高中數(shù)學(xué)：崇仁中學(xué)高一數(shù)學(xué)寒假作業(yè)十三答案

第13練三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

等積累運(yùn)用

【知識(shí)梳理】

1.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象

函數(shù)尸y=cosx

Vy

________11

\『/烈,

圖象-2?\-V/O

\/3rr5:

L.2―-一—■?

ZS-1?-1

圖象畫法五產(chǎn)富去五點(diǎn)法

(0.0),C，1),(2L(0,1),6,0),(n,-1),

0),

關(guān)鍵五點(diǎn)

-1),(2兀，(手,0),(2n,1)

正（余）弦曲線正（余）弦函數(shù)的圖象叫做正（余）弦曲線

2.函數(shù)的周期性

1）函數(shù)的周期性

一般地，設(shè)函數(shù)./（x）的定義域?yàn)椤?gt;,如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得對(duì)每一個(gè)xG。都有x+Te。，且"+

C="）,那么函數(shù)人x）就叫做周期函數(shù).非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期.

2）最小正周期

如果在周期函數(shù)ZU）的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù),那么這個(gè)最小正數(shù)叫做兀v）的最小正周期.

3.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性和奇偶性

函數(shù)y=sinxy=cosx

yy

\_2L/T\31rZ

圖象-2“\20/:\號(hào)V一-2於F卜”/V

/BTT-VT)如1

上五A

定義域RR

周期2E(kCZ且&H0)2E(AGZ且上#0)

最小正周期2n2兀

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)

4.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性與最值

正弦函數(shù)余弦函數(shù)

y

y'IT

1??丁\?-11

圖象'二不7

____Xox

定義域R

值域Ll,ll［一口1

在每一個(gè)閉區(qū)間2%兀一彳,2%兀+今

在每一個(gè)閉區(qū)間［2版一兀,2祈］（%ez）上

伏CZ）上都單調(diào)J的增，都單調(diào)遞增，

單調(diào)性

2也+看2E+竽在每一個(gè)閉區(qū)間［2E,2E+7t］（keZ）上

在每一個(gè)閉區(qū)間

都單調(diào)遞減

依62）上都單調(diào)：1的減

兀71

元=,+2E(A￡Z)時(shí)，ymax=l;「=一2+元=她(左￡2)時(shí)，ymax=1；

最值

X=2攵兀+兀(攵￡Z)時(shí)，yin=-1

2E(*Z)時(shí),Jmin=-1m

對(duì)稱中心：（E,0）&￡Z）jr

對(duì)稱中心：（航+爹，0）（&ez）

對(duì)稱性

對(duì)稱軸：x=kTt+^kGZ

f對(duì)稱軸：x=E,kGZ

5.正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)

【易錯(cuò)點(diǎn)撥】

2兀

1.函數(shù)y=加吊（5+8）或丁=入05（5+8）（其中/4,co,9是常數(shù)，且4W0,3#0）的周期為7=面.

⑴周期函數(shù)的定義是對(duì)定義域中的每一個(gè)x來說的，只有個(gè)別的x的值滿足人犬+7）=大幻不能說T是?x）的

周期.

(2)從等式“Xx+7)=/U)”來看，應(yīng)強(qiáng)調(diào)的是自變量x本身加的非零常數(shù)T才是周期.(3)如果T是函數(shù)式x)

的周期，那么ZTUez,A:WO)也一定是函數(shù)_/U)的周期.

(4)周期函數(shù)的定義域不一定是R,但一定是無限集.

(5)并不是所有的周期函數(shù)都有最小正周期，如函數(shù)y=O(xGR).

2.單調(diào)區(qū)間漏寫住Z；求值域時(shí)忽視sinx,cosx本身具有的范圍.

3.忽略函數(shù)的有界性與函數(shù)定義域.

基礎(chǔ)過關(guān)練

I.(2021.山西英才學(xué)校高一階段練習(xí))sinl°,sinl,sin萬。的大小順序是()

A.sinl°<sinl<sin7r0B.sinl°<sin乃。<sin1

C.sin^-°<sin10<sin1D.sinl<sinl°<sin^°

【答案】B

【解析】

1QHO

解：因?yàn)閟inl=sin---,

冗

函數(shù)y=sinx在(0,1)匕遞增，＜乎＜90。，

所以sinl°<sin;r°<sin----,即sinl°vsin萬°vsinl.

71

故選：B.

