2020-2021學(xué)年河北省部分名校高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2020-2021學(xué)年河北省部分名校高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．復(fù)數(shù)的實(shí)部是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算法則化簡復(fù)數(shù)，由實(shí)部定義可得結(jié)果.【詳解】，的實(shí)部是．故選：C.2．已知數(shù)據(jù)的方差為3，則數(shù)據(jù)，，，…的方差是（）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】D【分析】直接根據(jù)方差的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：由題意可得數(shù)據(jù)的方差是，故選：D．3．在平行四邊形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由向量的線性運(yùn)算直接轉(zhuǎn)化求解即可.【詳解】，.故選：B.4．某校舉行校園歌手大賽，6位評委對某選手的評分分別為9.2，9.5，8.8，9.9，8.9，9.5，設(shè)該選手得分的平均數(shù)為x，中位數(shù)為y，眾數(shù)為z，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)的概念，分別求出，即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可得，，，，則．故選：A.5．已知，，是不重合的直線，，是不重合的平面，則下列命題正確的是（）A．若，，則B．若，，則C．若，，則D．若，是異面直線，，，且，則【答案】D【分析】根據(jù)線面、面面平行與垂直的性質(zhì)定理及判定定理一一判斷即可；【詳解】解：若，，則或，則A錯(cuò)誤；若，，則或與相交，則B錯(cuò)誤；若，，則或，則C錯(cuò)誤；若是異面直線，，，且，則，則D正確．故選：D6．某校對該校800名高一年級學(xué)生的體重進(jìn)行調(diào)查，他們的體重都處在A，B，C，D四個(gè)區(qū)間內(nèi)，根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到如下統(tǒng)計(jì)圖，則下列說法正確的是（）A．該校高一年級有300名男生B．該校高一年級學(xué)生體重在C區(qū)間的人數(shù)最多C．該校高一年級學(xué)生體重在C區(qū)間的男生人數(shù)為175D．該校高一年級學(xué)生體重在D區(qū)間的人數(shù)最少【答案】C【分析】分別根據(jù)條形圖和扇形圖求得女生和男生的體重在A、B、C、D區(qū)間的人數(shù)，逐一判斷可得選項(xiàng).【詳解】由題意可得該校高一年級有名女生，則有名男生，則男生體重在A，B，C，D區(qū)間內(nèi)的人數(shù)分別為75，150，175，100，從而該校高一年級學(xué)生體重在A，B，C，D區(qū)間的人數(shù)分別為135，270，255，140，故A，B，D錯(cuò)誤，C正確．故選：C.7．在三棱錐中，平面平面，和均為等邊三角形，分別是棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的正弦值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】取棱的中點(diǎn)，由可知所求角為；由線面垂直的判定可知平面，得到，由平行關(guān)系可推導(dǎo)得到；根據(jù)長度關(guān)系和垂直關(guān)系可求得，由此可得所求正弦值.【詳解】分別取棱的中點(diǎn)，連接．和均為等邊三角形，，，又平面，，平面，又平面，；分別為棱中點(diǎn)，，即為異面直線與所成角；分別為棱中點(diǎn)，，；設(shè)，則，．平面平面，平面平面，，平面，，，，則，．故選：B.8．已知集合，且，，則函數(shù)有零點(diǎn)的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】運(yùn)用列舉法列出所有基本事件，再分和兩種分別求出事件，由古典概率公式可得選項(xiàng).【詳解】由題意可得總的基本事件數(shù)為9，記這個(gè)基本事件為，其基本事件是：，，.當(dāng)時(shí)．函數(shù)有零點(diǎn)，符合條件的基本事件有，共3個(gè)；當(dāng)時(shí)，有零點(diǎn)，則，即，從而符合條件的基本事件有，，其4個(gè)．故所求概率．故選：A.二、多選題9．已知復(fù)數(shù)，，則下列命題正確的是（）A．若，則是純虛數(shù) B．若是純虛數(shù)，則C．若，則是實(shí)數(shù) D．若是實(shí)數(shù)，則【答案】BCD【分析】先由復(fù)數(shù)的運(yùn)算求得，，再由復(fù)數(shù)的概念可得選項(xiàng).【詳解】由題意可得，．當(dāng)且時(shí)，是純虛數(shù)，則A錯(cuò)誤，B正確；當(dāng)時(shí)，是實(shí)數(shù)，則C，D正確．故選：BCD．10．連續(xù)拋擲一個(gè)質(zhì)地均勻的骰子（每個(gè)面上對應(yīng)的數(shù)字分別為1，2，3，4，5，6）兩次．