高中數(shù)學(xué)課堂講義：空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示

高中數(shù)學(xué)課堂講義:空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示

目錄

1.教學(xué)背景分析................................................................1

1.1.教學(xué)內(nèi)容解析............................................................1

1.2.學(xué)生學(xué)情分析............................................................3

2.教學(xué)目標(biāo)設(shè)置...............................................................4

3.教學(xué)策略分析...............................................................4

4.教學(xué)過(guò)程....................................................................5

4.1.弓I入.....................................................................6

4.2.溫故知新，建立定理......................................................7

4.3.嚴(yán)格論證，完善定理......................................................8

4.4.實(shí)例探究，應(yīng)用定理.....................................................10

4.5.回顧歷程，審視定理.....................................................13

4.6.大膽猜想，推廣定理.....................................................14

4.7.小結(jié)....................................................................15

5.教學(xué)特點(diǎn)及反思..............................................................17

5.1.類比與猜想的緊密結(jié)合...................................................17

5.2.課堂與教材的有機(jī)整合...................................................17

1.教學(xué)背景分析

1.1.教學(xué)內(nèi)容解析

本節(jié)課是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)》人教A版選修2-1第三章

《空間向量與立體幾何》的3.1.4節(jié)《空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示》屬于

新授課.

本章知識(shí)結(jié)構(gòu)

《空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示》屬于空間向量及其運(yùn)算部分中的第

四節(jié)內(nèi)容，位置處于在空間向量加減運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算之后，坐標(biāo)

運(yùn)算之前，意義十分明顯，就是借助空間向量基本定理的建立，從而得出空間

向量坐標(biāo)的定義，從而完成從向量到坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化，進(jìn)而為后面的立體幾何問(wèn)題

的解決服務(wù).

但同時(shí)，學(xué)生已經(jīng)在之前的必修4中學(xué)習(xí)過(guò)平面向量的相關(guān)知識(shí).

、第二章

Q平面向量空間向量與立體幾何

平面向■的實(shí)際方景及也本《（含

薊空向的■及共運(yùn)1|

甲M向■的線性送H

立體幾軻中的陶■方法

窣面陶■的M本定理及坐標(biāo)表示

平正向■的心?根

平面向?應(yīng)用拳倒

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第2頁(yè)共17頁(yè)

向—的推廣與應(yīng)用*>■■■■■■■■■■

我們知道,在平面內(nèi)取定正交基底建立坐標(biāo)系后.坐標(biāo)平面內(nèi)的任意一個(gè)向量?都可

以用二元有序?qū)嵭?duì)（5.a2）我示.平面向量又稱為二維向量.給定空間一個(gè)正交基底，

任意一個(gè)空間向量可用三元有序?qū)嵭ЫM（9,姓.外）表示.空間向量又稱為三維向量.

二雄向量、三維向量統(tǒng)稱為幾何向量.

在實(shí)際問(wèn)題中.經(jīng)常會(huì)遇到一些需要用更多的實(shí)數(shù)來(lái)表示的量.比如：期末進(jìn)行了五

門學(xué)科的考試.每個(gè)學(xué)生可用順序排列的五科成績(jī)來(lái)表示；在汽車生產(chǎn)線上.時(shí)裝出好的

汽車進(jìn)行制動(dòng)距離、最高車速、每100千米油耗、滑行距離、噪聲.廢氣排放量等六項(xiàng)指

標(biāo)的測(cè)試.那么舟輛新車質(zhì)量可用六元有序?qū)崝?shù)組（a］，a??〃i?a1?〃?,?表示.

一般地.〃元有序?qū)嵭ЫM（ai.%,????aj稱為"維向量?它是幾何向量的推廣?〃

維向貴的全體構(gòu)成的集合.M.?子,相應(yīng)的結(jié)構(gòu)后，叫做〃維歐氏空間?它的每一個(gè)無(wú)京可看

成“推向量空間的一點(diǎn).