2.(2021?陜西?西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高一階段練習(xí))設(shè)函數(shù)/(x)=cos(*S，下列結(jié)論正確的是(

)

A.“X)的一個(gè)周期是2萬

B.y=/(x)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱

C.+的一個(gè)零點(diǎn)為x

D.”x)在(F,號(hào))上單調(diào)遞減

【答案】B

【解析】

解：因?yàn)椤▁)=cos(gx-?),所以函數(shù)的最小正周期,=丁=4",故A錯(cuò)誤;

當(dāng)x=_弓時(shí)/1_q^)=cos［；x(-與＞q)=cos(-%)=T,所以函數(shù)y=/(x)關(guān)于x=_?對(duì)稱，故B

正確;

因?yàn)樾?5=C0S*+￡|高=cos(*3所以當(dāng)X=1時(shí)

外r\75萬萬71卜)co(1sf57r^F71卜A＜爺7t=1片0..,故.,戶5不萬小口是r\個(gè)+/樣T|的零i點(diǎn)_，.故?C錯(cuò)A44.誤'□;

一（5%11乃、”…1兀，乃34、E、，r明，乃1?乂、比，

當(dāng)尤€W，一，所以不工一可￡不，?，因?yàn)楹瘮?shù)y=COSX在不,f」二不單調(diào),

\。）4J\乙乙Jk乙乙J

上不單調(diào)，故D錯(cuò)誤;

故選：B

7T

3.（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)/（x）=-2sinx+l,兀]的值域是（）

A.[-3,1]B.[-1,3]C.1川D.[1.3J

【答案】B

【解析】

7T

xe[——,Jt],故sinxe[-Ll],故-2sinx+le[-l,3],

2

故選：B.

4.（2021?全國(guó)?高一單元測(cè)試）函數(shù)y=（cos2;rx+5）的最小正周期是一

【答案】1

【解析】

函數(shù)），=（COS2G+M的最小正周期7=棄=1.

I4J2萬

故答案為：1

5.（2021.全國(guó).高一課時(shí)練習(xí)）若,則函數(shù)〃x）=V5cosx-sin2x的最大值是______

63

【答案】I

【解析】

/（x）=>/3cosx-sin2x=cos2x+\/3cosx-1=cosx+亭]一（，

TTTT

設(shè)cosx二f,因?yàn)橐籏xW一,

所哮皿4冬即K考

7五1叵

又函數(shù)*在2'V上單調(diào)遞增,

故〃入x="芋卜;，所以“X）的最大值為力

故答案為：4

4

6.（2021?四川遂寧?模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)/（x）=2sin（2x-J）+2,則〃x）的對(duì)稱中心為___________.

6

【答案】（"+[,2）（丘Z）

212

【解析】

令2xJ=WkeZ）=x="+白化eZ）,則/（x）的對(duì)稱中心為（當(dāng)+白,2汝eZ）.

o212\2127

故答案為：（與+春2）（%wZ）.

Z7JTflTT

7.（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)〃x）=tanx在區(qū)間上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

【答案】（0,1）

【解析】

因?yàn)?>一?，所以。>0，

23

所以不->0,--<0,

23

因?yàn)?（x）=tanx在（-*/）上單調(diào)遞增，

。>0

所以一號(hào)解得：0<4<1.

anTI

一<—

22

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是（0,1）,

故答案為：（0,1）.

8.（2021,全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）求函數(shù)y=tan2x的定義域、值域和周期，并作出它在區(qū)間卜肛句內(nèi)的圖象.

【答案】答案見解析

【解析】

要使函數(shù)丫=12112N有意義,

必須且只需2XW工+左/，kwZ,即竺，kwZ,

242

函數(shù)y=tan2x的定義域?yàn)椋踴eRxx?+當(dāng),ZezJ.

4k兀冗

設(shè)，=2x,由xw—+—,攵￡2知”，一+左乃，kwZ,

422

y=tanf的值域?yàn)?y,+oo),即丁=121121的值域?yàn)?y,*o).

由tan2［x+/)=tan(2x+4)=tan2x,

TT

：.尸tan2x的周期為,

函數(shù)y=tan2x在區(qū)間［一應(yīng)句內(nèi)的圖象如圖下圖所示：

9.(2021.福建?三明一中高一階段練習(xí))設(shè)函數(shù)f(x)=sin(2x-?J,xeR.

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)區(qū)間；

7137r

(2)求函數(shù)/⑸在區(qū)間三,十上的最小值和最大值，并求出取最值時(shí)x的值.

【答案】

TT377

(1)7=萬，Ax)的單調(diào)遞增區(qū)間為-工+k乃，七+k兀，丘Z；/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為

OO

3^.7^._

---FK,7T---FK7T，攵￡Z.

