《數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)人教A（新高考）-第3節(jié)　平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用

第五章

第3節(jié)平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用知識(shí)分類落實(shí)考點(diǎn)分層突破課后鞏固作業(yè)內(nèi)容索引///////123//////////////知識(shí)分類落實(shí)夯實(shí)基礎(chǔ)回扣知識(shí)1知識(shí)梳理///////1.平面向量數(shù)量積的有關(guān)概念|a||b|cosθ|b|cosθ2.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示(4)兩非零向量a⊥b的充要條件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.(1)a·b＝b·a(交換律).(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(結(jié)合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).3.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律三步曲：(1)用向量表示問(wèn)題中的幾何元素，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；(2)通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系；(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.4.平面幾何中的向量方法1.兩個(gè)向量a，b的夾角為銳角?a·b>0且a，b不共線；兩個(gè)向量a，b的夾角為鈍角?a·b<0且a，b不共線.2.平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.3.數(shù)量積運(yùn)算律要準(zhǔn)確理解、應(yīng)用，例如，a·b＝a·c(a≠0)，不能得出b＝c，兩邊不能約去同一個(gè)向量.解析

(1)兩個(gè)向量夾角的范圍是[0，π].(4)由a·b＝a·c(a≠0)得|a||b|·cos〈a，b〉＝|a||c|·cos〈a，c〉，所以向量b和c不一定相等.×√√×2.已知向量a＝(1，1)，b＝(2，4)，則(a－b)·a＝ (

) A.－14 B.－4 C.4 D.14

解析由題意得a－b＝(－1，－3)，則(a－b)·a＝－1－3＝－4.B3.設(shè)a，b是非零向量，則“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的 (

) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 解析

設(shè)a與b的夾角為θ.因?yàn)閍·b＝|a|·|b|cosθ＝|a|·|b|， 所以cosθ＝1，即a與b的夾角為0°，故a∥b.

當(dāng)a∥b時(shí)，a與b的夾角為0°或180°， 所以a·b＝|a|·|b|cosθ＝±|a|·|b|， 所以“a·b＝|a|·|b|”是“a∥b”的充分而不必要條件.AC5.(多選題)(2021·青島統(tǒng)檢)已知向量a＋b＝(1，1)，a－b＝(－3，1)，

c＝(1，1)，設(shè)a，b的夾角為θ，則 (

) A.|a|＝|b|

B.a⊥c C.b∥c D.θ＝135°

解析

由a＋b＝(1，1)，a－b＝(－3，1)，得a＝(－1，1)，b＝(2，0)， 則|a|＝，|b|＝2，故A不正確；

a·c＝－1×1＋1×1＝0，故B正確； 不存在λ∈R，使b＝λc成立，故C不正確；BD所以θ＝135°，故D正確.綜上知選BD.6.(2020·全國(guó)Ⅱ卷)已知單位向量a，b的夾角為45°，ka－b與a垂直，則k＝

________.

解析

由題意知(ka－b)·a＝0，即ka2－b·a＝0.

因?yàn)閍，b為單位向量，且?jiàn)A角為45°，考點(diǎn)分層突破題型剖析考點(diǎn)聚焦21.已知向量a，b滿足|a|＝1，a·b＝－1，則a·(2a－b)＝ (

) A.4 B.3 C.2 D.0

解析

a·(2a－b)＝2|a|2－a·b＝2×12－(－1)＝3.考點(diǎn)一平面向量的數(shù)量積運(yùn)算///////自主演練B以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由題意知A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，P(2，1)，－1∴P為BC的中點(diǎn).

解析

如圖，在等腰△ABE中，易得∠BAE＝∠ABE＝30°，故BE＝2.＝15－10－12＋6＝－1.－1A故選A.結(jié)合幾何圖形，當(dāng)點(diǎn)P與F重合時(shí)投影最小，當(dāng)P與點(diǎn)C重合時(shí)，投影最大，1.計(jì)算平面向量的數(shù)量積主要方法：(1)利用定義：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(2)利用坐標(biāo)運(yùn)算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2.(3)活用平面向量數(shù)量積的幾何意義.2.解決涉及幾何圖形的向量的數(shù)量積運(yùn)算問(wèn)題時(shí)，可先利用向量的加、減運(yùn)算或數(shù)量積的運(yùn)算律化簡(jiǎn)后再運(yùn)算.但一定要注意向量的夾角與已知平面幾何圖形中的角的關(guān)系是相等還是互補(bǔ).感悟升華角度1夾角與垂直【例1】(1)(2020·全國(guó)Ⅱ卷)已知單位向量a，b的夾角為60°，則在下列向量中，與b垂直的是 (

) A.a＋2b B.2a＋b C.a－2b D.2a－b考點(diǎn)二向量數(shù)量積的性質(zhì)及應(yīng)用///////多維探究D因此b⊥(2a－b).B解析

法一設(shè)a＝(1，0)，b＝(0，1)，解析因?yàn)閍⊥c，所以a·c＝－2x＋2＝0，解得x＝1，則a＝(1，1)，因?yàn)閎∥c，所以4＋2y＝0，解得y＝－2，則b＝(2，－2).A【例2】(2)已知a，b是單位向量，a·b＝0.若向量c滿足|c－a－b|＝1，則|c|的最大值是________________.