美似二維向量.對(duì)于，，維向量.也可定義兩個(gè)向量的加法運(yùn)算、成法運(yùn)算、數(shù)臬運(yùn)

算、兩個(gè)向貴的數(shù)量積、向量的長(zhǎng)度（模八兩點(diǎn)間的“距離”等，

設(shè)（!=<為?</；??????.）?b=（6|?伍.,???札）,則

0士b=（y?火?????a.）±Si?也、????6.）=<tfi±6t.田土叢，…。心土兒”

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a?b-（?i.a-i，…，a.）?（6|?6r.????仇）=58+“24+"?+"/，“；

99

因此，按照教學(xué)參考的教學(xué)建議，“宜多引導(dǎo)學(xué)生與平面向量及其運(yùn)算作

類比，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)與平面向量及其運(yùn)算有什么聯(lián)系與區(qū)別，讓學(xué)生經(jīng)歷向量

由平面向空間推廣的過(guò)程，使學(xué)生體會(huì)其中的數(shù)學(xué)思想方法：類比與歸納，體

驗(yàn)數(shù)學(xué)在結(jié)構(gòu)上的和諧性與在推廣過(guò)程中的問(wèn)題，同時(shí)教學(xué)過(guò)程中，還應(yīng)注意

維度增加所帶來(lái)的影響

“又因?yàn)榻滩脑诒菊聦ｉT安排了一個(gè)‘閱讀與思考向量概念的推廣與應(yīng)

用‘，把二維向量，三維向量，推廣為高維向量，并說(shuō)明了其應(yīng)用.有條件的地

區(qū)，可以引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)這個(gè)閱讀材料，將空間向量的有關(guān)性質(zhì)向多維推廣

而事實(shí)上，之前學(xué)生所學(xué)習(xí)的向量共線定理，本質(zhì)也是一樣的，因此，仔

細(xì)研究教材的編寫意圖，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)這節(jié)課在整個(gè)高中向量課程教學(xué)中起到了

一個(gè)重要的承上啟下的作用，即：完成了從必修4到選修2-1中的向量共線定

理，平面向量基本定理，空間向量基本定理對(duì)比與統(tǒng)一，同時(shí)通過(guò)教材的閱讀

與思考環(huán)節(jié)，又將學(xué)生帶入了高維向量的世界，完成了一個(gè)學(xué)生對(duì)于不同維度

下向量空間結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)的升華過(guò)程，巧妙至極！

1.2.學(xué)生學(xué)情分析

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在現(xiàn)行教材編寫與教學(xué)過(guò)程安排中，學(xué)生已經(jīng)在必修4中學(xué)習(xí)了平面向量

的相關(guān)知識(shí).而在本節(jié)內(nèi)容之前，學(xué)生又學(xué)習(xí)了空間向量的運(yùn)算，因此具有了一

定的基礎(chǔ)知識(shí)儲(chǔ)備.

因此，借助平面向量基本定理，類比得到空間向量基本定理分解的存在性

是容易的，但是證明唯一性具有一定的難度.同時(shí)有了平面向量坐標(biāo)的定義，得

到空間坐標(biāo)的定義是容易的，但是學(xué)生對(duì)于單位正交基底的選擇的合理性的理

解卻是模糊的.

因此，我設(shè)置本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)如下：

重點(diǎn)：學(xué)生通過(guò)平面向量的類比與歸納，得到空間向量基本定理的表述形

式，以及選擇特殊的單位正交基底，通過(guò)正交分解得到空間向量的坐標(biāo)定義.

難點(diǎn)：類比過(guò)程中空間向量基本定理分解的唯一性的證明，與坐標(biāo)定義中

選擇單位正交基底的合理性.

2.教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，同時(shí)基于上述分析，我確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下：

通過(guò)類比平面向量基本定理理解空間向量基本定理的建立過(guò)程，掌握定理

的表述形式；

理解如何通過(guò)反證法，證明分解的唯一性；

體會(huì)根據(jù)具體問(wèn)題選擇基底的重要性，特別是正交分解對(duì)于處理向量數(shù)量

積問(wèn)題的意義所在；

掌握空間向量的坐標(biāo)定義，并能寫出給定的空間向量的坐標(biāo)；

體會(huì)向量共線定理，平面向量基本定理，空間向量基本定理之間的內(nèi)在聯(lián)

系，體會(huì)不同維度的向量空間之間的結(jié)構(gòu)異同點(diǎn)，了解高維向量定義的合理性

與必要性，并將本節(jié)課所獲得的結(jié)果，在高維向量空間作簡(jiǎn)單的推廣，培養(yǎng)學(xué)

生的類比歸納能力.