事件A表示“第一次正面朝上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”，事件B表示“第二次正面朝上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”，事件C表示“兩次正面朝上的點(diǎn)數(shù)之和小于6”，事件D表示“兩次正面朝上的點(diǎn)數(shù)之和是9”，則下列說法正確的是（）A．事件A與事件B為對立事件 B．事件A與事件B相互獨(dú)立C．事件C與事件D是互斥事件 D．事件C與事件D相互獨(dú)立【答案】BC【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件、互斥事件、對立事件的定義判斷可得；【詳解】解：由題意可知事件A與事件B相互獨(dú)立，則A錯(cuò)誤，B正確；事件C與事件D是互斥事件，但不是對立事件，則C正確；D錯(cuò)誤．故選：BC11．在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，且，則（）A． B．角B的取值范圍是C．的取值范圍是 D．的取值范圍是【答案】ACD【分析】利用正弦定理比較容易得出，再根據(jù)銳角和得出，的范圍，進(jìn)而得出的范圍.【詳解】因?yàn)?，所以，所以或．因?yàn)?，所以，所以，則，故A正確．因?yàn)?，所以．因?yàn)槭卿J角三角形，所以即解得，所以，則，故B錯(cuò)誤，D正確．因?yàn)?，所以，所以，則C正確，故選：ACD.12．如圖，在直三棱柱中，，是等邊三角形，點(diǎn)O為該三棱柱外接球的球心，則下列命題正確的是（）A．平面B．異面直線與所成角的大小是C．球O的表面積是D．點(diǎn)O到平面的距離是【答案】ACD【分析】根據(jù)線面平行的判定定理可判斷A選項(xiàng)；由可得是異面直線與所成的角，求出其正切值，從而求出角的大小，由此判斷B選項(xiàng)；設(shè)外接圓的圓心為，連接，可得球的半徑，由此判斷C選項(xiàng)；設(shè)外接圓的半徑為，由正弦定理求得，則點(diǎn)到平面的距離，由此判斷D選項(xiàng)．【詳解】解：如圖，由題意可知，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，故A正確；因?yàn)?，所以是異面直線與所成的角，因?yàn)椋?，所以，故B錯(cuò)誤；設(shè)外接圓的圓心為，連接，由題意可得，，則球的半徑，從而球的表面積是，故C正確；設(shè)外接圓的半徑為，由題意可得，則，由正弦定理可得，則點(diǎn)到平面的距離，故D正確；故選：ACD．三、填空題13．已知向量，，若，則_______．【答案】【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)橄蛄?，，且，所以，解得．故答案為?4．已知一圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為的半圓，則該圓錐的體積是_______．【答案】【分析】根據(jù)側(cè)面展開圖可確定母線長和底面圓半徑，由此求得圓錐的高，根據(jù)圓錐體積公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)該圓錐底面圓的半徑為，高為，母線長為，則，，解得：，，該圓錐的體積是．故答案為：.15．已知是方程的一個(gè)根，則_______．【答案】33【分析】設(shè)該方程的另一個(gè)根為，由已知對立方程組，解之可得答案.【詳解】設(shè)該方程的另一個(gè)根為，則從而解得即故．故答案為：33.16．如圖，已知兩座山的高分別為米，米，為測量這兩座山峰之間的距離，選擇水平地面上一點(diǎn)為測量觀測點(diǎn)，測得，，，則_______米．【答案】【分析】過點(diǎn)作，根據(jù)已知長度和角度關(guān)系可求得，利用余弦定理可求得，從而由勾股定理可求得，開平方得到結(jié)果.【詳解】過點(diǎn)作，垂足為，則米，．由題意可得：米，米，又，，，米．故答案為：.四、解答題17．已知向量的夾角為，且，．（1）求的值；（2）若，求的值【答案】（1）；（2）或．【分析】（1）由數(shù)量積定義可求得，進(jìn)而得到，開平方得到結(jié)果；（2）由垂直關(guān)系可得，由平面向量數(shù)量積運(yùn)算律化簡整理可得關(guān)于的方程，解方程可求得結(jié)果.【詳解】（1），，；（2）由得：，即，即，解得：或.18．某高校將參加該校自主招生考試的學(xué)生的筆試成績按得分分成組，得到的頻率分布表如圖所示．該校為了選拔出最優(yōu)秀的學(xué)生，決定從第組和第組的學(xué)生中用分層抽樣法抽取名學(xué)生進(jìn)行面試，根據(jù)面試成績（滿分：分），得到如圖所示的頻率分布直方圖．組號分組頻數(shù)頻率第組第組第組第組第組合計(jì)圖圖（1）求第組和第組的學(xué)生進(jìn)入面試的人數(shù)之差；（2）若該高校計(jì)劃錄取人，求該高校的錄取分?jǐn)?shù)．【答案】（1）；（2）分．【分析】（1）由表格數(shù)據(jù)可確定抽樣比，由此得到第組和第組應(yīng)抽取的人數(shù)，進(jìn)而求得結(jié)果；（2）首先確定該高校的錄取率，則所求錄取分?jǐn)?shù)為名學(xué)生分?jǐn)?shù)的分位數(shù)，由百分位數(shù)的估計(jì)方法計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】（1）由題意可知抽取比例為：，則第組應(yīng)抽取的人數(shù)為，第組應(yīng)抽取的人數(shù)為．