)系找到二面角的平面角，然后結(jié)合相關(guān)的幾何特征計(jì)算三棱錐的體積即可.【詳解】（1）因?yàn)?，O是中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面平面，且平面平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，所?（2）[方法一