3.教學(xué)策略分析

鑒于學(xué)生已經(jīng)具有一定的平面向量知識(shí)的基礎(chǔ)，制定如下教學(xué)策略：

1、通過(guò)回顧平面向量基本定理，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)類比得到空間向量基本定理

第4頁(yè)共17頁(yè)

的表示，并證明分解的唯一性;

2、通過(guò)具體實(shí)例，讓學(xué)生真實(shí)體會(huì)單位正交基底與正交分解對(duì)于數(shù)量積問(wèn)

題的重要性，得出向量的正交分解與坐標(biāo)表示；

3、完成從二維到三維的類比之后，再引導(dǎo)學(xué)生完成一維向量空間的類比,

從而讓學(xué)生體會(huì)到不同維度向量空間的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)上的統(tǒng)一性，并通過(guò)簡(jiǎn)單探究

將向量空間進(jìn)一步推廣到高維時(shí)的情形，同時(shí)將空間向量基本定理作進(jìn)一步的

推廣；

4.教學(xué)過(guò)程

為了達(dá)到以上教學(xué)目標(biāo)，在具體教學(xué)中，我把這節(jié)課分為以下七個(gè)環(huán)節(jié)：

引入

溫故知新，建立定理

嚴(yán)格論證，完善定理

實(shí)例探究，應(yīng)用定理

回顧歷程，審視定理

大膽猜想，推廣定理

.小結(jié)J

第5頁(yè)共17頁(yè)

接下來(lái)，我將對(duì)每一教學(xué)環(huán)節(jié)中涉及的主要問(wèn)題，教學(xué)步驟以及設(shè)計(jì)意圖

作出說(shuō)明.

4.1.引入

問(wèn)題1：如圖，已知。，》是給定的向量，對(duì)于任意的P,請(qǐng)問(wèn)P能用"，b

表示嗎？

第6頁(yè)共17頁(yè)

【學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生思考是否能夠表示，有學(xué)生認(rèn)為可以，理由是之前學(xué)習(xí)

的平面向量基本定理，還有學(xué)生認(rèn)為不一定，因?yàn)镻可能與。，b不共面.

【設(shè)計(jì)意圖】本節(jié)課的采用通過(guò)從平面向量到空間向量的類比得到空間向

量的相關(guān)內(nèi)容的類比教學(xué)策略，因此設(shè)置該問(wèn)題，讓學(xué)生意識(shí)到我們現(xiàn)在不單

單是研究平面向量，同時(shí)研究空間向量，但容易發(fā)現(xiàn)它們之間有類似的地方，

因此本節(jié)課的目的就是要弄清推廣過(guò)程中的不同之處，并加以解決.

4.2.溫故知新，建立定理

問(wèn)題2：如果。，b,P是共面的，那該怎么表示呢？

【學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生提出通過(guò)作平行四邊形的方法，可以得到

OP=OA'+OB'=xOA+yOB，

所以

p=M+yb

并回顧了平面向量基本定理的表述：

平面向量基本定理：如果向量a,5不共線，那么對(duì)于平面中的任一向量。，

存在唯一有序?qū)崝?shù)組｛乂訓(xùn)，使得P=m+其中｛a』｝稱為平面的一組基底.

【教師總結(jié)】這個(gè)就是我們之前在必修4中所學(xué)習(xí)的平面向量基本定理，

同時(shí)我們知道這個(gè)分解不但存在，而且唯一！

【設(shè)計(jì)意圖】用這個(gè)問(wèn)題，幫助學(xué)生回顧之前所學(xué)習(xí)的平面向量基本定理，

同時(shí)為后面推廣為空間向量基本定理作好鋪墊.

問(wèn)題3：如果。，b,P是不共面的，那該怎么辦呢？

【學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生思考提出應(yīng)該再給出一個(gè)向量

問(wèn)題4：隨便再給出一個(gè)向量都行嗎？

第7頁(yè)共17頁(yè)

【學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生提出新給出的向量應(yīng)該與。，力不共面.

問(wèn)題5：如果再給出一個(gè)與。，〃不共面的c,現(xiàn)在該怎么表示P?

【學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生回答類似平面向量基本定理的做法，先過(guò)點(diǎn)P作℃的平

行線，交也方所在的平面于點(diǎn)M,連接可以得到

OP=OM+MP

由平面向量基本定理可知°用=m+油,再作PC'平行于OM交直線OC于

點(diǎn)C,則MP=OC'=zc,所以

p=xa+M+zc

【教師總結(jié)】這個(gè)過(guò)程與平面向量基本定理十分相似，如果我們也給這個(gè)

定理取一個(gè)名字，就可以把它叫做空間向量基本定理.

