新教材數(shù)學(xué)人教A選擇性必修第一冊課件2.3.3-2.3.4點到直線的距離公式兩條平行直線間的距離

2.3.3點到直線的距離公式2.3.4兩條平行直線間的距離1.探索平面上點到直線的距離公式,了解點到直線距離公式的推導(dǎo)方法.2.掌握點到直線的距離公式,會求兩條平行直線間的距離.3.初步掌握用解析法研究幾何問題.1|距離公式

點到直線的距離兩條平行直線間的距離定義點到直線的垂線段的長度夾在兩條平行直線間的公垂線

段的長公式點P0(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0

(A2+B2≠0)的距離d=①

兩條平行直線l1:Ax+By+C1=0與l

2:Ax+By+C2=0(A2+B2≠0,C1≠C2)

間的距離d=②

1.點到幾種特殊直線的距離公式(1)點P(x0,y0)到x軸的距離d=|y0|;(2)點P(x0,y0)到y(tǒng)軸的距離d=|x0|;(3)點P(x0,y0)到與x軸平行的直線y=a的距離d=|y0-a|;(4)點P(x0,y0)到與y軸平行的直線x=b的距離d=|x0-b|.2.兩條特殊平行直線間的距離兩條垂直于x軸的直線x=a,x=b的距離d=|a-b|;兩條垂直于y軸的直線y=a,y=b的距離d=|a-b|.2|距離公式的特殊情況1.點到直線的垂線段的長度就是點到直線的距離.(√)2.點P(x0,y0)到直線y=kx+b的距離為

.

(

?)提示:直線方程化為一般式為kx-y+b=0,P(x0,y0)到直線y=kx+b的距離為

.3.直線外一點與直線上任一點間距離的最小值就是點到直線的距離.

(√)提示:由直線外一點與直線上任一點的連線中垂線段最短,知結(jié)論成立,這是點到

直線距離的代數(shù)特征.判斷正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“?”.4.連接兩條平行直線上兩點,即得兩平行直線間的距離.

(

?

)提示:兩平行直線間的距離是兩平行直線間的公垂線段的長,并不是兩平行直線

上任意兩點間的距離,故結(jié)論不正確.5.兩平行直線間的距離是一條直線上任一點到另一條直線的距離,也能看作是兩條直線上各取一點的最短距離.(√)提示：由兩條平行直線間距離的定義知結(jié)論正確.1|點到直線的距離公式及其應(yīng)用

計算點到直線的距離的步驟

應(yīng)用點到直線的距離公式的注意事項(1)當(dāng)點在直線上時,點到該直線的距離為0,點到直線的距離公式仍然適用.(2)點到直線的距離公式對于直線方程中A=0或B=0時的情況仍然適用.(3)在應(yīng)用點到直線的距離公式時,若給出的直線方程不是一般式,則應(yīng)先把方程化為一般式.已知正方形中心的坐標(biāo)為直線2x-y+2=0,x+y+1=0的交點,正方形一邊所在直

線l的方程為x+3y-5=0,求正方形其他三邊所在直線的方程.思路點撥根據(jù)所求的三邊中有一邊所在直線與直線x+3y-5=0平行,另兩邊所在直線與直線

x+3y-5=0垂直,并結(jié)合正方形的中心到四條邊所在直線的距離相等解題.解析

由

得正方形的中心的坐標(biāo)為(-1,0).設(shè)與直線l:x+3y-5=0平行的邊所在直線的方程為l1:x+3y+c=0(c≠-5).由點(-1,0)到兩直線l、l1的距離相等,得

=

,解得c=7或c=-5(舍去),∴l(xiāng)1:x+3y+7=0.又正方形另兩邊所在直線均與l垂直,∴設(shè)另兩邊所在直線的方程分別為3x-y+a=0,3x-y+b=0(a≠b).∵正方形的中心到四條邊所在直線的距離相等,∴

=

=

,解得a=9,b=-3或a=-3,b=9,∴另兩邊所在直線的方程分別為3x-y+9=0,3x-y-3=0.∴正方形其他三邊所在直線的方程分別為x+3y+7=0,3x-y+9=0,3x-y-3=0.

兩條平行直線間距離的求法(1)當(dāng)直線的方程為一般式時,可利用兩條平行直線間的距離公式,其步驟如下:

解題時必須注意兩直線方程中x,y的系數(shù)對應(yīng)相等,若不相等,則先將系數(shù)化為相2|兩條平行直線間距離公式的應(yīng)用等,再代入公式.(2)當(dāng)直線的方程為斜截式時,l1:y=kx+b1,l2:y=kx+b2,且b1≠b2,則d=

.(3)利用“化歸”思想將兩平行直線間的距離轉(zhuǎn)化為求其中一條直線上任意一點

到另一條直線的距離.

兩條平行直線間距離的應(yīng)用已知兩平行直線間的距離及其中一條直線的方程求另一條直線的方程,一般先設(shè)

出直線方程,再利用兩平行直線間的距離公式求解.也可以把兩平行直線間的距

離問題轉(zhuǎn)化為一條直線上任意一點到另一條直線的距離問題,然后利用點到直線

的距離公式求解.

(1)直線l1:3x+4y-5=0關(guān)于l:3x+4y+1=0的對稱直線l2的方程為

;(2)已知△ABC的兩頂點A,B在直線l1:2x-y+3=0上,點C在直線l2:2x-y-1=0上.若△

ABC的面積為2,則AB邊的長為

.思路點撥(1)l1關(guān)于和它平行的直線l對稱的直線l2滿足條件:①l1∥l2,②l1、l2與直線l間的距

離相等;(2)因為兩直線l1與l2平行,所以l2上的點C到l1的距離即為以AB為底時三角形的高.3x+4y+7=0解析

(1)設(shè)l2的方程為3x+4y+d=0(d≠-5),由條件知l1與l之間的距離等于l2與l之間

的距離,則

=

,解得d=7或d=-5(舍去).故直線l2的方程為3x+4y+7=0.(2)已知直線l1:2x-y+3=0,直線l2:2x-y-1=0,可知l1∥l2,兩平行直線間的距離d=

=

,根據(jù)三角形的面積公式得

×

×|AB|=2,解得|AB|=

.

常見距離公式的應(yīng)用問題的解題策略(1)利用對稱轉(zhuǎn)化為兩點之間的距離問題.(2)利用所求式子的幾何意義轉(zhuǎn)化為點到直線的距離問題.用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決與點到直線的距離有關(guān)的最值問題的方法:一般地,形如

的式子可視為點(x,y)與點(a,b)之間的距離,所以解決相關(guān)的最值問題時,可應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想,借助兩點間的距離公式,將其轉(zhuǎn)化為點

到直線的距離或兩平行線之間的距離.(3)利用距離公式將問題轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的最值問題,通過配方求最值.3|與距離有關(guān)的最值問題

(1)已知m,n,a,b∈R,且滿足3m+4n=6,3a+4b=1,則

的最小值為

(

C)A.

B.

C.1

D.

(2)已知實數(shù)x,y滿足2x+y+3=0,則

的最小值為

.解析

(1)設(shè)P(m,n),Q(a,b),則|PQ|=

.依題意,P,Q兩點分別在直線l1:3x+4y-6=0與l2:3x+4y-1=0上,則直線l1與l2平行,所以|PQ|的最小值就是兩平行直