解析

法一由a·b＝0，得a⊥b.所以點(diǎn)P在以C為圓心，1為半徑的圓上.法二由a·b＝0，得a⊥b.由|c－a－b|＝1，得(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以點(diǎn)C在以(1，1)為圓心，1為半徑的圓上.1.兩個(gè)向量垂直的充要條件是兩向量的數(shù)量積為0，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.感悟升華因?yàn)閍，b是單位向量，所以|a|2＋|b|2＋2a·b＝1＋1＋2a·b＝2，得a·b＝0，a與b垂直，故B正確；BC解析依題意|a|＝|b|＝1，∴θ為銳角，且cosθ＝2sinθ，A考點(diǎn)三平面向量的綜合應(yīng)用///////師生共研所以AD∥BC，則∠BAD＝120°，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC和AO所在直線分別為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系.如圖，設(shè)M(a，0)，不妨設(shè)點(diǎn)N在點(diǎn)M右側(cè)，在四邊形ABCD中，作AO⊥BC于點(diǎn)O，【例3】(2)已知在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，m·n＝sin2C. ①求角C的大小； 解①m·n＝sinA·cosB＋sinB·cosA

＝sin(A＋B)， 在△ABC中，A＋B＝π－C，0<C<π， 所以sin(A＋B)＝sinC， 所以m·n＝sinC，又m·n＝sin2C，解

②由sinA，sinC，sinB成等差數(shù)列，可得2sinC＝sinA＋sinB，由正弦定理得2c＝a＋b.即abcosC＝18，ab＝36.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－3ab，所以c2＝4c2－3×36，c2＝36，所以c＝6.1.以平面幾何為載體的向量問(wèn)題有兩種基本解法：(1)基向量法：恰當(dāng)選擇基底，結(jié)合共線定理、平面向量的基本定理進(jìn)行向量運(yùn)算.(2)坐標(biāo)法：如果圖形比較規(guī)則，可建立平面坐標(biāo)系，把有關(guān)點(diǎn)與向量用坐標(biāo)表示，從而使問(wèn)題得到解決.2.解決平面向量與三角函數(shù)的交匯問(wèn)題，關(guān)鍵是準(zhǔn)確利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算化簡(jiǎn)已知條件，將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)中的有關(guān)問(wèn)題.感悟升華A解析

以AB所在直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)A，B分別為(－a，0)，(a，0)(a>0)，點(diǎn)C為(x，y)，因此點(diǎn)C的軌跡為圓.故選A.解析法一如圖，過(guò)點(diǎn)D作DF∥CE交AB于點(diǎn)F，由D是BC的中點(diǎn)，可知F為BE的中點(diǎn).又BE＝2EA，則知EF＝EA，從而可得AO＝OD，∴a2＋b2＝3，

向量具有數(shù)形二重性，借助幾何直觀研究向量，優(yōu)化解題過(guò)程，進(jìn)而提高解題效率.設(shè)O為△ABC所在平面上一點(diǎn)，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則平面向量與三角形的“四心”

C∴P，C，D三點(diǎn)共線，

∴點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過(guò)△ABC的重心.解析根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可知，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以O(shè)B，OC為鄰邊的平行四邊形及其內(nèi)部，其面積為△BOC的面積的2倍.在△ABC中，設(shè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得a＝7.B設(shè)△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r，則解析

設(shè)△ABC外接圓的半徑為R，∵O為△ABC的外心，在△AOC中，由余弦定理得AC2＝OA2＋OC2－2OA·OC·cos∠AOCB所以點(diǎn)P在BC的高線上，即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的垂心.課后鞏固作業(yè)提升能力分層訓(xùn)練3解析

因?yàn)?a－3b＝(2k－3，－6)，(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)·c＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3，選C.CB解析以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系如圖.D解析

設(shè)|b|＝1，則|a＋b|＝|a－b|＝2.由|a＋b|＝|a－b|，得a·b＝0，設(shè)向量a＋b與a的夾角為θ，D解析

如圖，連接AB，過(guò)C作CD⊥AB交AB于D，則D是AB的中點(diǎn)，BCABD由題圖可知Rt△ACD∽R(shí)t△ABC，選項(xiàng)D正確.故選ABD.8.(2020·全國(guó)Ⅰ卷)設(shè)a，b為單位向量，且|a＋b|＝1，則|a－b|＝________.∵|a|＝|