問(wèn)題6：我們可以通過(guò)修改平面向量基本定理的表述，得到空間向量基本定

理嗎？

【學(xué)生活動(dòng)】可以，只需要作出以下修改：

空間向量基本定理：如果向量。，b,，不共面，那么對(duì)于空間中的任一向

量P,存在唯一有序?qū)崝?shù)組｛x，Xz｝,使得p=m+）辦+zc,其中｛a,瓦c｝稱為空

間的一組基底.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)類比平面中的分解過(guò)程，讓學(xué)生在本質(zhì)上體會(huì)空間向量

在類似問(wèn)題的處理上方法的相通之處；同時(shí)通過(guò)修改平面向量基本定理的方法

來(lái)得到空間向量基本定理的表述，讓學(xué)生再?gòu)男问缴象w會(huì)兩個(gè)定理的相似之處,

從而體現(xiàn)了類比的思想方法.

4.3.嚴(yán)格論證，完善定理

問(wèn)題7：我們?cè)谄矫嫦蛄炕径ɡ碇兄?，P在基底｛"』｝下的分解不但存

在，而且唯一，那么空間向量基本定理中的分解也唯一嗎？

【學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生認(rèn)為分解唯一，且通過(guò)剛才作圖過(guò)程的唯一性來(lái)說(shuō)明.

第8頁(yè)共17頁(yè)

【教師總結(jié)】從剛才分解過(guò)程來(lái)看，作圖過(guò)程是唯一的，但是如果我先將P

按照其他方式分解成幾個(gè)向量，然后再分別在基底依"C}下分解，分解系數(shù)仍

然不變嗎？我們發(fā)現(xiàn)通過(guò)作圖觀察問(wèn)題是一個(gè)非常直觀有效的方法，但是缺乏

必要的邏輯推理，因此無(wú)法代替嚴(yán)格的證明，那么請(qǐng)同學(xué)們思考，該如何證明

分解的唯一性？.

【學(xué)生活動(dòng)】鑒于這個(gè)問(wèn)題有一定的難度，教師要求學(xué)生先進(jìn)行獨(dú)立思考，

然后在有自己的想法之后，分成4人小組討論這個(gè)問(wèn)題，并且最后邀請(qǐng)一位學(xué)

生上臺(tái)通過(guò)實(shí)物投影儀來(lái)講述自己的證明方法：

證明：假設(shè)存在兩種分解，即P=W+y，+z—且p=X2@+a?+Z2C,則

有

0=-x2)a+(y,-y2)b+(z}-z2)c

⑴若z「Z2=0,則0=(%-%)。+3-必)*由平面向量基本定理分解的

唯一性可知％一々=%-%=°,所以是同一種分解；

(ii)若4-2*°,則

Z

2一Z|Z2-Z|,

那就會(huì)有C與方共面，矛盾！

所以，只存在一種分解.

【教師總結(jié)】這位同學(xué)通過(guò)代數(shù)方法證明了分解的唯一性，很好！這樣，

我們就得到了完整的空間向量基本定理.

【設(shè)計(jì)意圖】分解的唯一性在選秀2-1教材的定理表述中并沒(méi)有指出，但

考慮到以下兩點(diǎn)原因：

1、在必修4平面向量基本定理的表述中提到了唯一性；

2、教學(xué)參考要求這個(gè)節(jié)課要讓學(xué)生體會(huì)從平面向量基本定理到空間向量基

本定理的類比過(guò)程，那么唯一性的證明就無(wú)法回避了.

事實(shí)上唯一性的證明，既保持了兩個(gè)定理的一致性，能夠更完整地讓學(xué)生

體會(huì)到其中的類比過(guò)程，又讓學(xué)生體會(huì)了反證法的意義及應(yīng)用，以及作圖過(guò)程

不能作為唯一性的證明，只能作為直觀上的驗(yàn)證，提高了學(xué)生思維的嚴(yán)密性，

第9頁(yè)共17頁(yè)

最后分解的唯一性保證了空間向量與三元有序數(shù)組之間能夠建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,

為本節(jié)課后續(xù)的坐標(biāo)定義的合理性做下重要鋪墊；

4.4.實(shí)例探究，應(yīng)用定理

問(wèn)題8：

例1：如圖，在三棱錐。一轉(zhuǎn)。中，G為AQ46的重心，OA=OB=OC=\,

且。4,兩兩垂直；

(1)試用AC,AO,AB表示CG；

【學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生通過(guò)計(jì)算得到

CG=-AO+-AB-AC

33

【設(shè)計(jì)意圖】空間向量基本定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，即給定一組空間的基底，就

可以將任意一個(gè)向量分解成基向量的組合.