L8y8J

⑵當(dāng)x4時(shí)，/(x)max=l;當(dāng)》=與時(shí)，—=_坐.

o42

【解析】

(1)函數(shù)/(X)的最小正周期7=彳="，

令一］+2ATTW2x——+2左乃,ZeZ,得一1+k7t<xW+k4、左￡Z；

令工+2攵萬<2x-—<—+2k兀,Z￡Z,得—+k/r<x<—+krc,keZ.

24288

TT37r37r77r

所以/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為一二+ht，F(xiàn)+k兀，林Z；/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為—+k7r,—+k7r,keZ.

⑵因?yàn)殇X嚀，所以0—號(hào)號(hào)，

所以當(dāng)2x-7=5即時(shí)，/*）有最大值，最大值為/（x）3=m=i：

._TC57r口37c.

當(dāng)2x*=7即'=彳時(shí)'/（X）有最小值,最小值為〃xLn=/

10.（2021?四川鄲都?高一期末）已知函數(shù)/。）=2<:05（2犬-勺+1.

（1）求函數(shù)/*）取最大值時(shí)x的取值集合；

（2）求函數(shù)J"）的單調(diào)遞增區(qū)間.

【答案】（1）{x|x=A萬+2，keZ}.（2）[&-1，版+當(dāng)，keZ.

636

【解析】

TTTT

解：（1）當(dāng)cos（2x—百）=1,2x——=2k7r,AcZ時(shí)，

TT

函數(shù)f（x）=2cos（2x-丁+1取得最大值3,

汽

此時(shí)X=ATT+—,keZ、

6

所以函數(shù)了⑶取得最大值時(shí)工的取值集合為3x=A4+g,keZ].

6

（2）由2%萬一戰(zhàn)金工一22k/r,keZ,

3

TT-rr

求得領(lǐng)kk/rT—,keZ、

36

故函數(shù)/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間為伙乃-f,立+芻，kwZ.

tote

11.(2021.重慶市永川北山中學(xué)校高一期末)設(shè)函數(shù)〃x)為定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且f(x)=/(2-x),當(dāng)

時(shí)，〃x)=sinx,則函數(shù)8(力=以>5胃-/3在區(qū)間［-5,8］上的所有零點(diǎn)的和為.

【答案】6

【解析】

由于函數(shù)y=〃x)為定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，則〃x)=/(2-x)=—〃x—2),

.-./(x+4)=-/(x+2)=/(x),所以，函數(shù)y=/(x)是周期為4的周期函數(shù)，

作出函數(shù)與函數(shù)y=cosw在區(qū)間［-5,8］上的圖象，如下圖所示：

由圖象可知，函數(shù)y=〃x)與函數(shù)y=cos彳在區(qū)間［-5,8］上的圖象共有6個(gè)交點(diǎn)，

且有3對(duì)關(guān)于直線x=l對(duì)稱，

JTX

因此，函數(shù)g(x)=COS《--f(X)在區(qū)間［-5,8］上的所有零點(diǎn)的和為2x3=6.

故答案為：6.

12.(2021?全國(guó)?高一期末)已知函數(shù)/(》)=$皿5:+9)(0>0,|夕區(qū)1］,工=-1為了(工)的零點(diǎn)，x=工為/'(x)

k2；44

圖象的對(duì)稱軸.

(1)若f(x)在［0,27］內(nèi)有且僅有6個(gè)零點(diǎn)，求Ax)；

(2)若Ax)在上單調(diào)，求。的最大值.

\Io3o)

【答案】(1)/(x)=sin(3x-*(2)9.

【解析】

(I)因?yàn)閤=-(是f(x)的零點(diǎn)，x為"X)圖象的對(duì)稱軸，

所以卜ZJ=F一,T("wN),所以27=(2“+l)T(〃eN),

因?yàn)椤癤）在［0,2句內(nèi)有且僅有6個(gè)零點(diǎn),

57

分析正弦函數(shù)函數(shù)圖象可知：6個(gè)零點(diǎn)對(duì)應(yīng)的最短區(qū)間長(zhǎng)度為=7,最長(zhǎng)的區(qū)間長(zhǎng)度小于（T,

22

所以皂42萬〈父，所以“4（2〃+l）7<K,〃€N,

222''2

所以*42〃+l<?,〃eN,所以〃=1,所以7=生=至，所以。=3,

22co3

所以/（x）=sin（3x+e）,代入》=一（，所以/（-?）=$出（