故第組和第組的學(xué)生進(jìn)人面試的人數(shù)之差為：；（2）由題意知該高校的錄取率為：．，．則該高校的錄取分?jǐn)?shù)在內(nèi)．設(shè)該高校的錄取分?jǐn)?shù)為，則，解得：．故該高校的錄取分?jǐn)?shù)為分．19．如圖，在三棱柱中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，．（1）證明：平面平面ABC．（2）求點(diǎn)到平面的距離．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）由題意得，，從而平面ABC，由此證得平面平面ABC；（2）設(shè)點(diǎn)O到平面的距離為h，點(diǎn)B1到平面的距離為d，易得，根據(jù)棱錐的體積公式求出，求出，再根據(jù)等體積法求出答案．【詳解】（1）證明：因?yàn)?，所以，，在三棱柱中，，所以，又因?yàn)椋云矫鍭BC，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面ABC；（2）解：設(shè)點(diǎn)O到平面的距離為h，點(diǎn)B到平面的距離為d，因?yàn)辄c(diǎn)O為的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)椋?，所以，則，因?yàn)?，所以，即點(diǎn)到平面的距離為．20．端午節(jié)，又稱端陽節(jié)、龍舟節(jié)、天中節(jié)等，源于中國人對自然天象的崇拜，由上古時(shí)代祭龍演變而來．端午節(jié)與春節(jié)、清明節(jié)、中秋節(jié)并稱中國四大傳統(tǒng)節(jié)日．某社區(qū)為豐富居民業(yè)余生活，舉辦了關(guān)于端午節(jié)文化習(xí)俗的知識競賽，比賽共分為兩輪．在第一輪比賽中，每位參賽選手均需參加兩關(guān)比賽，若其在兩關(guān)比賽中均達(dá)標(biāo)，則進(jìn)入第二輪比賽．已知在第一輪比賽中，第一關(guān)達(dá)標(biāo)的概率分別是，；第二關(guān)達(dá)標(biāo)的概率分別是，．在第一輪的每關(guān)比賽中是否達(dá)標(biāo)互不影響．（1）分別求出進(jìn)入第二輪比賽的概率；（2）若兩人均參加第一輪比賽，求兩人中至少有人進(jìn)入第二輪比賽的概率．【答案】（1）；；（2）．【分析】（1）由獨(dú)立事件概率乘法公式直接計(jì)算可得結(jié)果；（2）首先求得兩人都沒有進(jìn)入第二輪比賽的概率，由對立事件概率公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)事件為“在第一輪第一關(guān)比賽中達(dá)標(biāo)”，事件為“在第一輪第二關(guān)比賽中達(dá)標(biāo)”，事件為“在第一輪第一關(guān)比賽中達(dá)標(biāo)”，事件為“在第一輪第二關(guān)比賽中達(dá)標(biāo)”．則進(jìn)入第二輪比賽的概率，進(jìn)入第二輪比賽的概率．（2）由（1）可知沒有進(jìn)入第二輪比賽的概率，沒有進(jìn)入第二輪比賽的概率，則兩人都沒有進(jìn)入第二輪比賽的概率為．故兩人中至少有人進(jìn)入第二輪比賽的概率．21．在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并作答．問題：在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．（1）求A；（2）若角A的角平分線，且，求面積的最小值．【答案】任選三個(gè)條件之一，都有（1）；（2）．【分析】若選①，（1）根據(jù)正弦定理進(jìn)行邊角互化得，再由角的范圍可求得角A．若選②，（1）根據(jù)余弦定理求得，由角的范圍可求得角A．若選③，根據(jù)正弦定理進(jìn)行邊角互化得，由角的范圍可求得角A（2）根據(jù)三角形的面積公式求得，，再運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)可求得面積的最小值．【詳解】解：若選①，（1）因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以，所以，所以．因?yàn)?，所以．若選②，（1）因?yàn)椋?，所以，則．因?yàn)椋裕暨x③，（1）因?yàn)?，所以，所以，所以．因?yàn)?，所以．?）因?yàn)?，所以，所以，則，故．設(shè)，則，從而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，．故當(dāng)，時(shí)，的面積取得最小值，且最小值為．22．如圖，在正四棱錐中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱PB，PD上，且．（1）證明：平面PAC．（2）在棱PC上是否存在點(diǎn)M，使得平面MEF？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）存在滿足條件的點(diǎn)M，．【分析】（1）連接，記，連接PO，由此可得，且，根據(jù)線面垂直的判定定理可得平面，由可得，由此可得結(jié)論；（2）存在點(diǎn)滿足時(shí)，平面．連接ME，MF，