例1：如圖I,在三棱錐中，G為AOLB的重心，OA=OB^OC=\,

且。4,080c兩兩垂直；

(2)你能選擇另外一個(gè)基底來(lái)表示CG?

第10頁(yè)共17頁(yè)

【學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生經(jīng)過(guò)討論，選擇，提出了不同基底的選擇方案，其中選

--1—1——-

CG=-OA+-OB-OC

擇最多的是OB,"I此時(shí)33

但是有一個(gè)男生輕聲說(shuō)了一句：“選CG.”即選擇CG作為一個(gè)基向量，如

(CG,CA,CB｝止匕時(shí)CG=CG!

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生熟悉向量在不同基底下的分解，并體會(huì)基底的選擇并

不唯一，課堂上絕大部分學(xué)生選擇了｛OAOC],回答理由是因?yàn)閮蓛纱怪保?/p>

但是垂直條件在這個(gè)問(wèn)題中，并沒(méi)有為解題過(guò)程帶來(lái)方便，而｛CGC4C6｝卻

使得問(wèn)題的解決更加簡(jiǎn)單，因此可以看出，學(xué)生對(duì)于基底的選擇很多時(shí)候是盲

目的.所以這個(gè)問(wèn)題的設(shè)置主要目的是讓學(xué)生初步體會(huì)在問(wèn)題解決中需要根據(jù)

具體問(wèn)題選擇合理的基底，為后面的尋找單位正交基并得出空間向量坐標(biāo)定義

做下了鋪墊；

例1：如圖I,在三棱錐中，G為AOLB的重心，OA=OB^OC=\,

且。4,08℃兩兩垂直；

(3)試求ABCG；

【學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生經(jīng)過(guò)對(duì)比，容易發(fā)現(xiàn)選擇｛0AOC｝作為基底，在這

個(gè)問(wèn)題中具有很大的優(yōu)勢(shì)，因?yàn)閮蓛纱怪钡膯挝幌蛄恐g的數(shù)量積運(yùn)算結(jié)果非

常簡(jiǎn)單！

學(xué)生通過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算，得到

11121.2

ABCG=(OB-OA)(-OA+-OB-OC)=-OB——0A=0

3333

第11頁(yè)共17頁(yè)

【教師總結(jié)】通過(guò)這個(gè)問(wèn)題的解決我們可以發(fā)現(xiàn)，在處理向量的數(shù)量積問(wèn)

題時(shí)，選擇兩兩垂直的單位向量作為基底，會(huì)為問(wèn)題的解決帶來(lái)很大的方便，

因此我們有理由對(duì)于這樣的基底產(chǎn)生足夠的重視.

我們不妨設(shè)=°B=j,℃=無(wú)，且把這種基底稱作單位正交基底.特

別的，如果我們以"j,比作為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)

系Qx”,那么由空間向量基本定理，我們知道對(duì)于空間的任意P,都能表示為

p=xa+yb+zcj而且這種表示是唯一的，所以空間的任意P,都與有序?qū)崝?shù)組

｛為y,z｝之間形成了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，我們就稱X,人z是P在單位正交基底

伯亦眉下的坐標(biāo)，記為P=(怎》之

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)具體事例，體會(huì)到單位正交基底的選擇對(duì)于處理數(shù)量積

問(wèn)題所帶來(lái)的方便，然后又由之前已經(jīng)證明的空間向量定理中分解的存在性和

唯一性，強(qiáng)調(diào)突出我們成功讓向量和數(shù)組形成了一一對(duì)應(yīng)，進(jìn)而很自然地得到

了空間向量的坐標(biāo)定義.

例1：如圖，在三棱錐。一回。中，G為AQ鉆的重心，。4=。8=。。=1,

且。4,08℃兩兩垂直；

(4)在如圖所示的坐標(biāo)系下，請(qǐng)寫出℃,°G,CG的坐標(biāo);

【學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生通過(guò)空間向量坐標(biāo)的定義，容易得出

OC=0i+0j+lfc=(0,0,l)

第12頁(yè)共17頁(yè)

OG=g,；,0)

同理有

【設(shè)計(jì)意圖】鞏固空間向量坐標(biāo)的定義，以及空間向量坐標(biāo)的得出，為后

續(xù)的空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，與立體幾何問(wèn)題中的幾何元素如何用向量坐標(biāo)表示

作下鋪墊.

4.5.回顧歷程，審視定理

問(wèn)題9：請(qǐng)同學(xué)們現(xiàn)在回顧一下，我們通過(guò)推廣平面向量基本定理，得到了

空間向量基本定理，而且我們發(fā)現(xiàn)兩個(gè)定理本質(zhì)上是一樣的，只不過(guò)是同一個(gè)

定理在二維空間推廣到三維空間的不同表述而已，簡(jiǎn)單地說(shuō)就是給我兩個(gè)（不

共線的）向量，就能表示出平面中的任意一個(gè)向量；給我三個(gè)（不共面的）向

量，就能表示出空間中的任意一個(gè)向量.那么如果將二維空間往后退化，那會(huì)是

什么情況呢？

平面向量基本定理

p=xa+yb

空間備基本定理

[p=xa+yb+zc

a

【學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生很快反應(yīng)過(guò)來(lái)，比二維空間更加簡(jiǎn)單的是一維空間，也

就是直線，從而只需要給出一個(gè)非零向量，就可以表示出直線上的所有向量.

ap=xa

【教師總結(jié)】這就是我們之前學(xué)習(xí)過(guò)的向量共線定理，原來(lái)這三個(gè)定理，

本質(zhì)上都是一樣的，只是同一個(gè)定理，在不同維度空間下的不同表述形式而已.

第13頁(yè)共17頁(yè)

向量共線定理

p=xa

平面向量基本定理

b/^pP=^a+yb

空間晶t基本定理

【設(shè)計(jì)意圖】揭示了高中階段三個(gè)有關(guān)向量空間分解定理的內(nèi)在本質(zhì)，讓

學(xué)生以一種聯(lián)系的觀點(diǎn)來(lái)重新審視自己學(xué)習(xí)過(guò)的知識(shí)，將舊知識(shí)與新知識(shí)加以

聯(lián)系,更重要的是，為下面的高維向量的推廣作下自然的鋪墊.

4.6.大膽猜想，推廣定理

問(wèn)題10：那么，請(qǐng)同學(xué)們思考一下，空間向量基本定理還可以推廣嗎？

向■微意的推廣與應(yīng)用

我們?nèi)鏸t.在平面內(nèi)取定正交息底建立生標(biāo)系后.生樣平面內(nèi)的任重一個(gè)向量?都可

以用二無(wú)有序?qū)崝?shù)時(shí)(a,./)A示.平面向量又林為二雄向量.檢定空間一個(gè)正義米底，

任奇一個(gè)空間向量可用三元有序?qū)嵭ЫM(a(.at.a>)乳示.空間向量叉作為三境向量?

二他向量、三雄向量統(tǒng)稱為幾何向量.

在實(shí)陸問(wèn)墨中.經(jīng)常會(huì)遇到一些需要用更多的實(shí)數(shù)來(lái)表示的量.比如：期末進(jìn)行了五

門學(xué)科的考試.每個(gè)學(xué)生可用K#排列的五科鼠結(jié)朱表示?在汽車生產(chǎn)戰(zhàn)上,時(shí)裝總好的

汽率選行制功距離、最高車速'每100千來(lái)油4€、清行距離.,*>.廢氣排放量等六發(fā)指

標(biāo)的淵試.帚么*■柄新車質(zhì)量可用六元有序?qū)崝?shù)姐(a..u:.a,,a,.”.(/.)表示.

一般地.”元在序?qū)崝?shù)組(a..a?.?.)林為，，雄向量?它是幾何向量的糧廣?”

維向量的全體構(gòu)成的集合.賦子相應(yīng)的結(jié)構(gòu)后，"I世"州歐氏空間.它的每一個(gè)無(wú)束可存

成“堆雨量空間的一點(diǎn).

臭似二雄向量.對(duì)于”惟向量.也可定義圖個(gè)向量的加法運(yùn)算.或法這4、軟泉運(yùn)

鼻、兩個(gè)向量的數(shù)量例.向量的長(zhǎng)度(模)、兩點(diǎn)網(wǎng)的“距離”等，

itas(?i.a?.a.)>b=Si?6r?….6,).H

a±b=(at.a：????.a.)±(&i.6r.….6.)=(ai±Ai?a：±Aj.????a.ib.)?

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